Нестандартные задачи по математике для пятиклассников

НЕСТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ.

Обучение математике – это, в конечном итоге, обучение решению задач. Задачи школьного курса математики можно условно разделить на два вида: стандартные и нестандартные. Большинство задач стандартны: для их решения требуется лишь умение работать «по образцу», то есть, знание определенного алгоритма, с помощью которого можно решить данный тип задач. Трудности при решении таких задач носят чисто технический характер, методика их преодоления хорошо известна – тренировка в решении более или менее однотипных упражнений.

Но не все задачи стандартны, встречаются и такие, которые трудно отнести к какому-либо определенному типу, - и встреча с такими задачами часто заканчивается печально, - учащиеся не знают, что делать, объясняя это тем, что « таких задач они не решали».

Поэтому важно, чтобы к моменту окончания школьного курса математики у детей был накоплен достаточный опыт решения таких задач, при решении которых требуется проявить определенную ( пусть даже небольшую ) степень творческой оригинальности и выработать собственный метод «борьбы» с ними.

Как организовать обучение решению нестандартных задач таким образом, чтобы учащийся смог успешно преодолеть те неизбежные трудности, которые встретятся на этом пути, как помочь ему приобрести необходимый опыт?

Один из возможных способов – годовой конкурс решения задач.

Особенности организации конкурса.

Конкурс решения задач – это внутригрупповая олимпиада, проходящая в течение всего учебного года, по системе: каждую неделю – пять задач. Задачи учащиеся решают вне урока. Итоги подводятся постоянно. Первое время – каждую неделю, затем – по результатам месяца, полугодия, учебного года. Важно не пропустить, пусть небольшое, но продуктивное усилие учащегося.

Итоги конкурса заносятся в ведомость:

КОНКУРС РЕШЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ.

№

Фамилия/неделя

1

2

3

4

5

6

7

итоги

доп

оценки

1

Луганский С.

3

3,5

4

3,5

3

4

2

23

+5

4

2

Казанская О.

4

3,5

4

5

4

4

4

28,5

+7

5

3

Платонов Ю.

3

4

2,5

3,5

4

4

3

24

+4

4

За верное решение задачи ставится 1 балл (оригинальное решение может быть оценено и «дороже»), за неполное или даже неверное решение, но содержащее интересные мысли – 0,5 балла.

Умение догадываться (особенно в начале) не менее важно, чем оформление работы. Поэтому на первом этапе при оформлении требую не слишком многого. Но конкурс решения задач это не только олимпиада с призами, но еще и учебное задание (выполнение которого обязательно для всех учащихся). За решение задач конкурса каждую неделю ставится оценка, в конце четверти подсчитывается средний результат, который существенно влияет на итоговую оценку. Можно повысить свой результат за участие в олимпиадах (достаточно правильно решить хотя бы одну задачу), или за решение дополнительных задач.

Запись решения. Решение задач конкурса записывают в специальную тетрадь – по одной задаче на странице (для нерешенных задач оставляют место), условие задачи переписывать обязательно. Каждую неделю очередная группа из пяти задач разбирается на одном из уроков (нужно добиваться, чтобы каждому было ясно, как решаются все задачи), после чего все найденные решения учащиеся записывают в тетрадь. При этом важно обратить внимание на собственные (пусть неполные) решения, стараться выделить все то ценное, что в них содержится.

В этой тетради могут записываться и другие интересные задачи (олимпиадные и взятые из книг).

За оформление тетради выставляется оценка (решения всех задач должны быть записаны, все погрешности должны быть устранены). В итоге – в конце учебного года у каждого учащегося – свой собственный сборник нестандартных задач по математике с решениями (не менее 105 задач).

Подбор задач. При подборе задач нужно, чтобы:

1) в каждой группе из пяти задач было две-три, решение которых доступно большинству учащихся. Одна задача в группе – наиболее трудная, обычно связанная с введением новой математической идеи;

2) задачи располагались сериями так, что в каждой группе задач были такие, которые можно решить, опираясь на ранее решенные задачи. Задачи в сериях располагаются не только по темам, сколько по типам рассуждений: разбор случаев (перебор), построение алгоритма, доказательство от противного, рассуждение по аналогии, опровержение с помощью контрпримера и так далее;

3) кроме того задачи распределялись так, чтобы однотипные встречались на протяжении длительного времени, поскольку удлинение времени восприятия материала приводит к более глубокому усвоению его;

4) дополнительные задачи были аналогичны тем, которые решались ранее и были уже разобраны – это позволяет и не слишком сильным учащимся добиваться хороших оценок;

5) задачи первого полугодия сравнительно просты – дело в том, что дети должны научиться правильно их записывать, грамотно оформлять свои мысли, что не такая уж простая задача.

Помощь учащимся. Целью работы учителя является не столько помогать ученикам решать конкретные задачи, сколько помочь приобрести необходимый опыт и выработать свою собственную систему эвристических приемов, позволяющих решать незнакомые задачи. Эта цель не может быть достигнута быстро. Учащемуся не следует помогать слишком явно: он должен максимально возможное сделать сам. На начальном этапе следует добиться, чтобы:

1) решение нестандартных задач сделать деятельностью, привычной для учащихся, для этого важно систематически проверять не только еженедельное домашнее задание, но и состояние тетради в целом (какие изменения происходят в тетрадях учащихся после очередного разбора задач).

2) дать возможность учащимся проверить свои силы – их участие в конкурсе должно быть достаточно трудоемко (чтобы было за что себя уважать), но успешно. Одним из способов достижения этой цели может быть система устных упражнений, используемых на уроках.

Краткие итоги работы. Думается, что при такой организации работы у учащихся возрастает интерес к математике, они с удовольствием участвуют в олимпиадах (появляются победители и призеры), повышается активность на уроках и во внеклассной работе, а главное, дети перестают бояться незнакомых задач.

Комментарий к задачам.

При разборе задач с учащимися стараюсь придерживаться следующих правил:

1) где это только возможно ссылаться на уже решенные задачи (такие ссылки в решениях набраны курсивом).

2) в тех случаях, когда возможно решение без уравнений , при объяснениях использую именно такое решение (в первоначальном обучении математике и так слишком много уравнений и слишком мало логики).

3) большое внимание уделяю логическим задачам и задачам алгоритмического характера (переливания, разрезания, взвешивания), что нельзя недооценивать важность таких задач.

4) кроме задач основного списка предлагаю некоторое количество дополнительных задач – этот список при необходимости легко может быть пополнен.

Понятно, что каждый учитель с учетом собственного опыта и особенностей своей группы может внести в данный набор задач необходимые изменения.

УСЛОВИЯ ЗАДАЧ.

1.1. Из трех монет одна фальшивая, она легче остальных. За сколько взвешиваний на чашечных весах без гирь, можно определить, какая именно?

Решение. Требуется одно взвешивание: положим одну монету на каждую чашку весов. Возможны два случая: 1) если на весах равновесие, то третья монета фальшивая. 2) если равновесия нет, то фальшивая монета там, где вес меньше.

1.2. Для покупки порции мороженого у Пети не хватало 7 копеек, а у Маши – 1 копейки. Тогда они сложили все имевшиеся у них деньги. Но их тоже не хватило на покупку одной порции мороженого. Сколько стоила одна порция мороженого?

Решение. Если бы у Пети была хотя бы одна копейка, то он дал бы ее Маше, и им хватило бы на мороженное. Следовательно, у Пети денег не было совсем, а так как ему не хватало на мороженное 7 копеек, то мороженное стоило 7 копеек.

1.3. Сумма двух чисел 179. одно из них больше другого на 61. найти эти числа.

Решение. 1) Если бы оба числа равнялись меньшему из них, то их сумма была бы на 61 меньше, то есть 138. 2) Следовательно, меньшее число равно половине от 138, то есть 69, а большее – 130.

1.4. Расстояние между двумя машинами, едущими по шоссе, равно 200 км. Скорость машин: 60 км/ч и 80 км/ч. Чему будет равно расстояние между ними через 1 час?

Решение. Возможны четыре случая:

1) Машины едут навстречу друг-другу: 200-(60+80)=60 км.

2) Машины едут в разные стороны: 200+(60+80)=340 км.

3) Машины едут в одну сторону, вторая догоняет первую: 200+60-80=180 км.

4) Машины едут в одну сторону, вторая впереди: 200+80-60=220 км.

1.5. Разрезать на две равные части:

Решение.

2.1. Для покупки 8 воздушных шариков у Тани не хватит 200 рублей. Если она купит 5 шариков, то у нее останется 1000 рублей. Сколько денег было у Тани? Сколько стоит один шарик?

Решение. 1) Если Таня купит 5 шариков, то у нее останется 1000 рублей. 2) Чтобы купить еще 3 шара, ей надо добавить 200 рублей, значит, 3 шара стоят 1000+200=1200 рублей. 3) Это означает, что 1 шар стоит 400 рублей. 4) Следовательно, при покупке 5 шаров будет потрачено 2000 рублей и останется еще 1000 рублей, то первоначально у Тани было 3000 рублей.

2.2. В мешке 24 кг гвоздей. Как, имея только чашечные весы без гирь, отмерить 9 кг гвоздей?

Решение. Основная доступная нам операция: деление некоторого (вообще говоря, произвольного) количества гвоздей на две равные по весу кучи. Результат взвешиваний будем записывать в таблицу:

1 куча

2 куча

3 куча

4 куча

вначале

24

1 шаг

12

12

2 шаг

12

6

6

3 шаг

12

6

3

3

4 шаг: 6 кг + 3 кг.

2.3. Восстановить пример: 6

Решение. 6750-2894=2856.

2.4. Сумма двух чисел 213. Одно из них меньше другого на 37. Найти эти числа.

Решение. 88 и 125. Смотри задачу 1.3.

2.5. Раздели фигуру на три равные части:

Решение.

3.1. Запишите все числа, на которые число 24 делится без остатка.

Решение. 1, 2, 3, 4, 6, 12, 24.

3.2. Чашка и блюдце стоят 2500 рублей, а 4 чашки и 3 блюдца стоят 8870 рублей. Найти цену чашки и цену блюдца.

Решение. 1) 4 чашки и 4 блюдца стоят 10000 рублей, а 4 чашки и 3 блюдца стоят 8870 рублей, следовательно, цена одного блюдца 10000-8870=1130 рублей. 2) цена одной чашки: 2500-1130=1370 рублей.

3.3. Из 9 монет одна фальшивая, она легче других. Как за два взвешивания на чашечных весах без гирь определить, какая именно?

Решение. Первое взвешивание: положим по 3 монеты на каждую чашу весов. Возможны два случая: 1) равновесие, тогда на весах только настоящие монеты, а фальшивая среди тех монет, которые не взвешивались. 2) Если одна из кучек легче, то в ней фальшивая монета. Теперь требуется найти фальшивую среди 3 монет, что мы умеем делать (задача 1.1.).

3.4. Расставить скобки всеми возможными способами, выбрать наибольший результат и наименьший: 100-203+2.

Решение. Скобки ставятся для того, чтобы менять порядок действий; порядок действий можно поменять шестью способами:

-

*

+

Полученный пример

1

2

3

(100-20)3+2=242

1

3

2

(100-20)(3+2)=400

2

1

3

100-203+2=42

2

3

1

Такой порядок невозможен

3

1

2

100-(203+2)=38

3

2

1

100-20(3+2)=0

3.5. Я задумал число, прибавил к нему 1, умножил сумму на 2, произведение разделил на 3 и отнял от результата 4. Получилось 6. Какое число я задумал?

Решение. Будем решать задачу «с конца».

1) От какого числа надо отнять 4, чтобы получилось 6? От 10. 2) Какое число надо разделить на 3, чтобы получить 10? 30. 3) Какое число надо умножить на 2, чтобы получить 30? 15. 4) К какому числу надо прибавить 1, чтобы получить 15? Или, коротко: (4+6)3:2-1=14.

4.1. Один биолог открыл удивительную разновидность амеб. Каждая из них через 1 минуту делится на две. В пробирку биолог кладет амебу, и ровно через час пробирка оказывается заполненной амебами. Сколько времени потребуется, чтобы вся пробирка заполнилась амебами, если в нее вначале положить не одну , а две амебы?

Решение. В начале опыта в пробирке одна амеба, через одну минуту уже две, поэтому 2 амебы заполнят пробирку за 60-1=59 минут.

4.2. Если из одной стопки тетрадей переложить в другую 10 штук, то тетрадей в стопках будет поровну. На сколько больше тетрадей было в первой стопке, чем во второй?

Решение. Первая стопка уменьшилась на 10 штук. Вторая увеличилась на 10 штук, после чего они сравнялись. Поэтому их разница составляет 10+10=20 штук.

4.3. Для покупки альбома Маше не хватило 2 копейки, Коле 34 копейки, а Васе 35 копеек. Тогда они сложили свои деньги, но их все равно не хватило на покупку одного альбома. Сколько стоит альбом?

Решение. Вспомним задачу 1.2. Так как у Коли на одну копейку больше, чем у Васи, то у него есть как минимум 1 копейка и к Машиным деньгам 1 копейка добавляется. Но Маше на альбом не хватило, то есть ей дали меньше, чем 2 копейки, значит, у Васи вообще нет денег, и не хватает ему полной стоимости альбома. Ответ. 35 копеек.

4.4. Расстояние между Атосом и Арамисом, идущими верхом по дороге равно 20 лье. За один час Атос проезжает 4 лье, а Арамис – 5 лье. Какое расстояние может быть между ними через 1 час?

Решение. См решение задачи 1.4.1)20-(4+5)=11 лье.

2) 20+(4+5)=29 лье.

3) 20+4-5=19 лье.

4) 20+5-4=21 лье.

4.5. Разделите фигуру на три равные фигуры:

Решение.

5.1. Запишите все числа, на которые число 72 делится без остатка.

Решение. 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 36, 72.

5.2. Из 3 монет одна фальшивая, но неизвестно, она легче или тяжелее остальных. За сколько взвешиваний на чашечных весах без гирь, можно определить, какая именно фальшивая, и легче или тяжелее она остальных?

Решение. Задача является развитием задачи 1.1. Первое взвешивание: положим по одной монете на каждую чашу весов. Возможны два случая: 1) равновесие, тогда на весах только настоящие монеты, и останется узнать, легче фальшивая монета настоящей или нет, что можно сделать, сравнив ее по весу с третьей монетой (фальшивой). 2) Если одна из монет оказалась легче, то третья монета настоящая. Сравним ее вес, например, с более легкой монетой. Если равновесие, то фальшивая более тяжелая, если нет, то более легкая из монет.

5.3. Расставьте скобки всеми возможными способами и выберите наибольший и наименьший результаты: 60+40:4-2.

Решение. См задачу 3.4. Скобки ставятся для того, чтобы менять порядок действий; порядок действий можно поменять шестью способами:

+

:

-

Полученный пример

1

2

3

(60+40):4-2=23-наименьший

1

3

2

(60+40):(4-2)=50

2

1

3

(60+40:4)-2=68

2

3

1

Такой порядок невозможен

3

1

2

60+(40:4-2)=68

3

2

1

60+40:(4-2)=80- наибольший

5.4. 60 листов книги имеют толщину 1 см. Какова толщина всех листов книги, если в ней 240 страниц?

Решение. Страниц 240, на каждом листе 2 страницы, следовательно, листов 120. Толщина 120 листов в 2 раза больше, чем 60, ответ: 2 см.

5.5. Некто купил 3 кг груш, у него осталось 5 тысяч рублей, а на 5 кг груш ему не хватило бы 5 тысяч рублей. Сколько стоит 1 кг груш? Сколько денег было у покупателя?

Решение. Так как после покупки 3 кг груш осталось 5 тысяч рублей, а на 5 кг груш не хватило бы 5 тысяч рублей, то 2 кг груш стоят 10 тысяч рублей. Следовательно, 1 кг груш стоит 5 тысяч рублей, денег же у покупателя было 15 тысяч + 5 тысяч=20 тысяч рублей.

6.1. Восстановите запись:

* *

* *

_____

1 9 7

Решение . Сумма двух чисел меньше 200 на 3. Так как эти числа двузначные и разной четности, то это только 99 и 98. 99+98=197.

6.2. 4 карандаша и 3 тетради стоят 9600 рублей, а 2 карандаша и 2 тетради – 5400 рублей. Сколько стоят 8 карандашей и 7 тетрадей?

Решение. См 3.2. 4 карандаша и 3 тетради стоят 9600 рублей, а 4 карандаша и 4 тетради – 10800 рублей. Следовательно, 8 карандашей и 7 тетрадей стоят 20400 рублей.

6.3. Три сосуда, вместимостью 20 литров, наполнены водой, причем в первом – 11 л, во втором – 7 л, а в третьем – 6 л. Как разлить имеющуюся воду поровну, если разрешается наливать в сосуд только такое количество воды, сколько в нем уже имеется?

Решение. Удобно записать в виде таблицы:

1 сосуд

2 сосуд

3 сосуд

Откуда куда перелито

первоначально

11

7

6

1 переливание

4

14

6

Из 1 во 2

2 переливание

8

14

2

Из 3 в 1

3 переливание

8

12

4

Из 2 в 3

4 переливание

8

8

8

Из 2 в 3

6.4. На скотном дворе гуляли гуси и поросята. Мальчик сосчитал количество голов, их оказалось 30, потом сосчитал, сколько всего ног, их оказалось 84. Можете ли вы узнать, сколько гусей и сколько поросят было на скотном дворе?

Решение. Если бы на скотном дворе гуляли бы одни гуси, то всего было бы 60 ног, «лишние» ноги, а их 24 принадлежат поросятам – по две на каждого. Следовательно, поросят было 12, а гусей – 18.

6.5. Разрезать треугольник на 2 треугольника, четырехугольник, пятиугольник, проведя две прямые линии.

Решение.

7.1. Падая по лестнице с 5- го этажа Алиса насчитала 100 ступенек. Сколько ступенек она насчитала бы, падая со второго этажа? (Падение героини сказки Л.Кэролла «Алиса в стране чудес» обычно оканчивается благополучно…)

Решение. Когда Алиса находится на 5-ом этаже, она находится на «крыше» 4-го этажа, а находясь на 2-ом этаже – «на крыше» первого. Таким образом, падать с пятого этажа в четыре раза «выше», чем со второго. Следовательно, Алиса насчитает 25 ступенек.

7.2. Есть 9 кг крупы и чашечные весы с гирями в 50 г и 200 г. Как в три приема отвесить 2 кг крупы?

Решение. С помощью операции деления пополам (см задачу 2.2.) за два взвешивания отвесим 2 кг 250 г . С помощью гирь 50 г и 200 г уберем «лишние» 250 г.

7.3. В одном озере растет волшебная лилия. Ее размеры увеличиваются за каждый день ровно в 2 раза. Если посадить одну такую лилию в пруд, то через 20 дней она заполнит его полностью. За сколько дней весь пруд закроется, если посадить сразу 4 таких же лилии?

Решение. Если посадить одну лилию в пруд, то 4 лилии будут через 2 дня, а еще через18 дней лилии заполнят его полностью. Следовательно, если сразу посадить 4 таких же лилии, то весь пруд закроется за 18 дней.

7.4. Брат нашел на 36 грибов больше, чем сестра. По дороге домой сестра стала просить брата: «Дай мне несколько грибов, чтобы у меня стало столько же грибов, сколько и у тебя». Сколько грибов должен дать брат сестре?

Решение. Если бы у брата не было этих 36 грибов, то у них было бы поровну, значит, и эти грибы следует разделить пополам, то есть брат должен отдать сестре 18 грибов.

7.5. Миша говорит: «Позавчера мне было 10 лет, а в следующем году мне исполнится 13 лет». Может ли такое быть?

Решение. Такое может быть, если Миша говорит это 1 января, а день рождения у него 31 декабря, тогда в прошлом году – 30 декабря – ему было 10 лет (это было позавчера), 31 декабря ему исполнилось 11 лет. В этом году 31 декабря ему будет только 12 лет, а в следующем уже исполнится 13.

8.1. Найдите сумму: 1+2+3+….+111.

Решение. Пусть S=1+2+3+…+111. Тогда S=111+110+109+….+3+2+1 и 2S=(1+11)+(2+110)+…+(111+1)=112111. Следовательно, S=112111:2=6216.

8.2. Используя цифру 4 четыре раза, скобки, знаки действий, представить все числа от 0 до 10.

Решение. 4+4-4-4=0 (4-4)4+4=4 4+4+4-4=8

4:4+4-4=1 (4+44):4=5 4+4+4:4=9

4:4+4:4=2 4+(4+4):4=6 (44-4):4=10

(4+4+4):4=3 4+4-4:4=7.

8.3. Учитель задал на уроке сложную задачу, в результате количество мальчиков, решивших эту задачу, оказалось равно количеству девочек, ее не решивших. Кого в классе больше – решивших задачу или девочек?

Решение. Решение задачи понятно из таблицы:

Решили или не решили?

мальчики

девочки

да

а

в

нет

а

Количество девочек – а+в, совпадает с количеством, решивших задачу.

8.4. Крестьянин купил корову, козу, овцу и свинью, заплатив 1325 рублей. Коза, свинья и овца вместе стоят 425 рублей, корова, свинья и овца стоят вместе 1225 рублей, а коза и свинья стоят вместе 275 рублей. Найдите цену каждого животного.

Решение. Все животные вместе стоят 1325 рублей, а все, кроме коровы – 425 рублей, следовательно, корова стоит: 1325-425=900 рублей, значит, овца стоит: 425-275=150 рублей. Все без козы стоят 1225 рублей, поэтому коза стоит: 1325-1225=100 рублей, а свинья с козой стоит 275 рублей, тогда одна свинья стоит: 275-100=175 рублей.

8.5. Два летчика вылетели одновременно из одного города в два различных пункта. Кто из них долетит до места своего назначения быстрее, если первому нужно пролететь вдвое большее расстояние, но зато он летит в 2 раза быстрее, чем второй?

Решение. Так как у первого скорость в 2 раза больше, чем у второго, то за одно и то же время он пролетит расстояние в 2 раза больше, чем второй, а ему и надо пролететь в 2 раза больше. Значит, они прилетят одновременно.

9.1. Сумма двух чисел равна 80. Разность их равна 8. Найдите эти числа.

Решение. Если разность равна 8, значит, одно число на 8 больше другого, тогда, если бы оба числа были бы равны меньшему, то их сумма стала бы на 8 меньше, то есть: 80-8=72, то есть меньшее число равно :72:2=36, а большее: 38+8=44.

9.2. Найдите сумму: 1+2+3+…+181-96-97-…-1.

Решение. S=1+2+3+…+181-96-97-…-1=97+98+…+181. Далее S=181+180+…+97. Откуда 2S=(97+181)+(98+180)+…+(181+97)=27884=23352.

9.3. Во сколько раз километр больше миллиметра?

Решение. Сантиметр в 10 раз миллиметра, метр в 100 раз больше сантиметра, километр больше метра в 1000 раз. Итого километр больше миллиметра в 1000000 раз.

9.4. В клетке находятся фазаны и кролики. Известно, что в клетке всего содержится 35 голов и 94 ноги. Сколько в клетке фазанов и сколько кроликов?

Решение. У фазанов по две ноги, у кроликов – по 4. Всего животных 35, если бы все были фазанами, то всего ног было бы 70, но ног на 24 больше, это потому, что мы не посчитали еще по 2 «лишних» ноги, которые принадлежат кроликам. Поэтому кроликов: 24:2=12, тогда фазанов: 35-12=23.

9.5. Разделить на четыре равные фигуры.

Решение.

10.1. Ваня разложил на столе камешки на расстоянии 2 см один от другого. Сколько камешков он разложил на протяжении 10 см?

Решение. Так как Ваня разложил на столе камешки на расстоянии 2 см один от другого, следовательно, промежутков – 5. 2 камешка лежат с краю, 4 внутри, итого, 6 камешков.

10.2. На поляне паслись ослы. К ним подошли несколько ребят.

- Сядем по одному на осла,- предложил старший из ребят. Двум мальчикам не хватило ослов.

- Слезайте, тогда сядем по два на осла,- снова предложил старший. Один осел остался без мальчиков. Сколько ослов и сколько мальчиков было на поляне?

Решение. Если мальчики сядут по одному на осла, то двум мальчикам не хватит места. Когда они садятся вдвоем, то один осел – лишний, то есть, мальчик, сидевший на нем раньше, и двое стоявших подсаживаются «вторыми», значит, всего 6 мальчиков, 4 осла.

10.3. На складе имеются гвозди в ящиках по 24, 23, 17 и 16 кг. Можно ли отправить со склада 100 кг гвоздей, не распечатывая ящики?

Решение. Можно. Пример: 4 ящика по 17 кг (итого 68) и 2 ящика по 16 кг (итого 32).

10.4. Как, имея пятилитровую банку и девятилитровое ведро, набрать из реки ровно 3 л воды?

Решение. Ход решения задачи виден из таблицы.

0 шаг

1 шаг

2 шаг

3 шаг

4 шаг

5 шаг

6 шаг

7 шаг

8 шаг

5 л

0

0

5

0

4

4

5

0

5

9 л

0

9

4

4

0

9

8

8

3

10.5. Два Муравья отправились в гости к Стрекозе. Один всю дорогу прополз, а второй – одну половину пути ехал на Гусенице, что было в два раза медленнее, чем ползти, а вторую половину скакал на Кузнечике, что было в 10 раз быстрее. Какой Муравей первым придет в гости, если они вышли одновременно?

Решение. Пока второй Муравей ехал на Гусенице, первый уже добрался до места (второй проехал на Гусенице полпути, а первый в это время полз в два раза быстрее, и, следовательно, прополз весь путь).

11.1. 4 персика, 2 груши и 1 яблоко вместе весят 550 г, а 1 персик, 3 груши и 4 яблока весят вместе 450 г. Сколько весят 1 персик, 1 груша и 1 яблоко вместе?

Решение. 4 перс+2 груши+1 яблоко=550 г

1 перс+3 груши+4 яблока=450 г

-----------------------------------------

5 перс+5 груш+5 яблок=1000 г

Следовательно, 1 перс+ 1 груша+ 1 яблоко=200 г.

11.2. На какую цифру оканчивается произведение всех нечетных чисел от 1 до 51?

Решение. Произведение всех нечетных чисел от 1 до 51 оканчивается на 5, так как нечетные числа при умножении на 5, в произведении дадут число с цифрой 5 на конце.

11.3. Сумма цифр двузначного числа равна 12. Если цифру десятков умножить на 2, а цифру единиц на 3 и сложить оба произведения, то в сумме получится 29. Найти это число.

Решение. Если бы цифру единиц и цифру десятков умножили только на 2, то получилось бы 24, а на самом деле получилось 29, так как цифру единиц умножили на 3, то есть взяли на одно количество единиц больше, следовательно, количество единиц: 29-24=5, а количество десятков: 12-5=7. Ответ. 75.

11.4. Расстояние между двумя велосипедами, едущими по шоссе равно 35 км, их скорости равны 12 км/ч и 15км/ч. Какое расстояние может быть между ними через 2 часа?

Решение. Задача аналогична 1.4. и 4.4. Если велосипедисты едут в разные стороны, то 89 км, если навстречу друг-другу, то 19 км, первый позади – тогда 41 км, второй позади – 29 км.

11.5. Разделить фигуру на 8 равных частей:

Решение.

12.1. Как, используя цифру 5 пять раз, представить все числа от 0 до 10 включительно?

Решение.

(5-5)(5+5+5)=0 5-5:5+5-5=4 5+(5+5+5):5=8

5:5+(5-5)5=1 5+(5-5)(5+5)=5 (55-5):5+5=9

(5+5):5+5-5=2 5+5:5+5-5=6 5+5+(5-5)5=10

(55-5-5):5=3 5+5:5+5:5=7.

12.2. Костя разложил на столе 5 камешков на расстоянии 3 см один от другого. Какое расстояние от первого до последнего?

Решение. Из пяти камешков 2 лежат по краям, 3 между ними, значит, между камешками 4 промежутка, каждый по 3 см, поэтому расстояние от первого до последнего будет равно 12 см.

12.3. В трех ящиках находятся мука, крупа, сахар. На первом написано «крупа», на втором – «мука», на третьем – «крупа или сахар». Причем содержимое каждого ящика не соответствует надписи. В каком ящике что находится?

Решение. 1) В третьем – не крупа и не сахар, следовательно, - мука. 2) в первом не крупа, судя по надписи, но и не мука, так как мука в третьем, следовательно, в первом ящике – сахар. 3) Тогда во втором, единственное, что может быть, - крупа.

12.4. Три курицы за три дня снесли три яйца. Сколько яиц снесут двенадцать кур за двенадцать дней?

Решение. Три курицы снесли за три дня три яйца, следовательно, три курицы снесут за двенадцать дней в 4 раза больше яиц, а двенадцать кур за двенадцать дней еще в 4 раза больше, то есть 48 яиц.

12.5. Поезд проходит мост длиной 450 м за 45 секунд, а мимо светофора за 15 с. Найдите длину поезда и его скорость.

Решение. За 45 с поезд проходит расстояние, равное длине моста и длине поезда вместе, а за 15 с расстояние, равное длине поезда. Следовательно, длину моста 450 м он проходит за 30 с, тогда его скорость 450:30=15 м/с. Теперь можно найти длину поезда, ведь именно свою длину поезд протягивает мимо светофора за 15 с со скоростью 15 м/с, его длина 225 м.

13.1. В магазин привезли 141 л масла в бидонах по 10 л и по 13 л. Сколько было всего бидонов?

Решение. Пусть в тринадцатилитровых бидонах а литров молока, а в десятилитровых b литров. Тогда число b делится на 10, то есть оканчивается цифрой 0, и, следовательно, число а оканчивается цифрой 1, это, может быть, число тринадцатилитровых бидонов оканчиваться цифрой 7, но 1317=221>141, тогда как 137=91<141. Таким образом, требуется 7 тринадцатилитровых и 5 десятилитровых бидонов, так как 141-91=50.

13.2. Найдите сумму: 1+3+5+…+97+99.

Решение. Пусть S=1+3+5+…+97+99; S=99+97+…+3+1, следовательно, 2S=(1+99)+(3+97)+…+(99+1)=10050, тогда S=5000:2=2500.

13.3. 6 карасей тяжелее 10 лещей, но легче 5 окуней; 10 карасей тяжелее 8 окуней. Что тяжелее, 2 карася или 3 леща?

Решение. Так как 6 карасей тяжелее 10 лещей, то понятно, что тем более 6 карасей тяжелее 9 лещей. Следовательно, 2 карася тяжелее 3 лещей. Получается, что два из трех условий лишние.

13.4. Сумма двух последовательных чисел равна 75. Найти их.

Решение. Если бы каждое из двух последовательных чисел было бы равно меньшему из них, то сумма их была бы на 1 меньше, то есть 74. Следовательно, меньшее из трех чисел равно 74:2=37. Второе из них равно 38.

13.5. Разделить фигуру на 6 равных частей.

Решение.

14.1. Два всадника ехали навстречу друг другу: один делал по 12 км в один час, а другой на 3 км больше. На каком расстоянии друг от друга они будут через 2 часа после встречи?

Решение. После встречи они поедут в разные стороны из одного и того же пункта. За 2 часа один проедет 24 км, а другой 30 км, следовательно, расстояние между ними будет: 24+30=54 км.

14.2. В пакете содержится 3 кг 600 г крупы. Как разделить крупу на два веса по 800 г и вес в 2 кг, сделав 3 взвешивания на чашечных весах, имея одну гирю в 200 г.?

Решение. Представим в виде таблицы.

1 куча

2 куча

3 куча

операция

вначале

3,6 кг

1 шаг

1,8 кг

1,8 кг

пополам

2 шаг

1,6 кг

2 кг

Из 1 в 2 0,2 кг

3 шаг

800г

2000 г

800 г

пополам

14.3. Если учащихся посадить по одному человеку на стул, то семерым не хватит места. Если на каждый стул посадить по два человека, то останется свободным 5 стульев. Сколько было учащихся и сколько стульев?

Решение. См задачу 10.2. Когда все сели по двое, то 5 стульев освободилось ( а люди, на них сидевшие, сели «вторыми»),7 человек, которым первоначально не хватало места, тоже сели «вторыми», следовательно, всего было 12 пар, то есть 24 учащихся. Стульев было на 7 меньше, то есть 17.

14.4. Дочери 10 лет, а матери 36 лет. Через сколько лет мать будет вдвое старше дочери?

Решение. Мать старше дочери на 26 лет, следовательно, когда мать будет вдвое старше дочери, ей будет 52 года, а дочери 26 лет. Это произойдет через 16 лет.

14.5. Разделите на пять равных частей.

Решение.

15.1. В магазин привезли 223 литра масла в бидонах по 10 литров и 17 литров. Сколько было бидонов?

Решение. См задачу 13.1. 9 семнадцатилитровых и 7 десятилитровых.

15.2. В одном ряду 8 камешков на расстоянии 2 см один от другого. В другом ряду 15 камешков на расстоянии 1 см один от другого. Какой ряд длиннее?

Решение. См задачи 10.1. и 12.2. ответ – одинаковы.

15.3. Из восьмилитрового ведра, наполненного молоком, надо отлить 1 литр с помощью только трехлитровой банки и пятилитрового бидона.

Решение. Ход решения виден из таблицы.

8 л

5 л

3 л

вначале

8

0

0

1 шаг

5

0

3

2 шаг

5

3

0

3 шаг

2

3

3

4 шаг

2

5

1

15.4. Сумма двух последовательных четных чисел равна 150. Найти их.

Решение. См 13.4. Если бы каждое из двух последовательных четных чисел было бы равно меньшему из них, то сумма их была бы на 2 меньше, то есть 148. Следовательно, меньшее из двух чисел равно 148:2=74. Второе – 76.

15.5. Из двух пунктов, расстояние между которыми 100 км, выехали одновременно навстречу друг другу два всадника, скорость одного – 15 км/ч, а другого – 10 км/ч. Вместе с первым выбежала собака со скоростью 20 км/ч, встретив второго всадника, она повернула назад и побежала к первому, добежав до него, она снова повернула и так бегала между ними до тех пор, пока они не встретились. Сколько километров пробежала собака?

Решение. Каждый час всадники сближались на 25 км, следовательно, они встретились через 4 часа. Собака за это время пробежала 80 км (так как ее скорость 20 км/ч).

16.1. Поезд проходит мимо светофора за 5 секунд, а мимо платформы, длиной 150 метров за 15 секунд. Найдите длину поезда и его скорость.

Решение. См 12.5. Ответ. 75 метров – длина поезда. Скорость – 15 м/с.

16.2. Сумма уменьшаемого, вычитаемого и разности равна 26. Найти уменьшаемое.

Решение. Вычитаемое и разность в сумме дают уменьшаемое, следовательно, уменьшаемое равно 13.

16.3. Сумма двух последовательных чисел равна 348. Найти эти числа.

Решение. См 13.4. и 15.4. Если бы каждое из трех последовательных чисел было бы равно меньшему из них, то сумма их была бы на 3 меньше, то есть 345. Следовательно, меньшее из трех чисел равно 345:3=109. Два других равны соответственно 110 и 111.

16.4. На прямой через равные промежутки поставили 10 точек, они заняли отрезок длиной а . На другой прямой через такие же промежутки поставили 100 точек, они заняли отрезок длиной b. Во сколько раз а больше, чем b?

Решение. См задачи 10.1. и 12.2. Между десятью точками девять промежутков, а между 100 точками – 99 промежутков, и так как все промежутки равны, то b больше а в 99:9=11 раз.

16.5. Из 81 монеты одна фальшивая, она тяжелее остальных. Как за 4 взвешивания на чашечных весах без гирь определить, какая именно?

Решение. См 1.1. ; 3.3. 5.2. Можно говорить о понятии «цикл». Что общего у чисел 3; 9; 27; 81; …?

17.1. Когда отцу было 27 лет, то сыну было 3 года, а сейчас сыну в 3 раза меньше лет, чем отцу. Сколько лет сейчас каждому из них?

Решение. Разница в возрасте между отцом и сыном неизменна и равна 24 годам. Так как сыну в 3 раза меньше лет, чем отцу, то 24 года – это удвоенный возраст сына. Следовательно, сыну сейчас 12 лет, а отцу 36 лет.

17.2. Как набрать из озера 8 литров воды, имея десятилитровое и пятилитровое ведро?

Решение. Ход решения виден из таблицы.

0 шаг

1 шаг

2 шаг

3 шаг

4 шаг

5 шаг

6 шаг

5 л

0

0

5

0

4

4

5

9 л

0

9

4

4

0

9

8

17.3. Установите закономерность в числовой последовательности и запишите еще 3 числа: 253; 238; 223; 208; 193; …

Решение. Каждое число из последовательности больше следующего за ним на 15. Первое число 253. Продолжим последовательность: 178; 163; 148.

17.4. Встретились три друга: Белов, Чернов и Рыжов. Один из них блондин, другой – брюнет, третий – рыжий. Брюнет сказал Белову: «Ни у одного из нас цвет волос не соответствует фамилии». Какой цвет волос у каждого из них?

Решение. 1) Белов не блондин, так как у него цвет волос не может соответствовать фамилии, но так же не брюнет, так как сам разговаривал с брюнетом, следовательно, он рыжий. 2) Значит, Чернов – блондин. 3) У Рыжова – черные волосы.

17.5. Разделите фигуру на две равные части.

Решение.

18.1. Сумма четырех последовательных четных чисел равна 196. Найти эти числа.

Решение. 1) Пусть первое из четных чисел х, тогда второе больше него на 2, третье на 4, четвертое на 6. Если бы все четыре числа были бы равны меньшему из них, то сумма четырех четных чисел была бы меньше настоящей на 12 и была бы равна 184. 2) Следовательно, меньшее число будет равно 184:4=46, а остальные будут равны 48, 50, 52.

18.2. Брату и сестре пять лет назад было вместе 8 лет. Сколько лет им будет вместе через 5 лет?

Решение. См 17.1. За десять лет к возрасту каждого прибавится по 10 лет, а к сумме их возрастов прибавится 20 лет, следовательно, еще через 5 лет вместе им будет 28 лет.

18.3. Если к половине моих денег прибавить 80 долларов, то получится 3/4 моих денег. Сколько у меня денег?

Решение. 80 долларов составляет одну четвертую всех денег. Поэтому всего было 320 долларов.

18.4. В ящике лежат 100 черных и 100 белых шаров. Какое наименьшее число шаров надо вытащить, не заглядывая в ящик, чтобы среди них наверняка было 2 шара одного цвета?

Решение. Из трех шаров обязательно найдется два шара одинакового цвета (так как цветов всего два). Следовательно, достаточно трех шаров.

18.5. Разделите на 4 равные части.

Решение.

19.1. Является ли число простым: 12345³⁵+7¹¹?

Решение. Степень любого нечетного числа есть число нечетное, а сумма двух нечетных – число четное, следовательно, данное число четное и простым не является.

19.2. Что быстрее, проехать весь путь на велосипеде или, половину пути проехать на мотоцикле, а вторую половину пройти пешком, если скорость мотоцикла в 2 раза больше скорости велосипеда, а скорость велосипеда, в свою очередь в два раза больше скорости пешехода?

Решение. См 10.5. Мотоцикл половину пути и велосипедист четверть пути проезжают за одно и то же время. Велосипедист половину пути и пешеход четверть пути преодолевают за одно и то же время. Следовательно, три четверти пути будут пройдены первым и вторым способом одновременно. После чего останется пройти одну четверть пути, которую на велосипеде можно проехать быстрее.

19.3. Если к числу учеников класса прибавить еще столько же, да еще половину числа учеников того же класса, то получится 100. Сколько учеников в классе?

Решение. 100 человек составляют два целых класса и еще пол – класса, то есть 5 раз по пол – класса. Следовательно, пол – класса – это 20 человек, тогда в целом классе 40 человек.

19.4. На некотором острове коренными жителями являются только Лжецы, которые всегда лгут и Рыцари, которые всегда говорят правду. Один человек говорит, что он лжец. Может ли он быть коренным жителем острова?

Решение. Сказавший: «Я – лжец», не может быть Лжецом, так как они никогда не говорят правду. Не может быть и Рыцарем, потому что Рыцари не лгут. Следовательно, он не коренной житель.

19.5. Используя цифру 3 пять раз, знаки действий и скобки, представить все числа от 0 до 11 включительно.

Решение.

(3-3)333=0 3:3+3-3+3=4 3+3+(3+3):3=8

3:3+(3-3)3=1 3:3+3:3+3=5 33-(3-3):3=9

(3+3):3+3-3=2 3+3+(3-3)3=6 3:3+3+3+3=10

3+(3-3)33=3 33-(3+3):3=7 33:3+3-3=11.

20.1. Сейчас 6 часов вечера. Какая часть суток прошла? Какая осталась? Какую часть составляет оставшаяся часть суток от прошедшей?

Решение. С начала суток прошло 18 часов, что составляет 3/4 суток, до конца суток осталась 1/4 часть, а это в 3 раза меньше, чем прошло, следовательно, оставшаяся часть составляет 1/3 от прошедшей.

20.2. Установите закономерность в числовой последовательности и запишите еще 3 числа: 15; 29; 56; 109; 214;…

Решение. Заметим, что: 152-1=29; 562-3=109; 292-2=56 и так далее, следовательно, следующие три числа будут равны: 423; 840; 1673.

20.3. В ящике лежат 100 белых, 100 красных, 100 синих и 100 черных шаров. Какое наименьшее число шаров надо вытащить, не заглядывая в ящик, чтобы среди них было не меньше, чем 3 шара одного цвета?

Решение. Если мы вытащим наугад 8 шаров, то шаров одного цвета может не оказаться (2 чер+2 син+2 кр+2 бел). Значит, 9 шаров.

20.4. Какую цифру надо поставить вместо , чтобы оно делилось на а) 6; б) 9.

Решение. а) Что бы мы не поставили вместо А, на 6 делится не будет, так как оно не делится на 2. б) Чтобы число делилось на 9, надо, чтобы сумма его цифр делилась на 9, а значит, А+3+7 должно делится на 9, а 10+А делится на 9, если А=8.

20.5. Разделите на 4 равные части.

Решение.

21.1. Найдите наибольшее число, которое при делении на 31 в частном дает 30.

Решение. Если число делится нацело на 31 и в частном имеет 30,то оно равно 3130=930. Но в задаче сказано, что число должно делиться нацело, тогда оно при делении на 31 может иметь остатки, а наибольший возможный остаток равен 30, следовательно, искомое число равно 930+30=960.

21.2. Пятилитровый бидон и трехлитровая банка наполнены молоком. Как разделить молоко пополам, имея пустое восьмилитровое ведро?

Решение. См 15.3. После того, как удастся получить 1 л, действуем так:

8 л

5 л

3 л

4 шаг

2

5

1

5 шаг

7

0

1

6 шаг

7

1

0

7 шаг

4

1

3

8 шаг

4

4

0

21.3. Кирпич весит 2 кг и еще полкирпича. Сколько весит один кирпич?

Решение. Из условия следует, что полкирпича весит 2 кг. Следовательно, кирпич весит 4 кг.

21.4. Перед нами три островитянина А, В и С. О каждом из которых известно, что он либо рыцарь, либо лжец. А говорит: «Мы все лжецы». В говорит: «Ровно один из нас лжец».Можно ли определить, кто такой В – рыцарь или лжец? Можно ли определить, кто такой С?

Решение. См 19.4. А – лжец, так как фраза «Мы все лжецы», не может быть правдой; следовательно, либо В – рыцарь, либо С – рыцарь (либо оба). Если В – рыцарь, тогда лжец один А, а С – тоже рыцарь. Если В – лжец, тогда лжецов двое (так как все трое не могут быть ни лжецами, ни рыцарями), следовательно, С может быть только рыцарем, независимо от того, кто В. Про В невозможно определить, рыцарь он или лжец.

21.5. Расшифруйте пример, если одинаковые цифры заменены одинаковыми буквами.

О Д И Н

+ О Д И Н

------------

М Н О Г О

Решение. Ответ. 6823+6823=13646.

22.1. Замените в числе цифрами так, может быть и различными, чтобы оно делилось на 45.

Решение. Чтобы число делилось на 45, нужно, чтобы оно делилось на 5 и на 9. Число делится на 5, если его последняя цифра 0 или 5. Число делится на 9, если его сумма цифр делится на 9. Рассмотрим два случая: 1) если последняя цифра 5, то сумма цифр 12+х, где х=6, получается 6435. 2) если последняя цифра 0, то сумма цифр 7+х, где х=2, тогда число будет равно 2430.

22.2. Расстояние между автомобилями в полдень 20 км, скорость одного 40 км/ч, а другого – 60 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 1 час?

Решение. См 1.4. и 4.4. 1) Если автомобили едут в разные стороны, то через час расстояние между ними будет 120 км. 2) Едут навстречу друг – другу – 80 км. 3) едут в одну сторону и впереди тот, у которого скорость больше, то расстояние между ними будет 40 км. 4) едут в одну сторону и впереди тот, у кого скорость меньше, то расстояние между ними будет равно 0 км.

22.3. Сколько сейчас времени, если до конца суток осталось 3/5 того, что уже прошло от начала суток?

Решение. Если до конца суток осталось 3/5 того, что уже прошло от начала суток, то от начала суток уже прошло 5/5. Следовательно, сутки составляют 8/5 того, что прошло от начала суток, значит, 1/5 составит 24:8=3 часа и с начала суток прошло 53=15 часов.

22.4. В ящике лежат 100 черных и 100 белых шаров. Какое наименьшее число шаров надо вытащить, не заглядывая в ящик, чтобы среди них наверняка было 2 шара белого цвета?

Решение. См 18.4. и 20.3. Может случиться так, что вначале мы вытащим 100 черных шаров, и лишь потом – 2 белых, ответ – 102 шара.

22.5. Разрежьте фигуру на 4 равные части и сложите из этих частей квадрат с квадратным отверстием посередине.

Решение.

23.1. Найдите наименьшее трехкратное число, кратное 3, так, чтобы первая его цифра была 7.

Решение. 700 – самое маленькое трехзначное число с первой цифрой 7; оно не делится на 3; заметим, что из трех подряд идущих чисел одно делится на 3. 701 на 3 не делится, значит, 702.

23.2. Произведение четырех простых последовательных чисел оканчивается нулем. Что это за числа? Найти их произведение.

Решение. Так как произведение оканчивается на 0, то среди сомножителей должно быть четное число. Единственное простое четное число это 2. Следовательно, четыре простых последовательных числа – это 2, 3, 5, 7. Их произведение равно 210.

23.3. Когда трехзначное число 5АА разделили на однозначное число, то в остатке получили 8. Найдите делимое, делитель и частное.

Решение. Так как остаток равен 8 и делили на однозначное число, то делитель – 9 (так как делитель больше 8 и меньше 10). Если число при делении на 9 дает остаток 8, следовательно, его сумма цифр 5+2А при делении на 9 дает остаток 8. Отсюда следует, что 2А-3 делится на 9. Перебором убеждаемся, что А=6, и, следовательно, искомое число 566.

23.4. В бутылке, стакане, кувшине и банке находятся молоко, лимонад, квас и вода. Известно, что вода и молоко не в бутылке, сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом, в банке – не лимонад и не вода. Стакан стоит около банки и сосуда с молоком. Куда налита каждая жидкость?

Решение. Пронумеруем сведения:

1) Вода и молоко не в бутылке;2) Сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом, следовательно, лимонад не в кувшине и квас не в кувшине;3) В банке – не лимонад и не вода; 4) стакан стоит около банки и сосуда с молоком, следовательно, молоко не в стакане и не в банке. Результат запишем в таблицу (курсив).

бутылка

стакан

кувшин

банка

молоко

Нет (из 1)

Нет (из 4)

Да (из 5)

Нет (из 4)

лимонад

Да (из 6)

Нет (из 6)

Нет (из 2)

Нет (из 3)

квас

Нет (из 6)

Нет (из 2)

Да (из 6)

вода

Нет (из 1)

Да (из 6)

Да (из 5)

Нет (из 3)

5) Из таблицы видно, что молоко может быть только в кувшине, и, следовательно, в кувшине не вода. Продолжим заполнение таблицы (обычный шрифт). 6) Вода не в кувшине, значит, вода может быть только в стакане, следовательно, в стакане не лимонад и не квас, поэтому лимонад – в бутылке, а квас – в банке.

24.1. Числа 100 и 90 разделили на одно и то же число. В первом случае получили в остатке 4, а в другом – 18. На какое число делили?

Решение. Пусть х – искомое число, тогда: 1) при делении 100 на х в остатке получили 4, значит, 96 делится на х без остатка. 2) При делении 90 на х в остатке получили 18, поэтому 72 делится на х без остатка. 3) Делитель должен быть больше остатка, следовательно, делитель больше 18. 4) Числа 96 и 72 делятся на х, поэтому их разность 24 тоже делится на х, причем х>18. Это может быть только, если х=24.

24.2. Является ли число 1996¹⁹⁹⁴+1994¹⁹⁹⁴ – простым?

Решение. Не является, так как делится на 2.

24.3. Когда у пастуха спросили, сколько у него овец, он ответил, что 60 овец пьют воду, а остальные 0,6 всех овец пасутся. Сколько же всего овец?

Решение. Если 0,6 от числа овец пасутся, то остальные 0,4 пьют воду, значит, 0,4 от общего числа – 60 овец. Тогда 0,1 составляет 15 овец, следовательно, всего было 150 овец.

24.4. В трех коробках лежат шары: в одной – 2 белых, во второй – 2 черных, в третьей – 1 белый и 1 черный. На коробках написано: ББ, ЧЧ, БЧ, но содержимое каждой коробки не соответствует надписи. Как, вытащив только один шар, определить, в какой урне что лежит?

Решение. См 17.4. В коробке с надписью БЧ могут быть только шары одного цвета, так как иначе надпись соответствовала бы содержанию. Из этой коробки и надо вынуть один шар. Тогда могут быть два случая: 1) вытащили черный шар, тогда в коробке БЧ два черных шара, тогда в коробке ББ белый и черный шары, а в коробке ЧЧ два белых шара. 2) Вытащили белый шар, тогда в коробке БЧ два белых шара, тогда в ЧЧ шары разного цвета, и в ББ – два черных.

24.5. Расшифруйте пример:

П О Д А Й

- В О Д Ы

--------------

П А Ш А

Решение. 10652-9067=1585.

25.1. Напишите наибольшее пятизначное число, кратное 9, так, чтобы его первая цифра была 3, а все остальные цифры были бы различны.

Решение. Наибольшее пятизначное число с первой цифрой 3 и остальными различными – это 39876; оно не делится на 9, но делится на 3, так как сумма цифр этого числа равна 33. Из 9 подряд идущих чисел одно обязательно делится на 9. Если из числа 39876 вычесть 6, то получится 39870 – это искомое число, так как 39873 на 9 не делится.

25.2. На одной чаше весов лежит кусок мыла, а на другой ¾ такого же куска и еще ¾ кг. Сколько весит весь кусок?

Решение. Одна четвертая часть куска весит ¾ кг. Следовательно, кусок мыла весит 12/4 кг, то есть 3 кг.

25.3. Что быстрее, проехать весь путь на велосипеде или 2/3 – на мотоцикле, что в 2 раза быстрее, чем на велосипеде, а 1/3 пешком, что в 2 раза медленнее?

Решение. См 19.2. Пока едешь 2/3 пути на мотоцикле, на велосипеде проедешь в два раза меньше, то есть 1/3 пути. Поэтому велосипедисту останется путь в два раза больше, но так как и скорость его теперь будет в два раза больше, чем у пешехода, то они прибудут одновременно.

25.4. Перед нами два жителя некоторого острова, каждый из них либо Рыцарь, либо Лжец. А высказывает утверждение: «Я – лжец», а В: «Я – не лжец». Кто из островитян Рыцарь, кто – лжец?

Решение. См 19.4. и 21.4. А не может быть Рыцарем, так как в этом случае он не может сказать про себя, что лжец. Не может он быть и Лжецом, так как Лжец всегда лжет. Следовательно, А – не коренной житель острова и, поэтому мы не знаем, сказал ли он правду или ложь, получается, что про В мы ничего определенного сказать не можем.

25.5. Используя цифру 7 четыре раза, знаки действий и скобки, представьте все числа от 0 до 10.

Решение.

77-77=0 77:7-7=4 (7+7):7=8

7:7+7-7=1 7-(7+7):7=5 7+(7+7):7=9

7:7+7:7=2 (77-7):7=6 (77-7):7=10

(7+7+7):7=3 7+(7-7)7=7.

26.1. Замените цифрами так, чтобы число делилось без остатка на 45.

Решение. Аналогично 22.1. 72630 и 72135.

26.2. Плоскость окрашена в два цвета. Докажите, что найдутся две точки на расстоянии 1 метр друг от друга, окрашенные одинаково.

Решение. Рассмотрим треугольник с равными сторонами 1 метр. Из трех его вершин две окрашены одинаково. И расстояние между ними как раз 1 метр.

26.3. Кошка весит 0,5 кг и еще 0,8 всего своего веса. Сколько весит кошка?

Решение. 0,5 кг составляет 0,2 веса кошки. Следовательно, кошка весит 2,5 кг.

26.4. Мальчик каждую букву своего имени заменил порядковым номером этой буквы в русском алфавите. Получилось число 510141. Как звали мальчика?

Решение. ДИМА.

26.5. Разделите на 6 равных частей:

Решение.

27.1. Если из некоторого трехзначного числа вычесть 7, то полученная разность будет делиться на 7, если вычесть 8, то разность будет делиться на 8 , если – 9, то на 9. Найти наименьшее такое число.

Решение. Искомое число будет делиться на 7, 8 и 9. Эти числа взаимно простые, следовательно, искомое число будет делиться на их произведение, то есть на 504, а это число трехзначное.

27.2. Расстояние между двумя городами 320 км. Из этих городов одновременно выходят навстречу друг другу два поезда, причем скорость одного из них 45 км/ч, а другого – 35 км/ч. Вместе с первым поездом вылетела ласточка со скоростью 50 км/ч и полетела навстречу второму поезду, встретив его, она повернула назад и полетела навстречу первому и так далее. Какое расстояние пролетит ласточка до момента встречи поездов?

Решение. См 15.5. Каждый час поезда сближаются на 80 км. Встретятся они через 4 часа. За это время ласточка пролетит 200 км.

27.3. Как разложить 80 тетрадей на две стопки так, чтобы число тетрадей в одной из них составляло 60% числа тетрадей в другой?

Решение. Число тетрадей в одной стопке составляет 60% числа тетрадей в другой, то есть 3/5 . Тогда 50 и 30.

27.4. В сенате заседают 100 сенаторов. Каждый из них либо продажен, либо честен. Нам известны два факта: 1) По крайней мере, один из сенаторов является честным. 2) Из каждой произвольно выбранной пары сенаторов, по крайней мере, один – продажен. Можно ли с помощью этих двух утверждений определить, сколько сенаторов в этом сенате будут честными, а сколько – продажными?

Решение. Двух честных сенаторов быть не может, так как в соответствии 2) в каждой произвольно выбранной паре хотя бы один продажен. Из факта 1) следует, что, по крайней мере, один является честным, следовательно, честных сенаторов ровно 1.

27.5. Из четырех пятерок, знаков действий и скобок сделать 26, 30, 50, 55, 120,130, 625.

Решение.

28.1. К числу 13 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы получилось число, кратное 36.

Решение. См 22.1. и 26.1. Используя признак делимости на 4, заключаем, что последняя цифра либо 2, либо 6. Ответ. 3132 и 8136.

28.2. Поезд длиной 18 м проезжает мимо светофора за 9 с. Сколько времени ему понадобится, чтобы проехать мост длиной 36 м?

Решение. См 12.5. Ответ. 27 с.

28.3. На вопрос, сколько у него учеников, Пифагор ответил, что половина учеников изучает математику, четверть – природу, восьмая часть проводит время в молчаливом размышлении, остальную часть составляют три девы. Сколько было у Пифагора учеников?

Решение. Если к половине всех учеников (а это 4/8) прибавим четверть (2/8), затем прибавим 1/8, прибывающих в «молчаливом размышлении», то получим 7/8, значит, три девы составляют 1/8 часть. Следовательно, учеников 24.

28.4. Барон Мюнхгаузен утверждал, что ему удалось найти такое натуральное число, произведение всех цифр которого равно 6552. Докажите, что он, как всегда, сказал неправду.

Решение. Чтобы проверить утверждение Мюнхгаузена, разложим 6552 на простые множители. Получим: 6552=. Так как 13 – простое число, его нельзя представить в виде произведения однозначных множителей, и само оно не цифра, значит, Мюнхгаузен врал.

28.5. Разделите на две равные части так, чтобы из них можно было составить квадрат.

Решение.

29.1. Известно, что произведение двух взаимно простых чисел равно 864. Найти эти числа.

Решение. Разложим число на простые множители: 864=. Так как множители должны быть взаимно простыми, то все двойки должны быть в одном множителе, а все тройки – в другом. Ответ. 32.

29.2. Делится ли число 10²⁰⁰⁶+8 на 9? Ответ обоснуйте.

Решение. Заметим, что 10²⁰⁰⁶+8=100..008 (всего 2006 нулей). Сумма цифр этого числа делится на 9, следовательно, и само число делится на 9.

29.3. Товар стоил 1000 рублей. Продавец поднял цену на 10%, а через месяц снизил цену на 10%. Сколько стал стоить товар после этого снижения?

Решение. После подорожания товар стал стоить 1100 рублей. При снижении цены 1100 рублей – 100%, 110 рублей – 10% стоимости товара, следовательно, товар стал стоить 1100-110=990 рублей.

29.4. Три подруги вышли в белом, зеленом и синем платьях. Их туфли были также белого, зеленого и синего цветов. Известно, что только у Ани цвет платья и туфель совпадали. Ни платье, ни туфли Вали не были белыми. Наташа была в зеленых туфлях. Определите цвет платья и туфель каждой из подруг.

Решение.1) Так как, у Наташи туфли были зеленого цвета (1), а у Вали не белого (2), то у Ани туфли белые (3), а у Вали – синие (4).2) Так как у Ани цвета платья и туфель совпадали, то у нее платье белое (5), а у Вали платье не синее (так как у нее цвета платья и туфель не совпадали) и не белое (как у Ани), следовательно, оно зеленое (6). У Наташи платье синее (7).

туфли

платье

цвет

белый

зеленый

синий

белый

зеленый

синий

Аня

Да (3)

Да (5)

Валя

Нет (2)

Да (4)

Да (6)

Наташа

Да (1)

Да (7)

29.5. Расшифруйте пример:

Д В А

Д В А

-----------

О Л Л О

+ Ч О Л

------------------

Ч И С Л О

Решение. 209209=43681.

30.1. Сумма квадратов некоторых двух простых чисел оканчивается цифрой 3. Найдите все такие простые числа.

Решение. Так как сумма квадратов двух простых чисел оканчивается на 3, то одно из простых чисел четное, то есть 2. Последняя цифра второго простого числа 9, так как только 9+4 оканчивается на 3. Если квадрат простого числа оканчивается на 9, то само простое число оканчивается на 7 или на 9. Таких чисел много:3, 7, 13, 17, 23, 37,… Найти все такие числа мы не можем.

30.2. Вода при замерзании увеличивается на одну десятую объема. На какую часть своего объема уменьшается лед при превращении в воду?

Решение. После замерзания объем воды увеличивается на одну десятую и станет равен одиннадцать десятых, что означает, что одна десятая объема воды соответствует одной одиннадцатой объема льда. Следовательно, после таяния объем льда уменьшается на одну одиннадцатую.

30.3. На улице, став в кружок, беседуют четыре девочки: Аня, Валя, Галя и Надя. Девочка в зеленом платье, не Аня и не Валя, стоит между девочкой в голубом и Надей. Девочка в белом платье стоит между девочкой в розовом платье и Валей. Какое платье носит каждая девочка, и в каком порядке они стоят?

Решение. 1) Девочка в зеленом платье – не Аня и не Валя (1). 2) Девочка в зеленом платье – не Надя (так как она стоит между девочкой в голубом и Надей). Следовательно, в зеленом платье – Галя. 3) Валя не в розовом платье и не в белом, следовательно, она в голубом платье. 4) Понятно, что розовое платье может быть только у Нади, а белое – у Ани.

Цвет платья

зеленое

голубое

розовое

белое

Аня

Нет (1)

Валя

Нет (1)

Да (2)

Нет (3)

Нет (3)

Галя

Да (2)

Надя

Нет (2)

30.4. При делении на 2 число дает в остатке 1, а при делении на 3 – остаток 2. Какой остаток дает число при делении на 6?

Решение. Пусть х – исходное число, тогда х+1 – четное и делится на 3 (так как х при делении на 3 имеет остаток 2), следовательно, х+1 делится на 6, а х при делении на 6 даст остаток 5.