Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Упражнения по теме «Степени и корни»
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Упражнения по теме «Степени и корни»

библиотека
материалов

C:\Users\ADMIN\Desktop\Логотип АТпромИС 2013.png



Департамент среднего профессионального и начального профессионального образования Томской области

областное государственное бюджетное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

«Асиновский техникум промышленной индустрии и сервиса»

ОГБОУ СПО «АТпромИС»







Упражнения

по теме

«Степени и корни»



















Асино-2014



Одобрено на заседании предметно-цикловой

комиссии общеобразовательных дисциплин

Протокол № от

Председатель: Кучина Е.П.



Автор: Журавлёва Л.В.

Рецензенты :





Соответствует Государственному стандарту базового уровня





Утверждаю

Зам. директора по

Учебно-методической работе Орленко Л.И.



















СОДЕРЖАНИЕ





  1. Аннотация

  2. Основной теоретический материал

  3. Система упражнений по теме « Степени и корни»























1.Аннотация

В данной разработке предложен материал, касающийся степеней и корней. Даны основные определения, сформулированы свойства.

Приведены примеры заданий различной сложности: арифметические задания на вычисление значений выражений с корнями и степенями, алгебраические задания на преобразование выражений, решение уравнений и неравенств.

Рассматриваемые вопросы широко применяются в алгебре и часто используются при подготовке к итоговой государственной аттестации.

Данная тема не является самой сложной в курсе алгебры. Однако при выполнении заданий встречается много ошибок.

Использование данных упражнений поможет закрепить умения и углубить знания по данной теме.



















2. Основные определения и теоремы.

Историческая справка

В наше время прогресс науки неотделим от достижений

талантливых математиков-прикладников.

Математик-прикладник не узкий ремесленник, а творец.

Наряду с математикой ему необходимо и глубокое знание

предмета прикладного исследования.

Б. В. Гнеденко



Истоки понятия степени находятся в глубокой древности; дошедшие до нас глиняные плитки древних вавилонян содержат записи таблиц квадратов, кубов и их обратных значений.

Первоначально под степенью понимали произведение нескольких одинаковых сомножителей. Способы записи степеней и связанных с ними обратных величин – корней из числа менялись с течением времени, пока не приняли современную форму.

Дальнейшее развитие науки вызвало необходимость расширения степени. В XIV в. Французский епископ города Лизье в Нормандии Н. Орем (1323-1382гг.) впервые стал заменять в отдельных случаях корни из чисел дробными показателями степени и ввёл символические обозначения степени с дробными показателями. Например, 8 как 41,5. Показатели, введённые Оремом, по существу выступают в виде логарифмов чисел. Орем словесно сформулировал правила для выполнения различных операций со степенями.

Значительно позднее бухгалтер из Брюгге, а впоследствии военный инженер С. Стевин (1548-1620) вновь открыл дробные показатели и указал в более общем виде, что корень энной степени из числа а можно выразить как а1/n, где а>0.

Степенью с нулевым показателем первым стал пользоваться самаркандский учёный ал-Каши в начале XV в. Независимо от него Н. Шюке в работе «Наука о числах в трёх книгах» в 1484 г. применял нулевой и отрицательный показатели.

Завершили введение современного изображения степени англичане Джон Валлис и Исаак Ньютон.

Обобщение понятия степени аn, где n- любое действительное число, позволило рассматривать показательную функцию (y=ax) на множестве действительных чисел и степенную функцию (y=xn) на множестве положительных чисел, а при целых n степенная функция определена и для x<0.

Теоретический материал

Пусть дано положительное число а и произвольное действительное число п. Число ап называется степенью,

число аоснованием степени, число п – показателем степени.

По определению полагают: а1 = а,

а0 = 1,

а-п = hello_html_49ba9d6e.gif , п hello_html_559182c5.gif R

Если а – положительное число, т – целое число, а п – натуральное число и пhello_html_m30bfbdb1.gif2, то hello_html_c3b34ec.gif = hello_html_ce4c42d.gif.

Свойства степени. Если а и в – положительные числа, х и у – любые действительные числа, то справедливы

следующие свойства: ах ау = а х + у,

ах : ау = а х - у,

х) у = а х у,

ах в х = (а в) х,

hello_html_7ddb0d8e.gif = (hello_html_430a7e32.gif )х.

Пусть п – натуральное число, отличное от единицы, а – неотрицательное число.

Арифметическим корнем п –й степени из неотрицательного числа а называется неотрицательное число, п – я степень которого равна а.

Для арифметического корня п- й степени из неотрицательного числа а используется обозначение hello_html_m69b4e285.gif. Если п=2, пишут hello_html_m5fd61f59.gif. По определению

(hello_html_m69b4e285.gif )п = а.

Для любых, в том числе отрицательных, значений, а справедлива формула hello_html_6aa8505d.gif = /а/, в частности,

hello_html_m6ed4e3c5.gif= /а/ и hello_html_1fda3dd4.gif2 = /а – в/.

Свойства арифметического корня.

Если а и в – неотрицательные числа, п и к – натуральные числа, отличные

от единицы, т –целое число, то имеют место следующие соотношения:

hello_html_664990b5.gif = (hello_html_ce4c42d.gif ),

hello_html_m731c39df.gif = hello_html_mbe6475a.gif hello_html_5b971ada.gif,

hello_html_254c47cf.gif = hello_html_m7d14018d.gif , b неравно 0,

hello_html_5f43bb17.gif = hello_html_m3d489b15.gif,

hello_html_mbe6475a.gif hello_html_7f5d20ea.gif = hello_html_4bdbf8ee.gif,

hello_html_mbe6475a.gif : hello_html_7f5d20ea.gif = hello_html_mb218442.gif.

Степень с дробным показателем.

Если а – положительное число, т – целое число, а п – натуральное число и

п hello_html_m30bfbdb1.gif 2, то hello_html_m6fdb46ca.gif = hello_html_ce4c42d.gif = (hello_html_m2050e0db.gifm.











Степенная функция

Степенная функция - это функция вида http://www.tthk.ee/Esitlus_2008/Annakursus/objekt2/eXe_LaTeX_math_32.gif , где http://www.tthk.ee/Esitlus_2008/Annakursus/objekt2/eXe_LaTeX_math_27.gif - это любое действительное число.



http://www.tthk.ee/Esitlus_2008/Annakursus/objekt2/eXe_LaTeX_math_51.gif

http://www.tthk.ee/Esitlus_2008/Annakursus/objekt2/eXe_LaTeX_math_53.gif

http://www.tthk.ee/Esitlus_2008/Annakursus/objekt2/eXe_LaTeX_math_55.gif 

http://www.tthk.ee/Esitlus_2008/Annakursus/objekt2/noll.bmp

http://www.tthk.ee/Esitlus_2008/Annakursus/objekt2/odin.bmp

http://www.tthk.ee/Esitlus_2008/Annakursus/objekt2/dva.bmp

 

Степенная функция, показатель степени которой натуральное число

Кубическая функция

Кубическая функция - это функция http://www.tthk.ee/Esitlus_2008/Annakursus/objekt2/eXe_LaTeX_math_2.gif. Графиком этой функции является кубическая парабола. Построим график этой функции:

х

-3 

-2

-1 

3

у

-27

-8

-1

0

1

8

27

http://www.tthk.ee/Esitlus_2008/Annakursus/objekt2/tri.bmp 





Функция с четным показателем степени

Графиком этой функции является парабола 2n-степени. Например, графиком функции http://www.tthk.ee/Esitlus_2008/Annakursus/objekt2/eXe_LaTeX_math_5.gif является парабола четвертой степени.

 

http://www.tthk.ee/Esitlus_2008/Annakursus/objekt2/4etnie.bmp

 

Функция с нечетным показателем степени http://www.tthk.ee/Esitlus_2008/Annakursus/objekt2/eXe_LaTeX_math_10.gif

Графиком этой функции является парабола (2n+1)-степени. Например, графиком функции http://www.tthk.ee/Esitlus_2008/Annakursus/objekt2/eXe_LaTeX_math_13.gif является парабола пятой степени.

 

http://www.tthk.ee/Esitlus_2008/Annakursus/objekt2/ne4etnie.bmp

Степенная функция, показатель степени которой целое число

В предыдущем пункте мы рассмотрели степенные функции с натуральным показателем, теперь рассмотрим функции, показателем которых будут отрицательные целые числа.

Функция http://www.tthk.ee/Esitlus_2008/Annakursus/objekt2/eXe_LaTeX_math_2.1.gif

Составим таблицу значений для этой функции

х 

 -2 

-1 

-0,5 

 -0,25 

 

 0,25 

 0,5 

 

 

у 

 0,25 

1

4

16

 не существует

16

4

1

 0,25 

Начертим график этой функции

http://www.tthk.ee/Esitlus_2008/Annakursus/objekt2/minus.bmp

Оказывается, что графиком является парабола с выколотой точкой (0; 0).

Степенная функция, показатель степени которой рациональное число

Функция http://www.tthk.ee/Esitlus_2008/Annakursus/objekt2/eXe_LaTeX_math_2.3.gif

Рассмотрим функцию http://www.tthk.ee/Esitlus_2008/Annakursus/objekt2/eXe_LaTeX_math_2.3.gif или http://www.tthk.ee/Esitlus_2008/Annakursus/objekt2/eXe_LaTeX_math_8.gif. Первое, на что хочется обратить внимание, это область определения функции. 

http://www.tthk.ee/Esitlus_2008/Annakursus/objekt2/eXe_LaTeX_math_13.1.gif

Теперь составим таблицу значений и построим график функции 

х 

 0,25 

 

 

 

у

0,5 

 

 

 

 

http://www.tthk.ee/Esitlus_2008/Annakursus/objekt2/koren.bmp







3.Система упражнений

iDevide ikoonВычислить:

1) hello_html_4cab72c6.gif; 5) hello_html_m54f4f087.gif;

2) hello_html_3523ac5.gif; 6) hello_html_m454b588e.gif;

3) hello_html_1746c66b.gif; 7) hello_html_25579bdb.gif, если hello_html_m1ee67daa.gif, hello_html_m27a29575.gif;

4) hello_html_m64e8af2f.gif; 8) hello_html_m36e9029d.gif, если hello_html_1a3d406f.gif, hello_html_8fe84f8.gif.

iDevide ikoonУпростить:

1) hello_html_mfc352fc.gif; 3) hello_html_8daf650.gif;

2) hello_html_m68f7b9f6.gif; 4) hello_html_m59b95be4.gif.

iDevide ikoonРешить графически уравнения:

1) hello_html_m524f5d79.gif; 3) hello_html_m4f5f882b.gif;

2) hello_html_5580bc68.gif; 4) hello_html_1b065483.gif.

iDevide ikoonИзвлечь арифметический корень:

1) hello_html_30478d4b.gif; 4) hello_html_4d65c272.gif;

2) hello_html_m608327b4.gif; 5) hello_html_m6ccea84d.gif;

3) hello_html_622bc9a9.gif; 6) hello_html_m4245acba.gif.





iDevide ikoonВычислите степени с рациональным показателем:

8

hello_html_5ba7710.gif

hello_html_m75e6d7ac.gif

hello_html_m38f7376f.gif

hello_html_4649adca.gif

hello_html_mb05c368.gif

hello_html_5d3f4efb.gif

hello_html_m70d4fcae.gif

hello_html_1a1a65aa.gif

7

hello_html_m3f6fc358.gif

hello_html_m222df77d.gif

hello_html_m7bf16b4f.gif

hello_html_36c3ebed.gif

hello_html_1acc2df1.gif

hello_html_m240107c8.gif

hello_html_m7aa27211.gif

hello_html_93ba7a.gif

6

hello_html_m3ea492a5.gif

hello_html_42988357.gif

hello_html_m5a9e4c05.gif

hello_html_165573b9.gif

hello_html_m110341fd.gif

hello_html_m17403224.gif

hello_html_7641e48a.gif

hello_html_m64a62784.gif

5

hello_html_m112b8d70.gif

hello_html_7700491a.gif

hello_html_58ba114a.gif

hello_html_7c60499f.gif

hello_html_m296127d1.gif

hello_html_m2136cbf4.gif

hello_html_366587f5.gif

hello_html_71b93e74.gif

4

hello_html_m692a353d.gif

hello_html_182ef8f5.gif

hello_html_702eede.gif

hello_html_m456ae19e.gif

hello_html_m690528b8.gif

hello_html_117813e7.gif

hello_html_m460f82d8.gif

hello_html_m1a13a867.gif

3

6-2

2-4

3-3

5-1

3-4

2-3

7-2

4-1

2

hello_html_m50823ec3.gif

hello_html_30e8ded0.gif

hello_html_m11f963a2.gif

hello_html_6fb88e78.gif

hello_html_m5e6f547e.gif

hello_html_31028dfa.gif

hello_html_m30214c96.gif

hello_html_m15e7520b.gif

1

34

43

24

53hello_html_m18677dbe.gif

25

33

50

23


a

b

c

d

e

f

g

h

iDevide ikoon Вычислите:

hello_html_32623018.gifhello_html_7e6cc508.gifhello_html_51bb3355.gif, hello_html_m3dc47348.gif , hello_html_71bd17b4.gif , hello_html_m3bc5092a.gif , hello_html_m757aca9.gif , hello_html_m1769bb1c.gif

2hello_html_1e398b2a.gif - hello_html_6179b713.gif + hello_html_5909bbae.gif , hello_html_m1c05a151.gif,

1,70+ 32:3-1 – 251/2 , 163/4 – 71,7:7-0,3 + 430,

- 0,43hello_html_7e6cc508.gif0,4-2hello_html_7e6cc508.gif52 +160,5, (hello_html_m53244232.gif )2 hello_html_7e6cc508.gif1,4 + 1251/3 – (hello_html_7f8f9891.gif )-1,

811/4hello_html_7e6cc508.gif9-1/2 + 13,40 –(52)-1 , 641/3:90,5 – 35,2hello_html_7e6cc508.gif 3- 6,2 +5,20,

(641/3hello_html_7e6cc508.gif 272/3 hello_html_7e6cc508.gif 2432/5 hello_html_7e6cc508.gif 128 3/7 )1/

(62,5 hello_html_7e6cc508.gif 36 -1)4 - ( 51/4hello_html_7e6cc508.gif253/8) sin П/ 2.



iDevide ikoon Найдите значение выражения:

hello_html_2c9706e9.gif, hello_html_4ba21089.gif + hello_html_7ebc59dd.gif - hello_html_m57a544c0.gif - hello_html_227c78bc.gif, 0,3hello_html_m5bbaf376.gif -0,1, hello_html_m3645e4b2.gif hello_html_md61fd44.gif + hello_html_m41f94823.gif , hello_html_c952f20.gif , hello_html_6a1c94eb.gif :hello_html_m2712bbf5.gif hello_html_7e6cc508.gif hello_html_6b980da5.gif , hello_html_m1cd15378.gif , hello_html_m424998f2.gif .hello_html_11852162.gif

iDevide ikoon Найдите значение выражения:

hello_html_59824320.gif, при п = 8,

4hello_html_7e6cc508.gif4 -4Р , при р = hello_html_685d8d49.gif ,

hello_html_m1e680ab6.gif- hello_html_m5a39810d.gif , при х = 7,

hello_html_545a2132.gif, при х =16,

hello_html_m5cc53400.gif+ hello_html_m7b4a4bac.gif , при р = 49,

hello_html_97d6e90.gif- hello_html_m17dfe253.gif , при р =16, q = 9,

hello_html_m668914e6.gif+ hello_html_m3046f555.gif , при х = 16, у = 25,

hello_html_7dd47244.gif- hello_html_586ce030.gif , при х = 9, у = 49,

hello_html_m27b57b0e.gif+ hello_html_72998127.gif, при а = 625, в = 16,

hello_html_5ea83f66.gif- 2hello_html_m64370539.gif , при а = 9, в =16.

iDevide ikoonРешить иррациональные уравнения и системы иррациональных уравнений

Решите уравнения:

1) hello_html_m43e7a782.gifhello_html_m18677dbe.gif=6; 2)hello_html_571c66e1.gif; 3)hello_html_69089753.gif

4) hello_html_4217c253.gif; 5) hello_html_11f10765.gif; 6) hello_html_m659da0f9.gif

Решить систему уравнений.

hello_html_bc75af5.gif

hello_html_6dfc04de.gif

iDevide ikoon Задания по решению уравнений:

75х+6 = 49, (hello_html_m6e3ecaf7.gif)0,5х – 1 = 4, (hello_html_m59fe56ba.gif )1 – 3х = 9,

2 = (hello_html_6eec8aff.gif )1-х, 3х = ( hello_html_7f8f9891.gif )1 + х, 10 = hello_html_4b679bdb.gif ,

3х2 -5х+1 = 81, hello_html_5bbf4b79.gif = 0,125 х-7 , 53х-1hello_html_7e6cc508.gif23х-1 = hello_html_40d06094.gif0,1 ,

2 х+2 – 2 х = 96, 5hello_html_7e6cc508.gif7 х-1 + 4hello_html_7e6cc508.gif3 х + 3 х+1 - 2hello_html_7e6cc508.gif7 х = 0, 4 х - 10hello_html_7e6cc508.gif2 х-1 = 24,

9 х – 3 х-1 = 6, 4 х + 3hello_html_7e6cc508.gif6 х – 4hello_html_7e6cc508.gif9 х = 0, 2 х-1 + 2 –х-1 = 1.

iDevide ikoonЗадания по решению неравенств:

16 hello_html_7c00753d.gif 2 х+3, 2 5х+7 hello_html_m30bfbdb1.gif 8 х, 2 х hello_html_m7c48e444.gif- hello_html_6eec8aff.gif ,

5 х hello_html_7c00753d.gif hello_html_3b7b3c70.gif , 2hello_html_7e6cc508.gif4 х+1 hello_html_m7c48e444.gif2 –х -1 , 3hello_html_7e6cc508.gif9 х+1hello_html_m7c48e444.gif 3 – х – 1

9 х - 9hello_html_7e6cc508.gif3 –хhello_html_m30bfbdb1.gif 0, 7 х - 7hello_html_7e6cc508.gif7 – х -2 hello_html_m7c48e444.gif 0, ( hello_html_685d8d49.gif ) х - 8hello_html_7e6cc508.gif2 – х hello_html_m7c48e444.gif 0,

hello_html_49a51583.gifhello_html_m7c48e444.gifhello_html_5f1dd044.gifх+1, (hello_html_6eec8aff.gif ) х+2+4/ хhello_html_m3f283cf0.gif , 2 х+1 + 3hello_html_7e6cc508.gif2 х hello_html_m7c48e444.gif 10,

9 х – 3 х+1 hello_html_m7c48e444.gif 4, 2 х – 2 1-х hello_html_m30bfbdb1.gif 1, 9 х - 5hello_html_7e6cc508.gif 6х - 6hello_html_7e6cc508.gif 4 х hello_html_7c00753d.gif 0.

Задания по степенным функциям

iDevide ikoon Задание 1Начертите графики следующих функции

  • http://www.tthk.ee/Esitlus_2008/Annakursus/objekt2/eXe_LaTeX_math_2.4.gif

  • http://www.tthk.ee/Esitlus_2008/Annakursus/objekt2/eXe_LaTeX_math_4.gif

  • http://www.tthk.ee/Esitlus_2008/Annakursus/objekt2/eXe_LaTeX_math_6.gif

  • http://www.tthk.ee/Esitlus_2008/Annakursus/objekt2/eXe_LaTeX_math_8.1.gif

  • http://www.tthk.ee/Esitlus_2008/Annakursus/objekt2/eXe_LaTeX_math_10.1.gif

  • http://www.tthk.ee/Esitlus_2008/Annakursus/objekt2/eXe_LaTeX_math_12.gif

iDevide ikoon Задание 2Напишите уравнения следующих функции

http://www.tthk.ee/Esitlus_2008/Annakursus/objekt2/7zad1.bmp

http://www.tthk.ee/Esitlus_2008/Annakursus/objekt2/7zad2.bmp

http://www.tthk.ee/Esitlus_2008/Annakursus/objekt2/7zad3.bmp

http://www.tthk.ee/Esitlus_2008/Annakursus/objekt2/7zad4.bmp




Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Краткое описание документа:

  1.Аннотация    В данной разработке  предложен   материал, касающийся степеней и корней. Даны основные определения, сформулированы свойства.  Приведены примеры заданий различной сложности: арифметические задания на вычисление значений выражений с  корнями и степенями, алгебраические задания на преобразование выражений, решение уравнений и неравенств.   Рассматриваемые вопросы широко применяются в алгебре и часто используются  при подготовке к итоговой государственной аттестации.   Данная тема не является самой сложной в курсе алгебры. Однако при выполнении заданий  встречается много ошибок.  Использование данных упражнений поможет закрепить умения и углубить знания по данной теме.  
Автор
Дата добавления 24.04.2014
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров2008
Номер материала 83054042431
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх