1609438
столько раз учителя, ученики и родители
посетили сайт «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
Добавить материал и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
До повышения цен на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации осталось:
0 дней 0 часов 0 минут 0 секунд
Успейте подать заявку на курсы по минимальной цене!
ИнфоурокМатематикаКонспектыОбобщающий урок по теме «Решение комбинированных уравнений» 11 класс.

Обобщающий урок по теме «Решение комбинированных уравнений» 11 класс.

Лабиринт
Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Решение комбинированных уравнений.doc

библиотека
материалов

Гадзова Эмма Шадиновна,

учитель математики МОУ «СОШ № 1»

с. Малка Зольского района КБР


Решение сложных комбинированных уравнений



Тип урока: семинарское занятие.

Цель урока:

закрепить навыки решения сложных уравнений различными методами.

Ход урока:

I Организационный момент:

а) готовность класса к уроку;

б) сообщение цели и задач урока.

ІI Актуализация опорных знаний со слабыми и средними учащимися, работа наиболее подготовленных учащихся по индивидуальным карточкам.

  1. Дать определение уравнения и его корня, равносильности двух уравнений.

Ответ:

Арифметическое выражение, содержащее неизвестную переменную и знаки равенства называют уравнением. Значение переменной, превращающее уравнение в верное равенство, называют корнем уравнения. Два уравнения называют равносильными, если любой корень первого уравнения является корнем второго уравнения и любой корень второго уравнения является корнем первого уравнения.

  1. Дать определение равносильности преобразования уравнения и перечислить основные равносильные преобразования.

Ответ:

Замену одного уравнения другим, равносильным ему уравнением называют равносильным преобразованием уравнения.

Равносильными преобразованиями уравнения являются:

  • перенос члена уравнения с противоположным знаком из одной части уравнения в другую;

  • умножение (деление) обеих частей уравнения на отличную от нуля число;

  • возведение уравнения в нечетную степень;

  • извлечение корня нечетной степени с обеих частей уравнения:

  • логарифмирование показательного уравнения;

  • применение тождеств, т. е равенств, справедливых для любого числа.

  1. Рассказать, какие равносильные преобразования нужно выполнить, чтобы решить следующие уравнения:

hello_html_545069f0.gif

hello_html_187e2cef.gif

hello_html_2c452de4.gif;

hello_html_7ec747f3.gif

hello_html_6b1a8e3a.gif

  1. Дайте определение уравнения – следствия и перечислите преобразования, приводящие к уравнению следствия.

Ответ:

Пусть даны два уравнения. Если любой корень первого уравнения является корнем второго уравнения, то второе уравнение называют уравнением- следствием первого.

Замену уравнения другим уравнением, которое является его следствием, называют переходом к уравнению- следствию.

При переходе к уравнению- следствия возможно появление лишних корней, посторонних для исходного уравнения, поэтому проверка полученных корней является обязательной частью решения уравнения.

Преобразованиями, приводящими к уравнению- следствия является:

  • возведение уравнения в четную степень;

  • потенцирование логарифмического уравнения;

  • освобождение уравнения от знаменателя;

  • приведение подобных членов;

  • применение формул (тригонометрических, логарифмических и других).

  1. Расскажите, каким способом приводится следующие уравнения к уравнению - следствия:

hello_html_184b3659.gif

hello_html_m1bd99263.gif;

hello_html_4c8c3ed2.gif

hello_html_m53030e6b.gif

hello_html_3eefe3fc.gif

hello_html_m2657a367.gif

hello_html_1e4489c.gif;

hello_html_620deb54.gif

hello_html_mc75cd06.gif

hello_html_458f6588.gif.



  1. Сложные уравнения можно решить, приводя их к системам. Правила перехода от уравнений к равносильным системам:

1.hello_html_mbae9eae.gif

2.hello_html_7207748f.gif

3.hello_html_394301f4.gif

4.hello_html_20c9498a.gif

5.hello_html_7e42c732.gif

6.hello_html_35a569.gif

7.hello_html_m36f51040.gif

М-область существования hello_html_m574c9755.gif

8.hello_html_244015c6.gif

hello_html_4774caad.gif

9.hello_html_739f1342.gif

10.hello_html_1ee5baa9.gif

11. hello_html_5af16dbd.gif



Запишите системы, равносильные уравнениям:

1.hello_html_m2ee589c.gif

2.hello_html_m6c4f5612.gif

3.hello_html_m610ffc0b.gif

4.hello_html_m6c3ea181.gif

5.hello_html_33efdcd9.gif

6.hello_html_3de42d63.gif

7.hello_html_1edf5d0d.gif

8.hello_html_6377d0a9.gif

9.hello_html_m7b9f2c8a.gif

10.hello_html_74fb3e91.gif

11.hello_html_1071531.gif



  1. Решение уравнений с применением формул.

Каким способом можно решить данное уравнение:

hello_html_79afb03a.gif

  1. Очень часто можно встретить уравнение, которое имеет дополнительное условие, например:

hello_html_4c49a87d.gif

Как можно упростить решение такого типа уравнения?

Ответ:

Учитывая, что левая часть уравнения неотрицательное число получаем hello_html_a7ca3d.gif значит, множество решений данного уравнения есть hello_html_581042f8.gif. Левая часть уравнения для любого hello_html_54d172fd.gif есть отрицательное число, значит, рассматривается только одно уравнение hello_html_m74bb3f44.gif. Решается квадратное уравнение, находим hello_html_m5b78f484.gif и выбираем те, которые принадлежат множеству М.

  1. Самыми сложными считаются уравнения с параметром. Дайте определение уравнения с параметром. Давайте рассмотрим несколько таких уравнений с использованием свойств функций:

а)hello_html_45d4e024.gif

hello_html_7f5f5e72.gif имеет ровно три корня.

Ответ:

Для каждого значения a рассмотрим функцию

hello_html_m5fdb5c4e.gif

Она определена на множестве R, четная, поэтому, если hello_html_m1666f245.gif - корень уравнения, то hello_html_1c028e60.gif - тоже является корнем уравнения.

Уравнение (1) имеет три корня тогда и только тогда, когда оно имеет hello_html_29f5c32.gif и еще два отличных от нуля корня, отличающихся знаками.

hello_html_5e4bdcfd.gifполучаем: hello_html_m240cec63.gif

При hello_html_m632525a.gif уравнение примет вид hello_html_m2ba90a88.gif у уравнения только один корень.

При hello_html_275e6990.gif уравнение имеет вид hello_html_m65108275.gif. Это уравнение имеет три корня hello_html_37e1072f.gif Ответ:3



б) Найти все значения параметра а, при которых уравнение

hello_html_15d6e903.gif. (2)

имеет ровно четыре корня.

Ответ:

Для каждого значения a рассмотрим функцию

hello_html_m3f16f232.gif

Она определена на множестве R, четная.

hello_html_6270be7e.gif

Уравнение (2) имеет четыре корня, если уравнение имеет ровно два положительных корня, т.к. корнями уравнения (2) будут hello_html_7d1ee514.gif . Значит дискриминант уравнения (3) должны быть положительными:

hello_html_24efc91a.gif

в) Для каждого значения параметра a решите уравнение:

hello_html_44bf35de.gif

Ответ:

При hello_html_m632525a.gif уравнение не имеет решений, т.к. hello_html_5977f8e7.gif.

При hello_html_m64b86cb9.gif имеем:

hello_html_m550494d9.gif

hello_html_51a61f7a.gif

hello_html_m5dfe223d.gif

hello_html_m767259b0.gif

Проверяем ОДЗ:

hello_html_m737dc91a.gif

hello_html_1c0a8f7f.gif

hello_html_30a40c73.gif

hello_html_m1d3ce141.gif

hello_html_m6c3d2b6e.gif

Ответ: приhello_html_m26fe9ff.gif уравнение имеет одно решение

г) При каком значении параметра a уравнение не имеет корней:

hello_html_m7e07dae3.gif

Ответ:

hello_html_11f9254d.gif

hello_html_m1a2ac146.gif

hello_html_m7d928772.gifкорень уравнения.

Уравнение не имеет решений, если не выполняется ОДЗ, поэтому

hello_html_22b39dac.gif

hello_html_m7bfbc15d.gif

hello_html_m4d6bbca.gif

III Выполнения тренировочных упражнений на закрепление навыков и умений решать уравнения.

  1. hello_html_m652a4f94.gif

  2. hello_html_m4feebd35.gif;

  3. hello_html_m28569304.gif

ІV Повторение. Решение заданий типа В1- В12 в интерактивном режиме с сайта www.ege.edu.ru Банк заданий типа В.

V Разбор заданий типа С с индивидуальных карточек на доске.

Карточка №1

С1.(В13) hello_html_m3b7309a9.gif

Карточка №2

C1.(B1) hello_html_5ddc4b88.gif

Карточка №3

C1.(B12) hello_html_26ef078a.gif

Карточка №4

C1.(B19) hello_html_63d0fbbe.gif

Карточка №5

С5. Найти все значения a, такие, что уравнение имеет единственное решение:hello_html_802b99e.gif

Карточка №6

С5. Найти все значения a, такие, что уравнение имеет единственное решение:hello_html_m1b32f3e6.gif

Карточка № 7

Найти наибольший корень уравнения:

hello_html_6a973194.gif.

Карточка № 8

Найти значение р, при которых уравнение

hello_html_m63b4f273.gifне имеет решений.

Карточка №9

Решить уравнениеhello_html_647c5e30.gif

VI Домашнее задание:

  1. Решить уравнения с параметром (б, г)

  2. Решить № 4, 6, 9 с карточек.

  3. Вариант 9 со сборника ФИПИ - разобрать В1-В12.

  4. Повторить теорию по темам:

  • §8 Уравнения-следствия.

  • §9 Равносильность уравнений системам.

  • §10 Равносильность уравнений на множествах.



VII Подведение итогов урока.



Литература:

  1. Ф. И. Лысенко, С. Ю. Кулабухова. Математика. Подготовка к ЕГЭ. 2010 г. – Ростов –на Дону: Легион, 2009 г.

  2. С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. решетников, А. В. Шевкин. Алгебра и начала математического анализа – Москва: «Просвещение», 2008 г.

  3. http://mathege.ru:8080/or/ege/Main. Сайт ФИПИ. Открытый сегмент заданий ЕГЭ.



Выбранный для просмотра документ Решение уравнений gjc.ppt

библиотека
материалов
Решение сложных комбинированных уравнений Семинарское занятие Гадзова Эмма Ша...
Дайте определение уравнения и его корня, равносильности двух уравнений. Дайте...
Дайте определение уравнения – следствия и перечислите преобразования, приводя...
Расскажите, каким способом приводятся следующие уравнения к уравнению - следс...
Сложные уравнения можно решить, приводя их к равносильным системам. Правила...
Правила перехода от уравнений к равносильным системам: 1. 9. 2. 3. 10. 4. 5....
Правила перехода от уравнений к равносильным системам: 1. 9. 2. 3. 10. 4. 5....
Правила перехода от уравнений к равносильным системам: 1. 9. 2. 3. 10. 4. 5....
Правила перехода от уравнений к равносильным системам: 1. 9. 2. 3. 10. 4. 5....
Правила перехода от уравнений к равносильным системам: 1. 9. 2. 3. 10. 4. 5....
Правила перехода от уравнений к равносильным системам: 1. 9. 2. 3. 10. 4. 5....
Правила перехода от уравнений к равносильным системам: 1. 9. 2. 3. 10. 4. 5....
Правила перехода от уравнений к равносильным системам: 1. 9. 2. 3. 10. 4. 5....
Правила перехода от уравнений к равносильным системам: 1. 9. 2. 3. 10. 4. 5....
Правила перехода от уравнений к равносильным системам: 1. 9. 2. 3. 10. 4. 5....
Как решить данное уравнение:
Очень часто можно встретить уравнение, которое имеет дополнительное условие,...
Уравнения с параметром а) Найти все значения параметра а, при которых уравнен...
Решите уравнения: а) б) в)
Решение заданий ЕГЭ В1 На день рождения полагается дарить букет из нечетного...
Решение заданий ЕГЭ В2 На рисунке показано изменение температуры воздуха на п...
Решение заданий ЕГЭ В3 Найдите корень уравнения
Решение заданий ЕГЭ В5 Для транспортировки 45 тонн груза на 1300 км можно исп...
Решение заданий ЕГЭ В7 Найдите значение выражения:
Решение заданий ЕГЭ В8 Прямая параллельна касательной к графику функции Найди...
Решение заданий ЕГЭ В11 Найдите наименьшее значение функции на отрезке В12 Из...
Решение заданий ЕГЭ (С1) Решить уравнение:
Решение заданий ЕГЭ C1.(B1) Решить систему уравнений
Решение заданий ЕГЭ С5. Найти все значения a, такие, что уравнение имеет един...
V Домашнее задание: Решить уравнения № 1-5 Вариант 9 со сборника ФИПИ - разоб...
Домашнее задание: 1) Найти все значения параметра а, при которых уравнение им...
Домашнее задание: 3) C1.(B12) Решить систему уравнений
Домашнее задание: 4) C1.(B19) Решить систему уравнений
Домашнее задание: 5) С5. Найти все значения a, такие, что уравнение имеет еди...
Литература: Ф. И. Лысенко, С. Ю. Кулабухова. Математика. Подготовка к ЕГЭ. 20...
Лабиринт

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд Решение сложных комбинированных уравнений Семинарское занятие Гадзова Эмма Ша
Описание слайда:

Решение сложных комбинированных уравнений Семинарское занятие Гадзова Эмма Шадиновна, учитель математики МОУ «СОШ № 1» с. Малка Зольского района КБР

2 слайд Дайте определение уравнения и его корня, равносильности двух уравнений. Дайте
Описание слайда:

Дайте определение уравнения и его корня, равносильности двух уравнений. Дайте определение равносильности преобразования уравнения и перечислите основные равносильные преобразования. Расскажите, какие равносильные преобразования нужно выполнить, чтобы решить следующие уравнения:

3 слайд Дайте определение уравнения – следствия и перечислите преобразования, приводя
Описание слайда:

Дайте определение уравнения – следствия и перечислите преобразования, приводящие к уравнению следствия. Расскажите, каким способом приводятся следующие уравнения к уравнению - следствия: ;

4 слайд Расскажите, каким способом приводятся следующие уравнения к уравнению - следс
Описание слайда:

Расскажите, каким способом приводятся следующие уравнения к уравнению - следствия:

5 слайд Сложные уравнения можно решить, приводя их к равносильным системам. Правила
Описание слайда:

Сложные уравнения можно решить, приводя их к равносильным системам. Правила перехода от уравнений к равносильным системам: 1. 9. 2. 3. 10. 4. 5. 11. 6. 7. 8. Запишите систему, равносильную уравнению:

6 слайд Правила перехода от уравнений к равносильным системам: 1. 9. 2. 3. 10. 4. 5.
Описание слайда:

Правила перехода от уравнений к равносильным системам: 1. 9. 2. 3. 10. 4. 5. 11. 6. 7. 8. Запишите систему, равносильную уравнению:

7 слайд Правила перехода от уравнений к равносильным системам: 1. 9. 2. 3. 10. 4. 5.
Описание слайда:

Правила перехода от уравнений к равносильным системам: 1. 9. 2. 3. 10. 4. 5. 11. 6. 7. 8. Запишите систему, равносильную уравнению:

8 слайд Правила перехода от уравнений к равносильным системам: 1. 9. 2. 3. 10. 4. 5.
Описание слайда:

Правила перехода от уравнений к равносильным системам: 1. 9. 2. 3. 10. 4. 5. 11. 6. 7. 8. Запишите систему, равносильную уравнению:

9 слайд Правила перехода от уравнений к равносильным системам: 1. 9. 2. 3. 10. 4. 5.
Описание слайда:

Правила перехода от уравнений к равносильным системам: 1. 9. 2. 3. 10. 4. 5. 11. 6. 7. 8. Запишите систему, равносильную уравнению:

10 слайд Правила перехода от уравнений к равносильным системам: 1. 9. 2. 3. 10. 4. 5.
Описание слайда:

Правила перехода от уравнений к равносильным системам: 1. 9. 2. 3. 10. 4. 5. 11. 6. 7. 8. Запишите систему, равносильную уравнению:

11 слайд Правила перехода от уравнений к равносильным системам: 1. 9. 2. 3. 10. 4. 5.
Описание слайда:

Правила перехода от уравнений к равносильным системам: 1. 9. 2. 3. 10. 4. 5. 11. 6. 7. 8. Запишите систему, равносильную уравнению:

12 слайд Правила перехода от уравнений к равносильным системам: 1. 9. 2. 3. 10. 4. 5.
Описание слайда:

Правила перехода от уравнений к равносильным системам: 1. 9. 2. 3. 10. 4. 5. 11. 6. 7. 8. Запишите систему, равносильную уравнению:

13 слайд Правила перехода от уравнений к равносильным системам: 1. 9. 2. 3. 10. 4. 5.
Описание слайда:

Правила перехода от уравнений к равносильным системам: 1. 9. 2. 3. 10. 4. 5. 11. 6. 7. 8. Запишите систему, равносильную уравнению:

14 слайд Правила перехода от уравнений к равносильным системам: 1. 9. 2. 3. 10. 4. 5.
Описание слайда:

Правила перехода от уравнений к равносильным системам: 1. 9. 2. 3. 10. 4. 5. 11. 6. 7. 8. Запишите систему, равносильную уравнению:

15 слайд Правила перехода от уравнений к равносильным системам: 1. 9. 2. 3. 10. 4. 5.
Описание слайда:

Правила перехода от уравнений к равносильным системам: 1. 9. 2. 3. 10. 4. 5. 11. 6. 7. 8. Запишите систему, равносильную уравнению:

16 слайд Как решить данное уравнение:
Описание слайда:

Как решить данное уравнение:

17 слайд Очень часто можно встретить уравнение, которое имеет дополнительное условие,
Описание слайда:

Очень часто можно встретить уравнение, которое имеет дополнительное условие, например: Как можно упростить решение такого типа уравнения?

18 слайд Уравнения с параметром а) Найти все значения параметра а, при которых уравнен
Описание слайда:

Уравнения с параметром а) Найти все значения параметра а, при которых уравнение имеет ровно три корня. б) Для каждого значения параметра a решите уравнение: .

19 слайд Решите уравнения: а) б) в)
Описание слайда:

Решите уравнения: а) б) в)

20 слайд Решение заданий ЕГЭ В1 На день рождения полагается дарить букет из нечетного
Описание слайда:

Решение заданий ЕГЭ В1 На день рождения полагается дарить букет из нечетного числа цветов. Пионы стоят 45 рублей за штуку. У Вани есть 430 рублей. Из какого наибольшего числа пионов он может купить букет Маше на день рождения?

21 слайд Решение заданий ЕГЭ В2 На рисунке показано изменение температуры воздуха на п
Описание слайда:

Решение заданий ЕГЭ В2 На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трех суток. По горизонтали указывается дата и время суток, по вертикали — значение температуры в градусах Цельсия. Определите по рисунку наибольшую температуру воздуха 22 января.

22 слайд Решение заданий ЕГЭ В3 Найдите корень уравнения
Описание слайда:

Решение заданий ЕГЭ В3 Найдите корень уравнения

23 слайд Решение заданий ЕГЭ В5 Для транспортировки 45 тонн груза на 1300 км можно исп
Описание слайда:

Решение заданий ЕГЭ В5 Для транспортировки 45 тонн груза на 1300 км можно использовать одного из трех перевозчиков. Стоимость перевозки и грузоподъемность автомобилей для каждого перевозчика указана в таблице. Сколько рублей придется заплатить за самую дешевую перевозку за один рейс? Перевозчик Стоимость перевозки одним автомобилем (руб. на ) Грузоподъемность автомобилей (тонн) А 3200 3,5 Б 4100 5 В 9500 12

24 слайд Решение заданий ЕГЭ В7 Найдите значение выражения:
Описание слайда:

Решение заданий ЕГЭ В7 Найдите значение выражения:

25 слайд Решение заданий ЕГЭ В8 Прямая параллельна касательной к графику функции Найди
Описание слайда:

Решение заданий ЕГЭ В8 Прямая параллельна касательной к графику функции Найдите абсциссу точки касания. В10 Зависимость объема спроса q (тыс. руб.) на продукцию предприятия-монополиста от цены p (тыс. руб.) задаeтся формулой q = 165 -15p . Выручка предприятия за месяц r (в тыс. руб.) вычисляется по формуле r=q*p . Определите наибольшую цену p, при которой месячная выручка составит не менее 160 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.

26 слайд Решение заданий ЕГЭ В11 Найдите наименьшее значение функции на отрезке В12 Из
Описание слайда:

Решение заданий ЕГЭ В11 Найдите наименьшее значение функции на отрезке В12 Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 50км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на 40 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 4 часа позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

27 слайд Решение заданий ЕГЭ (С1) Решить уравнение:
Описание слайда:

Решение заданий ЕГЭ (С1) Решить уравнение:

28 слайд Решение заданий ЕГЭ C1.(B1) Решить систему уравнений
Описание слайда:

Решение заданий ЕГЭ C1.(B1) Решить систему уравнений

29 слайд Решение заданий ЕГЭ С5. Найти все значения a, такие, что уравнение имеет един
Описание слайда:

Решение заданий ЕГЭ С5. Найти все значения a, такие, что уравнение имеет единственное решение.

30 слайд V Домашнее задание: Решить уравнения № 1-5 Вариант 9 со сборника ФИПИ - разоб
Описание слайда:

V Домашнее задание: Решить уравнения № 1-5 Вариант 9 со сборника ФИПИ - разобрать В1-В12. Повторить теорию по темам: §8 Уравнения-следствия. §9 Равносильность уравнений системам. §10 Равносильность уравнений на множествах.  

31 слайд Домашнее задание: 1) Найти все значения параметра а, при которых уравнение им
Описание слайда:

Домашнее задание: 1) Найти все значения параметра а, при которых уравнение имеет ровно четыре корня. 2) При каком значении параметра a уравнение не имеет корней: .

32 слайд Домашнее задание: 3) C1.(B12) Решить систему уравнений
Описание слайда:

Домашнее задание: 3) C1.(B12) Решить систему уравнений

33 слайд Домашнее задание: 4) C1.(B19) Решить систему уравнений
Описание слайда:

Домашнее задание: 4) C1.(B19) Решить систему уравнений

34 слайд Домашнее задание: 5) С5. Найти все значения a, такие, что уравнение имеет еди
Описание слайда:

Домашнее задание: 5) С5. Найти все значения a, такие, что уравнение имеет единственное решение:

35 слайд Литература: Ф. И. Лысенко, С. Ю. Кулабухова. Математика. Подготовка к ЕГЭ. 20
Описание слайда:

Литература: Ф. И. Лысенко, С. Ю. Кулабухова. Математика. Подготовка к ЕГЭ. 2010 г. – Ростов –на Дону: Легион, 2009 г. С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. решетников, А. В. Шевкин. Алгебра и начала математического анализа – Москва: «Просвещение», 2008 г. http://mathege.ru:8080/or/ege/Main. Сайт ФИПИ. Открытый сегмент заданий ЕГЭ.

Лабиринт
Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:
Краткое описание документа:
   Конспект обобщающего урока   и презентация  к  уроку по теме «Решение комбинированных уравнений»  в  11 классе по алгебре  и  началам анализа. Приводятся правила преобразования уравнений к уравнениям – следствиям  и  системам, обобщаются  методы решения комбинированных сложных уравнений. Приводятся примеры решения уравнений  с параметром типа С5,  уравнения  и  неравенства  типа С3.       Конспект будет  полезен для учителей,  ведущих математику  в  11 классе.  Презентация содержит основной  материал:  цель,  тему  урока,  перечень  задач, предлагаемых для  решения яна уроке  и дома, Правила преобразования комбинированных уравнений.
Общая информация

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.