Исследовательская работа «Математическая основа музыкальных произведений»

Математическая основа музыкальных произведений

(исследовательская работа)

АННОТАЦИЯ

Лобанова Полина Владимировна

Шушенский район, п. Шушенское,

 МБОУ « Шушенская  СОШ № 2», 7 А класс

««Математическая основа музыкальных произведений»

руководитель: Смирнова Татьяна  Александровна, учитель математики 

консультант: Волховицкая Вера Владимировна, преподаватель МБОУ ДОД «Шушенская детская школа искусств»

Целью данной исследовательской работы является установление связи между математикой и музыкой на примере математической модели музыкального произведения.

В работе  показаны  различные связи между математикой и музыкой,  выделены  их общие элементы, представлено музыкальное произведение как некая  математическая модель.

В ходе исследования использовались информационно - аналитический, сравнительный, математический методы, метод исследования музыкального произведения и проблемно-поисковой ситуации.

Основным результатом работы  является  пример представления музыкального произведения как математической  модели,  который подтверждает взаимосвязь математики и музыки.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Оглавление…..………………………………………………………………………………….2

Введение..……………………………………………………………………………………….3

I. Описание работы……………………………………………………………………………..4

I.1 Ритм………………………………………………………………………………………….4

I.2 Отражение…………………………………………………………………………………...4

I.3 Противоположности………………………………………………………………………..5

I.4 Упорядочение……………………………………………………………………………….5

I.5 Пропорции…………………………………………………………………………………..5

I.6 Интервалы…………………………………………………………………………………..6

I.7 Дроби ..……………………………………………………………………………………...6

II. Практическая часть………………………………………………………………………....8

Заключительная часть…………………………………………………………………………9

Список используемых источников………………………………………………………….10

Приложение

Анкета № 1……………………………………………………………………………………11

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность.

Однажды я стала свидетелем разговора между мамой и моим преподавателем музыки. Татьяна Николаевна Милорадова утверждала, что мои успехи в музыке тесно связаны с  хорошими математическими способностями и музыку я познаю на основе знаний в области математики. Я задумалась над тем, что услышала. Действительно, мне нравятся уроки математики, люблю решать задачи. Нравится музыка  и игра на фортепиано. Неужели такие две  совершенно разные области  как математика и музыка взаимосвязаны, и между ними  есть сходство, а мир звуков и пространство чисел издавна соседствуют друг с другом [2]?

Проблема.

В этом году мне предстоит очередной раз участвовать в серьезном межрегиональном конкурсе «Гармония», а также сдавать выпускные экзамены в музыкальной школе. Если действительно между наукой, пользующейся только строгими доказательствами, формулами, и музыкой, одним из прекраснейших видов искусства, произведения которых создаются в порыве вдохновения, есть общее, то каким именно образом математика может помочь в разборе произведения, подготовке к музыкальному конкурсу?

Цель: установление связи между математикой и музыкой на примере математической модели музыкального произведения.

Задачи:

1.      Провести опрос учащихся школы.

2.      Изучить теоретический материал.

3.      Установить связь между математикой и музыкой,  выделив их общие элементы.

4.      Создать математическую модель конкретного музыкального произведения.

5.      Проверить эффективность использования модели в разборе конкурсного музыкального произведения.

Гипотеза: Музыкальное произведение легче разобрать и подготовить к конкурсу, если представить его в виде математической модели.

Методы исследования:

1. Информационно-аналитический –  изучение, анализ литературы по теме;

2. Сравнительный – сопоставление фактов, представленных разными источниками.

3. Математический – построение диаграммы, модели.

4. Метод исследования музыкального произведения.

5. Метод проблемно-поисковой ситуации.

Объект исследования: музыка и математика.

Практическая значимость заключается в  повышении эффективности подготовки музыкального произведения к конкурсу и экзамену в музыкальной школе.

I. ОПИСАНИЕ РАБОТЫ

Общие элементы в математике и музыке

I. 1 Ритм – один из важнейших элементов музыки. Ритм – чередование длительностей. Рассмотрим ритм 3/4 . В такте могут встречаться такие чередования длительностей:

От правильно подобранного ритма зависит звучание мелодии.

            В математике ритмы можно обнаружить и среди чисел. Взять хотя бы дробь 2/82. Ее можно записать в виде 2/82=0,0243902439…или 2/82= 0,(02439). Здесь мы обнаруживаем ритм. Дробь 2/82 записывается в виде бесконечной периодической дроби, да и период ее также отличается необыкновенной правильностью:02439.

            Итак, мы проследили, что ритм встречается как в музыке, так и в математике [3,5].

I.2 Отражение

Числа, состоящие из цифр 8 и 0, не изменяются при отражении в зеркале. Если зеркало ставить не сбоку от числа, а сверху или снизу, то при отражении в таком зеркале остается неизменной только цифра 3. Умножение чисел на -1 очень похоже на отражение в зеркале.  Рассмотрим числовую прямую. 0 – делит прямую на две части.

___________________—___—__—__—___—__—__—___—__—__—___—_________

                                      -5    -4   -3   -2     -1   0    1      2     3     4     5

Правая и левая части очень похожи, и каждая полупрямая почти совпадает с зеркальным отражением другой. Почти, но не совсем. Найдем различие между полупрямыми.

           ____________—__—__—__—__—__—________

                                   0    1    2     3    4    5

            Если поставить зеркало в нуле так, чтобы оно было перпендикулярно прямой, полупрямая вместе со своим отражением образует прямую, которая выглядит так:

    ________________—___—___—__—__—___—__—__—___—__—__—___—_________

                                                                         0    1     2      3    4    5

Назовем ее зеркальной числовой прямой. Сравним зеркальную числовую прямую с настоящей. Зеркало заменяет -1 числом 1, -2 –числом 2, -3 – числом 3 и т.д., т.е. превращает отрицательные числа в положительные.  Этого же результата можно достичь и не прибегая к помощи зеркала, если отрицательные числа умножить на  (-1).

Например:       (-1)*(-1) = +1,   (-2)*(-1) = +2.

Отражение в музыке также как и цифры 8 и 0 длительности / и П  при отражении совпадают с оригиналом. Симметричные ритмы не содержат половинных нот.

 - половинная нота.  Начертим ее отражение.  Получили            - полностью противоречит симметрии.

Совершенно симметричный ритм может состоять из нот следующих трех длительностей: четвертных /, пар восьмых П и целых         .   / П П /, П // П - ритмы не «переворачивающиеся» при отражении в зеркале [4,5].

I.3 Противоположности   

 Медленно - быстро.  Характер музыки во многом определяется ее темпом. Музыкальные произведения, будь то народная песня или полифония, нельзя исполнять в произвольном темпе. Неправильно выбранный темп до неузнаваемости исказит характер музыки. Короткое – длинное (произведение).  Высокое – низкое. Высота звука зависит от частоты колебаний: при большой частоте колебаний звук выше,  при меньшей – ниже.

Противоположности имеет место и в математике. Отрицательное число – положительное. Сложение – вычитание. Четное – нечетное. Делитель – кратное. Простое число – составное число. Плюс – минус. Умножение – деление. Прямая – кривая [7].

I.4 Упорядочение

Рассмотрим набор чисел: 12; 48; 9; 1; 3; 6; 10; 125; 300. Входящие в него числа не упорядочены. Их можно упорядочить, например, по возрастанию: 1; 3; 6; 9; 10; 12; 48; 125; 300 или по убыванию: 300; 125; 48;12;10; 9; 6; 1.

Упорядочить в музыке означает расположить в ряд. Иногда под упорядочением понимают классификацию, или разбиение на группы, по определенным признакам. Например: классификация народных песен по месту, где они были записаны собирателями, по времени проведения этнографической экспедиции, тональности, ладу, содержанию.

I.5 Пропорции

Шестнадцатая, восьмая, четвертная, половинная, целая нота … Названия длительностей служат одновременно и названиями чисел. В самом деле, длительность  соответствует и дробь 1/16, называются одинаково. Перечень совпадений можно продолжить. ссоответствует 1/8;               соответствует    1/1;  соответствует 1/4.     Нетрудно понять, почему длительности музыкальных нот заимствовали свои названия у дробей. Половинная нота потому и называется половинной или 1/2, что звучит вдвое короче целой ноты. Ее длительность составляет 1/2 длительности целой ноты и т.д. Мы видим, что длительности получаются так же, как дроби: они возникают при делении целой на равные доли. Поэтому длительность можно подсчитывать так же как дробные числа, например . Это равенство, следует понимать в том смысле, что длительность слева равна суммарно длительности справа. С помощью чисел то же равенство можно записать в виде      1=1/4+1/4+1/2.

I.6 Интервалы

Интервал (от греческого – расстояние) – это сочетание двух звуков. Названия интервалов в переводе на русский язык означают число [3].

Прима – один

Секунда – два

Терция – три

Кварта – четыре

Квинта – пять

Секста – шесть

Септима – семь

Октава – восемь

Нона – девять

Децима – десять

Ундецима – одиннадцать

Дуодецима – двенадцать

Терцдецима - тринадцать

Квартдецима – четырнадцать

Квинтдецима – пятнадцать

I.7 Дроби 

Особое место в математике древних занимали дроби 1/2, 1/4, 1/6, 1/8, 1/16 и так далее. Дело в том, что в древности отдельной арифметической операцией полагали удвоение  и деление пополам. Числа перемножали при помощи последовательных удвоений (например, 9х5=2х2х2х5+5); деление пополам не менее важно, как обратно к удвоению действие. Операция удвоения продержалась довольно долго.

Эти дроби сыграли определяющую роль в музыке. И сейчас в общепринятой нотной записи длинная нота – целая – делится на половинки (вдвое короче), четверти, восьмые, шестнадцатые и тридцать вторые. Любой ученик музыкальной школы знает с шести – семилетнего возраста, что 6/8 – это три четверти, и что в одной половинке восемь шестнадцатых. Таким образом, ритмический рисунок любого музыкального произведения, каким бы сложным он ни был, определяется двоичными дробями. Звучание двух струн приятно для слуха, если длины их относятся как 1:2, или 2:3, или 3:4,  что соответствует музыкальным интервалам в октаву, квинту и кварту. Гармония оказалась тесно связанной с дробями, что подтверждало основную мысль пифагорейцев: «Число правит миром» [2,4].

II.ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

II.1 Исследования музыкальных произведений

Всего, на мой взгляд, есть два типа разбора: первый -  это когда ритм превращают в дроби (пример:  одна четверть- 1\4), второй - когда сами ноты превращают в цифры (пример: есть тональность до мажор - значит нота фа будет там цифрой 4).
Используя эти приемы, разберем одно предложение из вальса  Георгия Михайловича Балаева, который мне предстоит исполнить на конкурсе «Гармония». 

Разбор №1: 2/4 1/4 – 1/4 1/4 1/4 – 2/4 1/4- 1/4 1/4 1/4 – 2/4 1/4 – 3/4 – 2/4 1/4 – 3/4.
Разбор №2 сделаем в тональности ля минор: 7 1 – 1 2 3 – 4 5 – 5 6 7 – 1 6 – 4 – 7 6 – 4.
            Таким образом, можно любое музыкальное произведение представить как математическую модель, которая будет иметь числовые закономерности. Математика может быть средством для описания музыкальных моделей. На мой взгляд, отсутствие трудностей в усвоении  математики  и   умение оперировать  числами  позволяют мне представлять музыкальное  произведение как набор цифр, и они легко «укладываются» в голове, воспроизводятся в виде нот. Звучат и радуют душу.

ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНАЯ ЧАСТЬ

В начале своей исследовательской работы я провела опрос учащихся школы, с целью выявления количества детей, которые занимаются в музыкальной школе; их успехов в общеобразовательной школе, выяснила, знают ли они, зачем нужна математика в музыке. Опрос показал, что большинство ребят, которые  занимаются в музыкальной школе,  успешны в  общеобразовательной школе.  Ребятам, которые занимаются музыкой легче справляться с математикой в школе (Приложение 1).  Данный опрос показал также, что многие ребята часто не задумываются, что математика и музыка тесно связаны между собой. Отсюда появилась проблема -  а действительно ли есть связь математики и музыки,  каким именно образом математика может помочь в разборе произведения, подготовке к музыкальному конкурсу?

Из литературы, по теме моего исследования [1,2,3,5,6],  я узнала общие элементы в математике и музыке: ритм, отражение, противоположности, упорядочение, пропорции, интервалы, дроби  и в чем они проявляются.  Поняла, что приятные для слуха различные музыкальные звуки подчиняются простым математическим законам [7]. Я  выделила основные подходы, которые  чаще всего  можно использовать при представлении музыкального произведения в виде математической модели [8].

Следующим этапом работы был выбор музыкального произведения для представления в виде математической модели. Таким произведением стал вальс Г. М. Балаева, который мне предстоит исполнить на конкурсе «Гармония».

Затем я приступила к составлению  математической модели. В своей исследовательской работе я выдвинула  гипотезу о том, что музыкальное произведение легче разобрать и подготовить к конкурсу, если представить его в виде математической модели.

Возможность перевода нот в числовой ряд подтверждает мою гипотезу.  Я отметила, что  на разбор нового музыкального произведение в период подготовки к экзамену или конкурсу уходило раньше до  семи  дней, а перевод на математическую модель вальса  позволил мне сократить время   разбора до  пяти дней.

Поэтапно  я выполнила поставленную цель: показала  связь между математикой и музыкой на примере математической модели музыкального произведения.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Б. Варга, Ю. Димень, Э. Лопариц. Язык, музыка, математика. М.- Просвещение, 1998.

2. Л. Сагателова, В. Студенецкая. Геометрия: красота и гармония. Волгоград.- Учитель, 2007.

3. Математический энциклопедический словарь. М. – Советская энциклопедия, 1988.

4. Я. И. Перельман. Занимательная алгебра. Занимательная  геометрия. М. – Наука, 2002.

5. А. Устинов. Музыка и математика. М. – Наука,2003.

6. В.П. Ковалев "Математика в музыке". Выступление на семинаре в Московском физико-техническом институте в секции  математических основ жизнеустройства.

7. О.Н.Макеева Научно-исследовательская работа по теме:   «Математическое представление музыки»

8.  Интернет ресурс: http://ru.wikibooks.org/wiki 

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Анкета

Занятость в музыкальной школе

Из 482 учащихся школы  в 2013-2014 учебном году 86 ребят  регулярно посещают музыкальную школу. Это 18 % всех учащихся школы. Из них 58(67%) учатся на «4» и «5»  по всем предметам, 14 учащихся  (16%) на «4» и «5»  по большинству предметам,  10 человек (12%) имеют по некоторым предметам оценку «3», 4 учащихся (5%) – не имеют оценки т.к. учатся в 1 классе.

Успеваемость учащихся в общеобразовательной школе

Результаты опроса, представленные диаграммами, показывают, что большинство из ребят, посещающих музыкальную школу,  учатся на «4» и «5» в общеобразовательной школе, следовательно, обучение музыке способствует более успешному усвоению учебного материала в обычной школе.

Я считаю, что занятия музыкой дисциплинируют, помогают делать логические выводы, т.е. помогают занятиям математикой, а математика, в свою очередь, способствует лучшему усвоению некоторых тем музыкальной литературы и сольфеджио.