Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Презентации / Урок + презентации по математике на тему «Решение тригонометрических уравнений»
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Урок + презентации по математике на тему «Решение тригонометрических уравнений»

Выбранный для просмотра документ Два основных метода решения тригонометрических уравнений.ppt

библиотека
материалов
Два основных метода решения тригонометрических уравнений
Введение новой переменной Разложение на множители
Метод введения новой переменной Пример 1 (не имеет решений)
Метод введения новой переменной Пример 2
Метод введения новой переменной Пример 3
Метод разложения на множители
Метод разложения на множители Пример 1
Метод разложения на множители Пример 2
Метод разложения на множители Замечание
9 1

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Два основных метода решения тригонометрических уравнений
Описание слайда:

Два основных метода решения тригонометрических уравнений

№ слайда 2 Введение новой переменной Разложение на множители
Описание слайда:

Введение новой переменной Разложение на множители

№ слайда 3 Метод введения новой переменной Пример 1 (не имеет решений)
Описание слайда:

Метод введения новой переменной Пример 1 (не имеет решений)

№ слайда 4 Метод введения новой переменной Пример 2
Описание слайда:

Метод введения новой переменной Пример 2

№ слайда 5 Метод введения новой переменной Пример 3
Описание слайда:

Метод введения новой переменной Пример 3

№ слайда 6 Метод разложения на множители
Описание слайда:

Метод разложения на множители

№ слайда 7 Метод разложения на множители Пример 1
Описание слайда:

Метод разложения на множители Пример 1

№ слайда 8 Метод разложения на множители Пример 2
Описание слайда:

Метод разложения на множители Пример 2

№ слайда 9 Метод разложения на множители Замечание
Описание слайда:

Метод разложения на множители Замечание

Выбранный для просмотра документ Однородные тригонометрические уравнения2.ppt

библиотека
материалов
Однородные тригонометрические уравнения
Здесь мы вспомним тригонометрические уравнения специального вида, довольно ч...
Определение Уравнения вида asinx+bcosx=0 называют однородным тригонометрическ...
Сначала поговорим о решении однородных тригонометрических уравнений первой с...
Итак, дано уравнение asinx+bcosx=0, где a≠0, b≠0. Разделив обе части уравнен...
Но внимание! Вообще-то, делить обе части уравнения на одно и то же выражение...
Уравнение вида asinmx+bcosmx=0 тоже называют однородным тригонометрическим у...
Примеры №1. Решить уравнение 2sinx-3cosx=0 Решение. Разделив обе части уравне...
№2. Решить уравнение sin2x+cos2x=0 Решение. Разделив обе части уравнения почл...
Рассмотрим теперь однородное тригонометрическое уравнение второй степени asi...
Пусть теперь в однородном тригонометрическом уравнении asin2x+bsinxcosx+ccos...
Алгоритм решения однородных тригонометрических уравнений второй степени Посмо...
Так же обстоит дело и в однородном тригонометрическом уравнении второй степе...
Примеры №1. Решить уравнение sin2x-3sinxcosx+2cos2x=0. Решение. sin2x-3sinxco...
№2. Решить уравнение √3sinxcosx+cos2x=0. Решение. cosx(√3sinx+cosx)=0 cosx=0...
15 1

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Однородные тригонометрические уравнения
Описание слайда:

Однородные тригонометрические уравнения

№ слайда 2 Здесь мы вспомним тригонометрические уравнения специального вида, довольно ч
Описание слайда:

Здесь мы вспомним тригонометрические уравнения специального вида, довольно часто встречающиеся на практике.

№ слайда 3 Определение Уравнения вида asinx+bcosx=0 называют однородным тригонометрическ
Описание слайда:

Определение Уравнения вида asinx+bcosx=0 называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени Уравнения вида asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0 называют однородным тригонометрическим уравнением второй степени

№ слайда 4 Сначала поговорим о решении однородных тригонометрических уравнений первой с
Описание слайда:

Сначала поговорим о решении однородных тригонометрических уравнений первой степени, причем рассмотрим только самый общий случай, когда оба коэффициента а и b отличны от нуля, так как, если а=о, то уравнение принимает вид bcosx=0, а получившееся уравнение cosx=0 отдельного обсуждения не заслуживает; аналогично при b=0 получаем sinx=0, что тоже не требует отдельного обсуждения.

№ слайда 5 Итак, дано уравнение asinx+bcosx=0, где a≠0, b≠0. Разделив обе части уравнен
Описание слайда:

Итак, дано уравнение asinx+bcosx=0, где a≠0, b≠0. Разделив обе части уравнения почленно на cosx, получим: asinx/cosx + bcosx/cosx = 0/cosx atgx+b=0 В итоге приходим к простейшему тригонометрическому уравнению: tgx= -b/a

№ слайда 6 Но внимание! Вообще-то, делить обе части уравнения на одно и то же выражение
Описание слайда:

Но внимание! Вообще-то, делить обе части уравнения на одно и то же выражение можно только в том случае, когда мы уверены, что это выражение нигде не обращается в нуль, потому что на нуль делить нельзя. Уверены ли мы, что в рассматриваемом случае cosx отличен от нуля? Давайте проанализируем. Предположим, что cosx=0. Тогда однородное уравнение asinx+bcosx=0 примет вид asinx=0, то есть sinx=0 (коэффициент а не равен нулю по условию). Получается, что и cosx=0 и sinx=0, а это невозможно, так как sinx и cosx обращаются в нуль в различных точках. Итак, в однородном тригонометрическом уравнении первой степени деление обеих частей уравнения на cosx – вполне благополучная операция.

№ слайда 7 Уравнение вида asinmx+bcosmx=0 тоже называют однородным тригонометрическим у
Описание слайда:

Уравнение вида asinmx+bcosmx=0 тоже называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени. Для их решения обе части уравнения делят почленно на cosmx.

№ слайда 8 Примеры №1. Решить уравнение 2sinx-3cosx=0 Решение. Разделив обе части уравне
Описание слайда:

Примеры №1. Решить уравнение 2sinx-3cosx=0 Решение. Разделив обе части уравнения почленно на cosx, получим 2tgx-3=0 tgx=3/2 x=arctg3/2 + πn, n € Z Ответ: x=arctg3/2 + πn, n € Z

№ слайда 9 №2. Решить уравнение sin2x+cos2x=0 Решение. Разделив обе части уравнения почл
Описание слайда:

№2. Решить уравнение sin2x+cos2x=0 Решение. Разделив обе части уравнения почленно на cos2x, получим tg2x+1=0, tg2x=-1 2x=-π/4+ πn, n € Z x=- π/8+ πn/2, n € Z Ответ: x=- π/8+ πn/2, n € Z

№ слайда 10 Рассмотрим теперь однородное тригонометрическое уравнение второй степени asi
Описание слайда:

Рассмотрим теперь однородное тригонометрическое уравнение второй степени asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0. Если коэффициент а отличен от нуля, то есть в уравнение содержится член sin2x с каким-то коэффициентом, отличным от нуля, то, рассуждая, как и выше, нетрудно убедиться в том, что при интересующих нас значениях переменной cosx не обращается в нуль, а потому можно обе части уравнения разделить почленно на cos2x. asin2x/cos2x+bsinxcosx/cos2x+ccos2x/cos2x=0/cos2x atg2x+btgx+c=0 Это квадратное уравнение относительно новой переменной z=tgx.

№ слайда 11 Пусть теперь в однородном тригонометрическом уравнении asin2x+bsinxcosx+ccos
Описание слайда:

Пусть теперь в однородном тригонометрическом уравнении asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0 коэффициент а=0, то есть отсутствует член asin2x. Тогда уравнение принимает вид bsinxcosx=0. Это уравнение можно решить методом разложения на множители: cosx(bsinx+ccosx)=0 cosx=0 или bsinx+ccosx=0 Получились два уравнения, которые мы умеем решать. Аналогично обстоит дело и в случае, когда c=0, то есть когда однородное уравнение принимает вид asin2x+bsinxcosx=0 (здесь можно вынести за скобки sinx). Фактически мы выработали алгоритм решения однородных тригонометрических уравнений второй степени.

№ слайда 12 Алгоритм решения однородных тригонометрических уравнений второй степени Посмо
Описание слайда:

Алгоритм решения однородных тригонометрических уравнений второй степени Посмотреть, есть ли в уравнении член asin2x; Если этот член содержится, то есть а≠0, то уравнение решается делением обеих его частей на cos2x и последующим введением новой переменной z=tgx; Если этот член содержится, то есть а=0, то уравнение решается методом разложения на множители: за скобки выносят cosx;

№ слайда 13 Так же обстоит дело и в однородном тригонометрическом уравнении второй степе
Описание слайда:

Так же обстоит дело и в однородном тригонометрическом уравнении второй степени вида asin2mx+bsinmxcosmx+ccos2mx=0

№ слайда 14 Примеры №1. Решить уравнение sin2x-3sinxcosx+2cos2x=0. Решение. sin2x-3sinxco
Описание слайда:

Примеры №1. Решить уравнение sin2x-3sinxcosx+2cos2x=0. Решение. sin2x-3sinxcosx+2cos2x=0 \ ÷ cos2x tg2x-3tgx+2=0 Введем новую переменную z=tgx z2-3z+2=0 z1=1, z2=2 tgx=1 tgx=2 x= π/4+ πn, n € Z x=arctg2 + πn, n € Z

№ слайда 15 №2. Решить уравнение √3sinxcosx+cos2x=0. Решение. cosx(√3sinx+cosx)=0 cosx=0
Описание слайда:

№2. Решить уравнение √3sinxcosx+cos2x=0. Решение. cosx(√3sinx+cosx)=0 cosx=0 или √3sinx+cosx=0 \ ÷ cosx≠0 x= π/2+ πn, n € Z √3tgx+1=0 tgx=-1/ √3 x=arctg(-1/ √3) + πn, n € Z x=- π/6+ πn, n € Z

Выбранный для просмотра документ ПРОСТЕЙШИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ.ppt

библиотека
материалов
ПРОСТЕЙШИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Тригонометрическими уравнениями обычно называют уравнения, в которых перемен...
К настоящему моменту мы знаем, что: Если |a|≤1, то решения уравнения cosx=a и...
Решения уравнения tgx=a для любого значения a имеют вид x=arctga+πn; Особо ва...
К простейшим относят обычно и уравнения вида T(kx+m)=a, где T – знак какой-л...
Пример 1. Решить уравнения: a) sin2x=1/2 2x=(-1)n arcsin1/2+πn, имеем arcsin1...
в) tg(4x-π/6)= √3/3. 4x-π/6=arctg√3/3+πn; arctg√3/3=π/6. 4x-π/6=π/6+πn; 4x=π/...
Пример 2. Найти те корни уравнения sin2x=1/2, которые принадлежат отрезку [0;...
Если n=0, то x=(-1)0 π/12+0=π/12, π/12 € [0; π]. Если n=1, то x=(-1)1 π/12+π/...
Пусть теперь n= -1, тогда x=(-1)-1π/12-π/2= -π/12-π/2= -7π/12. Это число не п...
На рисунке представлена геометрическая интерпретация проведенных рассуждений....
11 1

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 ПРОСТЕЙШИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Описание слайда:

ПРОСТЕЙШИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

№ слайда 2 Тригонометрическими уравнениями обычно называют уравнения, в которых перемен
Описание слайда:

Тригонометрическими уравнениями обычно называют уравнения, в которых переменная содержится под знаками тригонометрических функций. К их числу прежде всего относятся простейшие тригонометрические уравнения, т.е. уравнения вида sinx=a, cosx=a, tgx=a, где a - действительное число.

№ слайда 3 К настоящему моменту мы знаем, что: Если |a|≤1, то решения уравнения cosx=a и
Описание слайда:

К настоящему моменту мы знаем, что: Если |a|≤1, то решения уравнения cosx=a имеют вид x=±arccosa+2πn, Если |a|≤1, то решения уравнения sinx=a имеют вид x=(-1)n arcsina+πn, или, что то же самое, x=arcsina+2πk, x=π-arcsina+2пk; Если |a|>1, то уравнения cosx=a, sinx=a не имеют решений.

№ слайда 4 Решения уравнения tgx=a для любого значения a имеют вид x=arctga+πn; Особо ва
Описание слайда:

Решения уравнения tgx=a для любого значения a имеют вид x=arctga+πn; Особо важны частные случаи: sinx=0, x=πn; sinx=1, x=π/2+2πn; sinx=-1, x=-π/2+2πn; cosx=0, x=π/2+πn; cosx=1, x=2πn; cosx=-1, x=π+2πn. Во всех перечисленных формулах подразумевается, что параметр (n,k) принимает любые целочисленные значения (n€Z, k€Z).

№ слайда 5 К простейшим относят обычно и уравнения вида T(kx+m)=a, где T – знак какой-л
Описание слайда:

К простейшим относят обычно и уравнения вида T(kx+m)=a, где T – знак какой-либо тригонометрической функции.

№ слайда 6 Пример 1. Решить уравнения: a) sin2x=1/2 2x=(-1)n arcsin1/2+πn, имеем arcsin1
Описание слайда:

Пример 1. Решить уравнения: a) sin2x=1/2 2x=(-1)n arcsin1/2+πn, имеем arcsin1/2=π/6. Значит, 2x=(-1)n π/6+πn; x=(-1)n π/12+πn/2. б) cos3x=-√2/2; Решения уравнения имеют вид: x=±arccosa+2πn, если a>0, но помним, что |a|≤1. Для нашего примера: 3x=±arccos(-√2/2) +2πn, 3x=±(π-arccos√2/2)+2πn, 3x=±(π-π/4)+2πn, 3x=±3π/4+2πn, x=±π/4+2πn/3, где n€Z

№ слайда 7 в) tg(4x-π/6)= √3/3. 4x-π/6=arctg√3/3+πn; arctg√3/3=π/6. 4x-π/6=π/6+πn; 4x=π/
Описание слайда:

в) tg(4x-π/6)= √3/3. 4x-π/6=arctg√3/3+πn; arctg√3/3=π/6. 4x-π/6=π/6+πn; 4x=π/6+π/6+πn, 4x=π/3+πn, x=π/12+πn/4, где n€Z.

№ слайда 8 Пример 2. Найти те корни уравнения sin2x=1/2, которые принадлежат отрезку [0;
Описание слайда:

Пример 2. Найти те корни уравнения sin2x=1/2, которые принадлежат отрезку [0; π]. Решение. Сначала решим уравнение в общем виде: sin2x=1/2 2x=(-1)n arcsin1/2+πn, 2x=(-1)n π/6+πn; x=(-1)n π/12+πn/2. Далее придадим параметру n последовательно значения 0,1,2,…,-1,-2,… и подставим эти значения в общую формулу корней.

№ слайда 9 Если n=0, то x=(-1)0 π/12+0=π/12, π/12 € [0; π]. Если n=1, то x=(-1)1 π/12+π/
Описание слайда:

Если n=0, то x=(-1)0 π/12+0=π/12, π/12 € [0; π]. Если n=1, то x=(-1)1 π/12+π/2 =-π/12+π/2=5π/12, 5π/12 € [0; π]. Если n=2, то x=(-1)2 π/12+π=π/12+π=13π/12, 13π/12 € [0; π]. Тем более не будут принадлежать заданному отрезку те значения x, которые получаются из общей формулы при n=3,4,… .

№ слайда 10 Пусть теперь n= -1, тогда x=(-1)-1π/12-π/2= -π/12-π/2= -7π/12. Это число не п
Описание слайда:

Пусть теперь n= -1, тогда x=(-1)-1π/12-π/2= -π/12-π/2= -7π/12. Это число не принадлежит заданному отрезку [0; π]. Тем более не будут принадлежать заданному отрезку те значения x, которые получаются из общей формулы при n= -2,-3,… .

№ слайда 11 На рисунке представлена геометрическая интерпретация проведенных рассуждений.
Описание слайда:

На рисунке представлена геометрическая интерпретация проведенных рассуждений. -7π/12 π/12 5π/12 13π/12 0 π Итак, заданному отрезку [0; π] принадлежат те корни уравнения, которые получаются из общей формулы при следующих значениях параметра n: n=0, n=1. Эти корни таковы: π/12, 5π/12. Ответ: π/12; 5π/12.

Выбранный для просмотра документ Преобразование выражения Asinx + Bcosx.ppt

библиотека
материалов
На практике, при изучении колебаний, довольно часто встречаются выражения вид...
В самом деле Аⁿ+Вⁿ=Сⁿ, при n=2 Рассмотрим выражение Asinx + Bcosx; Пусть для...
Итак, получаем выражение: Asinx + Bcosx = Сsin(x+t) Аналогично можно выражени...
Введём вспомогательный аргумент t, Удовлетворяющий соотношениям: cost = 5/13,...
Также следует обратить внимание на то, Что с равным успехом можно считать, Чт...
6 1

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1
Описание слайда:

№ слайда 2 На практике, при изучении колебаний, довольно часто встречаются выражения вид
Описание слайда:

На практике, при изучении колебаний, довольно часто встречаются выражения вида Asinx + Bcosx. Рассмотрим для примера выражение √3sinx + cosx Если переписать это выражение в виде 2(√3/2sinx + ½cosx) и вспомнить, что √3/2 = cos∏/6, а sin1/2 = ∏/6, то можно представить выражение иным образом: 2(√3/2sinx + ½ cosx) = 2(cos ∏/6 sinx + sin ∏/6 cosx) = 2sin(x+t). Стоит заметить, что C = 2; t = ∏/6 .

№ слайда 3 В самом деле Аⁿ+Вⁿ=Сⁿ, при n=2 Рассмотрим выражение Asinx + Bcosx; Пусть для
Описание слайда:

В самом деле Аⁿ+Вⁿ=Сⁿ, при n=2 Рассмотрим выражение Asinx + Bcosx; Пусть для определенности А и В – положительные числа (А/С)ⁿ + (В/С)ⁿ = 1, при n=2, То есть точка с координатами (А/С) и (В/С) лежит на Числовой (единичной) окружности. Но тогда (А/С) есть косинус, а (В/С) - синус некоторого Аргумента t, т. е. (А/С) = cost, (В/С) = sint Учитывая всё это, поработаем с выражением: Asinx + Bcosx; Asinx + Bcosx = C((А/С)sinx + (В/С)cosx) = = C(costsinx + sintcosx) = Сsin(x+t)

№ слайда 4 Итак, получаем выражение: Asinx + Bcosx = Сsin(x+t) Аналогично можно выражени
Описание слайда:

Итак, получаем выражение: Asinx + Bcosx = Сsin(x+t) Аналогично можно выражение Asinx + Bcosx, А>0, В>0, Преобразовать к виду Сsin(x+t). Обычно аргумент t называют вспомогательным или Дополнительным аргументом. Вот 1 из примеров его нахождения: Пример 1. Преобразовать выражение 5sinx - 12cosx. Решение: А = 5; В = -12, По теореме Пифагора С = 13. Итак: 5sinx - 12cosx = 13(5/13sinx – 12/13cosx).

№ слайда 5 Введём вспомогательный аргумент t, Удовлетворяющий соотношениям: cost = 5/13,
Описание слайда:

Введём вспомогательный аргумент t, Удовлетворяющий соотношениям: cost = 5/13, sint = 12/13, например t = arcsin12/13. Тогда 5/13sinx – 12/13cosx = sinxcost – cosxsint = sin(x-t). Итак, 5sinx - 12cosx = 13sin(x-t), где t = arcsin12/13. Пример 2. Найти наибольшее и наименьшее значение функции y = 5sinx - 12cosx. Решение: опираясь на пример 1 имеем данные: y = 5sinx - 12cosx = 13sin(x-t), отсюда узнаём что у € [-13 ; 13] (поскольку синус принимает значения от -1 до 1)

№ слайда 6 Также следует обратить внимание на то, Что с равным успехом можно считать, Чт
Описание слайда:

Также следует обратить внимание на то, Что с равным успехом можно считать, Что (А/С) = sint, и (В/С) = cost. Тогда: Asinx + Bcosx = С((А/С)sinx + (В/С)cosx) = = С(sinxsint + cosxcost) = Ccos(x-t). Итак, Аsinx + Вcosx = Ccos(x-t)

Выбранный для просмотра документ урок - проект.doc

библиотека
материалов

Урок-проект

Решение тригонометрических уравнений


Цель урока:

1. Систематизировать знания и навыки необходимые при решении всех тригонометрических уравнений изученных за курс алгебры и начал анализа.

2. Подготовка к сдаче Экзамена в форме ЕГЭ.

Ход урока.


  1. Вводное слово учителя

  2. Презентации – выступления ребят

  • «Простейшие тригонометрические уравнения» Приложение № 1.

  • «Два метода решения тригонометрических уравнений» Приложение № 2.

  • «Решение однородных уравнений» Приложение № 3.

  • «Введение вспомогательного аргумента» Приложение № 4.

3. Устная работа (Работа на интерактивной доске)

  • Закрепление общих формул;

  • Закрепление простейших;

  • Уравнения 1 части ЕГЭ.

  1. Закрепление на доске. Решение на доске уравнений каждого приложения

  2. Самостоятельная работа решение с самопроверкой на проекторе

  3. Подведение итогов урока

  4. Д/З стр. 324 № 1183-1199 (выбрать по номинациям)




Учитель: Леонтьева Л.В.


Краткое описание документа:

Именно самостоятельная организация работы и творческая деятельность учащихся с использованием компьютерных технологий отражается в уроке – проекте «Решение тригонометрических уравнений».

Здесь ученики заранее готовят презентации - выступления по темам: «Простейшие тригонометрические уравнения», «Два метода решения тригонометрических уравнений», «Решение однородных уравнений», «Введение вспомогательного аргумента». При подготовке учащиеся сами самостоятельно повторили изученный материал и на основе этого, используя примеры, готовили презентации (здесь так же видна связь предмета информатики и математики).

При подготовке проекта учащиеся поняли и применили знания, умения и навыки, приобретенные в 10 классе:

  • научились выбирать подходящую информацию правильно ее использовать.
  • четко определили основные шаги по достижению поставленной цели, концентрируясь на достижении цели.

Данный урок – проект можно использовать при изучении в 11 классе темы «Уравнения, неравенства, системы уравнений». Он позволит наиболее прочно изучить учебный материал, сделать конкретные выводы, и урок будет толчком к подготовке к ЕГЭ.

Цель урока: 

  1. Систематизировать знания и навыки необходимые при решении всех тригонометрических уравнений изученных за курс алгебры и начал анализа.
  2. Подготовка к сдаче Экзамена в форме ЕГЭ.

Ход урока.

1. Вводное слово учителя
2. Презентации – выступления ребят
  • «Простейшие тригонометрические уравнения» Приложение № 1.
  • «Два метода решения тригонометрических уравнений» Приложение № 2.
  • «Решение однородных уравнений» Приложение № 3.
  • «Введение вспомогательного аргумента» Приложение № 4.

3. Устная работа (Работа на интерактивной доске)

  • Закрепление общих формул;
  • Закрепление простейших;
  • Уравнения 1 части ЕГЭ.
4. Закрепление на доске. Решение на доске уравнений каждого приложения
5. Самостоятельная работа решение с самопроверкой на проекторе
6. Подведение итогов урока
7. Д/З стр. 324 № 1183-1199 (выбрать по номинациям)
Автор
Дата добавления 24.04.2013
Раздел Математика
Подраздел Презентации
Просмотров1051
Номер материала 8218042418
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх