Образовательный проект на тему «Разработка элективного курса по математике для предпрофильной подготовки девятиклассников»

 

 

 

 

 

 

 

 

Образовательный проект

на тему: « Разработка элективного курса

по математике для  предпрофильной подготовки девятиклассников»

 

 

 

 

 

 

Выполнила:                                                                Сименяк  Лариса Ивановна,                                 учитель математики                                                МБОУ «Средняя общеобразовательная                 школа №5» г. Лянтора ,Сургутского района ХМАО -Югра  1 квалификационная категория

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА.

 

1.1ПАСПОРТ ПРОЕКТА.

 

Проект рассчитан на учащихся 9 классов, работа по нему проводится  в течение

 одного полугодия (17 часов; 1 час в неделю).

Образовательная программа курса по выбору «Функции и графики» поможет девятиклассникам сориентироваться в выборе профиля дальнейшего обучения.

В образованных группах (по 15-20 человек) занимаются учащиеся из разных школ.

Экспериментальная работа проходит в три этапа:

1этап –посвящен выбору направления и проблемы исследования, изучению и анализу научно-исследоватеской литературы и  нормативно-правовой документации по предпрофильному и профильному обучению.

1          этап –  создание условий для реализации и  реализация программы элективного курса «Функции и графики».

2          Этап –  анализ результатов эксперимента.

 

 

1.2.АКТУАЛЬНОСТЬ ПРОЕКТА.

 

Основной задачей модернизации российского образования  является соответствие актуальным и перспективным потребностям личности.

В связи с этим меняются и жизненные ориентиры самой личности -

выпускник общеобразовательной школы должен владеть не только суммой знаний и навыков, но и обладать  проектно-ориентированным интеллектом,

 способным к позитивной коммуникации на межличностном, межкультурном и межгосударственном  уровнях, быть  социально-ответственным перед собой, обществом, природной и культурной средой.

Профильное обучение на современном этапе является очередным шагом в развитии российского образования.

Предпрофильная подготовка рассматривается как подготовительная ступень

профильного обучения, его подготовительный этап.

Курсы по выбору – это форма организации предпрофильной подготовки на второй ступени общего образования. Они способствуют решению главной задачи педпрофильной подготовки - самоопределению ученика относительно профиля обучения в старшей школе.

Ученику, выбирающему профиль дальнейшего обучения, должно   быть представлено большое количество элективных курсов.

Поэтому, на данном этапе, сложились противоречия:

-         между содержанием учебной программы и отсутствием большого количества элективных курсов для предпрофильной подготовки;

-         между необходимостью выбора профиля обучения и определенностью выбора;

-         между объективной необходимостью развития математических способностей и программой элективного курса.

Актуальность этого вопроса послужила основанием для определения темы проекта:  « Разработка элективного курса по математике для

предпрофильной подготовки девятиклассников».

Объект исследования  - процесс обучения  математике

по теме «Функции и графики».

Предмет – программа элективного курса для предпрофильной подготовки девятиклассников.

                                                                                                                             

Гипотеза  -  усвоение курса по выбору для девятиклассников будет успешным , если:

·        разработана программа элективного курса;

·        реализованы потребности учащихся по успешному выбору профиля;

·        созданы условия, позволяющие каждому учащемуся сделать правильный выбор.

 

 

 

1.3. ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ ПРОЕКТА

 

Цель проекта:

 

Теоретически обосновать и систематизировать опыт по реализации темы

« Разработка элективного курса по математике для предпрофильной подготовки девятиклассников».

 

Задачи проекта:

 

1.     Изучить психолого-педагогическую литературу  по данной проблеме.

2.     Разработать  программу элективного курса  по  теме  « Функции и графики»

3.     Разработать систему упражнений, заданий и методических рекомендаций к элективному курсу.

 

1.4.Ожидаемые педагогические результаты.

 

В результате изучения курса «Функции и графики» учащиеся должны:

 

1.     уметь находить значения функций, заданных формулой,                                                                              таблицей,  графиком;

2.     проводить исследование функций элементарными средствами;

3.     строить и читать графики функций,  указанных  в программе видов;

овладеть основными приемами преобразования графиков    и применять их при построении графиков.

 

2.Теоретическое обоснование проекта.

 

2.1.Основные подходы, идеи и принципы, лежащие в основе проекта.

 

Дидактические принципы – это основные положения,

определяющие содержание, организационные формы и методы учебного процесса  в соответствии с его общими целями: воспитания и обучения.

В современной дидактике устоялось положение, что принципы обучения исторически конкретны и отражают насущные общественные потребности.

Под влиянием социального прогресса и научных достижений, по мере выявления новых закономерностей обучения, накопления опыта работы учителя, они  видоизменяются, совершенствуются.

Современные принципы обуславливают требования ко всем компонентам  учебного процесса - логике, целям и задачам, формированию содержания, выбору форм и методов, планированию и анализу достигнутых результатов.

Принципы обучения  выступают в органическом единстве, образуя некоторую концепцию дидактического процесса,  которую можно  представить как систему.

Система  дидактических принципов в работе исследователей нового времени позволяют выделить в качестве основополагающих следующие принципы:

 

1. Сознательности и активности;
2. Наглядности;
3. Систематичности и последовательности;
4. Прочности;
5. Научности;
6. Доступности и посильности;
7. Связи теории с практикой.

 

Принцип сознательности и активности – это сознательное понимание учащимися учебного материала, сознательное  отношение к учебным занятиям, формирование подсознательной активности.

Учитель должен:

1)    знать признаки, которые определяют сознательное понимание, отношение и степень познавательной активности;

2)    создавать условия для формирования умственных, мыслительных  операций, способствующих осознанному усвоению материала.

 

Принцип наглядности - организация чувственного познания ученика:

1)    отражение окружающей действительности в ощущениях,

представлениях,  конкретно-образном мышлении;

2)    использование наглядных пособий.

 

Учитель должен:

1)    понимать необходимость чувственных образов в процессе изучения учебного материала;                                                                                                                      

2)    определить характер использования чувственных образов на занятиях как

самостоятельную сторону в развитии учащихся или как средство

формирования абстракций;                                                               

3)     решить, с помощью каких наглядных пособий, будут формироваться и воспроизводиться на занятиях чувственные образы;

4)    создать тенденции  познавательной деятельности ученика к представлению реальных предметов, явлений окружающей действительности;

5)    хорошо понимать какую совокупность предметов, явлений  характеризует учебный материал и создавать условия для того, чтобы ученики в обобщенном виде представляли эти предметы.

 

Принцип систематичности и  последовательности   включает четыре основных положения:

1)     видеть первоисточник учебных занятий,  чтобы ученик в системе учебного материала мог представить реальные отношения,  связи предметов,  явлений.

2)     Хорошо понимать систему знаний в науке, которая ложится  в основу материала;  видеть отличие содержания  учебного предмета и последовательности его изучения от соответствующих разделов науки.

3)     Найти систему изучения программного материала,  которая наиболее соответствовала бы возрастным возможностям усвоения знаний.

4)     Система обучения должна быть продуктивной,  что выражается в глубоком понимании программного материала,  в формировании

логических операций и форм мышления,  развитии  внимания,     памяти,

воображения,  чувств, в воспитании  черт характера,   способствующих

преодолению трудностей в учебной деятельности.

 

Принцип прочности - добиться прочных знаний,  умений,    навыков.

Для этого необходимо:

1)    выделение главной мысли в одном материале;

2)    нужно хорошо представлять тот круг теоретических сведений и фактов, которые группируются, объединяются на основе главной мысли;

3)    связь изучаемого материала с  взглядами,   убеждениями,

мировоззрением  значительно повышает прочность знаний;

4)    знание,  умение, навыки  становятся  прочными,  если ученик применяет их в своей жизни.

Принцип научности – процесс познания окружающего мира.

Заключается в достоверности изучаемых фактов и явлений,

в правдивом их освещении,    раскрывает место научных знаний в учебной деятельности.

Учитель должен:

1)приступая к научному обучению,   хорошо понимать какую сторону опыта человечества усваивает ученик и  как правильно организовать переход мысли от явления к сущности,  от внешних свойств к внутренним.                                                                                                   

2)понимать влияние на развитие школьников

научных и других видов знаний;

3)видеть в программном материале возможности более или менее глубокого объяснения действительности;

5)    знать пути систематизации и обобщения представлений ребенка в процессе формирования первоначальных научных понятий.

 

Принцип доступности и посильности – вооружение учащихся доступным и посильным  материалом,  чтобы объем  и содержание учебного материала были по силам учащимся,   соответствовали уровню их умственного развития.

Учитель должен:

1)    связать новое содержание с имеющимися у школьников знаниями;

2)    знать уровень развития познавательных процессов, те виды операций мышления,  которые сформированы и формируются;

3)    формировать познавательные интересы, как   условие,   способствующее доступности  обучения;

4)    понимать значение и   необходимость знаний   в выполнении задач гармоничного,    всестороннего  развития  личности.

 

Принцип связи теории с практикой  - способ восприятия,  осмысления,

  и закрепления знаний. Постановка в обучении    разнообразных практических задач, вовлечение детей в практическую деятельность, связанную с применением знаний, является важным средством прочного и  сознательного их усвоения. Необходимо чтобы изучаемый учебный материал школьниками был тесно связан с личным опытом учащихся,  их наблюдениями.

 

 

2.2.ХАРАКТЕРИСТИКА   ВОЗРАСТНЫХ   ПСИХОЛОГИЧЕСКИХ ОСОБЕННОСТЕЙ  УЧАЩИХСЯ,  НА ОБУЧЕНИЕ  КОТОРЫХ НАПРАВЛЕН  ДАННЫЙ  ПРОЕКТ.

 

Основная школа охватывает  детей в возрасте от подросткового до старшего подросткового. Это время, когда происходит не только физическое созревание человека, но и интенсивное формирование личности, рост интеллектуальных и моральных сил и возможностей, становление характера.

Обучение, играя ведущую роль в психическом развитии, должно на определенном уровне  в  каждый  возрастной период обеспечивать формирование интеллектуальной сферы, способствовать личностному развитию, создавать условия для его эмоционального благополучия.

Изменяются характер и формы  учебной деятельности, усложняется содержание  усвоенных знаний,  они  становятся  более  обобщенными:  учащиеся  переходят  к  изучению  основ  наук, к установлению  единой системы   знаний, получаемых по разным дисциплинам. В этот период меняется ведущий тип деятельности с учебной на общение и,  таким    образом, отмечается снижение мотивации обучения. Усваивая   учебный  материал,  школьники  учатся вскрывать  связи  и  отношения,  овладевать умением формулировать  суждения  и  умозаключения,  делать выводы,  проводить аналогии  и  т.д.

Все это способствует развитию навыков систематизации, классификации,  обобщения  и  конкретизации. В процессе  учебной  деятельности школьники  овладевают  многочисленными  приемами  умственной  деятельности,  учатся  мыслить. Успешность  обучения  зависит  не только  от  уровня  сформированности   умений,  навыков,  способов  мыслительной  деятельности  и  запоминания учебного  материала, но и  от  развития мотивационно-потребностной  сферы   личности  школьника. Первая  потребность,  способы  и  средства  воспитания  которой должны  быть заложены  в учебных программах,  предусмотрена  в  методиках  преподавания  и содержания  обучения – это познавательная потребность. Любознательность  подростков проявляется в широте интересов.  Именно для этого возрастного периода  важно  расширение содержания образования  через  введение  новых  предметов,  активизацию  познавательной  деятельности в школе с помощью факультативов, кружков, элективных  курсов,  развивающих  часов и т.д.

 В содержании образования, в его методах и формах необходимо учитывать потребности подростков в рефлексии, в  самооценке, в повышении мотивации обучения  с помощью диагностики общих и специальных способностей.

 

Следовательно, основными задачами второй ступени образования являются:

1.Формирование прочных,  устойчивых, глубоких знаний основ наук.

2.Повышение мотивации обучения через активизацию познавательной         деятельности, развитие общих и специальных способностей, их диагностику.

3.Формирование коммуникативных навыков и начало формирования рефлексивных навыков.

4.Формирование общих умений и навыков.

    

 

 

                                                                                                                           

3.МЕТОДИЧЕСКИЙ МОДУЛЬ.

 

 

3.1 Формы организации и методы обучения  элективному курсу по математике.

 

Поиск ответа на традиционный дидактический вопрос «Как учить?» - выводит нас на категорию методов обучения. Без методов обучения невозможно достичь поставленной цели, реализовать намеченное содержание, наполнить обучение познавательной деятельностью.

Метод - сердцевина учебного процесса, связующее звено между запроектированной целью и конечным результатом. Его роль в системе

« цели - содержание - методы - формы - средства обучения » является определяющей.

Метод обучения - упорядоченная деятельность учителя и ученика, направленная на достижение цели обучения, это способ сотрудничества учителя и ученика. В современной дидактике известны десятки классификаций методов обучения как сложного многомерного, многокачественного  образования. Но наибольшее распространение последних десятилетий получила классификация академика Ю.К. Бабанского. В ней выделяют три большие группы методов обучения:

 

1.     Методы организации и  осуществления учебно-познавательной деятельности.

2.     Методы стимулирования и мотивации  учебно-познавательной деятельности.

3.     Методы контроля и самоконтроля за эффективностью учебно-познавательной деятельностью.

 

 

Методы организации и осуществления учебно-познавательной деятельностью

 

 

 

Словесные Наглядные практические

Индуктивные и дедуктивные

Репродуктивные И поисковые

Методы самостоятельной работы под руководством

 

 

 

 

 

 

Методы стимулирования и мотивации учебно-познавательной деятельности

 

 

 

Методы стимулирования мотивации

Методы мотивации долга и ответственности в учении

 

 

Методы контроля и самоконтроля за эффективностью учебно-познавательной деятельности

 

 

Методы устного контроля и самоконтроля

Методы письменного контроля и самоконтроля

Методы лабораторно-практического контроля и самоконтроля

 

Большую поддержку и распространение в дидактике получила классификация методов по типу (характеру) познавательной деятельности

(авторы  И.Я. Лернер, М.Н. Скаткин).

Тип познавательной деятельности – это уровень самостоятельности познавательной деятельности, которого достигают учащиеся, работая по предложенной учителем схеме обучения.

Эта характеристика тесно сопряжена с уже известными нам уровнями мыслительной активности учащихся. В данной классификации выделяются следующие методы:

 

Ø Объяснительно-иллюстративный (информационно-рецептивный)

Ø Репродуктивный

Ø Проблемное изложение

Ø Частично-поисковый (эвристический)

Ø Исследовательский

 

Методы Ю.К. Бабанского, И.Я. Лернера и М.Н. Скаткина были взяты за основу данного проекта.

На занятиях использую такие методы как:

Ø     Словесный  (в виде лекции, объяснения, беседы, рассказа)

Ø     Работа с книгой (чтение, изучение, составление плана, конспекта, реферата)

Ø     Наглядный  (схемы, графики, таблицы)

Ø     Практический  (упражнения,  решение заданий на вычисление,

исследование функций и т.д.)

 

Наиболее часто использую лекции, беседу, самостоятельную работу с литературой, решение заданий.

 

Лекция - отличается от других методов более четкой структурой, логикой изложения, обилием информации. В виде лекции провожу занятия, темы которых рассматривают теоретические вопросы, такие как «График квадратной функции», «Дробно-линейная функция» и т.д.

В педагогической литературе описаны условия эффективности лекции и в своей работе придерживаюсь этих условий, т.е. обязательно составляю детальный план лекции, знакомлю с ним учащихся, а также с темой и задачами лекции.

Чтобы не превращать изложение материала к «сухому» пересказу, стараюсь говорить выразительно и эмоционально, приводить яркие образные примеры.

Так как на элективный курс  приходят дети, которые могут в дальнейшем выбрать математический профиль и будущую профессию, связанную с математикой, то определяющим  в лекции считаю взаимодействие учителя и ученика,  рассуждение, соответствующий тон и темп изложения.

Чтобы увлечь учащихся и активизировать  их деятельность, подбираю

 примеры, связанные  с литературой («Гиперболоид инженера Гарина» А. Толстого) и  другими предметами. Все это становится залогом будущего успеха.

 

Беседа – один из наиболее старых методов работы.

 Еще Сократ использовал её и называл побуждающей к деятельности.

Именно с беседы начинается каждое занятие, чтобы с помощью вопросов побудить учащихся к актуализации уже известных знаний и тем самым достичь новых. Беседа помогает ученику идти за мыслью учителя, а иногда опережать её. Она позволяет диагностировать усвоенные знания и умения, создает  условия общения на занятиях, развивает познавательную активность.

 

Самостоятельная работа с книгой – в настоящее время  один из важных методов обучения, т.к. ученик многократно повторяет и обрабатывает учебную информацию в доступном для него темпе и в удобное время.

Эффективность этого метода складывается из умения читать свободно и понимать прочитанное, выделять главное, делать записи,  составлять

схемы, таблицы,  графики,  а также от умения подбирать нужную информацию.

Учащиеся,  занимающиеся на элективных курсах, охотно откликаются

на  любой вид деятельности, учатся работать с литературой, потому что занимаются по желанию,  по интересу. Если  у ученика возникают трудности с усвоением материала или он понимает, что имеет склонности к другим предметам,  у него есть возможность выбора другого элективного курса.

 

Метод проектов – способ проблемы (технология), которая должна завершиться вполне реальным, осязаемым практическим результатом, оформленным  тем или иным образом. Чтобы добиться такого результата, необходимо научить учеников мыслить, находить и решать проблемы, привлекая для этой цели знания из разных областей, умения прогнозировать результаты и возможные последствия разных вариантов решения, умения устанавливать причинно-следственные связи.

Метод проектов ориентирован на самостоятельную деятельность учащихся – индивидуальную, групповую, которую учащиеся выполняют в течение определенного отрезка времени.  Метод проектов предполагает решение

 какой-то проблемы. Решение проблемы предусматривает, с одной стороны, использование совокупности разнообразных методов,  средств обучения, а с другой – предполагает необходимость интегрирования знаний, умений из различных областей науки, техники, технологии.  По окончании изучения элективного курса учащимся предлагается выполнить зачетную работу – проект.

 

Форма обучения – способ существования  учебного процесса, связанная с количеством  обучающихся,  временем и местом. При выборе форм организации необходимо учитывать содержание курса, уровень подготовленности обучаемых, тот факт, что учащиеся занимаются на элективном курсе после основных уроков в школе, потому использую классную форму обучения, обучение в группах и индивидуальный способ обучения.

Индивидуальное обучение ориентируется на ученика. О различиях в познавательной возможности учеников писал Я.А.Коменский,  призывая

учить «всех всему», он, тем не менее,  говорил,  что существуют ученики:

 

Ø С острым умом,  стремящиеся  к знаниям и податливые;

Ø Обладающие острым умом, но медлительные, хотя и послушные;

Ø С острым умом и стремящиеся к знаниям, но не обузданные и упрямые;

Ø Послушные и любознательные,  но медлительные и вялые;

Ø Тупые  и, сверх того,  равнодушные и вялые;

Ø Тупые  с извращенной и злобной натурой.

 

Признавая, что ученики отличаются друг от друга,  Я.А.Коменский  предлагал

Различные варианты обучения в рамках классно-урочной системы.

Свою работу, исходя из этого строю на рекомендациях Ивановой Е.О., кандидата педагогических наук лаборатории дидактики Института теории образования и педагогики Академии образования РФ.

Индивидуальный способ учения рассматривается как комплексная характеристика, включающая значимые для развития личности и усвоения знаний индивидуальные особенности школьников. Этот способ позволяет решать задачу повышения эффективности процесса обучения именно за счет индивидуальных возможностей учащихся. Для этого использую матрицу следующего вида. Учащимся предлагаю заполнить таблицу в баллах от одного до пяти.

 

ФИО ИСУ	А	Б	В	Г	Д	Е	Ж	З	И	К	Л	М	Н	О
Предпочитаемые виды занятий
лекции	4	4	5	3	2	4	4	4	5	5	4	4	3	4
беседы	5	5	5	5	4	4	5	4	3	4	3	3	4	4
Работа с текстом	3	3	4	4	4	5	5	5	3	3	3	4	4	5
семинары	4	4	5	4	3	4	3	4	4	4	4	4	4	4
Практические работы	5	5	5	5	5	4	4	4	4	3	4	3	5	4
Решение задач	4	4	5	5	3	4	4	5	5	5	5	3	4	3
Предпочитаемые виды взаимодействия в группе при усвоении учебного материала
индивидуально	3	3	3	3	3	4	4	4	5	2	4	3	2	2
В парах	4	4	4	3	3	2	3	4	3	4	3	3	3	3
В группах	3	3	2	3	3	3	4	4	4	3	3	4	4	3
Ответы на вопросы учителя	4	4	4	5	3	2	2	2	1	3	4	4	3	4
Совместно с учителем	5	4	4	4	4	4	4	5	5	4	4	4	4	3
Предпочитаемые способы работы с учебным материалом
Рабочие  тетради	4	4	4	4	4	5	4	3	4	4	4	5	5	5
Самостоятельное изучение	3	3	4	5	4	4	4	3	3	4	3	4	3	5
Творческий поиск	5	5	5	5	5	5	4	4	4	4	4	4	4	5
экспериментирование	5	5	5	4	4	5	5	4	4	4	4	4	3	3
Предпочитаемые виды учебной деятельности
обсуждение	3	3	4	4	5	4	4	3	3	4	4	4	4	4
Творческий поиск	5	5	5	5	5	4	5	5	3	5	4	4	4	4
Самостоятельная работа	4	4	4	3	3	2	3	4	3	3	3	3	4	4
воспроизведение	4	3	2	3	3	3	4	3	2	3	3	2	2	3
Использование знаний	3	4	4	4	4	3	3	3	3	2	2	4	4	4
Эвристические беседы	5	5	4	4	4	3	3	2	3	4	5	4	5	5

 

 

 

Использование такой матрицы позволяет спроектировать занятия по наиболее значимым направлениям, сделать занятия наиболее эффективными. Конечно, для каждого ученика в школе трудно составить предложенную матрицу, но в рамках элективного курса получить такой портрет школьников вполне возможно. Поэтому, предлагаю на первом занятии провести такую работу, сделать определенные выводы и строить планы занятий,  исходя из данных каждой группы. Если групп наберется несколько, то можно перегруппировать учащихся, например в одну группу войдут учащиеся способные усваивать информацию в виде лекции, в другую – предпочитающие творческие занятия и т. д.

 

 

4. ПРОГРАММА ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА.

«Функции и графики».

 

1.     Пояснительная записка.

Элективный курс «Функции и графики» рассчитан на одно полугодие

 (17 ч; 1 час в неделю) для учащихся 9-х классов. Данная программа курса по выбору может привлечь внимание учащихся, которым интересна математика и ее приложения и которым захочется глубже и основательнее познакомиться с построением графиков функций, свойствами функций (самостоятельно или под руководством учителя математики). Предлагаемый курс освещает изученные в школе элементарные функции, углубляясь в построение разбор и чтение графиков, функций, изучение интересных свойств кривых. Материал курса не дублирует вузовские программы, позволяет с более  общих позиций взглянуть на школьную математику, показать учащимся, как из материала школьного курса математики возникают общие концепции, обладающие теоретической и прикладной ценностью. Стоит отметить, что навыки в построении графиков функции совершенно необходимы всякому ученику, желающему хорошо подготовиться как к выпускному экзамену за курс основной школы, так и успешно выступить на математических конкурсах и олимпиадах.

 Этот курс заинтересует учителя математики возможностью познакомить своих учеников с исследованием функций без привлечения средств дифференциального исчисления. Материал курса поможет учителю при выборе тематики занятий математического кружка для учащихся 8-9 класса.

Цель элективного курса – формирования представления о функциях.

Задачи курса:

· Формирование представлений учащихся о функциях.

· Расширение представления учащихся о построении и свойствах графиков функций.

· Расширение сферы математических знаний учащихся (фокус параболы, директриса параболы, асимптоты, однополостный и двуполостный гиперболоид)

Основное содержание курса:

 

Глава I . Функции и графики.

 

Введение (1 ч). Предмет, изучению которого посвящен курс. Числовая функция. Способы задания функции. Область определения и область значения функции. Функциональная символика. График функции. Линейная функция.

16

Функция у = ç х ê (2 ч). Функция у = çх êи ее график. Преобразование графиков функций: сдвиг вдоль оси ОУ, ОХ; растяжение по ОХ, ОУ. Построение графиков функций, связанных с модулем.

 

Квадратичная функция (3 ч). Квадратичная функция и ее график. Построение графика квадратичной функции. Четные и нечетные функции. Ограниченные и неограниченные функции. Парабола. Свойства параболы. Фокус параболы. Директриса параболы. Параболоид вращения.  Выделение полного квадрата, наибольшее и наименьшее значение функции.

 

Дробно – линейная функция. (3ч).

Функция у = к / х  и ее график. Дробно – линейная функция  и  ее  график. График функций вида у = b /( сх + d)  (с ≠ 0; d ≠ 0); у = (ах + в) / (сх + d). Гипербола. Интересные свойства гиперболы. Однополостные и двуполостные гиперболоиды.

                                                                                                                          Степенные  функции  (2ч).  Функции  у=х^п;  у=   √х, их свойства и графики.  Кубическая парабола. Касательная к кривой.

 

Рациональные функции (6ч). Исследование функций и построение графиков функций. Этапы изучения функции (без привлечения средств дифференциального  исчисления).  «Сложение»  и  «умножение» графиков.

 

Глава 11. Методические рекомендации.

Введение.

Основная цель – ознакомить учащихся с содержанием курса, вспомнить понятие функции, свойства функций, функциональную  символику, графики функций.

Основное содержание:

1.     Числовая  функция.

2.     Способы задания функций.

3.     Область определения и область значений.

4.     Функциональная символика.

5.     График функции.

6.     Линейная функция.

Методические рекомендации: вспомнить все о функциях из школьного курса, обратив внимание на функциональную символику, рассказать о возможности построения школьного курса математики на основе функциональной зависимости.

Задания :

 

1.1   Найдите линейную функцию y = kx + b, которая принимает при х = -10 значение у = 41, а при х = 6; значение у = 9.

1.2   Проведите через начало координат прямую под углом 60^о  к оси ординат. Графиком  какой функции она является?

 

1.3   Угловой коэффициент прямой равен  а. Прямая  проходит через

точку (-3; -5). Найдите линейную функцию, графиком которой является эта прямая.

1.4   Придумайте линейную функцию, которая бы переводила арифметическую прогрессию –3, -1, 1, 3 … в арифметическую прогрессию –2, -12, -22 …. Какая линейная функция переведет вторую прогрессию в первую?

 

Задача  для самостоятельного выполнения:

 

1.5   Прямая у = 7х / 15 + 1 / 3 проходит через две точки с целыми координатами: А (10; 5) и В (-20; -9). Есть ли на этой прямой еще «целочисленные точки»?

 

     Функция у = çх ê.

       Основная цель: рассмотреть функция у = çх ê, построить ее график. Научить строить графики функций,  связанных с модулем.

       Основное содержание:

1 .График функции у = çх ê

2.      Преобразование графиков функций: сдвиг вдоль оси ОХ, ОУ,  растяжение по ОХ, ОУ.

3.     Построение графиков функции, связанных с модулем.

4.     Задания для самостоятельного решения.

Методические рекомендации.

Построить график у = çх êпользуясь определением абсолютной величины.  Показать учащимся как из графика    функции  у = çх  êполучить график    функции у = çх ê+1; у = çх ê-1; у = çх+1 ê;                                                                     у = çх-1 ê.  Вывести правило,  которым необходимо пользоваться:

График функции  у =¦(х)+а, получается график у =¦ çх ê сдвигом вдоль ОУ на «а» единиц. Направление сдвига определяется знаком числа «а» (при а>0 – сдвиг вверх,  при а<о - вниз).

Задания:

2.1 Постройте график функции у = 1 / (х²+2х+2). Указание. Представьте знаменатель в виде (х-1)²+1.

2.2 Постройте графики у = çх ê+3 и  у = çх+3 ê

2.3 А) Постройте график у= х⁴-5х ²+4.

Б) Покажите что график у = х⁴+4х³+х²+6х получается из графика у= х⁴-5х² +4 сдвигом на единицу влево.

 Построить график функции:

2.4.   у = çх+1 ê+çх-1ê

2.5.   у = ç3х-2 ê

2.6.   у = ç2х-1 ê

2.7.   у = 2çх ê-1

2.8.          а)  у=4-2х;  б) у = ç4-2х ê;

        в) у = 4-2çх ê; г) у = ç4-2çхô ê;

 

Задания для самостоятельной работы.

 

2.9.          В каких точках имеются изломы у графика функции

  у = çх ê+çх+1ê+ çх+2 ê?

Найдите уравнение каждого из звеньев.

2.10 Найдите все линейные функции, которые при х=3 принимают значение у=5.

 

Квадратичная функция.

 

Основная цель: расширить представление учащихся о квадратичной функции, ознакомить с интересными свойствами параболы.

 

Основное содержание:

· График квадратичной функции

· Интересные свойства параболы

· График функций вида y= x² + px + g.

Методы рекомендации.

Сообщить учащимся, что все графики функций у=ах² получаются из графика у=х² растяжением и тоже называются параболами. Рассказать о фокусе, директриссе параболы. Дать понятие графика y= x² + px + g. График представляет собой параболу у= х², сдвинутую на - p/2  по оси ОХ, и на g-p²/4 по оси ОУ. Вершина этой параболы имеет абсциссу  -p/2; ординату g-p²/4. Рассказать об интересных свойствах параболы, о том, как получается интересная поверхность, которая называется параболоид  вращения.

Задания для выполнения.

3.1 Найдите наименьшее значение функции у= х²+ 6х + 5.

3.2 Нарисуйте графики функций:

а) у = (х+2)² +3

б) у = (х+2)² -3

в) у = (х-2)² +3

г) у = (х-2)² -3

3.3 Вершина параболы  y= x² + px + g лежит в (-1; 2). Найдите p и g.

3.4 Сдвиньте параболу у=ах² по оси ОХ и оси ОУ так, чтобы получить график трехчлена у = ах ²+ bх +с.

3.5. Сдвиньте параболу у=х² вдоль оси ОХ так, чтобы она прошла через точку (3;2). График какой функции вы получили?

3.6 Найдите параболу у = ах²+ bх +с, которая пересекает ОХ в точках х = 3; х = -5, а ось ОУ в точке у= 30.

3.7. Решите неравенство: а) х² – 5х+4 > 0

                                           б) х-1 < çх²-5х+4 ç

3.8 Нарисован график у= х-1. Нарисуйте на этом же чертеже график

 у = (х-1)²

Задания для самостоятельной работы:

1.     Подготовить рефераты:

 

А) «Параболоид  вращения»

Б) «О применении свойств параболы в телескопах, прожекторах и т.д. »

В) «Забавный аттракцион «Параболоид  чудес»»

Г) «Космические объекты, движущиеся по параболе»

2.     Решить упражнения:

3.9.  Найдите квадратный трехчлен вида x ²+ px + g, если его график пересекает ось абсцисс в точках х=2; х=5.

3.10.  Можете ли Вы придумать многочлен, график которого пересекал бы ось ОХ в 101 точке: х1= -50;  х2 = -45;х3= -48…..х101  = 50?

3.11. Нарисуйте любой график у =¦ (х), нарисуйте на нем же

график у =(¦ (х ))²

3.12. Нарисуйте график у = х²; у = (х -çх ê)²

 

Дробно – рациональная функция.

 

Цель – расширить представления учащихся о дробно – рациональной функции, ознакомить с интересными свойствами гиперболы.

 

Методические рекомендации. Показать учащимся, как построить  график  функции у = 1 /х, обратить особое внимание на точки около прямой у=0 и х=0, ввести понятие асимптот. Научить учащихся  строить графики функции вида у = b / cx+d, c ≠ 0, d ≠ 0.

Графики получаются из графика у = 1 / х сдвигом по оси ОХ и растяжением по ОУ. Чтобы правильно определить величину сдвига и коэффициент растяжения, нужно числитель и знаменатель дроби поделить на с – коэффициент при х 

b /( cx + d) = b/c /(x+d/c).

 Научить учащихся строить графики вида  y= (ax+b)/ (cx+d), с ≠ 0. Графики есть гиперболы различным способом сдвинутые вдоль координатных осей и растянутые по ОХ.

Рассказать об интересных свойствах гиперболы. Гиперболоид  вращения.

Решение заданий:

Построить графики функций:

4.1     у = 1 / 3х+2

4.2     у=1 / х-3х-2

4.3     у = 1 / х-2х +3

4.4      у =(1 / 2-х) +1

        Построить.

4.5. а)У = 3х +5 / 2х +2

      в)У = 1 / 1-2х

4.5   Сколько решений имеет уравнение

 Х /( 1-х )= х²+4х+2

 

Задания для самостоятельного выполнения.

1.     Подготовить рефераты:

А) «Однополостный гиперболоид»

Б) «Двуполостный гиперболоид»

В) «Космические объекты, движущиеся по ветви гиперболы»

2.     Подготовить небольшое эссе по теме «Верно ли назван роман

       А. Толстого «Гиперболоид   инженера Гарина?»»

3.     Решите упражнения:

4.9. Построить графики:

у = (3+х) / (3-х)

4.10. у = ç(2х+1) /( х+1) ç

 

4.     Степенные функции.

 

Цель: обобщить понятие о степенных функциях, расширить знания о кубической параболе.

Основное содержание:

· Кубическая парабола

· Касательная к кривой

Методические рекомендации:

Ввести понятие степенных функций у= х^п. Рассказать, что для n=1, n=2,  мы уже строили графики функций, n=3 -  куб парабола. С увеличением х>0 увеличиваются и значения функции у = х², у = х³. Для отрицательных х кривая у = х³ ведет себя иначе. Различие кубической и квадратичной параболы. Рассмотреть симметрию  ОУ. Уточнить смысл выражения: «прямая касается кривой». Ввести понятие касательной.

 

 Упражнения:

 

5.1 Постройте гафик функции у =х² – х ⁴ двумя способами:

а) вычитанием графиков

б) разложив х²-х⁴ на множители.

5.2  Найдите касательную к параболе у = х ²+ х в точке А (1;2)

5.3        Какая из прямых, параллельных прямой у = х, касается параболы

   у = -х² +1?

5.4  Нарисуйте графики функций:

                   а)у = - х³;               б)   у=  ç х³ ç;

                   в) у = 1 + х³;           г)  у = (2+х)³.

 

Задания для самостоятельного выполнения:

 

5.5   Постройте графики:

                  а)у = (2-х)³;                б) у = х³+3х²+3х

5.6       Докажите, что прямая у = 0, есть  касательная к кривой у = х³ + х² в начале координат

 

5.7 Найдите касательную к кривой

                            у = х³ + х² в точке (0;0)

 

6. Рациональные функции.

Цель: подвести итог изученного выше материала и научить учащихся исследовать функции без привлечения средств дифференциального исчисления.

Основное содержание:

· Построение графиков некоторых рациональных функций

· Исследование функции и построения графиков. Этапы изучения функции

· «сложение» и «умножение» графиков.

Методические рекомендации:

Представить рациональные функции – как функции, которые можно представить в виде частного двух многочленов. Разобрать несколько примеров рациональных функций. Например: « Постройте график функции у = (х-1)/ (х²+2х+1), у = х / (х²+1). Для исследования функции достаточно установить, при каких значениях х определена функция

 у = ¦ (х), симметричен ли график относительно ОХ и (0;0), в каких точках

 ¦ (х) обращается в нуль, а в каких она обращается в бесконечность, выяснить как она себя ведет на бесконечности. Такой анализ позволяет определить участки, на которых знак функции постоянен, наметить поведение функции и сделать грубый эскиз ее графика. Разобрать  «сложение» и «умножение» графиков.

 

Задания для самостоятельного выполнения.

 

Исследуйте указанные функции и постройте их графики:

6.1         а) у =( х²-4 )/( х²-1) ;            б) у =( х²+4 )/(х²+1)

6.2     Исследуйте функции на четность и нечетность.

                  А) у = х³-4хçх ç-3х

                  Б) у =( х⁴+6) /(х²+2)

                  В) у = √ х

                  Г) у = √ х²

6.3   Постройте график функций:

 

а) у =- 3х²-12х+4

б) у = (х-1)³+7

в) у= (х+1)⁴-5

6.4   Постройте графики используя «сложение» и «умножение»

 

а) у = х² +1/ х

б) у= х/ (1+х²)

По окончании изучения свойств функций учащимся предлагается выполнить зачетную работу – проект.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ,

РЕКОМЕНДУЕМОЙ  ДЛЯ ПЕДАГОГОВ:

 

1.     Виленкин Н.Я. Избранные вопросы математики-М: Просвещение,19895.

2.     Воронина Г.А. Подходы к отбору содержания естественно-научного образования для профильных классов.// Профильная школа.-2004.-№5.-с.11-18.

3.     Гельфанд И.М. Глаголева Е.Г. Функции и графики. –М.:Наука, 1990

4.     Дорофеев Г.В. Профильная школа в концепции школьного      математического образования.//Профильная школа.-2004.-№1.- с.7-14.

5.     Ершов Л.В. Райхмист Р.Б.-М.:Просвещение,1984

6.     Ермаков Д.С. Создание элективных учебных курсов для

профильного обучения//Народное образование .-2004.-№2 с.114-118.

7.     Ермаков Д.С. Элективные курсы: требования к разработке и оценка    результатов обучения//Профильная школа.-2004.-№3.-с.6-11.

8.     Иванова Е.О. Личностно-ориентированное обучение: индивидуализация содержания образования// Завуч.- 2002.-№8.-с. 100-117

9.     Концепция модернизации российского образования на период до 2010г.//Вестник образования._2002.-№6.-с.11-40.

10. Концепция профильного обучения на старшей ступени общего образования//Стандарты и мониторинг в образовании.02002.-№3-с.3-14

11. Курсы по выбору как основной компонент предпрофильной подготовки   девятиклассников: Методические рекомендации/сост.Ю.В.Воронина.-Оренбург:Изд-во ООИПКРО ,2004.

12. Лернер П.С. Роль элективных курсов в профильном обучении// Профильная школа.- 2004.-№3.- с.12-17.

13. План-график мероприятий по подготовке и введению профильного обучения на старшей ступени общего образования//Стандарты и мониторинг в образовании.-2003.-№4-с.4-8

14. Подласый И.П. Педагогика: Новый курс: Учебник для студентов вузов.- Гуманит изд.Центр ВЛАДОС, 2001

15. Тахтамышева Г.Ч. Выбор профиля обучения на этапе предпрофильной подготовки// профильная школа.-2004.-№3.-с.46-47.

 

 

 

 

7.СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ, РЕКОМЕНДУЕМОЙ ДЛЯ  УЧАЩИХСЯ:

 

1.     Ершов Л.В. Райхмист Р.Б.-М.:Просвещение,1984

 

2.     Виленкин Н.Я. Избранные вопросы математики-М: Просвещение,1989

3.     Концепция модернизации российского образования на период до 2010г.//Вестник образования._2002.-№6.-с.11-402.

4.     Концепция профильного обучения на старшей ступени общего образования//Стандарты и мониторинг в образовании.02002.-№3-с.3-14

5.     Курсы по выбору как основной компонент предпрофильной подготовки девятиклассников: Методические рекомендации/сост.Ю.В.Воронина.-Оренбург:Изд-во ООИПКРО ,2004.

6.     Прощицкая Е.Н Практикум по выбору профессии: Учебное пособие для 8-9 классов._М. –Просвещение,1995.