Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Решение неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции.
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Решение неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции.

библиотека
материалов

"Неравенства, содержащие обратные тригонометрические функции"

Мурочкина Юлия Григорьевна, учитель математики высшей квалификационной категории

hello_html_3afea8a5.gif

Цели урока:

Создание условий, при которых ученики -

образовательные: открывают и осваивают методы решения неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции
развивающие: учатся логически мыслить, критически оценивать свои знания
воспитательные:формируют эмоционально-ценностное отношение к своей учебной деятельности, что ведет к развитию качеств личности: нравственным, этическим, познавательным, трудовым.

(Две последние цели решаются не одним уроком, а системой уроков)

Ход урока

1. Приветствие учеников, постановка целей урока.

2. Проверка домашнего задания hello_html_m49903705.png



приложение 1

Один ученик готовит у доски решение примера, с остальными в это время проводится фронтальная работа. У каждого ученика сигнальные карточки с буквами а, б, в, г. Учитель называет задание, ученик поднимает карточку с верным ответом.

hello_html_m5e2801cb.png

Ответы: 1 - а, 2 - г, 3 - б, 4 - в, 5 – б, 6 - а, 7 - а, 8 - нет верного ответа, 9 - hello_html_3e78e422.png



Проверяется решение уравнения домашнего задания.

3.

На одном из прошлых уроков мы с вами изучали уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции. Какие типы уравнений вы знаете? (Учащиеся перечисляют:

  • 1) уравнения, левая и правая части которых являются одноименными тригонометрическими функциями,

  • 2) уравнения, левая и правая части которых являются разноименными тригонометрическими функциями,

  • 3) метод замены,

  • 4) уравнения, сводимые к алгебраическим).

На стенде к уроку напоминаются формулы решения уравнений.

Давайте, ребята вспомним, какими методами мы с вами решали тригонометрические неравенства (учащиеся перечисляют). В чем заключается метод интервалов?
Методы решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции (их классификация), схожи с методами неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции. Рассмотрим их.

  • Неравенства, левая и правая части которых являются одноименными обратными тригонометрическими функциями.

Вывешивается плакат

hello_html_ma5d775d.png

Учащиеся записывают формулы в тетрадь.

Рассмотрим пример: hello_html_m183d42f5.pngприложение 2

  • Неравенства, левая и правая части которых, являются разноименными обратными тригонометрическими функциями.

Рассмотрим пример: hello_html_325188bd.pngприложение 3

  • Замена переменной.

Рассмотрим пример: hello_html_m1ff59dd.pngприложение 4

  • Использование свойств монотонности и ограниченности обратных тригонометрических функций.

Давайте, ребята, вспомним, какие теоремы мы с вами использовали при решении уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции этим методом? (Учащиеся отвечают).

Рассмотрим пример: hello_html_m449f4d47.pngприложение 5

  • Неравенства, сводимые к алгебраическим.

Рассмотрим неравенство: hello_html_6ef9bb31.pngприложение 6

4. Постановка домашнего дифференцированного задания.

Раздаются листочки с примерами домашнего задания каждому ученику. Нужно определить метод решения неравенства. На «3» нужно решить 3 неравенства на первые 3 метода, рассмотренные на уроке, на «4» - 4 неравенства на любые 4 метода, рассмотренные на уроке, на «5»- 5 неравенств всеми методами, рассмотренными на уроке. На следующем уроке тетради собираются учителем на проверку.

hello_html_m535a81f3.png

5. Итоги урока, объявление оценок.

Использованная литература: Газета «Первое сентября. Математика», № 13\2000г.






























Приложение 1

Решите уравнение: arcsin 2x + arcсos (6x-2) - hello_html_25869b49.gif = 0

Решение:

Пусть arcsin 2x = hello_html_2e28ff68.gif, hello_html_m445c2e10.gif Следовательно, sinhello_html_7220e337.gifx

arcсos (6x-2) = hello_html_25869b49.gif-hello_html_2e28ff68.gif

0hello_html_m7ceebba.gifhello_html_25869b49.gif-hello_html_2e28ff68.gifhello_html_m7ceebba.gifhello_html_1bfc1af9.gif, hello_html_53acd885.gif cos(hello_html_25869b49.gif-hello_html_2e28ff68.gif)=6x-2

cos(hello_html_25869b49.gif-hello_html_2e28ff68.gif)=coshello_html_25869b49.gifcoshello_html_2e28ff68.gif + sinhello_html_25869b49.gifsinhello_html_2e28ff68.gif

hello_html_m279c575e.gif

Так как hello_html_m69f79adb.gif, то cos hello_html_m27d5a362.gif. При условии, что -10x+4hello_html_352419eb.gif, то есть xhello_html_m7f5e6504.gif, возведем обе части равенства hello_html_39e78e77.gifв квадрат: 3cos2 hello_html_2e28ff68.gif= 16 – 80x + 100x2.

cos2 hello_html_2e28ff68.gif= hello_html_m6cb11123.gif hello_html_25eed43.gifx + hello_html_m95937c6.gifx2.

cos2 hello_html_2e28ff68.gif+ sin2hello_html_2e28ff68.gif=1

hello_html_e2ff07d.gif

16 – 80x + 100x2 + 12x2=3

112x2 – 80x + 13=0

Уравнение имеет 2 корня, один из которых x =hello_html_385fd076.gifне удовлетворяет условию xhello_html_m7f5e6504.gif. Значит, x=hello_html_50c7c0d7.gif.

Ответ: x=hello_html_50c7c0d7.gif.











Приложение 2


Решить неравенство: arcos (x2 - 3) hello_html_m7ceebba.gif arcos (x + 3)

Решение:

arcos (x2 - 3) hello_html_m7ceebba.gif arcos (x + 3) hello_html_39bcdcee.gifhello_html_2a4863ae.gifhello_html_m3224850c.gif


hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_2a4863ae.gifhello_html_m758df730.gif


hello_html_2a4863ae.gifhello_html_m1d93e8c9.gif

Решением системы является hello_html_5b4fd1df.gif

Ответ: hello_html_5b4fd1df.gif.

































Приложение 3


Решить неравенство: arcsin hello_html_3c25816d.gif hello_html_m7ceebba.gif arccos hello_html_4247cbf8.gif

Решение:

Рассмотрим функцию f(x) = arcsin hello_html_3c25816d.gif - arccos hello_html_4247cbf8.gif.

Решим неравенство методом интервалов.

Найдем область определения функции:

hello_html_3d651db.gif Откуда получаем: hello_html_m60ce6ad4.gif.

Найдем нули функции. Для этого вспомним уравнение, которое решали на прошлом уроке arcsin hello_html_3c25816d.gif = arccos hello_html_4247cbf8.gif. Корень x=1.


hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m1a4e539a.gif

f(hello_html_249368e9.gif)=arcsin hello_html_m3cc8b0ae.gif - arccos hello_html_31e20fec.gif= arcsin hello_html_m73f38a06.gif - arccos hello_html_248119e4.gif= arcsin hello_html_42567408.gif>0 (показать по грфику фнкции y = arcsin x)

f(-2) = arcsin 0 – arccos (-1) = 0 – (hello_html_1bfc1af9.gif-arccos 1) = - hello_html_1bfc1af9.gif<0.

Ответ: hello_html_m536bd113.gif




















Приложение 4


Решить неравенство: arccos2 x – 3 arccos x + 2 hello_html_352419eb.gif

Решение:

Произведем замену: arccos x =t, t hello_html_m49db1ebe.gif

t2 – 3t + 2 hello_html_m78774d40.gif0

(t-1)(t-2)hello_html_m78774d40.gif0

Учитывая условие t hello_html_m49db1ebe.gif, получаем hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_385d9290.gifhello_html_106253b4.gifhello_html_m7e091919.gifhello_html_m60c27af4.gif


Ответ: hello_html_m3df41bd6.gif



Приложение 5


Решить неравенство: arccos x + arcos xhello_html_1caef8ee.gif + arcos xhello_html_m980c3de.gifhello_html_m5385efd9.gif

Решение:

Левая часть неравенства представляет собой монотонно убывающую на hello_html_2d77b170.gif функцию f(x) = arccos x + arcos xhello_html_1caef8ee.gif + arcos xhello_html_m980c3de.gif. Следовательно, уравнение f(x)= hello_html_m24538ae1.gif имеет не более одного корня: x=hello_html_m3d4efe4.gif (решали на прошлом уроке).

Значит, решением неравенства arccos x + arcos xhello_html_1caef8ee.gif + arcos xhello_html_m980c3de.gifhello_html_m5385efd9.gif будет промежуток hello_html_51a4401e.gif

Можно дать примерную графическую иллюстрацию:


hello_html_m6ab5a38f.gif




Ответ: hello_html_51a4401e.gif.


Приложение6


Решить неравенство: arcsin 2x + arcсos (6x-2) hello_html_m7ceebba.gif hello_html_25869b49.gif

Решение:

Рассмотрим функцию f(x) = arcsin 2x + arcсos (6x-2) - hello_html_25869b49.gif и решим неравенство

f(x) hello_html_4a9dbf6d.gifметодом интервалов.

Найдем область определения функции f(x) = arcsin 2x + arcсos (6x-2) - hello_html_25869b49.gif:

hello_html_m4f0cbabe.gifhello_html_3ba873b.gif

Найдем нули функции f(x), для этого вспомним пример из домашнего задания, разобранного на доске в начале урока. x = hello_html_50c7c0d7.gif

hello_html_m37f1a9d9.gif

f(hello_html_24fd3bbf.gif)=arcsin hello_html_m19e8bb17.gif + arccos (-1) - hello_html_25869b49.gif hello_html_m53d4ecad.gif= arcsin hello_html_m19e8bb17.gif + hello_html_m1e307eb8.gif>0

f(hello_html_m3d4efe4.gif) = arcsin 1 + arccos 1 - hello_html_25869b49.gif = - hello_html_56fa0ad7.gif <0.


Ответ: hello_html_m7f46dbdf.gif








Краткое описание документа:

Уровень образования:  среднее (полное) общее образованиеЦелевая аудитория:  Учитель (преподаватель)Класс:  10 классПредмет(ы):  МатематикаЦель урока: Цели урока:Создание условий, при которых ученики -образовательные: открывают и осваивают методы решения неравенств, содержащих обратные тригонометрические функцииразвивающие: учатся логически мыслить, критически оценивать свои знаниявоспитательные:формируют эмоционально-ценностное отношение к своей учебной деятельности, что ведет к развитию качеств личности: нравственным, этическим, познавательным, трудовым.(Две последние цели решаются не одним уроком, а системой уроков)Тип урока:  Урок изучения и первичного закрепления новых знанийКраткое описание:  Данный урок ориентирован на создание условий, при которых ученики открывают и осваивают методы решения неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции, учатся логически мыслить, критически оценивать свои знания, формируют эмоционально-ценностное отношение к своей учебной деятельности, что ведет к развитию качеств личности: нравственным, этическим, познавательным, трудовым.Ресурс для профильной школы:  Ресурс для профильной школы
Автор
Дата добавления 23.04.2014
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров1359
Номер материала 80844042355
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх