Урок-семинар «Логарифмы»

(4 слайд)                            История логарифмов

На протяжении 16 века быстро возрастало количество приближенных вычислений, прежде всего, в астрономии. Совершенствование инструментов, исследование планетных движений и другие работы потребовали колоссальных, иногда многолетних, расчетов. Астрономам грозила реальная опасность утонуть в невыполненных расчетах.
(5 слайд) Логарифмы были изобретены шотландским математиком Джоном Непером  в 1614 г. Его «Канон о логарифмах» начинался так: «Осознав, что в математике нет ничего более скучного и утомительного, чем умножение, деление, извлечение квадратных и кубических корней, и что названные операции являются бесполезной тратой времени и неиссякаемым источником неуловимых ошибок, я решил найти простое и надежное средство, чтобы избавиться от них».
Термин «логарифм» (logarithmus) принадлежит Неперу. Он возник из сочетания греческих слов: logos (логос) – «отношение»

и ariqmo (аригмо) – «число», которое означало «число отношений». Первоначально Непер пользовался другим термином: «искусственные числа», в противоположность  «числам естественным».
С точки зрения вычислительной практики, изобретение логарифмов по возможности можно смело поставить рядом с другими, более древним великим изобретением индусов – нашей десятичной системы нумерации.

(6 слайд)                            1622 год - Первый вариант логарифмической  линейки разработал английский математик-любитель Уильям Отред

(7 слайд)                            1630 год - Ричард Деламейн создаёт круговую логарифмическую линейку.

(8 слайд)                            Англичанин Роберт Биссакар (и независимо от него в 1657 году — С.Патридж) разработал прямоугольную логарифмическую линейку, конструкция которой в основном сохранилась до наших дней.
Логарифмическая  линейка помогала астрономам и инженерам при вычислениях, она позволяла быстро получать ответ с достаточной точностью в три значащие цифры.

Знак log был введен в 1624 году И. Кеплером.
Термин «натуральный логарифм» ввели Менголи в 1659 г. и вслед за ним Н. Меркатор в 1668 г., а издал таблицы натуральных логарифмов чисел от 1 до 1000 под названием «Новые логарифмы» лондонский учитель Джон Спейдел.
На русском языке первые логарифмические таблицы были изданы в 1703 году. Но во всех логарифмических таблицах были допущены ошибки при вычислении. Первые безошибочные таблицы вышли в 1857 году в Берлине в обработке немецкого математика К. Бремикера (1804-1877).

Таким образом, прошло 400  лет с тех пор, как логарифмы впервые были введены (считая с 1614 г.), прежде чем математики пришли к определению понятия логарифма, которое положено теперь в основу школьного курса.

(9 слайд)                            Логарифмы в природе.

Испокон веков целью математической науки было помочь людям узнать больше об окружающем мире, познать его закономерности и тайны. Математики, выделяя самые существенные черты того или иного наблюдаемого в природе явления, вводя числовые характеристики, составляют математическую модель явления. Изучение этой модели позволяют людям больше узнать о природном явлении, глубже уяснить его природу и свойства. Ряд явле­ний природы помогает описать именно логарифми­ческая зависимость. Иначе говоря, математики, пытаясь составить математическую модель того или иного явления, достаточно часто обращаются имен­но к логарифмической функции. Одним из наибо­лее наглядных примеров такого обращения являет­ся логарифмическая спираль.

(10 слайд) Спираль – это плоская кривая линия, многократно обходящая одну из точек на  плоскости, которая называется полюсом спирали.

 (11 слайд) Логарифмическая спираль  является траекторией точки,  которая движется  вдоль равномерно вращающейся прямой, удаляясь от полюса со скоростью, пропорциональной  пройденному расстоянию. Таким образом,  в логарифмической спирали логарифм этого расстояния пропорционален углу поворота.

(12  слайд) Первым ученым, открывшим эту удивительную кривую, был французский математик Рене Декарт  (1596-1650гг.)

Самое интересное и удивительное в том, что логарифмическая спираль возникает в нашей жизни в связи с самыми разными природными формами.

(13 слайд) По логарифмическим спиралям выстраиваются цветки в соцветиях подсолнечника

(14 слайд) По логарифмическим спиралям выстраиваются рога многих животных

(15  слайд) Живые существа обычно растут, сохраняя общее очертание своей формы. При этом они растут чаще всего во всех направлениях - взрослое существо и выше и толще детеныша. Но раковины морских животных могут расти лишь в одном направлении.

(16, 17 слайд) По логарифмической спирали свёрнуты раковины многих улиток и моллюсков.

(18 слайд) По логарифмической спирали формируется  тело циклона

(19 слайд) Даже пауки, сплетая паутину, закручивают нити вокруг центра по логарифмической спирали.

(20  слайд) Улитка человеческого уха является органом, воспринимающим звук, в котором самой природой заложена логарифмическая спираль.

(21  слайд) Траектории насекомых летящих на свет также описывают логарифмическую спираль.

Логарифмическая спираль единственная из спиралей не меняет своей формы при увеличении размеров. Видимо, это свойство и послужило причиной того, что в живой природе логарифмическая спираль встречается чаще других.

 (22  слайд) По логарифмическим спиралям закручены многие галактики, в частности Галактика, которой принадлежит Солнечная система.

(23  слайд) Очертания, выраженные логарифмической спиралью, имеют не только раковины. Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д.

(24  слайд) Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали.

(25  слайд) Спиралью закручиваются ураганы и смерчи

(26  слайд) Молекула ДНК закручена двойной спиралью.

(27  слайд) Блеск в астрономии — величина пропорциональная логарифму светового потока. Однако коэффициент  пропорциональности отрицателен  (при основании логарифма больше единицы),  поэтому самым ярким объектам на небе соответствует большая отрицательная величина (–26,8 для Солнца), а для самых тусклых — положительная (28 для едва различимых в телескоп звезд

(28  слайд) Логарифмическая спираль остаётся неизменной при преобразовании подобия и других различных преобразованиях. Это свойство так поразило впервые изучавшего её Якоба Бернулли (XVII и.), что он пожелал иметь на своей могильной плите изображение логарифмической спирали (назвал он её дивной спиралью) с надписью: «Измененная, я вновь воскресаю»

Логарифмическая спираль — это замечательная кривая, имеющая еще очень много интересных свойств.

(29  слайд)   Применение логарифмов в различных сферах жизнедеятельности человека

(30  слайд) Логарифмы в музыке. Музыканты редко увлекаются математикой. Между тем, музыканты встречаются с математикой гораздо чаще, чем сами подозревают. Известный физик Эйхенвальд вспоминал: «Товарищ мой по гимназии любил играть на рояле, но не любил математику. Он даже говорил с оттенком пренебрежения, что музыка и математика несовместимы. «Правда Пифагор нашел какие-то соотношения между звуковыми колебаниями, - но ведь как раз пифагорова-то гамма для нашей музыки и оказалась неприемлемой». Представьте же себе, как неприятно был поражен мой товарищ, когда я доказал ему, что играя по клавишам современного рояля, он играет по логарифмам. И действительно, так называемые ступени темперированный гаммы (12-звуковой) частот звуковых колебаний представляют собой логарифмы по основанию 2.

(31  слайд) Сходным образом оценивается и громкость шума. Вредное влияние промышленных шумов на здоровье рабочих и на производительность труда побудило выработать приемы точной числовой оценки громкости шума. Единицей громкости служит "бел", практически – его десятая доля, "децибел".

Рассмотрим несколько примеров.

Тихий шелест листьев оценивается в 1 бел, громкая разговорная речь – в 6,5 бела, рычанье льва – в 8,7 бела. Отсюда следует, что по силе звука разговорная речь превышает шелест листьев в 316000 раз, львиное рычанье сильнее громкой разговорной речи в 158 раз.

Шум, громкость которого больше 8 бел, признается вредным для человеческого организма. Указанная норма на многих заводах превосходится: здесь бывают шумы в 10 и более бел; удары молотка в стальную плиту порождают шум в 11 бел. Шумы эти в 100 и 1000 раз сильнее допустимой нормы и в 10–100 раз громче самого шумного места Ниагарского водопада (9 бел).

Случайность ли то, что и при оценке видимой яркости светил и при измерении громкости шума мы имеем дело с логарифмической зависимостью между величиной ощущения и порождающего его раздражения? Нет, то и другое – следствие общего закона (называемого "психофизическим законом Фехнера"), гласящего: величина ощущения пропорциональна логарифму величины раздражения.

Как видим, логарифмы вторгаются и в область психологии.

(32  слайд) Свойство логарифмической спирали находит применение в технике. Дело в том, что в технике часто применяются вращаю­щиеся ножи (рис. 10). Сила, с которой они давят на разрезаемый материал, зависит от утла резания, т.е. угла между лезвием ножа и направлением ско­рости вращения. Для постоянного давления нужно, чтобы угол резания сохранял постоянное значение, а это будет в том случае, если лезвия ножей очерче­ны по дуге логарифмической спирали. Величина угла резания зависит  от обрабатываемого материала.

В гидротехнике по логарифмической спирали изгибают трубу, проводящую поток воды к лопастям турбины. Благодаря такой форме трубы потери энергии на изменение направления течения в трубе оказываются минимальными и напор воды используется с максимальной производительностью.

(33  слайд)            И эту спираль мы повсюду встречаем:

                               к примеру, ножи в механизме вращая.
                               В изгибе трубы мы ее обнаружим  –

                               турбины тогда максимально послужат!

(34  слайд) Логарифмическая спираль в архитектуре: Шуховская башня в Москве.

(35  слайд)  В начале XXI века логарифмические линейки получили второе рождение в наручных часах. Дело в том, что следуя моде производители дорогих и престижных марок часов перешли от электронных хронометров с ЖК- экранами к стрелочным и соответственно места для встраиваемого калькулятора оказалось недостаточно. Однако спрос на хронометры со встроенным вычислительным устройством среди следящих за модой людей заставил производителей часов выпустить модели с встроенной логарифмической линейкой выполненной в виде вращающихся колец со шкалами вокруг циферблата.

(36  слайд) Логарифмические линии в природе замечают не только математики, но и художники, например, этот вопрос чрезвычайно волновал Сальвадора Дали.

Его навязчивой идеей стала картина Вермеера «Кружевница», репродукция которой висела в кабинете его отца. Много лет спустя Сальвадор Дали попросил в Лувре разрешение написать копию с этой картины. Затем попросил киномеханика показать на экране репродукцию нарисованной копии. Он объяснил, что, пока не написал эту копию, в сущности, почти ничего не понимал в «Кружевнице», и ему понадобилось размышлять над этим вопросом целое лето, чтобы осознать, наконец, что он инстинктивно провёл на холсте строгие логарифмические кривые.

1)      Повторить определение логарифма, подчеркнуть ограничения.

( слайд 37) Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число b.

Примеры: ;  ;     (примеры на доске)

( слайд 39) Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число b.
Формулу а^log_a^b = b (где b > 0, а > 0 и а ≠1) называют основным логарифмическим тождеством.

Примеры: 7 ^loq₇ ³=3;   5^loq₅ ¹²= 12;  (примеры на доске)

( слайд 41)                                        Свойства логарифмов

Пусть а > 0, а ≠ 1, b > 0, с > 0, тогда справедливы формулы

log_abc = log_ab + log_ac

Примеры: (на доске)

1)      log₈ 16 + log₈ 4 = log₈(16•4) = log₈64 = 2;

2)     log₅ 375– log₅ 3 = log₅  = log₅ 125 = 3;  

3)       log₂ 8 = log₂ 2³ = 3

( слайд 43)  Логарифмической называется функция вида у = log_a x, где а – заданное число, а > 0, а ≠ 1.

( слайд 44)  Основные свойства логарифмической функции:

1. Областью определения логарифмической функции будет являться все множество положительных действительных  чисел: х > 0

2. Областью значения логарифмической функции будет являться все множество действительных  чисел.

3. Если основание логарифмической функции a  > 1, то на всей области определения функция  возрастает.

4. Если основание логарифмической функции      , то на всей области определения функция убывает.

5.  Функция не является четной или нечетной. Логарифмическая функция – функция общего вид.

6.  График логарифмической функции всегда проходит через точку (1;0).

Примеры:  (на доске)

а) Сравнить с нулем:  .

Поскольку основание логарифма больше 1 (а = 7) и значение, стоящее под знаком логарифма, больше 1 (b = 35), то из свойств логарифмической функции    > 0

б) Сравните числа:

Поскольку основание логарифма больше 1 (а = 2) функция является возрастающей.

25 < 34, следовательно

в) Найдите область определения функции .   

По определению логарифма 10 – х  > 0, следовательно  х < 10

1.      Решение логарифмических уравнений.     (на доске)        

1)      Уравнения вида логарифм равен числу: 

Алгоритм решения:  найти область определения функции, воспользоваться определением логарифма

Пример: а) log₄ х = 2;    Решение: х  > 0, х = 4², х = 16         

2)      Уравнения вида логарифм равен логарифму:

Алгоритм решения:  найти область определения функции, воспользоваться равенством аргументов равных функций

Пример:  а) log₂( х – 7) = log₂( 11 – х);     

 Решение: х -7 > 0  и 11 – х > 0 Þ х > 7 и х < 11 Þ

7 < х < 11;   х – 7 = 11 – х;  2х = 18; х = 9

1.      Решение логарифмических неравенств. Рассказать алгоритм решения неравенства log_af(x) > log_a g(x);      (на доске)

Алгоритм решения:  найти область определения функции,  определить возрастает или убывает функция, сравнить аргументы.

Пример:  log_0,3 x > log_0,3 5        х > 0;  0 < а = 0,3 < 1,   Þ функция убывает Þ х < 5; учитывая область определения, имеем 0 < х < 5

Российская Федерация

Министерство образования Калининградской области

ГОСУДАРСТВЕННОЕ бюджетное УЧРЕЖДЕНИЕ КАЛИНИНГРАДСКОЙ ОБЛАСТИ ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ

ГБУ КО ПО   ГАПК; ОГРН 1023900551751; ИНН  3902001449;  КПП 390201001;

238050, Калининградская область, г. Гусев, ул. Тимирязева, 3; тел./факс: (40143) 3-38-40;

тел.: 3-37-66; 3-19-89; 3-18-05;  электронная почта: gapk@mail.ru;  интернет-сайт:  www.gapk.ru

     Рассмотрено                                                                              Утверждаю

на заседании цикловой                                            Зам. директора по УПР ГБУ КО ГАПК                                                   

методической комиссии                                           Бураков В.И.

общеобразовательных дисциплин                                     

протокол №                                                               

от                         2014 г                                               «          «                           2014 г.

Председатель Н.А. Аскерова

.

План

открытого урока

по дисциплине «Алгебра и начала анализа»

«Логарифмы и их свойства. Логарифмическая функция.

Решение логарифмических уравнений и неравенств»

Дата проведения: 21. 03. 2014 г.

Продолжительность: 1 час 20 мин.

Кабинет: № 112

Преподаватель: Редькина И.М.

Гусев

2014

Тема программы:  Логарифмы

Тема урока: Логарифмы и их свойства. Логарифмическая функция. Решение логарифмических уравнений и неравенств.

Преподаватель: Редькина И.М.

Цели урока:

Методическая: использование нетрадиционных форм проведения урока  (урок – семинар)       Обучающая: закрепить знания и умения обучающихся по теме.

Воспитательная: способствовать воспитанию познавательного интереса к изучаемой дисциплине, самостоятельности при выполнении заданий.

Развивающая: способствовать формированию творческого подхода при решении стандартных и нестандартных заданий, аналитического и логического мышления, умению применять полученные знания при выполнении заданий.

Осваиваемые компетенции: ОК 02; ОК 03; ОК 04.

Тип урока: урок повторения и обобщения изученного материала.

Метод проведения: урок – семинар

ВПС: степень числа с натуральным показателем, обыкновенная и десятичная дроби, арифметическая и геометрическая прогрессии.

МПС: все науки, использующие математический аппарат.

Оснащение урока:

 мультимедийное оборудование;

 презентация;

 доклады

 листы ответов на задания самостоятельных работ

Задачи урока:

1.      Активизация учебно-познавательной деятельности при повторении.

2.      Актуализация и систематизация знаний обучающихся, закрепление ранее изученного материала.

3.      Развитие логического мышления при выполнении заданий.

4.      Развитие коммуникативной компетентности на уроке как условия обеспечения взаимопонимания, побуждения к действию.

Структура урока.

Литература.

1.      П.И. Пидкасистый, Ж.К. Хайдаров  Технология игры в обучении и развитии, М., 2004

2.      О.Е. Саенко  Организация и содержание методической работы в колледже, М., 2007

3.      В.Д. Пурин  Педагогика среднего профессионального образования, Ростов-на-Дону, 2006

4.      М. Бутз, Р. Фольтус, Э. Цохен  Работа в группах (сборник методических материалов), Калининград, 2005

5.       Сергиенко Л.Ю., Самойленко П.Н. «Планирование учебного процесса по математике» - М.: Высшая школа, 2007

6.       Н.В. Богомолов «Математика задачи с решениями» - М.: Дрофа, 2010

7.       К.И. Мазур «Решебник всех конкурсных задач по математике» под редакцией М.И. Сканави – Украинская энциклопедия 1995  – т. 2.

8.       А.Х. Шахмейстер «Уравнения» - Спб.: «ЧеРо-на Неве», 2003

9.      Материалы курса «Уравнения и неравенства в школьном курсе математики»: Лекции 1-8. – М.: Пед. Университет «Первое сентября», 2010

10.   «Алгебра и начала анализа» 10-11 кл. А.Н. Колмагоров – М.: ВАКО, 2004

11.   Журнал (методический) «Математика» №9 октябрь 2012

12.  «Алгебра и начала анализа» 10-11 кл. Алимов и др. 2007

ХОД УРОКА

Критерии оценки работы обучающихся.

Всего обучающимся предложено 18 вычислительных заданий.

Мотивация выбора педагогической технологии.

Современные педагоги постоянно ищут новые формы "оживления" процесса объяснения материала и обратной связи, которые помогут активизировать всех обучающихся, повысить их интерес к занятиям и вместе с тем обеспечат быстроту запоминания, понимания и усвоения учебного материала.
Нетрадиционные уроки - это занятия, которые аккумулируют методы и приемы различных форм обучения. Они строятся на совместной деятельности педагога и обучающихся, на совместном поиске, на эксперименте по отработке новых приемов с целью повышения эффективности учебно-воспитательного процесса.
Конечно, весь учебный процесс переводить на "нетрадиционные рельсы" не нужно. Именно традиционный урок должен быть основной формой обучения и воспитания, но разнообразить учебный процесс нестандартными занятиями необходимо, т. к. они помогут активизировать мыслительную деятельность обучающихся, развить их творческие способности, повысить мотивацию  к учению. А при проведении педагогами открытых уроков нетрадиционная форма занятий всегда будет являться выигрышной, т. к. в нее можно включить и игровые моменты, и оригинальную подачу материала, и различные виды коллективной и групповой работы обучающихся.

Одним из видов нетрадиционных  уроков является урок – семинар.

Урок-семинар - одна из форм организации учебной деятельности, старая, известная, однако, ее нельзя назвать часто использующейся. Этот факт можно объяснить тем, что на уроке-семинаре выявляется не столько степень усвоения обучающимися теоретического материала, сколько сформированность  общеучебных умений и навыков, определенных программой при изучении указанного материала, причем обучающийся должен практически применить знания и умения не только в известных ему, привычных, но и в новых ситуациях. Вот почему урок-семинар - не та форма работы с обучающимися, которую можно использовать ежедневно, но при этом трудно переоценить ее роль в воспитании самостоятельности учащихся, формировании умения работать со справочной литературой и развитии навыков монологической речи.

На подготовку к семинару отводится неделя. За неделю на стенд вывешивается план семинара. Обучающиеся  разбиваются  на  группы  по уровню  знаний. Каждая группа выбирает себе вопрос и готовит выступление, используя учебник, дополнительную литературу, консультацию преподавателя. Преподаватель следит за подготовкой к семинару, добивается того, чтобы все вопросы семинара были разобраны. На каждый вопрос группа обучающихся готовится по следующей схеме:

1.      Объяснить теоретический материал по вопросу.

2.      Показать применение теории на примере.

3.      Предложить практическую часть по данному вопросу одноклассникам, оценить их решение. Практическую часть можно составить в виде теста, устных упражнений, небольшой самостоятельной работы.

При подготовке к данному семинару были сформированы 3 группы обучающихся, которым  были предложены следующие вопросы:

1 группа:

1.      История логарифма.

2.      Определение логарифма. Основное логарифмическое тождество. Свойства логарифмов.

2 группа:

1.      Логарифмы в природе.

2. Логарифмическая функция и ее свойства.

3 группа:

1.      Применение логарифмов в различных сферах жизнедеятельности человека.

2. Решение логарифмических уравнений. Решение логарифмических неравенств.

Конспект урока

1.      Организационный момент (слайды 1, 2)

2.       Объяснение хода предстоящей работы (слайд 3)

3.       История логарифма. Логарифмам 400 лет (слайды 4 – 8)

4.        Логарифмы в природе (слайды 9 – 28)

5.        Применение логарифмов в различных сферах жизнедеятельности человека (слайды 29 – 36)

6.        Определение логарифма. Основное логарифмическое тождество. Свойства логарифмов (слайды 37 – 42)

1)      Повторить определение логарифма, подчеркнуть ограничения.

( слайд 37) Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число b.

Примеры: ;  ;     (примеры на доске)

 ( слайд 38) Самостоятельная работа на применение определения логарифма

2)      Сформулировать и записать основное  логарифмическое тождество, показать применение его на примерах;

( слайд 39) Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число b.
Формулу а^log_a^b = b (где b > 0, а > 0 и а ≠1) называют основным логарифмическим тождеством.

Примеры: 7 ^loq₇ ³=3;   5^loq₅ ¹²= 12;  (примеры на доске)

( слайд 40) Самостоятельная работа на применение основного логарифмического тождества:

3)      Перечислить все свойства логарифмов, которые изучали на уроках.

( слайд 41)                                        Свойства логарифмов

Пусть а > 0, а ≠ 1, b > 0, с > 0, тогда справедливы формулы

log_abc = log_ab + log_ac

Примеры: (на доске)

1)      log₈ 16 + log₈ 4 = log₈(16•4) = log₈64 = 2;

2)     log₅ 375– log₅ 3 = log₅  = log₅ 125 = 3;  

3)       log₂ 8 = log₂ 2³ = 3

( слайд 42)  Решите тест на применение свойств логарифмов

1. Вычислить: lg 5 + lg 2.

     1) lg7;     2) 1;     3) 0;    4)10.

2. Вычислить: log₂ 15 – log₂ 15/16.

     1) 4;      2) -4;      3)1/4;     4) -1/4.

3. Вычислить: log₁₃ ⁵√169.

     1)2,5;     2)-2,5;    3)2/5;    4)-2/5.

4. Найти значение выражения: log₈ 12 – log₈ 15 + log₈ 20.

     1) 2;      2) 4/3;     3) 3/4     4) 1/2.

5. Вычислить: log₃ 8

                         log₃ 2

     1) 3;      2) 1/3      3) -3;    4)-1/3.

7.      Логарифмическая функция и ее свойства (слайды 43 – 45)

1)      Дать определение логарифмической функции, показать график, описать ее свойства. Особо подчеркнуть различия в поведении функции при основании большем единицы  и основании большем нуля, но меньшем единицы.

( слайд 43)  Логарифмической называется функция вида у = log_a x, где а – заданное число, а > 0, а ≠ 1.

( слайд 44)  Основные свойства логарифмической функции:

1. Областью определения логарифмической функции будет являться все множество положительных действительных  чисел: х > 0

2. Областью значения логарифмической функции будет являться все множество действительных  чисел.

3. Если основание логарифмической функции a  > 1, то на всей области определения функция  возрастает.

4. Если основание логарифмической функции      , то на всей области определения функция убывает.

5.  Функция не является четной или нечетной. Логарифмическая функция – функция общего вид.

6.  График логарифмической функции всегда проходит через точку (1;0).

Примеры:  (на доске)

а) Сравнить с нулем:  .

Поскольку основание логарифма больше 1 (а = 7) и значение, стоящее под знаком логарифма, больше 1 (b = 35), то из свойств логарифмической функции    > 0

б) Сравните числа:

Поскольку основание логарифма больше 1 (а = 2) функция является возрастающей.

25 < 34, следовательно

в) Найдите область определения функции .   

По определению логарифма 10 – х  > 0, следовательно  х < 10

( слайд 45)  Самостоятельная работа на применение свойств логарифмической функции:

 а) Расположите в порядке возрастания числа log_0,3 3;

Ответ: log_0,3 3;  

 б) Какое из данных чисел положительное?

           1) log_1,1 0,1;     2) log₁₁ 0,5;     3) lg 0,9;     4) log_0,1 0,5.  

  в) Найдите область определения функции  

  Ответ: х  > -3

8.      Решение логарифмических уравнений.    (на доске)        

1)      Уравнения вида логарифм равен числу: 

Алгоритм решения:  найти область определения функции, воспользоваться определением логарифма

Пример: а) log₄ х = 2;    Решение: х  > 0, х = 4², х = 16         

2)      Уравнения вида логарифм равен логарифму:

Алгоритм решения:  найти область определения функции, воспользоваться равенством аргументов равных функций

Пример:  а) log₂( х – 7) = log₂( 11 – х);     

 Решение: х -7 > 0  и 11 – х > 0 Þ х > 7 и х < 11 Þ

7 < х < 11;   х – 7 = 11 – х;  2х = 18; х = 9

9.      Решение логарифмических неравенств. Рассказать алгоритм решения неравенства log_af(x) > log_a g(x);      (на доске)

Алгоритм решения:  найти область определения функции,  определить возрастает или убывает функция, сравнить аргументы.

Пример:  log_0,3 x > log_0,3 5        х > 0;  0 < а = 0,3 < 1,   Þ функция убывает Þ х < 5; учитывая область определения, имеем 0 < х < 5

( слайд 46)  Самостоятельная работа:

а) log₂(2 – х) = log₂ 3;      б)  log₈ (5х-10) <  log₈(14-х)

Ответы: а) х = -1   б) 2 < х < 4

10.  Подведение итогов

11.  Информация о домашнем задании: стр. 112 задание «Проверь себя».

12.  Рефлексия (слайд 47)

13.  Релаксация

Лист ответов

Ф.И.О.

1.     Определение логарифма

2.     Основное  логарифмическое тождество

3.     Свойства логарифмов

1)

2)

3)

4)

5)

4.      Логарифмическая функция и ее свойства

а)

б)

в)

5.      Логарифмические уравнения и неравенства

а)

б)