Мастер – класс для учителей
«Очевидное -невероятное».
АВТОР Бадыкова Светлана Геннадьевна
Предмет: математика
Ни для кого не секрет, что математика
сложный предмет, который требует плодотворного труда. Математику нельзя выучить
(«зазубрить»), её надо понять! А как понять предмет, если он кажется ученику
скучным , уроки однообразными. Вот здесь и нужна педагогическая находчивость,
которая имеет одну цель – заинтересовать с помощью эффективных приёмов, средств
и методов работы, которые представляю вашему вниманию .
Здравствуйте,
уважаемые коллеги! Я думаю, что вы ,как и я, задумывались над вопросами:
«Какие условия должны быть созданы для того чтобы ребёнку было интересно
учиться? Как сделать , чтобы интеллектуальная активность ученика была высока?»
Нам хочется видеть ученика мыслящего ярко, неординарно, гибко, умеющего
обобщать, анализировать, умеющего видеть необычное в обычном. Школа должна
учить думать и творить. На мой взгляд, одним из приёмов , способствующих
достижению этой цели является создание ситуации «открытия». Если ребёнок каждый
день, каждый урок делает для себя какое-то «открытие» (пусть небольшое) ,
интерес к предмету будет высок.
Сообщить готовое
быстрее, чем открывать его вместе с учениками. Но от “прослушанного”, как
известно, через две недели в памяти остается только 20%. Важно сделать учащихся
участниками научного поиска. Рассуждая вслух, высказывая предположения,
обсуждая их, доказывая истину, учащиеся включаются в деятельность, которая
носит исследовательский характер. Таким образом, получают своё развитие
компетенции, о реализации которых я говорила, представляя инновационный проект
«Компетентностный подход на уроках математики». Данные компетенции мы с вами
попробуем проследить в ходе мастер-класса.
Сегодня я
предлагаю вашему вниманию мастер-класс по теме «Очевидное невероятное», целью которого является
показать эффективные приёмы, средства и методы работы по формированию интереса
к предмету с помощью открытия невероятного в очевидном и самом обычном.
Итак, мы
начинаем.
У
каждого из нас есть интуитивное представление о том, что такое
"поверхность". Поверхность листа бумаги, поверхность стен класса,
поверхность земного шара известны всем. Может ли быть что-нибудь неожиданное и
даже таинственное в таком обычном понятии? Рассмотрим фокус.
ФОКУС
"ВЫВЕРТЫВАНИЕ ЖИЛЕТА НАИЗНАНКУ"
Зритель, носящий жилет, снимает
пиджак и, соединив пальцы, вытягивает руки вперед. Вопрос залу:
Можно ли вывернуть жилет наизнанку, не разнимая пальцев?
Казалось бы, этот
фокус никак не связан с математикой. Однако это не так. В ходе мастер- класса
возможно кому-нибудь удастся разгадать этот фокус. А мы поработаем с другими
объектами математики – с бумажными кольцами.
Каждому
участнику мастер-класса даю два кольца, которые они должны разрезать по линии.
Что же у нас получится?
В первом случае
все просто: из одного широкого кольца получаются два узких. А во тором случае
получилось не два кольца, а одно, вдвое уже, но вдвое длиннее первоначального.
К тому же перекручено оно два раза.
Почему так
получилось? (вопрос к участникам и залу).
Первое кольцо
получилось путем простого соединения концов ленты без перекручивания. Второе
кольцо получается при соединении концов ленты, перекрученной один раз на 180
градусов.
Это знаменитое
в математике бумажное кольцо. У него есть даже особое название - лист Мебиуса.
У этого листа масса удивительных свойств. Рассмотрим некоторые из них.
Группам даю по
одному кольцу: одно - обычное, другое - лист Мёбиуса. Задание: покрасить одну
сторону каждого кольца, не переходя через край, кусок за куском, не отрывая
руку от кольца.
А с вами,
уважаемые коллеги (обращение к залу) , мы поработаем с кольцом , которое получили
в результате разрезания Листа Мёбиуса. А ,ну-ка, разрежем второе кольцо еще
раз посередине. Как вы думаете что получится?
Получится два
сцепленных друг с другом кольца, каждое из которых дважды перекручено. Вот
такие неожиданные вещи происходят с простой бумажной полоской, если склеить ее,
перекрутив один раз на 180 градусов.
(Обращение к
участникам) Покажите , что у вас получилось.
И что же? У
первого кольца оказалась закрашенной одна сторона. Лист Мебиуса закрасили весь
Кто может сказать
, каким свойством обладает лист Мёбиуса?
Лист Мёбиуса –
односторонняя поверхность.
Рассмотрим
ещё одно свойство листа Мёбиуса. Группам даю по одному кольцу: одно - обычное,
другое - лист Мёбиуса.
Задание.
На внутреннюю сторону каждого кольца посадите паука, а на наружнюю - муху и
разрешается им ползать как угодно, запрещено лишь перелезать через края
кольца. Сможет ли паук добраться до мухи и съесть муху?
Если
на внутреннюю сторону обычного кольца посадить паука, а на наружнюю - муху и
разрешить им ползать как угодно, запретив лишь перелезать через края кольца,
то паук не сможет добраться до мухи. А если их обоих посадить на лист Мебиуса,
то бедная муха будет съедена, если, конечно, паук ползет быстрее!
Значит,
ещё каким свойством обладает лист Мёбиуса?
Он
имеет один край.
"Таинственный"
и знаменитый лист Мебиуса (иногда говорят: лента Мебиуса) придумал в 1858
году немецкий математик Август Фердинанд Мебиус (1790 - 1868), ученик
"короля математики" Гаусса. Мебиус первоначально был астрономом, как
Гаусс и многие другие из тех, кому математика обязана своим развитием. В те
времена занятия математикой не встречали поддержки, а астрономия давала
достаточно денег, чтобы не думать о них, и оставляла время для занятия
математикой. И Мебиус стал одним из крупнейших математиков 19 века. В возрасте
68 лет ему удалось сделать открытие поразительной красоты. Это открытие
односторонних поверхностей, одна из которых - лист Мебиуса.
Лист Мебиуса -
один из объектов области математики под названием топология (по-другому,
"геометрия положения"). Удивительные свойства лист Мебиуса - он
имеет один край, одну сторону - не связаны с его положением в пространстве, с
понятиями расстояния, угла и тем не менее имеют вполне геометрический
характер. Изучением таких свойств занимается топология. Оказывается, свойства
такого типа, несмотря на кажущуюся их непривычность, связаны с наиболее
абстрактными математическими дисциплинами, именно с алгеброй и теорией функций.
В
топологии изучаются свойства фигур и тел, которые не меняются при их
непрерывных деформациях (как если бы они были сделаны из резины).
С
точки зрения топологии баранка и кружка - это одно и то же. Сжимая и
растягивая кусок резины, можно перейти от одного из этих тел ко второму. А
вот баранка и шар - разные объекты: чтобы сделать отверстие, надо разорвать
резину.
Можно
придумать и другие комбинации разрезания лент. ПОПЫТАЙТЕСЬ ЭТО СДЕЛАТЬ.
Каждая группа склеивает лист Мёбиуса и проводит опыт, например , разделив лист
Мёбиуса на 3; 4; 5 и т.д. частей.
В это время с
залом обсуждаем фокус с жилетом.
Кто
догадался , как вывернуть жилет наизнанку, не разнимая пальцев?
Оказывается,
можно. Для этого нужно расстегнуть жилет, поднять его над головой так, чтобы
он повис на руках, вывернуть там наизнанку, просовывая через одно из отверстий
для рукавов, и, наконец, надеть снова.
Фокус разгадан. С
точки зрения топологии жилет можно рассматривать как двустороннюю поверхность
с тремя не сцепленными краями, каждый из которых является обыкновенной
замкнутой кривой. Застегнутый жилет является двусторонней поверхностью с
четырьмя краями.
Давайте
усложним этот фокус. Вывернуть жилет наизнанку со связанными руками, не
снимая предварительно пиджака.
Вернёмся
к опытам с листом Мёбиуса
Если
разделить каждую сторону ленты на три одинаковые полоски, склеить лист
Мёбиуса, и, не отрывая ножниц от бумаги, разрежем по всем пунктирным линиям
сразу и получим два сцепленных кольца. Одно из них вдвое длиннее исходного и
перекручено два раза. Второе - лист Мебиуса, ширина которого втрое меньше,
чем у исходного.
Если
разделить каждую сторону ленты на 4 одинаковые полоски, склеить лист Мёбиуса,
и, не отрывая ножниц от бумаги, разрежем по всем пунктирным линиям сразу и
получим два завязанных в узел кольца, ширина которых в 4 раза меньше, чем у
исходного, а длина в 2 раза больше ,чем у исходного.
Почему
при разрезании листа Мебиуса получаются кольца длиннее, чем первоначальное?
При
разрезании листа Мебиуса отрезанные края соединяются вместе.
Нужна
ли топология на практике?
Да, нужна. Приведем простейший пример. Свойство одностороннего листа Мебиуса
было использовано в технике. Если у ременной передачи ремень сделать в виде
Мебиуса, то его поверхность будет изнашиваться вдвое медленнее, чем у
обычного кольца. Это дает ощутимую экономию. Заметим, что свойство
односторонности не исчезает у поверхности, если его гнуть, растягивать,
сжимать, но не склеивать и не рвать.
У
входа в музей истории и техники в Вашингтоне медленно вращается на пьедестале
стальная лента, закрученная в полвитка. И это не случайно. Патентная служба
зарегистрировала немало изобретений, в основе, которых лежит всё та же
односторонняя поверхность. В 1923 году выдан патент изобретателю Ли де форсу,
который предложил записывать звук на киноленте без смены катушек, сразу с двух
сторон. Придуманы кассеты для магнитофона, где лента перекручивается и
склеивается в кольцо, при этом появляется возможность записывать или считывать
информацию сразу с двух сторон, что увеличивает ёмкость кассеты и
соответственно время звучания.
В
1969 году советский изобретатель Губайдуллин предложил бесконечную шлифовальную
ленту в виде листа Мёбиуса. В 1971 году изобретатель с Урала Чесноков П.Н.
применил фильтр в виде листа Мёбиуса. И это только ничтожная часть примеров
использования этой удивительной поверхности.
Есть
гипотеза, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мебиуса и
только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия. Больше
того - такая структура вполне логично объясняет причину наступления
биологической смерти - спираль замыкается сама на себя и происходит
самоуничтожение.
Лента
Мёбиуса и другие объекты топологии не раз применялись фокусниками в цирке
В
2008 году российский учёный – физик Юрий Арутюнов установил две ленты Мёбиуса
на концах самолётного крыла, сопротивление воздушной массы снизилось. За счёт
этого экономия авиационного топлива составила 10 -15% . Принцип листа Мёбиуса
актуален не только в технике. Американский кардиохирург профессор Джеральд
Бакберг установил что, сердечная мышца представляет собой лист Мёбиуса. Узнав
об этом, Ю. Арутюнов перевёл уравнения сердечных колебаний в режим ленты
Мёбиуса и теперь при операциях на сердце можно будет учитывать этот объективный
закон природы.
Главная ценность листа Мёбиуса состоит в том, что он дал
толчок новым обширным математическим исследованиям. Его часто считают символом
современной математики.
Что
нового вы сегодня узнали на мастер – классе?
О
свойствах листа Мёбиуса.
1.Лист
Мебиуса имеет одну сторону.
2.Лист Мёбиуса -
топологический объект. Как и любая топологическая фигура лента Мёбиуса не
меняет своих свойств, пока ее не разрезают, не разрывают или не склеивают его
отдельные куски.
3.Один
край и одна сторона листа Мебиуса не связаны с его положением в пространстве,
не связаны с понятиями расстояния
О
применении листа
Мёбиуса.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.