,
где 
-
это любое действительное число.
- 24.04.2014
- 1360
- 0
Департамент среднего профессионального и начального профессионального образования Томской области
областное государственное бюджетное образовательное учреждение
среднего профессионального образования
«Асиновский техникум промышленной индустрии и сервиса»
ОГБОУ СПО «АТпромИС»
Упражнения
по теме
«Степени и корни»
Асино-2014
Одобрено на заседании предметно-цикловой
комиссии общеобразовательных дисциплин
Протокол № от
Председатель: Кучина Е.П.
Автор: Журавлёва Л.В.
Рецензенты :
Соответствует Государственному стандарту базового уровня
Утверждаю
Зам. директора по
Учебно-методической работе Орленко Л.И.
СОДЕРЖАНИЕ
1. Аннотация
2. Основной теоретический материал
3. Система упражнений по теме « Степени и корни»
1.Аннотация
В данной разработке предложен материал, касающийся степеней и корней. Даны основные определения, сформулированы свойства.
Приведены примеры заданий различной сложности: арифметические задания на вычисление значений выражений с корнями и степенями, алгебраические задания на преобразование выражений, решение уравнений и неравенств.
Рассматриваемые вопросы широко применяются в алгебре и часто используются при подготовке к итоговой государственной аттестации.
Данная тема не является самой сложной в курсе алгебры. Однако при выполнении заданий встречается много ошибок.
Использование данных упражнений поможет закрепить умения и углубить знания по данной теме.
2. Основные определения и теоремы.
Историческая справка
В наше время прогресс науки неотделим от достижений
талантливых математиков-прикладников.
Математик-прикладник не узкий ремесленник, а творец.
Наряду с математикой ему необходимо и глубокое знание
предмета прикладного исследования.
Б. В. Гнеденко
Истоки понятия степени находятся в глубокой древности; дошедшие до нас глиняные плитки древних вавилонян содержат записи таблиц квадратов, кубов и их обратных значений.
Первоначально под степенью понимали произведение нескольких одинаковых сомножителей. Способы записи степеней и связанных с ними обратных величин – корней из числа менялись с течением времени, пока не приняли современную форму.
Дальнейшее развитие науки вызвало необходимость расширения степени. В XIV в. Французский епископ города Лизье в Нормандии Н. Орем (1323-1382гг.) впервые стал заменять в отдельных случаях корни из чисел дробными показателями степени и ввёл символические обозначения степени с дробными показателями. Например, 8 как 41,5. Показатели, введённые Оремом, по существу выступают в виде логарифмов чисел. Орем словесно сформулировал правила для выполнения различных операций со степенями.
Значительно позднее бухгалтер из Брюгге, а впоследствии военный инженер С. Стевин (1548-1620) вновь открыл дробные показатели и указал в более общем виде, что корень энной степени из числа а можно выразить как а1/n, где а>0.
Степенью с нулевым показателем первым стал пользоваться самаркандский учёный ал-Каши в начале XV в. Независимо от него Н. Шюке в работе «Наука о числах в трёх книгах» в 1484 г. применял нулевой и отрицательный показатели.
Завершили введение современного изображения степени англичане Джон Валлис и Исаак Ньютон.
Обобщение понятия степени аn, где n- любое действительное число, позволило рассматривать показательную функцию (y=ax) на множестве действительных чисел и степенную функцию (y=xn) на множестве положительных чисел, а при целых n степенная функция определена и для x<0.
Теоретический материал
Пусть дано положительное число а и произвольное действительное число п. Число ап называется степенью,
число а – основанием степени, число п – показателем степени.
По определению полагают: а1 = а,
а0 = 1,
а-п = 
, п 
R
Если а –
положительное число, т – целое число, а п – натуральное число и п
2, то 
= 
.
Свойства степени. Если а и в – положительные числа, х и у – любые действительные числа, то справедливы
следующие свойства: ах ау = а х + у,
ах : ау = а х - у,
(а х) у = а х у,
ах в х = (а в) х,
= (
)х.
Пусть п – натуральное число, отличное от единицы, а – неотрицательное число.
Арифметическим корнем п –й степени из неотрицательного числа а называется неотрицательное число, п – я степень которого равна а.
Для
арифметического корня п- й степени из неотрицательного числа а
используется обозначение 
. Если п=2, пишут
. По определению
(
)п = а.
Для
любых, в том числе отрицательных, значений, а справедлива формула 
= /а/, в частности,
= /а/
и 
2
= /а – в/.
Свойства арифметического корня.
Если а и в – неотрицательные числа, п и к – натуральные числа, отличные
от единицы, т –целое число, то имеют место следующие соотношения:
= ( ),
= 
,
= 
, b неравно 0,
= 
,
= 
,
: = 
.
Степень с дробным показателем.
Если а – положительное число, т – целое число, а п – натуральное число и
п 
2, то 
= = (
m.
Степенная функция
|
Степенная
функция - это функция вида |
|
|
|
|
|
|
|
|
Степенная функция, показатель степени которой натуральное число
Кубическая функция
Кубическая функция -
это функция 
.
Графиком этой функции является кубическая парабола. Построим график этой
функции:
|
х |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
у |
-27 |
-8 |
-1 |
0 |
1 |
8 |
27 |
Функция с четным показателем степени
Графиком этой функции
является парабола 2n-степени. Например, графиком функции 
является
парабола четвертой степени.
Функция
с нечетным показателем степени 
Графиком этой функции
является парабола (2n+1)-степени. Например, графиком функции 
является
парабола пятой степени.
Степенная функция, показатель степени которой целое число
В предыдущем пункте мы рассмотрели степенные функции с натуральным показателем, теперь рассмотрим функции, показателем которых будут отрицательные целые числа.
Функция 
Составим таблицу значений для этой функции
|
х |
-2 |
-1 |
-0,5 |
-0,25 |
0 |
0,25 |
0,5 |
1 |
2 |
|
у |
0,25 |
1 |
4 |
16 |
не существует |
16 |
4 |
1 |
0,25 |
Начертим график этой функции
Оказывается, что графиком является парабола с выколотой точкой (0; 0).
Степенная функция, показатель степени которой рациональное число
Функция 
Рассмотрим
функцию 
или 
.
Первое, на что хочется обратить внимание, это область определения
функции.
Теперь составим таблицу значений и построим график функции
|
х |
0,25 |
1 |
4 |
9 |
|
у |
0,5 |
1 |
2 |
3 |
3.Система упражнений
Вычислить:
1) 
; 5) 
;
2) 
; 6) 
;
3) 
; 7) 
, если 
, 
;
4) 
; 8) 
, если 
, 
.
Упростить:
1) 
; 3) 
;
2) 
; 4) 
.
Решить графически уравнения:
1) 
; 3) 
;
2) 
; 4) 
.
Извлечь арифметический корень:
1) 
; 4) 
;
2) 
; 5)
;
3) 
; 6)
.
Вычислите степени с рациональным
показателем:
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
6-2 |
2-4 |
3-3 |
5-1 |
3-4 |
2-3 |
7-2 |
4-1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
34 |
43 |
24 |
53 |
25 |
33 |
50 |
23 |
|
|
a |
b |
c |
d |
e |
f |
g |
h |
Вычислите:
, 
, 
, 
, 
, 
2
- 
+ 
,
,
1,70+ 32:3-1 – 251/2 , 163/4 – 71,7:7-0,3 + 430,
- 0,430,4-252 +160,5,
(
)2 1,4 + 1251/3 –
(
)-1,
811/49-1/2 + 13,40
–(52)-1 , 641/3:90,5
– 35,2 3-
6,2 +5,20,
(641/3
272/3 2432/5 128 3/7 )1/
(62,5 36 -1)4 -
( 51/4253/8) sin П/ 2.
Найдите значение
выражения:
, 
+ 
- 
- 
, 0,3
-0,1,
+ 
, 
, 
:
, 
, 
.
Найдите значение выражения:
, при п = 8,
46Р4 -4Р
, при р = 
,
- 
, при х = 7,
, при х =16,
+ 
, при р = 49,
- 
, при р =16, q
= 9,
+ 
,
при х = 16, у = 25,
- 
, при х = 9, у =
49,
+ 
, при а = 625, в =
16,
-
2
, при а = 9, в
=16.
Решить
иррациональные уравнения и системы иррациональных уравнений
Решите уравнения:
1) 
=6; 2)
; 3)
4) 
; 5) 
; 6) 
Решить систему уравнений.
Задания по решению
уравнений:
75х+6
= 49, (
)0,5х – 1 =
4, (
)1 – 3х = 9,
2-х
= (
)1-х,
3х = ( 
)1 + х, 10-х
= 
,
3х2 -5х+1
= 81, 
= 0,125 х-7 , 53х-123х-1 = 
0,1 ,
2 х+2 – 2 х = 96, 57 х-1 + 43 х + 3
х+1 - 27 х = 0,
4 х - 102 х-1 = 24,
9 х – 3 х-1 = 6, 4 х + 3
6 х – 49 х =
0, 2 х-1 + 2 –х-1 = 1.
Задания по решению неравенств:
16 
2 х+3,
2 5х+7 8 х,
2 х 
- 
,
5
х 
, 24 х+1 2 –х -1
, 39 х+1
3 – х – 1
9
х - 93 –х
0, 7 х
- 77 – х -2 
0, ( ) х - 82 – х 
0,
х+1,
(
) х+2+4/ х
, 2 х+1
+ 32 х 10,
9 х – 3 х+1 4, 2 х
– 2 1-х 1, 9 х
- 5 6х - 6 4 х 0.
Задания по степенным функциям
Задание
1Начертите графики следующих функции
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание
2Напишите уравнения следующих функции
|
|
|
|
|
|
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1.Аннотация В данной разработке предложен материал, касающийся степеней и корней. Даны основные определения, сформулированы свойства. Приведены примеры заданий различной сложности: арифметические задания на вычисление значений выражений с корнями и степенями, алгебраические задания на преобразование выражений, решение уравнений и неравенств. Рассматриваемые вопросы широко применяются в алгебре и часто используются при подготовке к итоговой государственной аттестации. Данная тема не является самой сложной в курсе алгебры. Однако при выполнении заданий встречается много ошибок. Использование данных упражнений поможет закрепить умения и углубить знания по данной теме.
6 662 871 материал в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Журавлёва Лариса Владимировна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Мини-курс
3 ч.
Мини-курс
3 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.