Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Проект конструкта занятий по математике с учащимися ПО «Обучение тьюторов для подготовки педагогов к проведению ГИА по математике»
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Проект конструкта занятий по математике с учащимися ПО «Обучение тьюторов для подготовки педагогов к проведению ГИА по математике»

Выбранный для просмотра документ Проект конструкта занятий по иатематике с учащимися.docx

библиотека
материалов

Правительство Свердловской области

Министерство общего и профессионального образования Свердловской области

Государственное образовательное учреждение дополнительного

профессионального образования Свердловской области

«Институт развития образования

(ГБОУ ДПО СО «ИРО»)



Кафедра естественнонаучного и математического образования







Проект конструкта занятий по математике с учащимися

ПО «Обучение тьюторов для подготовки педагогов к проведению ГИА по математике» (108 час.)







Хакимова Наталия Николаевна

Учитель I квалификационной категории

Перминова Елена Витальевна

Муниципальное казенное образовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа № 3» г. Верхняя Пышма











г. Екатеринбург 2012 г.

СОДЕРЖАНИЕ

Пояснительная записка

  1. Основная часть

    1. Нормативные документы и учебно-методическая литература

    2. Конструкт занятия «Методы решения геометрических задач»

Заключение

Список литературы

Приложение



Пояснительная записка

Основной целью государственной (итоговой) аттестации по геометрии выпускников девятых классов общеобразовательных учреждений является проведение открытой и объективной процедуры оценивания учебных достижений школьников, обладающей широкими дифференцирующими возможностями. Экзаменационная работа рассчитана на выпускников IX классов общеобразовательных учреждений (школ, гимназий, лицеев), включая классы с углубленным изучением математики. Результаты экзамена могут быть использованы при комплектовании профильных десятых классов, а также при приеме в учреждения системы начального и среднего профессионального образования без организации дополнительных испытаний.

1 Основная часть

1.1 Нормативные документы и учебно-методическая литература

1. Приказ МО РФ №1089 от 05.03.2004 «Об утверждении федерального компонента государственных образовательных стандартов начального, основного общего и среднего (полного) общего образования». Сборник нормативных документов. Математика. / Сост. Э.Д. Днепров, А.Г. Аркадьев.- М.: Дрофа, 2007.

2. Примерные программы основного и среднего (полного) общего образования по математике./ Сост. Э.Д.Днепров, А.Г. Аркадьев.- М.: Дрофа, 2007.

3. Приказ МО и Н РФ №2080 от 24.10.2010 г. «Об утверждении перечня учебников, рекомендованных (допущенных) к использованию в образовательном процессе в образовательных учреждениях, реализующих образовательные программы общего образования и имеющих государственную аккредитацию, на 2011 – 2012 учебный год».

4. Приказ МО и Н Свердловской области «О формировании учебных планов общеобразовательных учреждений Свердловской области на 2011-2012 учебный год».

5.Областной базисный учебный план Свердловской области (приказ МО и Н Свердловской области № 04-997 от 16.06.2011)

6. Письмо МО и Н Свердловской области № 103/3104 от 31.07.2009 г. «О разработке рабочих программ курсов, предметов, дисциплин (модулей) в общеобразовательных учреждениях Свердловской области.

7. Приложение к письму МО и Н Свердловской области от 28.06.2010 №103/3073 «О преподавании учебного предмета «Математика» в общеобразовательных учреждениях Свердловской области в 2010/2011 учебном году».

8. Приложение к письму МО и Н Свердловской области от 18.07.2011 №103/4275 «О преподавании учебного предмета «Математика» в общеобразовательных учреждениях Свердловской области в 2011/2012 учебном году».



1.2 Конструкт занятия

«Методы решение геометрических задач»

Цель занятия: организация и содержание подготовки к ГИА по данной теме.

Задачи занятия:

  1. Изучить темы по геометрии, подлежащей контролю в конце 9 класса.

  2. Решить задачи из вариантов ГИА-9 по темам:

  • Виды треугольников. Замечательные линии и точки в треугольнике (медиана, средняя линия, высота, биссектриса, серединный перпендикуляр к стороне).

  • Вписанная и описанная окружности.

  • Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника.

  • Теорема синусов.

  • Теорема косинусов.

  • Теорема Пифагора.

  • Виды четырехугольников. Свойства и признаки параллелограмма, прямоугольника, ромба, квадрата и трапеции.

  • Формулы площадей плоских фигур.

  • Координатный и векторный методы решения геометрических задач.

Учебное оборудование: доска, таблицы, проектор, компьютер

Дидактические материалы: тестовые задания из вариантов ГИА



Технологическая карта занятия

Этапы

занятия

Цель

Содержание учебного материала

Деятельность

учителя

Деятельность

учителей

Показатели

результатов

(результат деятельности учителя)

1. Подготовительный

Вспомнить теоремы и свойства треугольников, четырехугольников, многоугольников, окружности и векторов.

Решение простейших задач по готовым чертежам

Записывает на доске решение простейших геометрических задач

Оформляют решение простейших геометрических задач

Умение записать решение простейшей геометрической задачи

2. Исполнительский

Изучить свойства равнобедренного и прямоугольного треугольников, теорему Пифагора

Решение задач на применение теоремы Пифагора и свойств равнобедренного и прямоугольного треугольников

Организует работу по решению задач с использованием теоремы Пифагора и свойств равнобедренного и прямоугольного треугольников

Решают задачи на применение теоремы Пифагора и свойств равнобедренного и прямоугольного треугольников

Умение решать задачи на применение теоремы Пифагора и свойств равнобедренного и прямоугольного треугольников

3. Исполнительский

Изучить теоремы о подобии треугольников, площадей треугольников, о сумме углов треугольника и теорему синусов и косинусов.

Решение задач на применение теорем о подобии треугольников, площадей треугольников, о сумме углов треугольника и теоремы синусов и косинусов.

Организует работу по решению задач с использованием теорем о подобии треугольников, площадей треугольников, о сумме углов треугольника и теоремы синусов и косинусов.

Решают задачи на применение теорем о подобии треугольников, площадей треугольников, о сумме углов треугольника и теоремы синусов и косинусов.

Умение решать задачи на применение теорем о подобии треугольников, площадей треугольников, о сумме углов треугольника и теоремы синусов и косинусов.

4. Исполнительский

Изучить свойства и признаки параллелограмма, прямоугольника, ромба, квадрата и трапеции

Решение задач на применение свойств и признаков параллелограмма, прямоугольника, ромба, квадрата и трапеции

Организует работу по решению задач с использованием свойств и признаков параллелограмма, прямоугольника, ромба, квадрата и трапеции

Решают задачи на применение свойств и признаков параллелограмма, прямоугольника, ромба, квадрата и трапеции

Умение решать задачи на применение свойства и признаки параллелограмма, прямоугольника, ромба, квадрата и трапеции





5. Исполнительский

Изучить теоремы и свойства о правильных многоугольниках

Решение задач на применение теорем и свойств о правильных многоугольниках

Организует работу по решению задач с использованием теорем и свойств о правильных многоугольниках

Решают задачи на применение теорем и свойств о правильных многоугольниках

Умение решать задачи на применение теорем и свойств о правильных многоугольниках

6. Исполнительский

Изучить элементы и свойства окружности

Решение задач на применение свойств окружности

Организует работу по решению задач с использованием свойств окружности

Решают задачи на применение свойств окружности

Умение решать задачи на применение свойств окружности

7. Исполнительский

Изучить правила сложение и вычитания векторов и теорему о скалярном произведении векторов

Решение задач на применение правил сложение и вычитания векторов и теоремы о скалярном произведении векторов

Организует работу по решению задач с использованием правил сложение и вычитания векторов и теоремы о скалярном произведении векторов

Решают задачи на применение правил сложение и вычитания векторов и теоремы о скалярном произведении векторов

Умение решать задачи на применение правил сложение и вычитания векторов и теоремы о скалярном произведении векторов





8. Заключительная

Проверить усвоения методов решения геометрических задач

Самостоятельная работа

Организует самостоятельную работу по решению геометрических задач разными методами из вариантов ГИА

Решают геометрические задачи из вариантов ГИА

Умение решать геометрические задачи разными методами





Заключение

И так мы в своей работе описали решения геометрических задач по готовым чертежам (простейшие задачи ГИА первая часть), при решение второй и третьей части ГИА используются задачи для проверки состояния более сложных предметных умений – анализировать ситуацию, разрабатывать способ решения, проводить математически грамотные рассуждения.

Особую трудность при решении третьей (иногда второй) части работы, обычно, вызывают две главные причины:

  • Для рационального решения задачи нужно знать некоторые методы и приемы решения, которые, либо не рассматриваются при изучении планиметрии, либо тщательно не отрабатываются;

  • В задачах представлены не самые знакомые конфигурации и для того, чтобы применить известные факты, нужно уметь увидеть отдельные опорные подзадачи.

Изучив нормативные документы по подготовке к ГИА, выяснили, что геометрические входят в кодификатор элементов содержания по математике для проведения в 2012 году государственной (итоговой) аттестации. Поэтому организация изучения методов решения геометрических задач и решения таких задач из вариантов ГИА позволяет выпускнику успешно справиться заданиями такого типа в итоговой аттестации.



Список литературы

1. Атанасян Л.С. и др. Геометрия. Учебник для 7-9 кл. общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 1998.

2. Габович И.Г. Алгоритмический подход к решению геометрических задач. – М.: Просвещение, 1996.

3. Гусев В.А. и др. Практикум по решению математических задач. – М.: Просвещение, 1985.

4. Пиголкина Т.С. Математическая энциклопедия абитуриента. – М.: изд. Российского открытого университета, 1992.

5. Пойа Д. Как решать задачу. – М.: Просвещение, 1959.

6. Семенов С.В., Хазанкин Р.Г. Математика. Трапеция. – УРЭК, 1997.

7. Шарыгин И.Ф. Геометрия-8. Теория и задачи. – М.: Рост, МИРОС, 1996.

8. Шарыгин И.Ф. Решение задач: учеб. пособие для 10 кл. общеобразоват. учреждений. – М.: Просвещение, 1994.

9. Сборник конкурсных задач по математике для поступающих во ВТУЗы. Под ред. М.И. Сканави. Учеб. пособие. – С.-Петербург, 1994.

Выбранный для просмотра документ решение геом. задач при подготовке к гиа.pptx

библиотека
материалов
α Справочные сведения Треугольники Прямоугольный треугольник b c a Решение п...
СПРАВОЧНАЯ ИНФОРМАЦИЯ
Треугольники Решение заданий первой части 1.Используя данные, указанные на ри...
Задачи на вычисления в равнобедренном треугольнике, как правило, помимо свой...
Справочные сведения Треугольники Равнобедренный треугольник h Медиана, биссе...
Справочные сведения Треугольники Произвольный треугольник bс h a Площадь тре...
Справочные сведения Треугольники А С В D F E Подобие треугольников в подобны...
Задания с развёрнутым свободным ответом Используются во второй и третьей част...
Треугольники Решение заданий третьей части Основную трудность при решении зад...
Справочные сведения Четырехугольники Ромб В АhО С α a D Свойства ABCD– ромбA...
Справочные сведения Четырехугольники Квадрат В С аО d A D Свойства ABCD– ква...
Справочные сведения Четырехугольники Произвольная трапеция BC φO A D Треугол...
Справочные сведения Четырехугольники Равнобедренная трапеция В С A D Углы пр...
треугольники четырехугольники правильные многоугольники окружность векторы СП...
Справочные сведения Окружность Окружность и её элементы m m Градусная мера ц...
Справочные сведения Окружность Окружность, вписанная в треугольник Отрезок,...
Справочные сведения Окружность Окружность, описанная около треугольника Цент...
Теорема косинусов - не удовлетворяет смыслу задачи. Ответ:
Треугольники Решение заданий первой части 6.Используя данные, указанные на р...
Треугольники Решение заданий первой части 10.Используя данные, указанные на р...
Треугольники Задания первой части (для самостоятельного решения) 1.Используя...
Треугольники Задания первой части (для самостоятельного решения) 6.Используя...
Треугольники Задания первой части ГИА– 2009 (для самостоятельного решения) 12...
1. Найдите основание равнобедренного треугольника, если оно в 3 раза меньше б...
Треугольники Решение заданий второй части 2. В окружность с радиусом 13 вписа...
Треугольники Решение заданий второй части 2. В окружность с радиусом 13 вписа...
Треугольники Решение заданий второй части Свойство отрезков касательных чаще...
Треугольники Решение заданий второй части В задачах на площадь треугольника и...
Треугольники Решение заданий второй части 4. Площадь треугольника МРК равна 2...
Треугольники Решение заданий второй части 5. В прямоугольном треугольнике АВС...
Треугольники Решение заданий второй части (с практическим содержанием) Природ...
Треугольники Решение заданий второй части (с практическим содержанием) 2 спос...
По окончании измерений инженер составил следующую запись: 15:500=10:х, 15:500...
Треугольники Решение заданий второй части (с практическим содержанием) Б) (сп...
Треугольники Решение заданий второй части 3 способ Для измерения высоты дерев...
Треугольники Решение заданий второй части (с практическим содержанием) Как по...
Треугольники Решение заданий второй части (с практическим содержанием) 1. В 4...
Треугольники Решение заданий второй части (с практическим содержанием) 2. Тен...
Треугольники Решение заданий второй части 3. Определите высоту (в метрах) дер...
Треугольники Решение заданий второй части 4. Для измерения высоты дома нужно...
Треугольники Решение заданий второй части 5. Для того, чтобы измерить высоту...
Треугольники Решение заданий второй части (с практическим содержанием) Измере...
Треугольники Решение заданий второй части В).Чтобы измерить ширину реки на её...
Треугольники Решение заданий второй части (с практическим содержанием) 7. Что...
Треугольники Решение заданий второй части (с практическим содержанием) Нахожд...
Треугольники Решение заданий второй части (для самостоятельного решения) 4.Дл...
Треугольники Решение заданий второй части 15. (с развёрнутым свободным ответо...
Треугольники Решение заданий третьей части (ГИА – 2008) Найдите площадь остро...
Треугольники Решение заданий третьей части 2. (ГИА – 2008) Высоты треугольник...
64 1

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 α Справочные сведения Треугольники Прямоугольный треугольник b c a Решение п
Описание слайда:

α Справочные сведения Треугольники Прямоугольный треугольник b c a Решение прямоугольных треугольников Теорема Пифагора: гдеа– катет, противолежащийα;b-катет, прилежащий кα. Середина гипотенузы равноудалена от его вершин: МА=МВ=МС. a b c Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике: -проекции катетов на гипотенузу. b а Площадь прямоугольного треугольника:

№ слайда 2 СПРАВОЧНАЯ ИНФОРМАЦИЯ
Описание слайда:

СПРАВОЧНАЯ ИНФОРМАЦИЯ

№ слайда 3 Треугольники Решение заданий первой части 1.Используя данные, указанные на ри
Описание слайда:

Треугольники Решение заданий первой части 1.Используя данные, указанные на рисунке, найдитеР В периметр треугольника МРС. 1) 22 2) 21 3) 42 4)23С М А 2.Используя данные, указанные на рисунке, найдитеР катет НТ.10 1) 2) 5 3) 4)НТ 3.Используя данные, указанные на рисунке, найдитеR катетSТ.18 1) 9 2) 3) 4)S T 4.Используя данные, указанные на рисунке, найдитеB катетBC.6 1) 6 sinα2) 6tgα3) 4)CαA 5.Используя данные, указанные на рисунке, найдите площадь треугольника.13 5 1) 156 2) 78 3) 60 4) 3012

№ слайда 4 Задачи на вычисления в равнобедренном треугольнике, как правило, помимо свой
Описание слайда:

Задачи на вычисления в равнобедренном треугольнике, как правило, помимо свойств, относящих- ся к равнобедренному треугольнику, используют свойства прямоугольного треугольника, т. к. медиана, проведённая к основанию, делит равнобедренный треугольник на два прямоугольных. 1. Найдите основание равнобедренного треугольника, если оно в 3 раза меньше боковой стороны, а медиана, проведённая к боковой стороне, равна . Решение: 1 способ 1) Обозначим АС = х, тогда ВС = 3х, МС = 1,5х. 2) : по теореме косинусов 3) Пусть ВН – высота к основанию АС. 4) Получаем: - 6 не удовл. смыслу задачи Отсюда АС = 6. Ответ: 6. Треугольники Решение заданий второй части

№ слайда 5 Справочные сведения Треугольники Равнобедренный треугольник h Медиана, биссе
Описание слайда:

Справочные сведения Треугольники Равнобедренный треугольник h Медиана, биссектриса и высота, проведённые к основанию, совпадают. Высоты, проведённые к боковым сторонам, равны; медианы, проведённые к боковым сторонам, равны; биссектрисы углов при основании равны.

№ слайда 6 Справочные сведения Треугольники Произвольный треугольник bс h a Площадь тре
Описание слайда:

Справочные сведения Треугольники Произвольный треугольник bс h a Площадь треугольника:S = p∙ r; гдер– полупериметр А b c C a B Сумма углов в треугольнике: Теорема синусов: Теорема косинусов:

№ слайда 7 Справочные сведения Треугольники А С В D F E Подобие треугольников в подобны
Описание слайда:

Справочные сведения Треугольники А С В D F E Подобие треугольников в подобных треугольниках (соответствующие стороны лежат против равных углов) А О Точка пересечения медиан делит каждую из них в отношении 2 : 1, считая от вершины угла (АО : ОА1= 2 : 1) ab x y Биссектриса угла делит сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам (а :b = x : y). Длина биссектрисы

№ слайда 8 Задания с развёрнутым свободным ответом Используются во второй и третьей част
Описание слайда:

Задания с развёрнутым свободным ответом Используются во второй и третьей частях работы для проверки состояния более сложных предметных умений – анализировать ситуацию, разрабатывать способ решения, проводить математически грамотные рассуждения. Характеризуя высокий уровень подготовки по предмету, как правило, выделяют следующие его качества: умение выполнять чертёж, соответствующий ситуации, представленной в условии задачи; прочное владение системой знаний, указанных в школьной программе; умение обосновывать сделанные выводы ссылкой на теоремы и определения; умение строить логически верную цепочку доказательных рассуждений, шагов решения , которые помогают прийти к требуемому выводу; умение синтезировать информацию из различных разделов курса геометрии для решения поставленной проблемы; умение математически грамотно записать решение задачи.

№ слайда 9 Треугольники Решение заданий третьей части Основную трудность при решении зад
Описание слайда:

Треугольники Решение заданий третьей части Основную трудность при решении задач третьей (иногда и второй) части работы, обычно, вызывают две главные причины: для рационального решения задачи нужно знать некоторые методы и приёмы решения, которые, либо не рассматриваются при изучении планиметрии, либо тщательно не отрабатываются; в задачах представлены не самые знакомые конфигурации и для того, чтобы применить известные факты, нужно уметь увидеть отдельные опорные подзадачи.

№ слайда 10 Справочные сведения Четырехугольники Ромб В АhО С α a D Свойства ABCD– ромбA
Описание слайда:

Справочные сведения Четырехугольники Ромб В АhО С α a D Свойства ABCD– ромбAB‌‌ ‌ CD, BC ‌‌ ‌ AD, AB = CD=BC = AD; ; ,АО = ОС, ВО = ОD; Признаки AB = CD, BC = ADABCD– ромб ABCD– параллелограмм, АСBDABCD– прямоугольник. ABCD– параллелограмм,ABCD– ромб Площадь

№ слайда 11 Справочные сведения Четырехугольники Квадрат В С аО d A D Свойства ABCD– ква
Описание слайда:

Справочные сведения Четырехугольники Квадрат В С аО d A D Свойства ABCD– квадратAB‌‌ ‌ CD, BC ‌‌ ‌ AD, AB = CD=BC = AD; ,AO = BO = CO = DO; Признаки ABCD– прямоугольник,AB = CD=BC = ADABCD– квадрат; ABCD– ромб,ABCD– квадрат. Площадь

№ слайда 12 Справочные сведения Четырехугольники Произвольная трапеция BC φO A D Треугол
Описание слайда:

Справочные сведения Четырехугольники Произвольная трапеция BC φO A D ТреугольникиAODи СОВ подобны. Треугольники АОВ иDOCравновелики (их площади равны) Площадь трапеции: a m h b Средняя линия трапеции: Площадь трапеции: b c r d a Вписанная в окружность трапеция– равнобедренная. В описанной около окружности трапеции: высота равна диаметру:h = 2 r; сумма оснований равна сумме боковых сторон:a + b = c + d; полусумма боковых сторон равна средней линии:c + d = m; (боковая сторона равнобедренной трапеции равна средней линии).

№ слайда 13 Справочные сведения Четырехугольники Равнобедренная трапеция В С A D Углы пр
Описание слайда:

Справочные сведения Четырехугольники Равнобедренная трапеция В С A D Углы при оснований равны: B C O A D Диагонали равны: АС=ВD; отрезки диагоналей равны: АО =DO, BO = CO; углы, образованные основанием и диагоналями, равны: B C h m A H D Основание высоты, проведённой к большему основанию, делит основание на отрезки, равные (если ВН – высота, тоDH = m,гдеm –средняя линия). Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота, проведённая к основанию, равна средней линии:h = m.В этом случае площадь трапеции можно найти по формуле:

№ слайда 14 треугольники четырехугольники правильные многоугольники окружность векторы СП
Описание слайда:

треугольники четырехугольники правильные многоугольники окружность векторы СПРАВОЧНАЯ ИНФОРМАЦИЯ

№ слайда 15 Справочные сведения Окружность Окружность и её элементы m m Градусная мера ц
Описание слайда:

Справочные сведения Окружность Окружность и её элементы m m Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается. n n Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны. Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

№ слайда 16 Справочные сведения Окружность Окружность, вписанная в треугольник Отрезок,
Описание слайда:

Справочные сведения Окружность Окружность, вписанная в треугольник Отрезок, соединяющий центр окружности и точку её касания со стороной, перпендикулярен этой стороне. Отрезки двух соседних сторон от общей вершины до точек касания равны между собой. Центр вписанной окружности лежит на биссектрисе угла, образованного двумя сторонами.

№ слайда 17 Справочные сведения Окружность Окружность, описанная около треугольника Цент
Описание слайда:

Справочные сведения Окружность Окружность, описанная около треугольника Центр описанной окружности лежит на серединном перпендикуляре к любой из сторон треугольника. Если прямоугольный треугольник вписан в окружность, то его гипотенуза является диаметром окружности. Угол вписанного в окружность треугольника в 2 раза меньше центрального угла, опирающегося на ту же дугу, и равен любому другому вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу.

№ слайда 18 Теорема косинусов - не удовлетворяет смыслу задачи. Ответ:
Описание слайда:

Теорема косинусов - не удовлетворяет смыслу задачи. Ответ:

№ слайда 19 Треугольники Решение заданий первой части 6.Используя данные, указанные на р
Описание слайда:

Треугольники Решение заданий первой части 6.Используя данные, указанные на рисунке, найдите площадь прямоугольного треугольника. 12 1) 16 2) 192 3) 120 4) 96 7.В треугольник АВС вписана окружность, касающаяся его5 сторон в точках М, К, и Р. Используя данные, указанныеМК на рисунке, найдите сторону АС.69 1) 18 2) 14 3) 15 4) 11АРС 8.Треугольник АСР – равнобедренный с основанием СР, равным 10, и боковой стороной, равной 12. Найдите периметр треугольника РКМ, где КМ – средняя линия, параллельная стороне АС. 9.Используя данные, указанные на рисунке, найдите длину отрезкаD МР, если известно, что МР||АС.МР А С

№ слайда 20 Треугольники Решение заданий первой части 10.Используя данные, указанные на р
Описание слайда:

Треугольники Решение заданий первой части 10.Используя данные, указанные на рисунке, найдитеC периметр четырёхугольникаABDC,если известно,D что уголBADравен углуCAD.4 B 10 A 11.Отрезки АВиCDпересекаются в точке Р, причёмВD угол ВАР равен углуDCP. Используя данные, указанные14 на рисунке, найдите длину отрезкаAD.P A 9 9 C 12.АВС – равнобедренный треугольник с основанием АС.В ADи СЕ – высоты к боковым сторонам. НайдитеAD, еслиЕD АЕ = 6, АС = 10.6 A 10 C

№ слайда 21 Треугольники Задания первой части (для самостоятельного решения) 1.Используя
Описание слайда:

Треугольники Задания первой части (для самостоятельного решения) 1.Используя данные, указанные на рисунке, найдитеАN периметр треугольника АВС.M 6B 1) 42 2) 23 3) 46 4) 307C 2.Используя данные, указанные на рисунке, найдитеМ катет РК.20 1)2) 103)4)Р К 3.Используя данные, указанные на рисунке, найдитеN катетHN.24 1) 122)3)4)L H 4.Используя данные, указанные на рисунке, найдитеB гипотенузу ВС. 1)6 sinα2) 6 tgα3) 4)A C 5.Используя данные, указанные на рисунке, найдите площадь треугольника.9 1) 135 2) 67,5 3) 54 4) 108

№ слайда 22 Треугольники Задания первой части (для самостоятельного решения) 6.Используя
Описание слайда:

Треугольники Задания первой части (для самостоятельного решения) 6.Используя данные, указанные на рисунке, найдите6 периметр четырёхугольникаABDC,если известно,C B что уголBADравен углуCAD.A 7.Отрезки АEиCDпересекаются в точкеN, причёмC уголNАDравен углуNCE. Используя данные, указанные15NE на рисунке, найдите длину отрезкаAE.15 D A 8.Вравнобедренный прямоугольный треугольник АВС вписанA квадратBDEFтак, что его стороныBDиBFлежат на катетахD E ВА и ВС, а вершина Е – на гипотенузе. АВ = 14. НайдитеFC.B F C 9.На параллельных прямыхaиbотложены равные отрезкиKLK La иMN.ОтрезкиKNиMLпересекаются в точке О. КО = 7.O Найдите длину отрезкаKN.M Nb 10.Найдите синус угла С треугольникаACD, если известно, что АС = 15,AD = 12. синус углаDравен 0,75. 11.Найдите сторонуLNтреугольникаKLN, если известно, что, KL = 5, KN = 9.

№ слайда 23 Треугольники Задания первой части ГИА– 2009 (для самостоятельного решения) 12
Описание слайда:

Треугольники Задания первой части ГИА– 2009 (для самостоятельного решения) 12.Используя данные, указанные на рисунке, найдите площадь прямоугольного треугольника. 1) 160 2) 192 3) 12 4) 96 13.В треугольник АВС вписана окружность, касающаяся его сторон в точках М, К, и Р. Используя данные, указанные на рисунке, найдите сторону АВ. 1) 15 2) 17 3) 20 4) 18 14.Треугольник СDЕ – равнобедренный с основаниемDE, равным 22, и боковой стороной, равной 16. Найдите периметр треугольника ЕМР, где МР – средняя линия, параллельная стороне СD. 15.Используя данные, указанные на рисунке, найдите длину отрезка LN, если известно, чтоLN||ВС.

№ слайда 24 1. Найдите основание равнобедренного треугольника, если оно в 3 раза меньше б
Описание слайда:

1. Найдите основание равнобедренного треугольника, если оно в 3 раза меньше боковой стороны, а медиана, проведённая к боковой стороне, равна . 2 способ: используется приём, позволяющий быстро решать задачи, где речь идёт о медиане. Медиана АМ продлевается за точку М и на её продолжении откладывается отрезок МD, равный медиане. Рассматривается параллелограмм АВDС и используется формула, связывающая его стороны и диагонали. Решение: 1) Пусть АС – основание треугольника, АМ – медиана. Отложим на луче АМ отрезок МD = АМ Тогда АСВD – параллелограмм, т. к.его диагонали пересекаются в середине. 2) Обозначим АС = х, АВ = ВС = 3х, тогда по свойству сторон и диагоналей параллелограмма имеем: , или Ответ: 6. Треугольники Решение заданий второй части

№ слайда 25 Треугольники Решение заданий второй части 2. В окружность с радиусом 13 вписа
Описание слайда:

Треугольники Решение заданий второй части 2. В окружность с радиусом 13 вписан равнобедренный треугольник. Известно, что синус угла при основании треугольника равен . Радиус ОМ пересекает под прямым углом боковую сторону в точке К. Найдите длину отрезка ОК. 1 способ опирается на свойства вписанных и центральных углов и решение прямоугольных треугольников. Решение: 1) Угол при основании равнобедренного треугольника может быть только острым, значит, центр О с вершиной А лежит по одну сторону от хорды ВС. Тогда - центральный, соответствующий углу А. Отсюда 2) Δ ВОС – равнобедренный, ОК – высота, проведённая к основанию, тогда ОК – биссектриса угла О, отсюда имеем: 3) Ответ: 5.

№ слайда 26 Треугольники Решение заданий второй части 2. В окружность с радиусом 13 вписа
Описание слайда:

Треугольники Решение заданий второй части 2. В окружность с радиусом 13 вписан равнобедренный треугольник. Известно, что синус угла при основании треугольника равен . Радиус ОМ пересекает под прямым углом боковую сторону в точке К. Найдите длину отрезка ОК. Т.к. в ряде случаев первый способ применить бывает невозможно, приведём 2 способ реше- ния, который использует свойство отрезков хорд. Решение: 1) 2) 3) Достроим радиус ОМ до диаметра РМ, тогда РМ =26. Пусть МК = х. По свойству отрезков хорд получим Ответ:5.

№ слайда 27 Треугольники Решение заданий второй части Свойство отрезков касательных чаще
Описание слайда:

Треугольники Решение заданий второй части Свойство отрезков касательных чаще всего применяют в задачах, связанных с вычислением элементов равнобедренных или прямоугольных треугольников. При решении задач бывает полезно отметить на рисунке точки касания и отметить равные отрезки одинаковыми буквами или чёрточками, используя при этом свойства рассматриваемого треугольника. 3. Окружность с центром О, вписана в равнобедренный треугольник АВС с основанием АС. Она касается стороны ВС в точке М, причём отрезок ВМ составляет 0,4 боковой стороны. Найдите высоту, проведённую к боковой стороне, если АС = 30. Решение: 1) Обозначим буквой Н точку касания вписанной окружности с основанием. Так как ΔАВС – равнобедренный, то центр О лежит на высоте к основанию, т. е. ВН – высота и Н – середина основания. 2) Если считать ВМ = 2х и СМ = 3х, то АВ = ВС = 5х. По свойству отрезков касательных имеем СН = 3х, 3х = 15, АВ = 25. 3) По теореме Пифагора 4) SАВС =0,5 ВН· АС = 0,5 АВ · h, отсюда h = (20 · 30) : 25 = 24. Ответ: 24.

№ слайда 28 Треугольники Решение заданий второй части В задачах на площадь треугольника и
Описание слайда:

Треугольники Решение заданий второй части В задачах на площадь треугольника иногда используется отношение площадей треугольников. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату отношения сходственных сторон (или квадрату коэффициента подобия). Из формулы площади треугольника можно вывести ещё два следствия: - если треугольники имеют общее основание (или равные основания), то их площади относятся, как высоты, проведённые к этим основаниям; - если треугольники имеют общую высоту (или равные высоты), то их площади относятся, как основания.

№ слайда 29 Треугольники Решение заданий второй части 4. Площадь треугольника МРК равна 2
Описание слайда:

Треугольники Решение заданий второй части 4. Площадь треугольника МРК равна 21. Известно, что сторона МР = 7, медиана РА = , а в треугольнике АРМ сторона АМ – наименьшая. Найдите сторону МК. Решение: 1) 2) Т. к. МА – наименьшая сторона в треугольнике АРМ, то α не может быть тупым, α = . 3) В треугольнике МАР по теореме косинусов: Ответ: 10.

№ слайда 30 Треугольники Решение заданий второй части 5. В прямоугольном треугольнике АВС
Описание слайда:

Треугольники Решение заданий второй части 5. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С биссектриса ВК делит катет АС на отрезки АК = 15 и КС = 12. Найдите площадь треугольника АВК. Решение: 1) По свойству биссектрисы треугольника Тогда АВ = 5х, ВС = 4х, 2) (т. к. эти треугольники имеют одну и ту же высоту ВС). Значит, Ответ: 270.

№ слайда 31 Треугольники Решение заданий второй части (с практическим содержанием) Природ
Описание слайда:

Треугольники Решение заданий второй части (с практическим содержанием) Природа говорит языком математики: буквы этого языка – круги, треугольники и иные математические фигуры. (Галилей) Измерение высоты предмета. 1 способ самый лёгкий и самый древний – по тени предмета, использующий: а) свойства равнобедренного треугольника. Для этого выбирается час, когда длина тени человека равна его росту; в этот момент высота предмета равна длине отбрасы- ваемой им тени. Б) подобие треугольников. Можно пользоваться любой тенью, любой длины. Измерив свою тень или тень любого шеста, вычисляют искомую высоту из пропорции: АВ : ав = ВС : вс. (Высота дерева во столько же раз больше вашей собствен- ной высоты (или шеста), во сколько раз тень дерева длин- нее вашей (или шеста).

№ слайда 32 Треугольники Решение заданий второй части (с практическим содержанием) 2 спос
Описание слайда:

Треугольники Решение заданий второй части (с практическим содержанием) 2 способ А) С помощью шеста, который надо воткнуть в землю так, чтобы его высота равнялась вашему росту. Место для шеста надо выбрать так, чтобы, лёжа вы видели верхушку дерева на одной прямой линии с верхней точкой шеста. По свойству равно- бедренного прямоугольного треугольника АВ = ВС, т. е. высоте дерева.

№ слайда 33 По окончании измерений инженер составил следующую запись: 15:500=10:х, 15:500
Описание слайда:

По окончании измерений инженер составил следующую запись: 15:500=10:х, 15:500=10:х, 500 10=5000, 5000:15=333,3. Значит, высота гранитной стены равнялась 333 футам. - Правильно. Так вот: сейчас я построю два подобных прямоугольных треугольника. У меньшего одним катетом будет отвесный шест, другим – расстояние от колышка до основания шеста; гипотенуза же - мой луч зрения. У другого треугольника катетами будут: отвесная стена, высоту которой мы хотим определить, и расстояние от колышка до основания этой стены; гипотенуза же – мой луч зрения, совпадающий с направлением гипотенузы первого треугольника. - Понял! – воскликнул юноша. – Расстояние от колышка до шеста так относится к расстоянию от колышка до основания стены, как высота шеста к высоте стены. - Да. И следовательно, если мы измерим два первых расстояния, то, зная высоту шеста, сможем вычислить четвертый, неизвестный член пропорции, т. е. высоту стены. Мы обойдемся, таким образом, без посредственного измерения этой высоты. Оба горизонтальных расстояния были измерены: меньшее равнялось 15 футам, большее- 500 футам. - Да. - Помнишь свойства подобных треугольников? - Их сходственные стороны пропорциональны.

№ слайда 34 Треугольники Решение заданий второй части (с практическим содержанием) Б) (сп
Описание слайда:

Треугольники Решение заданий второй части (с практическим содержанием) Б) (способ Жюля Верна, описанный в романе «Таинственный остров») Для определения высоты скалы необходимо взять шест длиной равной росту человека, воткнуть вертикально в землю. Затем отойти от скалы на такое расстояние, чтобы лёжа на песке, можно было видеть и конец шеста и конец гребня. В учебнике этот способ рассматривается в п.64 «Практические приложения подобия треугольников»

№ слайда 35 Треугольники Решение заданий второй части 3 способ Для измерения высоты дерев
Описание слайда:

Треугольники Решение заданий второй части 3 способ Для измерения высоты дерева можно использовать способ основанный на равенстве угла падения и угла отражения света. Для этого на некотором расстоянии от измеряемого дерева, на ровной земле, в точке С кладут горизонтально зеркальце и отходят от него назад в такую точку D, стоя в которой наблюдатель видит в зеркале верхушку А дерева. А В С D

№ слайда 36 Треугольники Решение заданий второй части (с практическим содержанием) Как по
Описание слайда:

Треугольники Решение заданий второй части (с практическим содержанием) Как поступать, если к измеряемому объекту невозможно подойти вплотную? А) Задача решается двукратным применением описанного выше способа – помещение зеркала высота равна возвышению глаза наблюдателя, умноженному на отношение расстояния между положениями зеркала к разности расстояний наблюдателя от зеркала. Б) На прямой, проходящей через основание Н предмета, отмечают точки В и С на определён- ном расстоянии а друг от друга и измеряют углы АВН и АСВ: По теореме синусов: Способ рассматривается в учебнике п.100, «Измерительные работы». Задача № 1036, 1038.

№ слайда 37 Треугольники Решение заданий второй части (с практическим содержанием) 1. В 4
Описание слайда:

Треугольники Решение заданий второй части (с практическим содержанием) 1. В 40 м одна от другой стоят две сосны. Высота одной 31 м, другой, молодой – всего 6 м. Можете ли вы определить как велико расстояние между их макушками? Решение: По теореме Пифагора расстояние АВ между верхушками сосен равно Ответ: 47 м.

№ слайда 38 Треугольники Решение заданий второй части (с практическим содержанием) 2. Тен
Описание слайда:

Треугольники Решение заданий второй части (с практическим содержанием) 2. Тень ВС от отвесного шеста АВ высотою 4,2 м имеет 6,5 длины. Какова в этот момент высота Солнца над горизонтом, т. е. как велик угол С? Решение: Ответ:

№ слайда 39 Треугольники Решение заданий второй части 3. Определите высоту (в метрах) дер
Описание слайда:

Треугольники Решение заданий второй части 3. Определите высоту (в метрах) дерева, изображён – ного на рисунке, если рост человека 1,7м, а в резуль- тате измерений получено: ВС = 9м, CD = 1,5м. Решение: В С D A E 1.7 B 9 C 1.5 D Ответ: 10,2 м.

№ слайда 40 Треугольники Решение заданий второй части 4. Для измерения высоты дома нужно
Описание слайда:

Треугольники Решение заданий второй части 4. Для измерения высоты дома нужно воткнуть в землю под прямым углом шест М выше роста наблюдателя на расстоянии от дома. Затем следует отойти от шеста назад по продолжению до той точки О, с которой можно увидеть высшую точку М на одной линии с верхней О N точкой шеста. Далее, стоя на том же месте, необходимо P отметить на шесте и на доме 2 точки и N, лежащие на горизонтальной прямой. Определите высоту МР дома, если рост человека Решение: 1) подобен по первому признаку Отсюда следует пропорциональность сторон: MP = MN + NP = 6 + 1,7 = 7,7 (м). Ответ: 7,7 м.

№ слайда 41 Треугольники Решение заданий второй части 5. Для того, чтобы измерить высоту
Описание слайда:

Треугольники Решение заданий второй части 5. Для того, чтобы измерить высоту CD = h холма, необходимо с помощью угломерных инструментов измерить угол α, под которым видна вершина С холма из точки А, затем отойти на расстояние АВ = d, находясь в плоскости ACD, и измерить угол β, под которым видна вершина С. - рост наблюдателя. Найдите высоту холма, если . С Решение: 1) β α как стороны прямоугольников 2) 3) 4) В прямоугольном 5) Ответ: 88,3м.

№ слайда 42 Треугольники Решение заданий второй части (с практическим содержанием) Измере
Описание слайда:

Треугольники Решение заданий второй части (с практическим содержанием) Измерение ширины реки 1 способ основан на применении теоремы синусов и теоремы косинусов. (рассматривается в учебнике, № 1037). 2 способ основан на использовании подобия треугольников а)(рассматривается в учебнике, № 583). б) с помощью «прибора» с тремя булавками на вершинах равнобедренного треугольника. рассматривается в книге Я.И. Перельмана «Занимательная геометрия» (гл. 2, «Геометрия у реки»)

№ слайда 43 Треугольники Решение заданий второй части В).Чтобы измерить ширину реки на её
Описание слайда:

Треугольники Решение заданий второй части В).Чтобы измерить ширину реки на её прямолинейном участке, необходимо на противополож – ном берегу выбрать какой – либо ориентир, например, камень (точка С). Затем на своём берегу следует найти точку А, так, чтобы отрезок АС был перпендикулярен береговой линии (это можно сделать с помощью угломерных инструментов). Далее нужно отметить точку В, нахо – дящуюся на расстоянии АВ = d от точки А и отойти от неё в точку D так, чтобы С, В и D нахо – дились на одной прямой линии. Затем необходимо отметить точку Е так, чтобы С, А и Е нахо – дились на одной прямой и отрезок ED был параллелен береговой линии. 6. Найдите ширину реки АС = Н, если АВ = = 24 м, ED = = 30 м, АЕ = h = 4,5 м. Решение: по первому признаку подобия ( по построению). Отсюда Подставив в формулу числа, данные в условии, получим: Ответ: 18.

№ слайда 44 Треугольники Решение заданий второй части (с практическим содержанием) 7. Что
Описание слайда:

Треугольники Решение заданий второй части (с практическим содержанием) 7. Чтобы определить ширину АВ озера, вы нашли по компасу, что прямая АС уклоняется к западу на , а ВС – к востоку на . Длина ВС = 68 м, АС = 35 м. Вычислить по этим данным ширину озера. Решение: 1) В треугольнике АВС: 2) Опускаем высоту АD, имеем 3) 4) Из треугольника АВD имеем: Ответ: 49 м. (способ предложен в книге Я. И. Перельмана «Занимательная геометрия») !? Найдите более простой способ решения задачи.

№ слайда 45 Треугольники Решение заданий второй части (с практическим содержанием) Нахожд
Описание слайда:

Треугольники Решение заданий второй части (с практическим содержанием) Нахождение расстояния до недоступной точки 1 способ основан на применении теоремы синусов и теоремы косинусов. На местности выбираем точку В и измеряем длину с отрезка АВ. Измеряются углы А и В: По теореме синусов находим искомое расстояние d: Способ рассматривается в учебнике п.100, «Измерительные работы». Задача № 1037. 2 способ основан на использовании подобия треугольников (рассматривается в учебнике, № 582).

№ слайда 46 Треугольники Решение заданий второй части (для самостоятельного решения) 4.Дл
Описание слайда:

Треугольники Решение заданий второй части (для самостоятельного решения) 4.Для измерения ширины реки на её прямолинейном участке нужно на берегу наблюдателя отметить 2 точки А и В на границе с водой и измерить расстояние АВ =dмежду ними, а на противоположномбе–С регунайти какой – либо ориентир, например, камень (точка С). Затем с помощью угломерных инструментов следует измерить углы . Найдите ширинуCD = hреки, (CD AB),А В Если .Указание: . 5.Укажите, какие из перечисленных ниже утверждений верны 1) Высота всегда образует с прямой, содержащей одну из сторон треугольника, прямой угол. 2) В прямоугольном треугольнике высота может совпадать с одной из его сторон. 3) Точка пересечения высот произвольного треугольника – центр окружности, описанной около этого треугольника. 4) Высота всегда делит треугольник на два треугольника равной площади. 5) Высота может лежать и вне треугольника. 6.На сторонах угла А отложены равные отрезки АВ = АС. ОтрезкиBDи СЕ проведены таким образом, что они пересекаются в точке О, лежащей на биссектрисе угла А, а точки Е иDлежат на отрезках АВ и АС соответственно. Докажите, что ВЕ =CD.

№ слайда 47 Треугольники Решение заданий второй части 15. (с развёрнутым свободным ответо
Описание слайда:

Треугольники Решение заданий второй части 15. (с развёрнутым свободным ответом) В треугольнике АВС биссектриса угла В пересекает сторону АС в точке М. Отрезок МЕ параллелен стороне ВС, отрезок МК параллелен стороне АВ (точки Е и К лежат на АВ и ВС соответственно). Докажите, что ЕК перпендикулярен ВМ. Доказательство: 1) Четырёхугольник ВКМЕ – параллелограмм, т. к. МЕ || ВС, МК || АВ. 2) ВМ – диагональ параллелограмма, которая делит его угол пополам, значит, ВКМЕ – ромб по второму признаку. 3) ЕК – диагональ ромба по свойству ромба, что и требовалось доказать.

№ слайда 48 Треугольники Решение заданий третьей части (ГИА – 2008) Найдите площадь остро
Описание слайда:

Треугольники Решение заданий третьей части (ГИА – 2008) Найдите площадь остроугольного треугольника АВС, если известно, что медиана , а . B Решение: 1) В остроугольном треугольнике АВС основание Н высоты ВН лежит на стороне АС. В прямоугольном треугольнике АВН: 2) Через точку М проведём прямую, параллельную прямой ВН и пересекающую сторону АС в точке N. Тогда по теореме Фалеса HN =NC. Значит, отрезок MN является средней линией треугольника ВСН. Откуда имеем: 3) В прямоугольном треугольнике AMN: AN = 5, Поскольку AN > АН, то HN = AN -AH и HN =1. Поскольку АС =AN + NC, HN = NC, то АС =6. 4) Ответ: 12.

№ слайда 49 Треугольники Решение заданий третьей части 2. (ГИА – 2008) Высоты треугольник
Описание слайда:

Треугольники Решение заданий третьей части 2. (ГИА – 2008) Высоты треугольника пересекаются в точке Н, а медианы - в точке М. Точка К – середина отрезка МН. Найдите площадь треугольника АКС, если известно, что АВ = 12, СН = 6. Решение: По условию высоты треугольника АВС пересекаются, следовательно, точка Н их пересечения расположена внутри этого треугольника. Р 1) Пусть СР – высота, а BL – медиана - основания перпендикуляров, проведённых из точек Н, К, М к прямой АС. В прямоугольном треугольнике АРС: 2) В прямоугольном катеты равны: А В прямоугольном равнобедренном катеты равны: (по двум углам), и (по свойству медиан треугольника). Отсюда 4) Из теоремы Фалеса следует, что отрезок - средняя линия трапеции 5) Поскольку Ответ: 22,5.

№ слайда 50
Описание слайда:

№ слайда 51
Описание слайда:

№ слайда 52
Описание слайда:

№ слайда 53
Описание слайда:

№ слайда 54
Описание слайда:

№ слайда 55
Описание слайда:

№ слайда 56
Описание слайда:

№ слайда 57
Описание слайда:

№ слайда 58
Описание слайда:

№ слайда 59
Описание слайда:

№ слайда 60
Описание слайда:

№ слайда 61
Описание слайда:

№ слайда 62
Описание слайда:

№ слайда 63
Описание слайда:

№ слайда 64
Описание слайда:

Краткое описание документа:

Основной целью государственной (итоговой) аттестации по геометрии  выпускников девятых классов общеобразовательных учреждений является проведение открытой и объективной процедуры оценивания учебных достижений школьников, обладающей широкими дифференцирующими возможностями. Экзаменационная работа рассчитана на выпускников IX классов общеобразовательных учреждений (школ, гимназий, лицеев), включая классы с углубленным изучением математики. Результаты экзамена могут быть использованы при комплектовании профильных десятых классов, а также при приеме в учреждения системы начального и среднего профессионального образования без организации дополнительных испытаний.
Автор
Дата добавления 21.04.2014
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров693
Номер материала 78473042111
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх