КОНСПЕКТ УРОКА «РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ»

Конспект  урока

ФИО учителя, место работы Кудинова Наталья Александровна

 МОУ лицей №2 Краснооктябрьского района г.Волгограда

Предмет: Алгебра и начала анализа

Тема урока:  «Решение тригонометрических  уравнений»

Цели урока:

 

Образовательные:  

- актуализировать знания учащихся по теме «Решение тригонометрических уравнений»

- рассмотреть общие подходы решения тригонометрических уравнений;

- закрепить навыки решения тригонометрических уравнений;

- познакомить с новыми способами решения тригонометрических уравнений.

 

Развивающие:

- содействовать развитию у учащихся мыслительных операций: умение анализировать,  сравнивать;

- формировать и  развивать  общеучебные  умения и навыки:  обобщение, поиск способов решения;

- отрабатывать навыки самооценивания знаний и умений, выбора  задания, соответствующего их уровню развития.

 

Воспитательные:

-     вырабатывать внимание, самостоятельность при работе на уроке;

- способствовать формированию активности и настойчивости, максимальной работоспособности.

 

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний

 

Оборудование:  компьютер и мультимедийный проектор.

Форма организации познавательной деятельности: фронтальная, индивидуальная, работа в парах.

Время проведения: 2 часа (урока)

 

План урока:

I. Организационный момент.

II. Актуализация знаний.

1.Повторение теоретического материала

III.  Выполнения практических заданий.

IV.Завершение урока.

1. Подведение итогов урока

2. Оценивание работы учащихся на  уроке

3. Домашнее задание.

 

I.       Организационный момент.

Здравствуйте, ребята, садитесь! Однажды французский писатель Анатоль Франс  заметил: « Учиться можно только весело… Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом».

   Так вот, давайте сегодня на уроке будем следовать этому совету писателя,  будем активны, внимательны, будем поглощать знания с большим желанием, ведь они пригодятся вам при выполнении контрольной работы, а в дальнейшем на экзамене.

Мы повторим, обобщим и приведем в систему изученные виды, типы, методы и приемы решения тригонометрических уравнений.

 

II. Актуализация знаний.

Ответьте на вопросы:

1) Какое уравнение называется тригонометрическим? (Тригонометрическими уравнениями называют уравнения, содержащие переменную под знаком тригонометрических функций)

2) Уравнения какого вида называются простейшими тригонометрическими уравнениям?

3) При каком значении а уравнения sin x = a ,  cos x = a  имеют решения?  [Если |a | ≤ 1]

4) Какой формулой выражаются решения уравнений sin x =a ,  cos x=a при условии  |a | ≤ 1

5) Каким будет решение уравнения cos x=a при |a | > 1 ?  [Нет решения]

6) Какой формулой выражается решение уравнения tg x= a,  ctg x = a ?

7) Что называется  arсcos a?   Чему равен  arсcos(-a) ?       [π- arсcos a]

8) Что называется  arсsin a? Чему равен arсsin(-а)? [- arcsin a]

9) Что называется arctg a?  Чему равен   arctg (-a)  ?  [-arctg a  ]

10) Что называется arсctg a? ? Чему равен   arсctg (-a)  ?  [π- arcctg a]

 

 

Задание 1.  Вычислите (работа по вариантам):

 

1 вариант		2 вариант
arcsin     arccos  1 arcsin( - ) arcos( ) arctg	Ответы             0	arccos   arcsin 1 arccos( - )  arcsin ( ) arctg	Ответы

 

 Ребята, проверьте  ответы и оцените свою работу.

Критерии оценок:

«5» - выполнил все задания

«4» - 4 верных ответов

«3» - 3 верных ответа

«2» - 1-2 верных ответа

 

Задание 2. Вспомним   случаи решения уравнений sin x =a ,  cos x=a,  tg x = a   , если  

a  = - 1; 0 ; 1.  Установите соответствия:

1. sin x = 0                 

2. cos x = -1                

3. sin x = 1                  

4. cos x = 1                 

5. tg x = 1                –  

6. sin x = - 1             

7. cos x = 0                

 

Ребята, проверьте ответы и оцените свою работу.

Критерии оценок:

«5» - выполнил все задания

«4» - 6 – 5  верных ответов

«3» - 4 – 3  верных ответа

«2» - 1 –2 верных ответа

 

Задание 3.   В каждом из приведенных примеров сделаны ошибки. Запишите  верный ответ и причину ошибки.

 

1)           cos x= , х =  ± + 2πк,  к Z Верно:   х =  ± + 2πк, к Z	Ошибка в вычислении значений тригонометрической функции
2)                                       sin x = , x =  + πк, к Z   Верно:  x = (-1)к   + πк, к Z	Ошибка в формуле нахождения решения уравнения sin x =a
3)   cos  = ,  = ±  + 2 πк ;   x = ±  +, к Z Верно:   = ±  + 2 πк ; x = ±  + 6 πк, к Z	Ошибка в выполнении деления
4)  sin 2x =,   x = (–1)narcsin + πn, n Z Верно:  x = arcsin + , n Z	Вычислительная ошибка и ошибка в формуле
5) cos x = ,   x = ±(– ) + 2πm, m Z Верно:    x = ±  + 2πm, m  Z	По определению                   arcсos( –) [0;π]
6) tg x = –1, x = – + 2πn, n Z Верно:  x = – + πn, n Z	В периоде
7) ctg x = ,  x= –  +πm, m Z Верно:   x= +πm, m Z	По определению                   arcctg(–) (0;π)

 

 

Ребята, проверьте ответы и оцените свою работу.

Критерии оценок:

«5» - выполнил все задания

«4» - 6 – 5  верных ответов

«3» - 4 – 3  верных ответа

«2» - 1 –2 верных ответа

 

 

 

Назовите основные методы решения тригонометрических уравнений

 

Ответы учащихся:

•      Введение новой переменной.

•      Разложение на множители.

•      Деление обеих частей уравнения на cos х  для однородных уравнений первой степени.

•      Деление обеих частей уравнения на cos²x  для однородных уравнений второй степени.

•      Метод предварительного преобразования с помощью формул

•      Введение вспомогательного аргумента.

 

Как называются  записанные на доске уравнения? (однородные уравнения второй степени)

Как решить однородное уравнение второй степени? (деление обеих частей уравнения на cos²x) 

Выберете  уравнение  и   самостоятельно решите его.

 

На оценку	1 вариант	2 вариант
«3»   «4»   «5»	5 sin2 х  - 3 sinх  cos х - 2 cos2х =0    5 sin2 х  + 2 sinх  cos х - cos2х =1   1- 4 sin 2x + 6 cos2х  = 0	6 sin2 х  - 5 sinх  cos х + cos2х =0    4 sin2 х  -  2sinх  cos х - 4 cos2х =1   2 sin2 х  -  2sin 2х  +1 =0

 

   Ребята, проверьте свое решение с  ответами.

 

	1 вариант	2 вариант
«3»     «4»     «5»	π/4 + πk;   - arctg 0,4 + πn,   k, n   Z.     π/4 + πk;   - arctg 0,5 + πn,   k, n  Z.     π/4 + πk;    arctg 7 + πn,   k, n   Z.	arctg 1/3+ πk;    arctg 0,5 + πn,   k, n   Z.     -π/4 + πk;   - arctg 5/3 + πn,   k, n   Z.   π/4 + πk;    arctg 1/3 + πn,   k, n   Z.

 

Решить уравнение:

а) 2 sin x+ cos x=2

Решение:

sin x=2 sin cos 

cos x= cos²– sin²

2=2*1=2 *(sin² –cos ² )

Получаем:

4 sin cos + cos ² –sin² =2 sin² +2 cos ²

4 sin  cos + cos ²– sin² 2 sin² –2 cos ²=0

4 sin  cos – cos ²– 3 sin² =0

  Если cos² =0 , то должно выполняться равенство sin² = 0, а синус и косинус одновременно быть равными нулю не могут. Поэтому можно обе части уравнения разделить на cos ²  и получить уравнение, равносильное данному.

3tg ²- 4 tg +1=0

Пусть tg =у, получим квадратное уравнение

3у²- 4у+1=0

D=16-12=4, D>0, уравнение имеет два различных корня

у₁=1; у₂=1/3

 

 

Итак, tg =1                            или       tg =1/3

           = arctg1 +πn, n Z                  = arctg1/3 +πк, к Z 

           = π/4 +πn, n Z                       x= 2arctg1/3 +2πк, к Z 

           x= π/2 +2πn, n Z   

                  

 Ответ:   π/2 +2πn, n Z ,    2arctg1/3 +2πк, к Z 

 

Какие методы были использованы при решении уравнения (тригонометрические тождества, однородное уравнение,  введение новой переменной)  

 

   Решением тригонометрических уравнений новыми способами.

 

б)

 

К какому типу относится данное уравнение? Каким известным вам методом его можно решить? Что можно сказать о степени членов уравнений записанных слева? справа? Чему равна разность показателей степеней?

Уравнения, подобные данному уравнению, решаются умножением одной его части на тригонометрическую единицу , после чего получается однородное уравнение.

Решение:

 

()

Разделим обе части на cos

Пусть  

                                      

Второе уравнение не имеет решений, т.к D < 0.

Итак, tg x = 1

x=

Ответ:

 

в) 4 sin х  - 6 sinх  cos х + 4  cosх + 1 = 0

Решение:

Т.к. (sin x + cos x)² = 1 + 2 sin x  cos x,

то  sinx ·cos x =     , получим

 

                                                                                                        

4 sin х  + 4  cosх -  6   (sin x + cos x)² - 1   + 1 = 0 ,

                                               2

4 sin х  + 4  cosх  -  3  ( (sin x + cos x)² – 1) + 1  = 0 ,

Введем обозначение  t = sin x + cos x, получим

4 t – 3 (t² -1) + 1  = 0

– 3 t²  + 4 t + 4 = 0

3 t²  - 4 t - 4 = 0

 t ₁   =  2, t ₂  = -2/3

 Получаем: 1)  sin х  +  cosх    = 2

                                   

                         уравнение не имеет решений

                    2)   sin х  +   cosх  =  

Выполнив аналогичные преобразования, получаем уравнение вида:

                         

Ответ: 2arctg(3

 

г) Найдите наибольший отрицательный корень уравнения   

Решение:

 

Получаем совокупность:

          откуда

Наибольшим отрицательным корнем из множества m, mявляется число  –

 (при m= –1); из множества ,n число  (при n= – 1); из  множества                     ,  k  число    (при k= – 1). Наибольшее из этих чисел .

Ответ:

Резерв.   На доске написаны уравнения разных типов.  Определите тип  и методы решения уравнений (работа в парах).

 

1)  2sin² x – 7 cos x – 5=0            2)   sin² – xsin x=0                       3)  2sin² x+ cos 4x=0   

4)  2 cos ²3x + sin 3x –1=0          5)  сtg x – √3tg x+1= √3             6) 2sin x-3 cos x=0    

7)  sin x+ sin 3x=4cos ³x             8) cos 2x+ cos x=0                      9) cos x- √3sin x=2     

10) cos ²x + sin x cos x =1        11) 5 sin x+3 sin2x=0                  12) 4 sin² x+2 sin x cos x=3    

13) 2 cos x+ 2sin x=√6             14) 3cos ²x- 4 sin x cos x+ sin² x=2        

15) cos 3x*cos 2x= sin3 x *sin 2x      16) √3 cos x+ sin x=2

 

1)   2sin2 x – 7 cos x – 5=0 4)   2 cos 23x + sin 3x –1=0 5)   сtg x – √3tg x+1= √3	Эти уравнения приводятся к алгебраическим путем введения новой переменной и сведению его к квадратному уравнению.
2)    sin2 x- sin x=0 10)  cos 2x + sin x cos x =1 11)  5 sin x+3 sin2x=0	Данные уравнения решаются разложением на множители. При решении таких уравнений нужно пользоваться правилом: произведение нескольких множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю, а остальные при этом имеют смысл.
6)    2sin x-3 cos x=0 12)  4 sin2 x+2 sin x cos x=3 14)  3cos 2x-4 sin x cos x+ sin2 x=2	Однородные уравнения первой (второй) степени. Они решаются делением обеих частей уравнения на cos x (sin x), cos 2x (sin2 x)
3)   2sin2 x+ cos 4x=0 7)   sin x+ sin 3x=4cos 3x 8)   cos 2x+ cos x=0 15) cos 3x*cos 2x= sin3 x *sin 2x	Данный тип уравнений решается с помощью формул сложения, понижения степеней и разложения произведения тригонометрических функций в сумму.
9)     cos x- √3sin x=2 13)   2 cos x+ 2sin x=√6 16)  √3 cos x+ sin x=2	Уравнения вида  a cosx+ b sinx = c, где a;b;               c  0. Решаются методом введения                            вспомогательного аргумента.

 

 IV.Завершение урока.

1. Подведение итогов урока

Я думаю, что сегодня  у вас сложилось более полное представление о тригонометрических уравнениях и разнообразии способов их решения. И у меня появилась уверенность, что с решением тригонометрических уравнений большинство из вас справится.

Фронтальным опросом вместе с учащимися подводятся итоги урока:

1) Что нового узнали на уроке?

2) Испытывали ли вы затруднения при выполнении самостоятельной работы?

3) Какие из способов решения тригонометрических уравнений  из рассмотренных оказались наиболее трудными?

4) Какие пробелы в знаниях выявились на уроке?

5) Какие проблемы у вас остались по окончании урока?

 

2. Оценивание работы учащихся на  уроке.

Теперь каждый из вас оценит  свою работу на уроке.  Вы  самостоятельно выполнили 4  задания:

1 – находили значения обратных тригонометрических функций;

2 – устанавливали соответствия между   уравнениями и решениями;

3 – решали  простейшие тригонометрические  уравнений

4 – решали однородное тригонометрическое уравнение.

Найдите среднее арифметическое всех выставленных оценок, округлите результат. Полученная оценка будет выставлена  в журнал.

3.Домашнее задание.

Уровень заданий учащиеся выбирают самостоятельно

 Задания легкого уровня сложности.

Решите уравнения:

1)      cos (x/2-π/3)=1/2

2)      2sin² x-5sin x+2=0

3)      (2 tg x/2) / (1- tg ²x/2)=2 cos π/6

4)      cos ⁴x/4- sin⁴ x/4=-1

5)      Сколько корней имеет уравнение sin x+ sin 3x=0 на отрезке [0; π]

 

Задания среднего уровня сложности.

Решите уравнения:

1)      √3cos (x-π/3)=3/2

2)      cos (x+π/4)= cos (2x-π/3)

3)      2sin² x+ 3cos x=3

4)      2sin x+ 3cos x=3

5)      Сколько корней имеет уравнение 2cos x*cos 2x=cos 3x на отрезке [-π/2; 5π/2]

 

Задания усложненного уровня.

1)      Решите уравнение sin x+ cos x=1  двумя различными  способами

2)      Найдите наименьший  корень уравнения   4cos ²x+3 sin x cos x-2sin² x =2

3)Сколько корней имеет уравнение sin x/8 * cos x/8* cos x/4 *cos x/2=1/16                            на отрезке [π/6; 13π/6]

4)Покажите, что уравнение cos 2x- tg² x/3= π/3 не имеет корней.

 

«Мышление начинается с удивления», – заметил 2 500 лет назад Аристотель. Наш соотечественник Сухомлинский считал, что «чувство удивления – могучий источник желания знать; от удивления к знаниям – один шаг». А математика замечательный предмет для удивления. Я надеюсь, что сегодняшний наш урок прошел для вас с пользой. Спасибо всем за урок! До свидания!!!

 

 

 

Материалы  к уроку

Задание 1.

1 вариант		2 вариант
arcsin     arccos  1 arcsin( - ) arcos( ) arctg	Ответы	arccos   arcsin 1 arccos( - )  arcsin ( ) arctg	Ответы

 

Задание 2.

1. sin x = 0                

2. cos x = -1                

3. sin x = 1                  

4. cos x = 1                 

5. tg x = 1                –  

6. sin x = - 1             

7. cos x = 0                

Задание 3.

1)      cos x= , х =  ± + 2πк,  к Z
2)     sin x = ,  x =  + πк, к Z
3)   cos  = ,  = ±  + 2 πк ;   x = ±  +, к Z
4)  sin 2x =,   x = (–1)narcsin + πn, n Z
5) cos x = ,   x = ±(– ) + 2πm, m Z
6) tg x = –1, x = – + 2πn, n Z
7) ctg x = ,  x= –  +πm, m Z

 

 

 

 

Ф.И учащегося                                                                                       Вариант

 

№	Название этапа	Количество верных шагов	Оценка
1	Значений обратных тригонометрических функций
2.	Соответствия  между   уравнениями и их решениями
3.	Простейшие тригонометрические  уравнения
4.	Однородные тригонометрические уравнения
5.	(Резерв) Классификация уравнений

 

1) Что нового узнали на уроке?

2) Испытывали ли вы затруднения при выполнении самостоятельной работы?

3) Какие из способов решения тригонометрических уравнений  из рассмотренных оказались наиболее трудными?

4) Какие пробелы в знаниях выявились на уроке?

5) Какие проблемы у вас остались по окончании урока?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Домашнее задание.

Уровень заданий учащиеся выбирают самостоятельно

 Задания легкого уровня сложности.

Решите уравнения:

6)      cos (x/2-π/3)=1/2

7)      2sin² x-5sin x+2=0

8)      (2 tg x/2) / (1- tg ²x/2)=2 cos π/6

9)      cos ⁴x/4- sin⁴ x/4=-1

10)  Сколько корней имеет уравнение sin x+ sin 3x=0 на отрезке [0; π]

 

Задания среднего уровня сложности.

Решите уравнения:

6)      √3cos (x-π/3)=3/2

7)      cos (x+π/4)= cos (2x-π/3)

8)      2sin² x+ 3cos x=3

9)      2sin x+ 3cos x=3

10)  Сколько корней имеет уравнение 2cos x*cos 2x=cos 3x на отрезке [-π/2; 5π/2]

 

Задания усложненного уровня.

3)      Решите уравнение sin x+ cos x=1  двумя различными  способами

4)      Найдите наименьший  корень уравнения   4cos ²x+3 sin x cos x-2sin² x =2

3)Сколько корней имеет уравнение sin x/8 * cos x/8* cos x/4 *cos x/2=1/16                            на отрезке [π/6; 13π/6]

4)Покажите, что уравнение cos 2x- tg² x/3= π/3 не имеет корней.