Урок + презентации по математике на тему «Решение тригонометрических уравнений»
Логотип Инфоурока

Получите 30₽ за публикацию своей разработки в библиотеке «Инфоурок»

Добавить материал

и получить бесплатное свидетельство о размещении материала на сайте infourok.ru

Инфоурок Математика ПрезентацииУрок + презентации по математике на тему «Решение тригонометрических уравнений»

Урок + презентации по математике на тему «Решение тригонометрических уравнений»

Скачать материал
Скачать тест к этому уроку

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ урок - проект.doc

  

Урок-проект

Решение тригонометрических уравнений

 

Цель урока:

1. Систематизировать знания и навыки необходимые при решении всех тригонометрических уравнений изученных за курс алгебры и начал анализа.

2. Подготовка к сдаче Экзамена в форме ЕГЭ.

  

Ход урока.

 

  1. Вводное слово учителя
  2. Презентации – выступления ребят

·         «Простейшие тригонометрические уравнения» Приложение № 1.

·         «Два метода решения тригонометрических уравнений» Приложение № 2.

·         «Решение однородных уравнений» Приложение № 3.

·         «Введение вспомогательного аргумента»  Приложение № 4.

3. Устная работа (Работа на интерактивной доске)

·         Закрепление общих формул;

·         Закрепление простейших;

·         Уравнения 1 части ЕГЭ.

  1. Закрепление на доске. Решение на доске уравнений каждого приложения
  2. Самостоятельная работа решение с самопроверкой  на проекторе
  3. Подведение итогов урока
  4. Д/З стр. 324 № 1183-1199 (выбрать по номинациям)

  

 

 

 

Учитель: Леонтьева Л.В.

 

Выбранный для просмотра документ Преобразование выражения Asinx + Bcosx.ppt

Описание презентации по отдельным слайдам:

  • 1 слайд Преобразование выражения Asinx + Bcosx  к виду Csin(x+t)
    Описание слайда:

    Преобразование выражения Asinx + Bcosx к виду Csin(x+t)

  • 2 слайд На практике, при изучении колебаний,
довольно часто встречаются выражения вид
    Описание слайда:

    На практике, при изучении колебаний,
    довольно часто встречаются выражения вида
    Asinx + Bcosx.
    Рассмотрим для примера выражение
    √3sinx + cosx
    Если переписать это выражение в виде
    2(√3/2sinx + ½cosx) и вспомнить,
    что √3/2 = cos∏/6, а sin1/2 = ∏/6,
    то можно представить выражение иным образом:
    2(√3/2sinx + ½ cosx) = 2(cos ∏/6 sinx + sin ∏/6 cosx) =
    2sin(x+t).
    Стоит заметить, что C = 2; t = ∏/6 .

  • 3 слайд В самом деле Аⁿ+Вⁿ=Сⁿ, при n=2
Рассмотрим выражение Asinx + Bcosx; 
Пусть для
    Описание слайда:

    В самом деле Аⁿ+Вⁿ=Сⁿ, при n=2
    Рассмотрим выражение Asinx + Bcosx;
    Пусть для определенности А и В – положительные числа
    (А/С)ⁿ + (В/С)ⁿ = 1, при n=2,
    То есть точка с координатами (А/С) и (В/С) лежит на
    Числовой (единичной) окружности.
    Но тогда (А/С) есть косинус, а (В/С) - синус некоторого
    Аргумента t, т. е. (А/С) = cost, (В/С) = sint
    Учитывая всё это, поработаем с выражением:
    Asinx + Bcosx;
    Asinx + Bcosx = C((А/С)sinx + (В/С)cosx) =
    = C(costsinx + sintcosx) = Сsin(x+t)


  • 4 слайд Итак, получаем выражение:
Asinx + Bcosx = Сsin(x+t)
Аналогично можно выражени
    Описание слайда:

    Итак, получаем выражение:
    Asinx + Bcosx = Сsin(x+t)
    Аналогично можно выражение Asinx + Bcosx, А>0, В>0,
    Преобразовать к виду Сsin(x+t).
    Обычно аргумент t называют вспомогательным или
    Дополнительным аргументом.
    Вот 1 из примеров его нахождения:
    Пример 1.
    Преобразовать выражение 5sinx - 12cosx.
    Решение: А = 5; В = -12,
    По теореме Пифагора С = 13.
    Итак: 5sinx - 12cosx = 13(5/13sinx – 12/13cosx).

  • 5 слайд Введём вспомогательный аргумент t, 
Удовлетворяющий соотношениям:
cost = 5/13
    Описание слайда:

    Введём вспомогательный аргумент t,
    Удовлетворяющий соотношениям:
    cost = 5/13, sint = 12/13, например t = arcsin12/13.
    Тогда 5/13sinx – 12/13cosx = sinxcost – cosxsint = sin(x-t).
    Итак, 5sinx - 12cosx = 13sin(x-t), где t = arcsin12/13.
    Пример 2.
    Найти наибольшее и наименьшее значение функции
    y = 5sinx - 12cosx.
    Решение: опираясь на пример 1 имеем данные:
    y = 5sinx - 12cosx = 13sin(x-t), отсюда узнаём что
    у € [-13 ; 13]
    (поскольку синус принимает значения от -1 до 1)





  • 6 слайд Также следует обратить внимание на то, 
Что с равным успехом можно считать,
Ч
    Описание слайда:

    Также следует обратить внимание на то,
    Что с равным успехом можно считать,
    Что (А/С) = sint, и (В/С) = cost.
    Тогда:
    Asinx + Bcosx = С((А/С)sinx + (В/С)cosx) =
    = С(sinxsint + cosxcost) = Ccos(x-t).
    Итак, Аsinx + Вcosx = Ccos(x-t)


Выбранный для просмотра документ Однородные тригонометрические уравнения2.ppt

Описание презентации по отдельным слайдам:

  • 1 слайд Однородные тригонометрические уравнения
    Описание слайда:

    Однородные тригонометрические уравнения



  • 2 слайд Здесь мы вспомним тригонометрические уравнения специального вида, дово
    Описание слайда:





    Здесь мы вспомним тригонометрические уравнения специального вида, довольно часто встречающиеся на практике.

  • 3 слайд ОпределениеУравнения вида asinx+bcosx=0 называют однородным тригонометрически
    Описание слайда:

    Определение
    Уравнения вида asinx+bcosx=0 называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени
    Уравнения вида asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0 называют однородным тригонометрическим уравнением второй степени

  • 4 слайд Сначала поговорим о решении однородных тригонометрических уравнений пе
    Описание слайда:





    Сначала поговорим о решении однородных тригонометрических уравнений первой степени, причем рассмотрим только самый общий случай, когда оба коэффициента а и b отличны от нуля, так как, если а=о, то уравнение принимает вид bcosx=0, а получившееся уравнение cosx=0 отдельного обсуждения не заслуживает; аналогично при b=0 получаем sinx=0, что тоже не требует отдельного обсуждения.

  • 5 слайд Итак, дано уравнение asinx+bcosx=0, где a≠0, b≠0. Разделив обе части
    Описание слайда:






    Итак, дано уравнение asinx+bcosx=0, где a≠0, b≠0. Разделив обе части уравнения почленно на cosx, получим:
    asinx/cosx + bcosx/cosx = 0/cosx
    atgx+b=0
    В итоге приходим к простейшему тригонометрическому уравнению:
    tgx= -b/a

  • 6 слайд Но внимание! Вообще-то, делить обе части уравнения на одно и
    Описание слайда:















    Но внимание! Вообще-то, делить обе части уравнения на одно и то же выражение можно только в том случае, когда мы уверены, что это выражение нигде не обращается в нуль, потому что на нуль делить нельзя. Уверены ли мы, что в рассматриваемом случае cosx отличен от нуля? Давайте проанализируем. Предположим, что cosx=0. Тогда однородное уравнение asinx+bcosx=0 примет вид asinx=0, то есть sinx=0 (коэффициент а не равен нулю по условию). Получается, что и cosx=0 и sinx=0, а это невозможно, так как sinx и cosx обращаются в нуль в различных точках.
    Итак, в однородном тригонометрическом уравнении первой степени деление обеих частей уравнения на cosx – вполне благополучная операция.

  • 7 слайд Уравнение вида asinmx+bcosmx=0 тоже называют однородным тригонометриче
    Описание слайда:





    Уравнение вида asinmx+bcosmx=0 тоже называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени. Для их решения обе части уравнения делят почленно на cosmx.

  • 8 слайд Примеры№1. Решить уравнение 2sinx-3cosx=0
    Решение. Разделив обе части ура
    Описание слайда:

    Примеры
    №1. Решить уравнение 2sinx-3cosx=0
    Решение. Разделив обе части уравнения почленно на cosx, получим 2tgx-3=0
    tgx=3/2
    x=arctg3/2 + πn, n € Z

    Ответ: x=arctg3/2 + πn, n € Z

  • 9 слайд №2. Решить уравнение sin2x+cos2x=0
     Решение. Разделив обе части уравнения
    Описание слайда:

    №2. Решить уравнение sin2x+cos2x=0
    Решение. Разделив обе части уравнения почленно на cos2x, получим
    tg2x+1=0, tg2x=-1
    2x=-π/4+ πn, n € Z
    x=- π/8+ πn/2, n € Z
    Ответ: x=- π/8+ πn/2, n € Z




  • 10 слайд
    Описание слайда:




    Рассмотрим теперь однородное тригонометрическое уравнение второй степени asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0.
    Если коэффициент а отличен от нуля, то есть в уравнение содержится член sin2x с каким-то коэффициентом, отличным от нуля, то, рассуждая, как и выше, нетрудно убедиться в том, что при интересующих нас значениях переменной cosx не обращается в нуль, а потому можно обе части уравнения разделить почленно на cos2x.
    asin2x/cos2x+bsinxcosx/cos2x+ccos2x/cos2x=0/cos2x
    atg2x+btgx+c=0
    Это квадратное уравнение относительно новой переменной z=tgx.

  • 11 слайд Пусть теперь в однородном тригонометрическом уравнении asin2x+bsinxcosx
    Описание слайда:

    Пусть теперь в однородном тригонометрическом уравнении asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0 коэффициент а=0, то есть отсутствует член asin2x. Тогда уравнение принимает вид bsinxcosx=0. Это уравнение можно решить методом разложения на множители:
    cosx(bsinx+ccosx)=0
    cosx=0 или bsinx+ccosx=0
    Получились два уравнения, которые мы умеем решать.
    Аналогично обстоит дело и в случае, когда c=0, то есть когда однородное уравнение принимает вид asin2x+bsinxcosx=0 (здесь можно вынести за скобки sinx).

    Фактически мы выработали алгоритм решения однородных тригонометрических уравнений второй степени.

  • 12 слайд Алгоритм решения однородных тригонометрических уравнений второй степениПосмот
    Описание слайда:

    Алгоритм решения однородных тригонометрических уравнений второй степени
    Посмотреть, есть ли в уравнении член asin2x;
    Если этот член содержится, то есть а≠0, то уравнение решается делением обеих его частей на cos2x и последующим введением новой переменной z=tgx;
    Если этот член содержится, то есть а=0, то уравнение решается методом разложения на множители: за скобки выносят cosx;

  • 13 слайд Так же обстоит дело и в однородном тригонометрическом уравнении второ
    Описание слайда:

    Так же обстоит дело и в однородном тригонометрическом уравнении второй степени вида
    asin2mx+bsinmxcosmx+ccos2mx=0

  • 14 слайд Примеры
№1. Решить уравнение sin2x-3sinxcosx+2cos2x=0.


    Решение.
    Описание слайда:

    Примеры

    №1. Решить уравнение sin2x-3sinxcosx+2cos2x=0.


    Решение. sin2x-3sinxcosx+2cos2x=0 \ ÷ cos2x
    tg2x-3tgx+2=0
    Введем новую переменную z=tgx
    z2-3z+2=0 z1=1, z2=2
    tgx=1 tgx=2
    x= π/4+ πn, n € Z x=arctg2 + πn, n € Z

  • 15 слайд №2. Решить уравнение √3sinxcosx+cos2x=0.

    Решение.         cosx(√3sinx+co
    Описание слайда:

    №2. Решить уравнение √3sinxcosx+cos2x=0.

    Решение. cosx(√3sinx+cosx)=0
    cosx=0 или √3sinx+cosx=0 \ ÷ cosx≠0
    x= π/2+ πn, n € Z √3tgx+1=0
    tgx=-1/ √3
    x=arctg(-1/ √3) + πn, n € Z
    x=- π/6+ πn, n € Z

Выбранный для просмотра документ ПРОСТЕЙШИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ.ppt

Описание презентации по отдельным слайдам:

  • 1 слайд ПРОСТЕЙШИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
    Описание слайда:

    ПРОСТЕЙШИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

  • 2 слайд Тригонометрическими уравнениями обычно называют уравнения, в которых перемен
    Описание слайда:

    Тригонометрическими уравнениями обычно называют уравнения, в которых переменная содержится под знаками тригонометрических функций. К их числу прежде всего относятся простейшие тригонометрические уравнения, т.е. уравнения вида sinx=a, cosx=a, tgx=a, где a - действительное число.

  • 3 слайд К настоящему моменту мы знаем, что:Если |a|≤1, то решения уравнения cosx=a им
    Описание слайда:

    К настоящему моменту мы знаем, что:
    Если |a|≤1, то решения уравнения cosx=a имеют вид x=±arccosa+2πn,
    Если |a|≤1, то решения уравнения sinx=a имеют вид x=(-1)n arcsina+πn,
    или, что то же самое, x=arcsina+2πk, x=π-arcsina+2пk;
    Если |a|>1, то уравнения cosx=a, sinx=a не имеют решений.


  • 4 слайд Решения уравнения tgx=a для любого значения a имеют вид x=arctga+πn;
Особо ва
    Описание слайда:

    Решения уравнения tgx=a для любого значения a имеют вид x=arctga+πn;
    Особо важны частные случаи:
    sinx=0, x=πn;
    sinx=1, x=π/2+2πn;
    sinx=-1, x=-π/2+2πn;
    cosx=0, x=π/2+πn;
    cosx=1, x=2πn;
    cosx=-1, x=π+2πn.
    Во всех перечисленных формулах подразумевается, что параметр (n,k) принимает любые целочисленные значения (n€Z, k€Z).


  • 5 слайд К простейшим относят обычно и уравнения вида T(kx+m)=a,             где T –
    Описание слайда:

    К простейшим относят обычно и уравнения вида T(kx+m)=a, где T – знак какой-либо тригонометрической функции.

  • 6 слайд Пример 1. Решить уравнения:a) sin2x=1/2
2x=(-1)n arcsin1/2+πn, имеем arcsin1
    Описание слайда:

    Пример 1.
    Решить уравнения:
    a) sin2x=1/2
    2x=(-1)n arcsin1/2+πn, имеем arcsin1/2=π/6.
    Значит, 2x=(-1)n π/6+πn; x=(-1)n π/12+πn/2.
    б) cos3x=-√2/2;
    Решения уравнения имеют вид: x=±arccosa+2πn, если
    a>0, но помним, что |a|≤1.
    Для нашего примера: 3x=±arccos(-√2/2) +2πn,
    3x=±(π-arccos√2/2)+2πn,
    3x=±(π-π/4)+2πn,
    3x=±3π/4+2πn,
    x=±π/4+2πn/3, где n€Z



  • 7 слайд в)        tg(4x-π/6)= √3/3.
                4x-π/6=arctg√3/3+πn;  arctg√3/3=π
    Описание слайда:

    в) tg(4x-π/6)= √3/3.
    4x-π/6=arctg√3/3+πn; arctg√3/3=π/6.
    4x-π/6=π/6+πn;
    4x=π/6+π/6+πn,
    4x=π/3+πn,
    x=π/12+πn/4, где n€Z.


  • 8 слайд Пример 2.Найти те корни уравнения sin2x=1/2, которые принадлежат отрезку [0;
    Описание слайда:

    Пример 2.
    Найти те корни уравнения sin2x=1/2, которые принадлежат отрезку [0; π].
    Решение. Сначала решим уравнение в общем виде: sin2x=1/2
    2x=(-1)n arcsin1/2+πn,
    2x=(-1)n π/6+πn;
    x=(-1)n π/12+πn/2.
    Далее придадим параметру n последовательно значения 0,1,2,…,-1,-2,… и подставим эти значения в общую формулу корней.

  • 9 слайд Если n=0, то x=(-1)0 π/12+0=π/12,                        π/12 € [0; π].Если
    Описание слайда:

    Если n=0, то x=(-1)0 π/12+0=π/12,
    π/12 € [0; π].
    Если n=1, то x=(-1)1 π/12+π/2 =-π/12+π/2=5π/12, 5π/12 € [0; π].
    Если n=2, то x=(-1)2 π/12+π=π/12+π=13π/12, 13π/12 € [0; π].

    Тем более не будут принадлежать заданному отрезку те значения x, которые получаются из общей формулы
    при n=3,4,… .

  • 10 слайд Пусть теперь n= -1,                                     тогда x=(-1)-1π/12-π/
    Описание слайда:

    Пусть теперь n= -1, тогда x=(-1)-1π/12-π/2= -π/12-π/2= -7π/12. Это число не принадлежит заданному отрезку [0; π].
    Тем более не будут принадлежать заданному отрезку те значения x, которые получаются из общей формулы при n= -2,-3,… .

  • 11 слайд На рисунке представлена геометрическая интерпретация проведенных рассуждений.
    Описание слайда:

    На рисунке представлена геометрическая интерпретация проведенных рассуждений.
    -7π/12 π/12 5π/12 13π/12

    0 π
    Итак, заданному отрезку [0; π] принадлежат те корни уравнения, которые получаются из общей формулы при следующих значениях параметра n: n=0, n=1.
    Эти корни таковы: π/12, 5π/12.
    Ответ: π/12; 5π/12.

Выбранный для просмотра документ Два основных метода решения тригонометрических уравнений.ppt

Описание презентации по отдельным слайдам:

  • 1 слайд Два основных метода решения тригонометрических уравнений
    Описание слайда:

    Два основных метода решения тригонометрических уравнений

  • 2 слайд Введение новой переменной
Разложение на множители
    Описание слайда:

    Введение новой переменной
    Разложение на множители

  • 3 слайд Метод введения новой переменнойПример 1(не имеет решений)
    Описание слайда:

    Метод введения новой переменной
    Пример 1
    (не имеет решений)

  • 4 слайд Метод введения новой переменнойПример 2
    Описание слайда:

    Метод введения новой переменной
    Пример 2

  • 5 слайд Метод введения новой переменнойПример 3
    Описание слайда:

    Метод введения новой переменной
    Пример 3

  • 6 слайд Метод разложения на множители
    Описание слайда:

    Метод разложения на множители

  • 7 слайд Метод разложения на множителиПример 1
    Описание слайда:

    Метод разложения на множители
    Пример 1

  • 8 слайд Метод разложения на множителиПример 2
    Описание слайда:

    Метод разложения на множители
    Пример 2

  • 9 слайд Метод разложения на множителиЗамечание
    Описание слайда:

    Метод разложения на множители
    Замечание

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Пожаловаться на материал
Скачать материал
Скачать тест к этому уроку

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

также Вы можете выбрать тип материала:

Краткое описание документа:

Именно самостоятельная организация работы и творческая деятельность учащихся с использованием компьютерных технологий отражается в уроке – проекте «Решение тригонометрических уравнений».

Здесь ученики заранее готовят презентации - выступления по темам: «Простейшие тригонометрические уравнения», «Два метода решения тригонометрических уравнений», «Решение однородных уравнений», «Введение вспомогательного аргумента». При подготовке учащиеся сами самостоятельно повторили изученный материал и на основе этого, используя примеры, готовили презентации (здесь так же видна связь предмета информатики и математики).

При подготовке проекта учащиеся поняли и применили знания, умения и навыки, приобретенные в 10 классе:

  • научились выбирать подходящую информацию правильно ее использовать.
  • четко определили основные шаги по достижению поставленной цели, концентрируясь на достижении цели.

Данный урок – проект можно использовать при изучении в 11 классе темы «Уравнения, неравенства, системы уравнений». Он позволит наиболее прочно изучить учебный материал, сделать конкретные выводы, и урок будет толчком к подготовке к ЕГЭ.

Цель урока: 

  1. Систематизировать знания и навыки необходимые при решении всех тригонометрических уравнений изученных за курс алгебры и начал анализа.
  2. Подготовка к сдаче Экзамена в форме ЕГЭ.

Ход урока.

1. Вводное слово учителя
2. Презентации – выступления ребят
  • «Простейшие тригонометрические уравнения» Приложение № 1.
  • «Два метода решения тригонометрических уравнений» Приложение № 2.
  • «Решение однородных уравнений» Приложение № 3.
  • «Введение вспомогательного аргумента» Приложение № 4.

3. Устная работа (Работа на интерактивной доске)

  • Закрепление общих формул;
  • Закрепление простейших;
  • Уравнения 1 части ЕГЭ.
4. Закрепление на доске. Решение на доске уравнений каждого приложения
5. Самостоятельная работа решение с самопроверкой на проекторе
6. Подведение итогов урока
7. Д/З стр. 324 № 1183-1199 (выбрать по номинациям)

Общая информация

Скачать материал
Скачать тест к этому уроку

Похожие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Чёрная пятница

-75%

На все курсы повышения квалификации и профессиональной переподготовки