Урок + презентации по математике на тему «Решение тригонометрических уравнений»

1 слайд

Преобразование выражения Asinx + Bcosx к виду Csin(x+t)

2 слайд

На практике, при изучении колебаний,
довольно часто встречаются выражения вида
Asinx + Bcosx.
Рассмотрим для примера выражение
√3sinx + cosx
Если переписать это выражение в виде
2(√3/2sinx + ½cosx) и вспомнить,
что √3/2 = cos∏/6, а sin1/2 = ∏/6,
то можно представить выражение иным образом:
2(√3/2sinx + ½ cosx) = 2(cos ∏/6 sinx + sin ∏/6 cosx) =
2sin(x+t).
Стоит заметить, что C = 2; t = ∏/6 .

3 слайд

В самом деле Аⁿ+Вⁿ=Сⁿ, при n=2
Рассмотрим выражение Asinx + Bcosx;
Пусть для определенности А и В – положительные числа
(А/С)ⁿ + (В/С)ⁿ = 1, при n=2,
То есть точка с координатами (А/С) и (В/С) лежит на
Числовой (единичной) окружности.
Но тогда (А/С) есть косинус, а (В/С) - синус некоторого
Аргумента t, т. е. (А/С) = cost, (В/С) = sint
Учитывая всё это, поработаем с выражением:
Asinx + Bcosx;
Asinx + Bcosx = C((А/С)sinx + (В/С)cosx) =
= C(costsinx + sintcosx) = Сsin(x+t)

4 слайд

Итак, получаем выражение:
Asinx + Bcosx = Сsin(x+t)
Аналогично можно выражение Asinx + Bcosx, А>0, В>0,
Преобразовать к виду Сsin(x+t).
Обычно аргумент t называют вспомогательным или
Дополнительным аргументом.
Вот 1 из примеров его нахождения:
Пример 1.
Преобразовать выражение 5sinx - 12cosx.
Решение: А = 5; В = -12,
По теореме Пифагора С = 13.
Итак: 5sinx - 12cosx = 13(5/13sinx – 12/13cosx).

5 слайд

Введём вспомогательный аргумент t,
Удовлетворяющий соотношениям:
cost = 5/13, sint = 12/13, например t = arcsin12/13.
Тогда 5/13sinx – 12/13cosx = sinxcost – cosxsint = sin(x-t).
Итак, 5sinx - 12cosx = 13sin(x-t), где t = arcsin12/13.
Пример 2.
Найти наибольшее и наименьшее значение функции
y = 5sinx - 12cosx.
Решение: опираясь на пример 1 имеем данные:
y = 5sinx - 12cosx = 13sin(x-t), отсюда узнаём что
у € [-13 ; 13]
(поскольку синус принимает значения от -1 до 1)

6 слайд

Также следует обратить внимание на то,
Что с равным успехом можно считать,
Что (А/С) = sint, и (В/С) = cost.
Тогда:
Asinx + Bcosx = С((А/С)sinx + (В/С)cosx) =
= С(sinxsint + cosxcost) = Ccos(x-t).
Итак, Аsinx + Вcosx = Ccos(x-t)

1 слайд

Однородные тригонометрические уравнения

2 слайд

Здесь мы вспомним тригонометрические уравнения специального вида, довольно часто встречающиеся на практике.

3 слайд

Определение
Уравнения вида asinx+bcosx=0 называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени
Уравнения вида asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0 называют однородным тригонометрическим уравнением второй степени

4 слайд

Сначала поговорим о решении однородных тригонометрических уравнений первой степени, причем рассмотрим только самый общий случай, когда оба коэффициента а и b отличны от нуля, так как, если а=о, то уравнение принимает вид bcosx=0, а получившееся уравнение cosx=0 отдельного обсуждения не заслуживает; аналогично при b=0 получаем sinx=0, что тоже не требует отдельного обсуждения.

5 слайд

Итак, дано уравнение asinx+bcosx=0, где a≠0, b≠0. Разделив обе части уравнения почленно на cosx, получим:
asinx/cosx + bcosx/cosx = 0/cosx
atgx+b=0
В итоге приходим к простейшему тригонометрическому уравнению:
tgx= -b/a

6 слайд

Но внимание! Вообще-то, делить обе части уравнения на одно и то же выражение можно только в том случае, когда мы уверены, что это выражение нигде не обращается в нуль, потому что на нуль делить нельзя. Уверены ли мы, что в рассматриваемом случае cosx отличен от нуля? Давайте проанализируем. Предположим, что cosx=0. Тогда однородное уравнение asinx+bcosx=0 примет вид asinx=0, то есть sinx=0 (коэффициент а не равен нулю по условию). Получается, что и cosx=0 и sinx=0, а это невозможно, так как sinx и cosx обращаются в нуль в различных точках.
Итак, в однородном тригонометрическом уравнении первой степени деление обеих частей уравнения на cosx – вполне благополучная операция.

7 слайд

Уравнение вида asinmx+bcosmx=0 тоже называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени. Для их решения обе части уравнения делят почленно на cosmx.

8 слайд

Примеры
№1. Решить уравнение 2sinx-3cosx=0
Решение. Разделив обе части уравнения почленно на cosx, получим 2tgx-3=0
tgx=3/2
x=arctg3/2 + πn, n € Z

Ответ: x=arctg3/2 + πn, n € Z

9 слайд

№2. Решить уравнение sin2x+cos2x=0
Решение. Разделив обе части уравнения почленно на cos2x, получим
tg2x+1=0, tg2x=-1
2x=-π/4+ πn, n € Z
x=- π/8+ πn/2, n € Z
Ответ: x=- π/8+ πn/2, n € Z

10 слайд

Рассмотрим теперь однородное тригонометрическое уравнение второй степени asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0.
Если коэффициент а отличен от нуля, то есть в уравнение содержится член sin2x с каким-то коэффициентом, отличным от нуля, то, рассуждая, как и выше, нетрудно убедиться в том, что при интересующих нас значениях переменной cosx не обращается в нуль, а потому можно обе части уравнения разделить почленно на cos2x.
asin2x/cos2x+bsinxcosx/cos2x+ccos2x/cos2x=0/cos2x
atg2x+btgx+c=0
Это квадратное уравнение относительно новой переменной z=tgx.

11 слайд

Пусть теперь в однородном тригонометрическом уравнении asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0 коэффициент а=0, то есть отсутствует член asin2x. Тогда уравнение принимает вид bsinxcosx=0. Это уравнение можно решить методом разложения на множители:
cosx(bsinx+ccosx)=0
cosx=0 или bsinx+ccosx=0
Получились два уравнения, которые мы умеем решать.
Аналогично обстоит дело и в случае, когда c=0, то есть когда однородное уравнение принимает вид asin2x+bsinxcosx=0 (здесь можно вынести за скобки sinx).

Фактически мы выработали алгоритм решения однородных тригонометрических уравнений второй степени.

12 слайд

Алгоритм решения однородных тригонометрических уравнений второй степени
Посмотреть, есть ли в уравнении член asin2x;
Если этот член содержится, то есть а≠0, то уравнение решается делением обеих его частей на cos2x и последующим введением новой переменной z=tgx;
Если этот член содержится, то есть а=0, то уравнение решается методом разложения на множители: за скобки выносят cosx;

13 слайд

Так же обстоит дело и в однородном тригонометрическом уравнении второй степени вида
asin2mx+bsinmxcosmx+ccos2mx=0

14 слайд

Примеры

№1. Решить уравнение sin2x-3sinxcosx+2cos2x=0.


Решение. sin2x-3sinxcosx+2cos2x=0 \ ÷ cos2x
tg2x-3tgx+2=0
Введем новую переменную z=tgx
z2-3z+2=0 z1=1, z2=2
tgx=1 tgx=2
x= π/4+ πn, n € Z x=arctg2 + πn, n € Z

15 слайд

№2. Решить уравнение √3sinxcosx+cos2x=0.

Решение. cosx(√3sinx+cosx)=0
cosx=0 или √3sinx+cosx=0 \ ÷ cosx≠0
x= π/2+ πn, n € Z √3tgx+1=0
tgx=-1/ √3
x=arctg(-1/ √3) + πn, n € Z
x=- π/6+ πn, n € Z

1 слайд

ПРОСТЕЙШИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

2 слайд

Тригонометрическими уравнениями обычно называют уравнения, в которых переменная содержится под знаками тригонометрических функций. К их числу прежде всего относятся простейшие тригонометрические уравнения, т.е. уравнения вида sinx=a, cosx=a, tgx=a, где a - действительное число.

3 слайд

К настоящему моменту мы знаем, что:
Если |a|≤1, то решения уравнения cosx=a имеют вид x=±arccosa+2πn,
Если |a|≤1, то решения уравнения sinx=a имеют вид x=(-1)n arcsina+πn,
или, что то же самое, x=arcsina+2πk, x=π-arcsina+2пk;
Если |a|>1, то уравнения cosx=a, sinx=a не имеют решений.

4 слайд

Решения уравнения tgx=a для любого значения a имеют вид x=arctga+πn;
Особо важны частные случаи:
sinx=0, x=πn;
sinx=1, x=π/2+2πn;
sinx=-1, x=-π/2+2πn;
cosx=0, x=π/2+πn;
cosx=1, x=2πn;
cosx=-1, x=π+2πn.
Во всех перечисленных формулах подразумевается, что параметр (n,k) принимает любые целочисленные значения (n€Z, k€Z).

5 слайд

К простейшим относят обычно и уравнения вида T(kx+m)=a, где T – знак какой-либо тригонометрической функции.

6 слайд

Пример 1.
Решить уравнения:
a) sin2x=1/2
2x=(-1)n arcsin1/2+πn, имеем arcsin1/2=π/6.
Значит, 2x=(-1)n π/6+πn; x=(-1)n π/12+πn/2.
б) cos3x=-√2/2;
Решения уравнения имеют вид: x=±arccosa+2πn, если
a>0, но помним, что |a|≤1.
Для нашего примера: 3x=±arccos(-√2/2) +2πn,
3x=±(π-arccos√2/2)+2πn,
3x=±(π-π/4)+2πn,
3x=±3π/4+2πn,
x=±π/4+2πn/3, где n€Z

7 слайд

в) tg(4x-π/6)= √3/3.
4x-π/6=arctg√3/3+πn; arctg√3/3=π/6.
4x-π/6=π/6+πn;
4x=π/6+π/6+πn,
4x=π/3+πn,
x=π/12+πn/4, где n€Z.

8 слайд

Пример 2.
Найти те корни уравнения sin2x=1/2, которые принадлежат отрезку [0; π].
Решение. Сначала решим уравнение в общем виде: sin2x=1/2
2x=(-1)n arcsin1/2+πn,
2x=(-1)n π/6+πn;
x=(-1)n π/12+πn/2.
Далее придадим параметру n последовательно значения 0,1,2,…,-1,-2,… и подставим эти значения в общую формулу корней.

9 слайд

Если n=0, то x=(-1)0 π/12+0=π/12,
π/12 € [0; π].
Если n=1, то x=(-1)1 π/12+π/2 =-π/12+π/2=5π/12, 5π/12 € [0; π].
Если n=2, то x=(-1)2 π/12+π=π/12+π=13π/12, 13π/12 € [0; π].

Тем более не будут принадлежать заданному отрезку те значения x, которые получаются из общей формулы
при n=3,4,… .

10 слайд

Пусть теперь n= -1, тогда x=(-1)-1π/12-π/2= -π/12-π/2= -7π/12. Это число не принадлежит заданному отрезку [0; π].
Тем более не будут принадлежать заданному отрезку те значения x, которые получаются из общей формулы при n= -2,-3,… .

11 слайд

На рисунке представлена геометрическая интерпретация проведенных рассуждений.
-7π/12 π/12 5π/12 13π/12

0 π
Итак, заданному отрезку [0; π] принадлежат те корни уравнения, которые получаются из общей формулы при следующих значениях параметра n: n=0, n=1.
Эти корни таковы: π/12, 5π/12.
Ответ: π/12; 5π/12.

1 слайд

Два основных метода решения тригонометрических уравнений

2 слайд

Введение новой переменной
Разложение на множители

3 слайд

Метод введения новой переменной
Пример 1
(не имеет решений)

4 слайд

Метод введения новой переменной
Пример 2

5 слайд

Метод введения новой переменной
Пример 3

6 слайд

Метод разложения на множители

7 слайд

Метод разложения на множители
Пример 1

8 слайд

Метод разложения на множители
Пример 2

9 слайд

Метод разложения на множители
Замечание