Выбранный для просмотра документ 10 кл А применение производной к исследованию функции.ppt
Скачать материал "Презентация к уроку математики 10 класс, алгебра «Применение производной к исследованию функции на монотонность и экстремумы»"
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Курс повышения квалификации
Курс повышения квалификации
Курс профессиональной переподготовки
1 слайд
Применение производной для исследования функции на монотонность и экстремумы
2 слайд
Х
У
0
касательная
α
k – угловой коэффициент прямой (касательной)
Геометрический смысл производной: если к графику функции y = f(x)
в точке с абсциссой можно провести касательную, непараллельную оси у,
то выражает угловой коэффициент касательной, т.е.
Поскольку , то верно равенство
3 слайд
х
у
Если α < 90°, то k > 0.
Если α > 90°, то k < 0.
Если α = 0°, то k = 0.
Касательная параллельна оси ОХ.
0
4 слайд
Теорема 1. Если во всех точках открытого промежутка Х выполняется неравенство f!(х)≥0 (причем равенство f!(х)=0 выполняется лишь в изолированных точках), то функция у= f(х) возрастает на промежутке Х.
Теорема 2. Если во всех точках открытого промежутка Х выполняется неравенство f!(х)≤0 (причем равенство f!(х)=0 выполняется лишь в изолированных точках), то функция у= f(х) убывает на промежутке Х.
Теорема 3. Если во всех точках открытого промежутка Х выполняется равенство f!(х)=0,то функция у= f(х) постоянна на промежутке Х.
5 слайд
Пример: Исследовать на монотонность функцию у=2х3+3х2 – 1.
Исследовать функцию на монотонность – это значит выяснить, на каких промежутках области определения функция возрастает, а на каких – убывает. Согласно теоремам 1 и 2, это связано со знаком производной.
Найдем производную данной функции:
6 слайд
f!(х)=6х2+6х=6х (х+1)
Если функция непрерывна не только на открытом промежутке, но и в его концевых точках (именно так обстоит дело для заданной функции), эти концевые точки включают в промежуток монотонности функции.
-1
0
+
х
+
f!(х)
f(х)
Ответ: функция возрастает хЄ(-∞; - 1], [0;+∞), функция убывает хЄ[-1 ; 0]
7 слайд
Точки экстремума функции и их нахождение
Рассмотрим график функции у=2х3+3х2–1
х
у
- 1
0
На графике две уникальные точки: (-1;0) и (0;-1). В этих точках:
1) происходит изменение характера монотонности функции;
2) касательная к графику функции параллельна оси Х (или совпадает с осью Х), т.е. производная функции в каждой из указанных точек равна нулю;
3) f(-1) – наибольшее значение функции, но не во всей области определения, а по сравнению со значениями функции из некоторой окрестности точки х = - 1. Также f(0) – наименьшее значение функции в окрестности точки х=0
8 слайд
Определение 1. Точку х=х0 называют точкой минимума функции у = f(х), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой (кроме самой точки х=х0) выполняется неравенство
f(х)>f(х0).
Определение 2. Точку х=х0 называют точкой максимума функции у = f(х), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой (кроме самой точки х=х0) выполняется неравенство
f(х)<f(х0).
9 слайд
Значение максимума и минимума обозначаются:
уmax , ymin соответственно.
ВНИМАНИЕ!!!
Только не путать с наибольшим (или наименьшим) значением функции во всей рассматриваемой области определения, эти значения в окрестности некоторой точки Х, являются наибольшими (или наименьшими).
Точки минимума и максимума функции называют – точки экстремума (от латинского слова extremum – «крайний»)
10 слайд
Теорема 4. Если функция у = f(х) имеет экстремум в точке х=х0, то этой точке производная либо равна нулю, либо не существует.
Внутренние точки области определения функции, в которых производная функции равна нулю, называют стационарными, а внутренние точки области определения функции, в которых функция непрерывна, но производная не существует – критическими.
11 слайд
Теорема 5 (достаточные условия экстремума). Пусть функция у = f(х) непрерывна на промежутке Х и имеет внутри промежутка стационарную или критическую точку х=х0.Тогда:
1) Если у этой точки существует такая окрестность, в которой при х<х0, выполняется неравенство f1(x)<0, при х>х0 – неравенство f1(x)>0, то х=х0 – точка минимума функции у=f(x);
2) Если у этой точки существует такая окрестность, в которой при х<х0 выполняется неравенство f1(x) >0, а при х>х0 – неравенство f1(x)<0, то х=х0 – точка максимума функции у=f(x);
3) Если у этой точки существует такая окрестность, что в ней и слева и справа от точки х0 знаки производной одинаковы, то в точке х0 экстремума нет.
12 слайд
Для запоминания!!!
min
max
Экстремума нет
Экстремума нет
13 слайд
Пример:Найти точки экстремума функции у=3х4 – 16х3 + 24х2 – 11.
Решение: найдем производную данной функции: у1=12х3 – 48х2 + 48х.
Найдем стационарные точки:
12х3 – 48х2 + 48х=0
12х(х2 – 4х + 4)=0
Производная обращается в нуль в точках х=0 и х=2
12х(х – 2)2=0
-
+
+
0
2
х
Значит, х=0 – точка минимума.
Ответ: уmin= - 11.
14 слайд
Алгоритм исследования непрерывной функции у=f(х) на монотонность и экстремумы:
Найти производную f1(х).
Найти стационарные (f1(х)=0) и критические (f1(х) не существует) точки функции у=f(х).
Отметить стационарные и критические точки на числовой прямой и определить знаки производной на получившихся промежутках.
На основании теорем 1, 2, и 5 сделать выводы о монотонности функции и о ее точках экстремума.
15 слайд
Пример: Исследовать функцию
на монотонность и экстремумы
16 слайд
16
На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале ( - 8; 3). Определить количество целых точек, в которых производная функции отрицательна
17 слайд
17
Ответ: 4
18 слайд
18
На рисунке изображен график производной функции y=f(x), определенной на интервале ( - 7; 5). Найти точку экстремума функции на отрезке [-6; 4]
19 слайд
19
Ответ: - 3
20 слайд
20
На рисунке изображен график производной функции y=f(x), определенной на интервале ( - 3; 8). Найти количество точек максимума функции на отрезке [- 2; 7]
21 слайд
21
Ответ: 2
22 слайд
22
На рисунке изображен график производной функции y=f(x), определенной на интервале ( - 3; 8). Найти промежутки убывания функции. В ответе указать сумму целых точек, входящих в эти промежутки
23 слайд
23
Ответ: 16
24 слайд
24
На рисунке изображен график производной функции y=f(x), определенной на интервале ( - 11; 3). Найти промежутки возрастания функции. В ответе указать длину наибольшего из них
25 слайд
25
Ответ: 6
26 слайд
Работа с учебником:
№30.12, 30.13, 30.26
Домашнее задание:
№30.03, 30.12, 30.13, 30.26
27 слайд
Спасибо за урок!!!
28 слайд
Источники изображений
http://i.allday.ru/uploads/posts/2009-08/thumbs/1250058141_12.jpg
http://www.ccboe.net/Teachers/Durham_Sharon/images/918F9422010B4BB0B160956D6B9D4E34.JPG
http://www.utkonos.ru/images/it/027/008/006/1238197P.jpg
http://www.caringbahlearningcentre.com.au/assets/images/calc.JPG
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Данная презентация предназначена для учеников 10 класса и учителей работающих в этом классе. Презентация разработана по учебнику «Математика 10" /А.Г.Мордкович, И.М.Смирнова, Л.О. Денищева и др./; под редакцией А.Г.Мордковича, И.М. Смирновой - Москва «Мнемозина», 2009г.
В презентации рассмотрено повторение изученного материала. Повторяется геометрический смысл производной, рассматривается угловой коэффициент. Теоретический материал новой темы можно разбирать в парах используя учебник, конспектируя основные теоремы.
Данны примеры с решеним и пример для самостоятельного (можно разбирать их решение в группах с обязательной проверкой).
Примеры для индивидуальной работы по закреплению изученного материала.
6 789 733 материала в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Пудрик Анна Александровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Вы сможете бесплатно проходить любые из 4656 курсов в нашем каталоге.
Перейти в каталог курсов
Мини-курс
3 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.