Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Инновационный проект: МОДЕЛИРОВАНИЕ В ПРОЦЕССЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПОВЫШЕННОЙ СЛОЖНОСТИ
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Инновационный проект: МОДЕЛИРОВАНИЕ В ПРОЦЕССЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПОВЫШЕННОЙ СЛОЖНОСТИ

библиотека
материалов


МОУ «АГИНСКАЯ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 1»






Инновационный проект:



Моделирование в процессе решения задач повышенной сложности







Автор: Жалсанжапова Димид Баторовна, учитель математики











п. Агинское, 2013


«Доводы, до которых человек додумывается сам, обычно убеждают его больше, нежели те, которые пришли в голову другим»

Блез Паскаль

Введение

Метапредметный модуль «Моделирование в процессе решения задач повышенной сложности» это 9 часовой цикл уроков, разработанный в рамках интегративной предметной области (математики и информатики), для учащихся 8-9 классов. Данная программа основана на идеях и принципах развивающего обучения Д.Б. Эльконина и В.В. Давыдова и мыследеятельностной педагогики Ю.В. Громыко, в которых реализуется деятельностный (мыследеятельностный) подход к содержанию. Содержание программы выстраивается вокруг фундаментального образовательного объекта, в качестве которого выступает понятие «задача» и направлена на освоение общих (обобщенных) способов решения определенного класса задач, которые станут универсальными (метапредметными), когда учащиеся путем переноса получат возможность использовать их в решении задач в любой другой области, включая ситуации реальной жизни.

По рекомендации разработчиков мыследеятельностной педагогики, «для реализации единицы деятельностного содержания должны составлять единицы более дробные, чем предметы», но более крупные, чем урок. В данном случае, наиболее технически удобной формой выступает такая единица, как модули учебных курсов. Модуль позволяет представить необходимое стандартное содержание в виде отдельного блока»1, характеризующейся определенной интегративностью и фундаментальностью содержания.

Данный метапредметный модуль разработан на основе методических рекомендаций Устиловской А.А., автора метапредмета «Задача» – учебного пособия для педагогов, которая ссылаясь на Дж. Пойя, актуализирует следующее определение математических задач: «задача предполагает необходимость сознательного поиска соответствующего средства для достижения ясно видимой, но непосредственно недоступной цели». Далее автор пособия определяет особенности процесса решения задачи, представляя ее как «последовательность хорошо координированных логических операций и шагов», «гарантирующей получение нужного результата»2.

Особенностью данного модуля является моделирование как универсальный способ понимания и поиска способов решения любой задачи в любой области деятельности. Для того, чтобы создать ситуацию, провоцирующую мышление и личностное отношение к предмету обучения выбраны задачная и игровая формы организации процесса учения-обучения.

Цель модуля: Освоение общего способа решения задач повышенной сложности с помощью моделирования как универсального способа в рамках предпрофильной подготовки учащихся.

Ключевые задачи модуля:

  • предметные: умение решать задачи путем нахождения общего способа на основе моделирования;

  • метапредметные: освоение общих и универсальных способов решения задач: моделирование, понимание, проблематизация, исследование, и др.;

  • личностные: формирование субъектной позиции ребенка по отношению к собственной деятельности в процессе решения задач.

Таким образом, программа модуля является одним из способов реализации качественно новых требований ФГОС: предметных, метапредметных, личностных результатов.








Актуальность

В системе образования уже давно существует проблема, когда говорят о том, что студенты и молодые специалисты не умеют решать проблемы и практические задачи, которые часто возникают в профессиональной и жизненной сфере. Им мешает, прежде всего, шаблонность мышления. Это происходит благодаря традиционной системе обучения, подстегнутой в последние годы итоговой аттестацией (ЕГЭ, ГИА), готовясь к которому учащиеся под руководством учителей вынуждены отрабатывать типовые алгоритмы решения однотипных задач, доводя их до автоматизма. О том, что «у многих школьников слабо развита способность к анализу таких задач, которые еще не встречались в их учебном опыте, но для решения которых у них есть все необходимые знания» - писал еще В.В. Давыдов3.

Практика показала, что за счет натаскивания, алгоритмизации невозможно формирование человека мыслящего, способного действовать в ситуации неопределенности, как того требует ФГОС. Качественно новые результаты, должны быть достигнуты только в результате осознанного и осмысленного усвоения содержания, под которым понимается не столько сам учебный материал, а сколько способы его освоения.

Проблема заключается в том, что учитель ограничен во времени, он не может решать каждую задачу в рамках исследования, но Стандарт предоставляет учителю возможность переструктурировать содержание предметного образования в рамках предметной области таким образом, чтобы высвободить часы для проектных и исследовательских форм работы с детьми, в рамках которого и появляется возможность решить эту проблему, что и предпринято в данном случае.

На наш взгляд, одним из способов снятия этой проблемы (или его минимализации) является разработка и введение метапредметных модулей, где решаются не отдельные задачи, а рассматриваются и исследуются общие способы их решения, а универсальными эти способы станут, если учащиеся усвоят эти способы настолько глубоко и осознанно, что смогут применить их в любой другой предметной области, включая ситуации реальной жизни. Кроме того, процесс поиска способов решения задач, а в особенности процесс его переноса предоставляет возможность ученику проявить и развить свои личностные качества, т.к. в этом процессе он выступает именно как субъект своей деятельности.

Таким образом, данная модульная программа направлена на разрешение противоречий между:

  • требованиями ФГОС, с одной стороны, и с другой - ЕГЭ и ГИА;

  • значимостью формирования математического мышления и отношением к предмету учащихся как сложному, трудно усваиваемому, неинтересному занятию;

  • необходимостью развития способностей теоретического обобщения и наличия у учащихся опыта эмпирического;

  • разрыв между задачами, решаемыми в школе и практическими задачами, с которыми учащиеся сталкиваются в жизни.

Новизна:

Сама идея выйти на метапредметный уровень осмысления и освоения содержания образования, оставаясь в рамках одной предметной области предложена авторами-разработчиками мыследеятельностной педагогики, под руководством Ю.В. Громыко. Но, как известно, их рекомендации имеют открытый рамочный характер, что и делает возможным разработку собственной модели реализации идеи как одного из способов решения проблемы. В этом и заключается новизна предложенного проекта.


Практическая значимость:

Данный проект имеет безусловную ценность для учителей математики и информатики, как один из вариантов выработки общих способов решения задач повышенной сложности в условиях традиционного подхода к отбору содержания математического образования. А для всех учителей-предметников проект представляет интерес как один из моделей достижения предметных, метапредметных, личностных результатов в рамках любого предметного содержания, реализуемых в едином процессе в ходе реализации требований ФГОС.

Условия реализации

Инновационный проект разработан и реализуется в МОУ «Агинская средняя общеобразовательная школа № 1», имеющей статус Краевого ресурсного центра по развивающему обучению Эльконина-Давыдова, в рамках которой формируется учебная деятельность на 1 ступени. Содержание образования второй ступени формируется в течение последних лет: составляется нелинейное расписание, создается развивающая среда, разрабатываются метапредметные и интегративные модули. Даная инновация находится на стадии своего апробирования в рамках предпрофильной подготовки учащихся в 8-х классах.


Особенности содержания метапредметного модуля.

Особенность содержания метапредметного модуля продиктована спецификой проблемы, обнаруживаемой в контексте современных требований в самом устройстве содержания предмета математика.

«В процессе решения и решания просматриваются три продукта: - идея решения, реализация идеи, знаковая фиксация – текст решения» - пишет автор метапредмета «Задача» Устиловская А.А.4 Текст решения пишется тогда, когда задача уже решена, и поэтому она не передает средств поиска решения, «не содержат в себе следов той деятельности, которая привела к решению». Поэтому «в практике учения происходит так: либо учащийся каким-то не ясным даже для педагогов образом на самых ранних этапах обучения «схватывает» специфику работы с задачей. И это становится залогом дальнейшего его успеха. Либо такого схватывания не происходит и ученику остается одно – запоминать стандартные алгоритмы решения типовых задач. На последнее не у всех хватает терпения…»5, но даже если и хватит, то, как показала практика, оно помогает до поры до времени, т.к. эксплуатация человеческой памяти и опора только на него - абсолютно ненадежный механизм. Поскольку большинство задач в задачниках и учебниках содержательно и генетически мало связаны между собой, они направлены на усвоение одного конкретного способа.

Вот в чем, вслед Устиловской А.А., мы видим основную проблему, которая кроется в самом устройстве содержания курса математики. Проблема обостряется, когда начинается систематический курс математики в период предпрофильной подготовки учащихся, когда учащиеся должны переходить к решению задач повышенной трудности. Отсюда возникает необходимость в подборке задач, на основе которых можно выйти на поиск общего (обобщенного) способа решения задач. Эти задачи, как правило, имеют подтекст и связаны с разными областями знания, с окружающей нас действительностью и рассчитаны на умение самостоятельно мыслить.

В данной ситуации большие возможности имеет такой универсальный способ поиска решения задач – моделирование, т.к. «в ходе моделирования в рассматриваемых объектах или явлениях выделяются все важные для решения параметры»6. Создание модели – первый шаг выхода учащихся за рамки предметного мышления в область рефлексивного осмысления обобщенных способов решения подобных задач. В данном случае учащимся 8-9 классов предлагаются задачи, для решения которой у учащихся нет готовой модели! Навыки исследования задач является частью математической культуры, которая требует определенной свободы и оригинальности мышления, изобретательности, основанной на здравом смысле, смекалке.

Поскольку речь идет о задачах повышенной сложности, чтобы избежать изнурительности процесса, важно найти наиболее увлекательные способы привлечения учащихся к данному процессу – а это игра! Д.Б. Эльконин в книге «Психология игры» определяет игру «как деятельность, в которой воссоздаются социальные отношения между людьми...»7. «Игра – особая форма освоения действительности путем ее воспроизведения, моделирования»– определяет понятие Л.Ф. Обухова8. Поэтому процесс решения большинства рассматриваемых задач модуля представлен в игровой форме: задачи первой части – в форме игры- соревнования между учителем и учащимися, во второй части – между самими учащимися. Увлекательность процесса и дух соревновательности подстегивает обучающиеся действовать рациональным (оптимальным) способом, выстраивать стратегию своих действий, актуализируя весь свой опыт, в том числе жизненный, интуитивный.


Обоснование выбора содержания модуля

В 8-9 классах нашей школы в рамках предпрофильной подготовки вводится дополнительные часы. Традиционные способы: факультативы, спецкурсы нас не устроили. В рамках реализации нового ФГОС было решено разработать метапредметный модуль в 8 классе в рамках метапредмета «Задача». В ходе разработки перед нами стала проблема: «Какую(-ие) же задачу(-и) выбрать?». В старших классах ученики уже владеют достаточно богатым математическим аппаратом. Особенностью преподавания в 8- 9 классах является то, что учащиеся именно в этом возрасте резко теряют интерес к математике. Это приводит к снижению успеваемости, восприятию математики как сложного неинтересного предмета. Поэтому задачи должны быть интересными, познавательными, но вместе с тем достаточно сложными. Обычный круг задач, рассматриваемых в курсе основной школы, нас не устроил.

В настоящее время, в связи введением ФГОС второго поколения математику и информатику стали объединять в одну предметную область. В стандартах второго поколения:

  • Фундаментальное ядро общего образования – математика и информатика рассматриваются как дисциплины в определенной мере дополняющие друг друга9.

  • Основное общее образование – математика и информатика рассматривается как одна предметная область10.

  • Среднее (полное) общее образование – математика и информатика также рассматривается как одна предметная область11.

В ходе анализа результатов Единого государственного экзамена по информатике были выявлены затруднения учащихся в решении задач части С. Эти задачи относятся, прежде всего, к математическим (разделы «рекуррентные отношения» и «теория игр»). Задачи, относящиеся к этим разделам, практически не изучаются в школьном курсе математики. Для предпрофильной подготовки нами были выбраны именно такие задачи12.

В ходе реализации данного модуля учащиеся освоят новый способ решения задач, при котором используется способ динамического программирования (из курса информатики). Несмотря на сложность названия суть метода достаточно проста. Как правило, чтобы решить поставленную задачу, требуется решить отдельные части задачи (подзадачи), после чего объединить решения подзадач в одно общее решение. Часто многие из этих подзадач одинаковы. Подход динамического программирования состоит в том, чтобы решить каждую подзадачу только один раз, сократив тем самым количество вычислений. Это особенно полезно в случаях, когда число повторяющихся подзадач экспоненциально велико, т.е. количество вариантов решения резко возрастает, что также резко осложняет процесс его решения.

Также учащиеся должны овладеть способом нахождения выигрышной стратегии в играх, где участвуют двое. Выигрышные стратегии - это очень общее понятие довольно большой темы. На самом деле в математике существует даже подраздел, который так и называется «Теория игр». В ходе решения задач у учащихся должны сформироваться коммуникативные и познавательные универсальные учебные действия, предусмотренные стандартами второго поколения13, такие как:

  • Общение и взаимодействие с партнерами по совместной деятельности;

  • Работа в группе;

  • Умение видеть проблему, выдвигать гипотезы;

  • Поиск решения проблемы;

  • Умение делать выводы и умозаключения.

Многие элементы, которые будут рассматриваться в метапредметном модуле, уже прошли практическую проверку в ходе уроков, консультаций, практических занятий.

Поскольку нельзя точно спланировать почасовое расписание модуля, предъявляем примерную структуру курса с задачами, которые будут рассматриваться. В ходе работы можно (и нужно!) корректировать программу. Все подготовительные задачи адаптированы по условию и в формулировках для учащихся 8х классов.


Примерная программа метапредметного модуля

«Моделирование в процессе решения задач повышенной сложности»


Реализация модуля начато в III четверти с 14 января 2013 в 8-х классах в объеме 1 час в неделю в рамках предпрофильной подготовки (общая продолжительность курса 9 часов).

Форма работы в основном планируется парная, групповая, рефлексия будет осуществляться в ходе решения индивидуальных, групповых задач в процессе их защиты.








Примерное планирование занятий

Тема

1

Задача про кроликов.

Решение задачи Фибоначчи про размножение кроликов.

2

Задача про зайца. Комбинаторная задача на определение количества возможных маршрутов

3-4


Задача про ёжика.

Задача на выбор оптимального маршрута

5-7


Игра с точки зрения математики

Выигрышные стратегии. Оформление решения в виде графа

8

Решение групповой задачи

9

Защита групповой задачи. Проверка индивидуальных заданий

Игра с учащимися других групп по условиям задачи.



Прогнозируемые метапредметные результаты:

  • Умение применять: известные алгоритмы и методы исследования в конкретной ситуации; индуктивные и дедуктивные способы рассуждений; базовый понятийный аппарат;

  • Умение видеть различные стратегии решения задач и извлекать необходимую для исследования и решения задач информацию (знания из разных областей); проводить диагностику задачи (понимать ее смысл и назначение) и аналогию задач;

  • Умение анализировать взаимосвязи между задачами и связывать неизвестные задачи с данными; сводить сложные задачи к выполнению более элементарных действий;

  • Умение принимать оптимальное решение и доводить до конца намеченный план решения;

  • Формирование навыков оценивать: логику построения простых схем решения задач, соответствие выводов исследования, достижение учебных результатов.

Список литературы


  1. Алексеева Л.Н. Направление обновления содержания образования и изменение педагогического профессионализма. Из опыта освоения мыследеятельностной педагогики / Под ред. Алексеевой Л.Н., Устиловской А.А. – М.: МИОО, 2007. – 288 с.

  2. Воронцов А.Б «Организация учебной деятельности в подростковой школе. Новая система оценки качества» МАРО, Москва

  3. Воронцов А.Б., Чудинова Е.В. «Учебная деятельность: введение в систему Д.Б. Эльконина -В.В. Давыдов. Изд «Рассказов». Москва. 2004

  4. Выготский Л.С. Педагогическая психология. Москва. 1992

  5. Громыко Н.В. Способы обновления знаний. Эпистемотека, Издательская программа «Школа будущего», Пушкинский институт, М., 2007

  6. Громыко Ю.В. Мыследеятельностная педагогика -Минск, 2004

  7. Глазунова О.С. Метапредметный подход, Что это?//Учительская газета 2011. №9 (Электронный ресурс).-Режим доступа: http://www/ug/ru/article/644

  8. Глейзер Г.Н. История математики в средней школе. Пособие для учителей. – М., Просвещение. 1970

  9. Давыдов В.В. «Виды обобщения в обучении»: Логико-психологические проблемы построения учебных предметов. – М.: Педагогическое общество России, 2000. – 480 с.

  10. Давыдов В.В.. Проблемы развивающего обучения. –М.: Педагогика, 1986.-240 с.

  11. Дж. Пойа. Математическое открытие. Решение задач: основные понятия, изучение и преподавание. – М.: Наука. Гл. ред. физ. мат. лит., 1970

  12. Из опыта освоения мыследеятельностной педагогики (Опыт освоения мыследеятельностного подхода в практикепедагогической работы); Под ред. Л.Н. Алексеевой , А.А. Устиловской – М.: МИОО, 2007. – 288 с.

  13. Клайн М. Математика. Поиск истины: Пер. с англ./ Под ред. и с предисл. В.И. Аршинова, Ю.В. Сачкова. – М.: Мир. 1998

  14. Новикова Т.Г. Проектирование эксперимента в образовательных системах. Москва. 2002

  15. Традиция В.В. Давыдова и развитие образования (Сборник к 80-летию со дня рождения В.В.Давыдова) Москва. 2010.

  16. Устиловская А.А. Метапредмет «Задача»: Учебное пособие для педагогов. М.: НИИ ИСРОО . Пушкинский институт, 2011. – 272 с. – Серия «Мыследеятельностная педагогика».

  17. Формирование универсальных учебных действийв основной школе: от действий к мысли. Система заданий: пособие для учителя. Под ред. А.Г. Асмолов. – 2 изд. – М.: Просвещение, 2011. – 159с.

  18. Федеральный государственный образовательный стандарт среднего (полного) общего образования. – М.: Просвещение, 2013. – 63 с.

  19. Фундаментальное ядро содержания общего образования; под ред. В.В. Козлова, А.М. Кондакова. – 4-е изд., М.: Просвещение, 2011. – 79 с.

  20. Федеральный государственный образовательный стандарт основного общего образования. – М.: Просвещение, 2011. – 48 с.

  21. Шень А. Игры и стратегии с точки зрения математики. М.: МЦНМО, 2007 г. - 40 с.














Приложение

Задачи про кролика, зайца и ёжика.hello_html_73e3db84.jpg

Пусть в огороженном месте имеется пара кроликов (самка и самец) в первый день января. Эта пара кроликов производит новую пару кроликов в первый день февраля и затем в первый день каждого следующего месяца. Каждая новорожденная пара кроликов становится зрелой уже через месяц и затем через месяц дает жизнь новой паре кроликов. Возникает вопрос: сколько пар кроликов будет в огороженном месте через год, то есть через 12 месяцев с начала размножения?



Вhello_html_m15d3d9b3.jpg нашем зоопарке появился заяц. Его поместили в клетку, и чтобы ему не было скучно, директор зоопарка распорядился поставить в его клетке лесенку. Теперь наш зайчик может прыгать по лесенке вверх, перепрыгивая через ступеньки. Лестница имеет определенное количество ступенек. Сперва заяц умел прыгать только на одну ступеньку. Но со временем он рос и тренировался и он научился прыгать на несколько ступенек.

Для разнообразия зайчик пытается каждый раз найти новый путь к вершине лестницы. Директору любопытно, сколько различных способов есть у зайца добраться до вершины лестницы.

Обозначим количество ступенек лестницы за K, а количество ступенек, через которых может прыгнуть заяц за N. Помогите директору вычислить это количество.

Например, если K=4 и N=3, то существуют следующие маршруты: 1+1+1+1, 1+1+2, 1+2+1, 2+1+1, 2+2, 1+3, 3+1. Т.е. при данных значениях у зайца всего 7 различных маршрутов добраться до вершины лестницы.

hello_html_m31d7d0fc.png

Имеется поле из квадратных клеток (размера M на N). Чтобы было наглядно, представим поле вертикально. В каждой клетке может находиться от 0 до 10 яблок. В самой верхней левой клетке находится ёжик. По правилам он может только вправо и вниз. Ёжик должен добраться до самой нижней правой клетки. Помогите ёжику составить маршрут, пройдя по которому, ёжик соберет как можно больше яблок. Учитывайте - ёжик очень сильный, а яблоки маленькие, так что он может поднять много яблок.

Таблица для ёжика



hello_html_m31d7d0fc.png

2

6

8

0

3

2

9

1



3

2

1

0

7

2

3

4

2



8

9

1

2

3

1

5

6

7



7

2

9

0

6

3

2

2

8



0

0

0

8

3

0

1

4

1



6

7

2

4

3

1

8

5

3



4

1

6

1

7

2

1

3

7



7

8

3

2

2

6

6

7

2


Игры, в которые играют математики


  • На столе лежит 25 спичек. Играющие по очереди могут взять от одной до четырёх спичек. Кто не может сделать ход (спичек не осталось), проигрывает.

  • А что будет, если изначально не 25 спичек, а 24?

  • На столе лежат две кучки спичек: в одной 10, в другой - 7. Игроки ходят по очереди. За один ход можно взять любое число спичек (1; 2; 3;…) из одной из кучек (по выбору игрока). Кто не может сделать ход (спичек не осталось), проигрывает.

  • Шоколадка представляет собой прямоугольник 5 . 8, разделённый углублениями на 40 квадратиков. Двое по очереди разламывают её на части по углублениям: за один ход можно разломить любой из кусков (больший одного квадратика) на два. Кто не может сделать хода (все куски уже разломаны), проигрывает.

  • Двое игроков пишут двадцатизначное число слева направо, по очереди приписывая к нему по одной цифре. Первый игрок выигрывает, если полученное число не делится на 7, второй - если делится.

  • Что будет, если в предыдущей игре заменить 7 на 13?

  • На столе лежит 25 спичек. Играющие по очереди могут взять 1, 2 или 4 спички. Кто не может сделать ход (спичек не осталось), проигрывает.

  • В одной из клеток шахматной доски стоит «односторонняя ладья», которая может двигаться влево или вниз. Двое игроков ходят по очереди, сдвигая ладью влево или вниз на любое число клеток (но не менее одной); кто не может сделать ход, проигрывает.


Сценарий первого занятия в 8м классе

Единица содержания:

Содержанием занятия является построение модели объекта задачи при решении задачи нового типа. Ключевой момент в построении модели – переход от наглядной модели (в виде чертежа или схемы) к математической (в виде рекуррентной формулы). Раньше учащиеся решали задачи по готовым образцам, алгоритмам, ход решения задачи был достаточно хорошо изучен, и при решении задач не возникало больших затруднений. Учащиеся должны осознать, что старые способы решения не работают или неэффективны. Решить задачу позволяет переход к другой модели решения задачи

Учебный материал:

В качестве учебного материала выступает старинная задача, известная с XIII века. Она приписывается известному итальянскому математику Леонардо Фибоначчи. Приводим внизу текст задачи:

Пусть в огороженном месте имеется пара кроликов (самка и самец) в первый день января. Эта пара кроликов производит новую пару кроликов в первый день февраля и затем в первый день каждого следующего месяца. Каждая новорожденная пара кроликов становится зрелой уже через месяц и затем через месяц дает жизнь новой паре кроликов. Возникает вопрос: сколько пар кроликов будет в огороженном месте через год, то есть через 12 месяцев с начала размножения?

Но мы не хотим знакомить учащихся с «готовой» моделью, а строим ситуацию, в которой учащиеся самостоятельно получат эффективную модель.

Этап 1. Понимание условия задачи.

Первый этап в решении задачи – понимание условия. Условие данной задачи адаптировано к уровню восьмиклассников, и трудностей не возникло: смысл задачи поняли все учащиеся.

С самого начала учащиеся восприняли задачу как математическую и попытались его решить её «обычным способом».

Этап 2.1 Первые попытки выполнения задания

С ходу был предложен ответ – 24. То есть 2 кролика*12 месяцев = 24 кролика. Однако нашлись сомневающиеся: был предложен другой способ: 122 =144 (тема квадрата и квадратного корня из числа как раз рассматривается в курсе алгебры). Но в ходе обсуждения, большинство пришло к выводу: «Задача не может быть такой простой».

Этап 2.2 Попытка смоделировать задачу

Восьмиклассники умеют решать задачи, связанные со временем (на расстояние-скорость, работа-производительность). В ходе обсуждения они пришли к выводу, что задачи типа S=vt и т.д. не подходят. Были попытки создать чертеж или схема с использованием стрелок, отрезков и т.д. были безуспешными.

Этап 2.2 Построение самой простой модели

Задачу было предложено решать способ перебора. Учащиеся самостоятельно попытались подсчитать месяц за месяцем, сколько же кроликов будет. Но в ходе решения задачи между учащимися разгорелся спор относительно обозначений: обозначение К – взрослый кролик, С – самец и СА - самка, Кр – крольчонок, лишь запутывало решение.

В итоге ученики пришли к выводу, что лучше обозначить взрослых кроликов – буквой В (взрослые), а крольчат – буквой Д (детёныши).

Этап 2.3 Решение построенной модели

Сначала учащиеся записывали ход решения в строку, но быстро переключились в запись хода решения в столбец.

1ый способ записи

1.01.12 ВВ 1.02.12 ВВДД 1.03.12 ВВДДВВ

2о1 способ записи

1.01.12 ВВ

1.02.12 ВВДД

1.03.12 ВВДДВВ

1.04.12 ВВДДВВВВДД

1.05.12 ВВДДВВВВДДВВДДВВ

1.06.12 ВВДДВВВВДДВВДДВВВВДДВВВВДД

Но достигнув лета, учащимися не стало хватать места для записи. Самые «упертые» продолжали записывать и подсчитывать количество кроликов.

Этап 2.4 Переход от наглядной модели к математической

Но в классе нашлось двое учащихся, которые вывели закономерность и поспешили поделиться со своим открытием с классом. Первая заметила, что количество букв, записанные в разных строках, подчиняется закономерности.

1.01.12 ВВ 2

1.02.12 ВВДД 4=2+2

1.03.12 ВВДДВВ 6=4+2

1.04.12 ВВДДВВВВДД 10=6+4

1.05.12 ВВДДВВВВДДВВДДВВ 16=10+6

1.06.12 ВВДДВВВВДДВВДДВВВВДДВВВВДД 26 =16+10

Закономерность или последовательность 2, 2, 4, 6, 10. Она заявила, что следующее число будет больше на восемь. Но этот вывод был немедленно опровергнут «упертыми» учениками, которые продолжали ряд дальше.

1.07.12 ВВДДВВВВДДВВДДВВВВДДВВВВДДВВДДВВВВДДВВДД ВВ 42 ≠ 26+8

Второй ученик (правильно!) заметил, что 26=10+16, 16=6+10, 10=4+6. В ходе проверки выяснилось, что 42 = 16+26.

И учащиеся, соревнуясь между собой, начали продолжать ряд, уже записывая не буквы, а числа.

1.08.12 26+42=68

1.09.12 42+68=110

1.10.12 68+110=178

1.11.12 110+178=288

1.12.12 178+288=466

1.01.13 288+466=754 кролика!

После получения ответа в классе началась дискуссия: Действительно ли можно от одной пары получить 754 кролика за год. Здесь самая внимательная ученица заметила, что мы записали неправильный ответ: по условию задачи мы должны были подсчитать не количество кроликов, а количество пар! Сразу же учащиеся указали, что правильный ответ – 377 пар кроликов.

Дискуссия была продолжена. Учащиеся утверждали, что кролики не доживают до года жизни, что кролики приносят не одну пару, а 5-6 крольчат, не хватит мест для содержания и т.д. Чтобы сбить накал дискуссии, вниманию учащихся была предложена презентация «Кролики в Австралии».

Историческая справка: «Кролики»


Этап 3.1 Составление математической формулы

Ученикам было предложено составить формулы для расчета количества кроликов. Ими были предложены такие варианты:

Число кроликов в этом месяце = число кроликов за два месяца до этого + число кроликов за один месяц до этого.

Кролики12 = Кролики10 + Кролики11

KN = KN-2 + KN-1

Мною была предложена более грамотная с точки зрения математики формула: f(n)= f(n-1) + f(n-2). Такие формулы называются рекуррентными. Если считать не количество кроликов, а их пары, то наш ряд примет вид:

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 …

Этот ряд имеет специальное название – ряд Фибоначчи.

Историческая справка: «Фибоначчи»


Д.З.

Задание ЕГЭ-2013 года

hello_html_m5e82071c.png



1 Алексеева Л.Н. Направление обновления содержания образования и изменение педагогического профессионализма. Из опыта освоения мыследеятельностной педагогики / Под ред. Алексеевой Л.Н., Устиловской А.А. – М.: МИОО, 2007 – стр.23

2 Устиловская А.А. Метапредмет «Задача»: Учебное пособие для педагогов. М.: НИИ ИСРОО. Пушкинский институт, 2011 – стр. 35

3 Давыдов В.В. «Виды обобщения в обучении»: Логико-психологические проблемы построения учебных предметов. – М.: Педагогическое общество России, 2000 –стр. 157

4 Устиловская А.А. Метапредмет «Задача»: Учебное пособие для педагогов. М.: НИИ ИСРОО . Пушкинский институт, 2011. – 113 с. – Серия «Мыследеятельностная педагогика».


5 Устиловская А.А. Метапредмет «Задача»: Учебное пособие для педагогов. М.: НИИ ИСРОО . Пушкинский институт, 2011. – 113 с. – Серия «Мыследеятельностная педагогика».

6 Устиловская А.А. Метапредмет «Задача»: Учебное пособие для педагогов. М.: НИИ ИСРОО . Пушкинский институт, 2011. – стр. 133 .

7 Эльконин Д.Б. Психология игры. –– М.: Владос, 1999 г. - стр.11




8Там же, стр.6

9 Фундаментальное ядро содержания общего образования. Под ред. В.В. Козлова, и др. М.: Просвещение, 2011г. – стр. 39

10 Федеральный государственный образовательный стандарт основного общего образования. . М.: Просвещение, 2011г. – Стр. 14.

11 Федеральный государственный образовательный стандарт среднего (полного) общего образования. М.: Просвещение, 2013. – стр. 22.

12 См. Приложение

13 Формирование универсальных учебных действий в основной школе: от действия к мысли. Система заданий: пособие для учителя. А.Г. Осмолов и др. М.: Просвещение, 2011г. стр. 57, стр. 90.


Краткое описание документа:

Метапредметный модуль «Моделирование в процессе решения   задач повышенной сложности» – это  9 часовой  цикл уроков, разработанный в рамках интегративной  предметной области (математики и информатики),  для учащихся 8-9 классов. Данная программа основана на идеях и принципах развивающего обучения Д.Б. Эльконина и В.В. Давыдова и мыследеятельностной педагогики Ю.В. Громыко, в которых  реализуется деятельностный (мыследеятельностный) подход к содержанию. Содержание программы выстраивается вокруг фундаментального образовательного объекта, в качестве которого выступает понятие  «задача» и направлена на освоение общих (обобщенных) способов решения определенного класса задач, которые станут универсальными (метапредметными), когда учащиеся путем переноса  получат возможность использовать их  в решении задач в любой другой области, включая ситуации реальной жизни. По рекомендации разработчиков мыследеятельностной педагогики, «для реализации единицы деятельностного содержания должны составлять единицы более дробные, чем предметы», но более крупные, чем урок. В данном случае,   наиболее технически удобной формой выступает такая единица, как модули учебных курсов. Модуль позволяет представить  необходимое стандартное содержание в виде отдельного блока», характеризующейся определенной интегративностью и фундаментальностью содержания. Данный метапредметный модуль разработан на основе методических рекомендаций Устиловской А.А., автора метапредмета «Задача» – учебного пособия для педагогов, которая ссылаясь  на  Дж. Пойя, актуализирует следующее определение математических задач: «задача предполагает необходимость сознательного поиска соответствующего средства для достижения ясно видимой, но непосредственно недоступной цели». Далее автор  пособия определяет особенности процесса решения задачи, представляя ее как «последовательность хорошо координированных логических операций и шагов», «гарантирующей получение нужного результата». Особенностью данного модуля является моделирование как универсальный способ понимания и поиска способов решения любой задачи в любой области деятельности. Для того, чтобы создать  ситуацию, провоцирующую мышление и личностное отношение к предмету обучения выбраны задачная и игровая  формы организации процесса учения-обучения.  Цель модуля: Освоение общего способа решения задач повышенной сложности с помощью моделирования как универсального способа в рамках предпрофильной подготовки учащихся.
Автор
Дата добавления 25.04.2014
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров1293
Номер материала 84364042550
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы
Урок
25.04.2014
Просмотров: 312
Комментариев: 0

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх