Конспект урока «Вписанная окружность»

Конспект урока по геометрии для учащихся 8 класса

средних общеобразовательных учреждений

Тема урока: «Вписанная окружность»

Цель урока:

• образовательная: ввести для учащихся определение вписанной окружности, сформировать представление о свойствах вписанной окружности, теореме и способе ее доказательства; научить учащихся применять данные знания при решении задач;

• развивающая: развитие воображения, памяти, мышления;

• воспитательная: формирование умения работать с коллективом; привитие интереса к предмету; воспитание аккуратности, активности, самостоятельности.

Методы обучения: индуктивно-эвристический, дедуктивно-репродуктивный.

Тип урока: изучение нового материала.

Требования к ЗУН:

учащиеся должны знать:

- определение вписанной окружности;

- формулировку теоремы об окружности, вписанной в треугольник;

- основные свойства вписанных окружностей.

учащиеся должны уметь:

- доказывать теорему об окружности, вписанной в треугольник;

- решать задачи с использованием данной теоремы и основных свойств вписанных окружностей.

Оборудование: иллюстрации вписанных окружностей в быту и природе.

Литература:

1. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Поздняк Э.Г., Юдина И.И. «Геометрия: учебник для 7–9 классов средней школы» М.: Просвещение, 1992.–335 с.

2. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Поздняк Э.Г., Юдина И.И. «Изучение геометрии в 7-9 классах. Методические рекомендации к учебнику» М.: Просвещение, 2000.

3. Саранцев Г.И. «Методика преподавания геометрии в девятилетней школе» Саранск.: МГПИ им. М.Е. Евсевьева, 1992. – 130 с.

План урока:

1. Организационный момент (2 минуты)

2. Актуализация знаний (5 минут)

3. Изучение нового материала (12 минут)

4. Закрепление изученного материала (20 минут)

5. Подведение итогов (2 минуты)

6. Домашнее задание (2 минута)

ХОД УРОКА

1. Организационный момент.

Приветствие учеников, проверка готовности кабинета и учащихся к уроку, проверка отсутствующих.

2. Актуализация знаний.

Учитель: сегодня на уроке мы изучим новую тему, но прежде ответьте мне на следующие вопросы:

Учитель: сформулируйте теорему о биссектрисе угла.

Ученик: каждая точка неразвернутого угла равно удалена от его сторон.

Учитель: теперь сформулируйте обратную теорему.

Ученик: каждая точка, лежащая внутри угла и равноудаленная от сторон угла, лежит на его биссектрисе.

Учитель: верно, сформулируйте свойство биссектрис треугольника.

Ученик: все биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Учитель: хорошо, что такое срединный перпендикуляр к отрезку?

Ученик: срединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину отрезка перпендикулярно к нему.

Учитель: теперь сформулируйте теорему о срединном перпендикуляре к отрезку.

Ученик: каждая точка срединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от его концов.

Учитель: верно, сформулируйте свойство высот треугольника.

Ученик: все высоты треугольника пересекаются в одной точке.

Учитель: верно. Определения, теоремы и свойства, которые мы сейчас вспомнили пригодятся нам сегодня для работы на уроке.

3. Изучение нового материала.

Учитель: посмотрите на данные иллюстрации, которые я держу в руках. Что общего в них можно заметить с точки зрения геометрических фигур?

Учитель показывает учащимся заранее подготовленные им иллюстрации:

Ученик: на всех рисунках окружности находится внутри прямоугольника или треугольника.

Учитель: верно, а теперь откройте свои тетради и запишите число, классную работу и тему урока «Вписанная окружность».

Запись на доске и в тетрадях:

Число.

Классная работа.

Вписанная окружность.

На доске учителем заранее подготовлен чертеж окружности, вписанной в треугольник.

Учитель: Посмотрите на чертеж на доске. Что вы можете сказать о расположении окружности относительно сторон треугольника?

Ученик: каждая из сторон треугольника пересекает окружность в одной точке, т.е. касается ее.

Учитель: Как вы думаете, как называется такая окружность?

Ученик: это вписанная окружность.

Учитель: верно. А теперь откройте учебники на странице 174, найдите определение вписанной окружности и запишите его в тетрадь.

Запись в тетрадях:

Если все стороны многоугольника касаются окружности, то такая окружность называется вписанной в многоугольник. А многоугольника в этом случае называется описанным около окружности.

На доске учителем заранее подготовлены чертежи:

Учитель: Посмотрите на чертежи на доске. Какие окружности являются вписанными, а какие не являются и почему?

Ученик: окружность вписана в пятиугольник и шестиугольник, так как все стороны этих многоугольников касаются соответствующих окружностей, а в треугольник и прямоугольник окружности не вписаны, так как не все их стороны касаются соответствующих окружностей.

Учитель: правильно, а теперь сформулируем и докажем теорему об окружности, вписанной в треугольник.

Учитель: найдите на странице 174 формулировку теоремы, прочтите ее и запишите в тетради.

Запись в тетрадях:

В любой треугольник можно вписать окружность.

Учитель: докажем эту теорему. Сделайте у себя в тетрадях чертеж, изображенный на доске.

На доске учителем заранее подготовлен чертеж.

Учащиеся делают чертеж у себя в тетрадях.

Учитель: нам дан DАВС и окружность с центром в точке О. Докажем, что эта окружность вписана в треугольник DАВС. Запишите в тетрадь, что нам дано и что нужно доказать.

Запись в тетрадях и на доске (учителем):

Дано: DАВС, окружность с центром в точке О.

Доказать: окружность с центром в точке О вписана в треугольник DАВС

Учитель комментирует доказательство, делая записи на доске, учащиеся делают записи в тетради, отвечают на вопросы учителя.

Учитель: приступим к доказательству.

Доказательство

Рассмотрим DАВС. Проведем биссектрисы треугольника, пересекающиеся в точке О. Проведем перпендикуляры ОК, ОL и ОM к сторонам DАВС. Отметим равные отрезки ОК, ОL и ОM. Скажите, почему они равны.

Ученики: потому что ОК, ОL и ОM – радиусы одной и той же окружности.

Учитель: верно, заметим DАMO= DАKO. Почему это будет так, кто объяснит?

Учитель: по гипотенузе и острому углу: AO – общая, ÐМАО=ÐКАО, т.к. АО-биссектриса, ÐАМО=ÐАКО=90°.

Учитель: правильно, а это значит, что OK=OM, аналогично можно доказать, что ОК=OL. Итак, окружность проходит через точки K, L, M, а стороны треугольника касаются окружности в точках K, L, M. Значит, окружность с центром О радиуса ОК является вписанной в DАВС. Мы доказали теорему.

Учитель: а теперь оформите доказательство в тетрадях, при необходимости можете сверяться с доской.

Запись на доске и в тетрадях:

Доказательство.

Рассмотрим DАВС. Проведем ОК, ОL и ОM - перпендикуляры к сторонам DАВС. ОК=ОL=ОM (радиусы вписанной окружности). DАMO=DАKO (AO – общая, ÐМАО=ÐКАО, т.к. АО-биссектриса, ÐАМО=ÐАКО=90°). Следовательно, OK=OM. Аналогично ОК=OL. K, L, M – точки, в которых окружность касается DАВС. Следовательно, окружность с центром О радиуса ОК является вписанной в DАВС.

Учитель: а теперь обратитесь к учебнику, на странице 174-175 свойства вписанных окружностей, запишите их себе в тетрадь.

Запись в тетрадях:

• В треугольник можно вписать только одну окружность.

• Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.

4. Закрепление изученного материала.

Учитель: перейдем к решению задач из учебника. Откройте страницу 177 и найдите № 689.

Ученик выходит к доске, читает формулировку, решает задачу у доски, комментируя свои действия; остальные учащиеся решают на местах, делают записи в своих тетрадях.

Ученик: в равнобедренном треугольнике основание равно 10 см, а боковая сторона равна 13 см. Найдите радиус окружности вписанной в этот треугольник.

Учитель: с чего начнем решение?

Ученик: Рассмотрим треугольники АВК и ОВМ: она подобны по двум углам, а значит их стороны пропорциональны.

Учитель: верно, что можно найти из этого условия?

Ученик: по теореме Пифагора из треугольника ОВМ найдем ВК²=АВ²-АК², ВК²=13²-5², ВК=12.

Учитель: верно, теперь мы можем найти радиус?

Ученик: рассмотрим равенство отношений сторон АВ/ОВ=ВК/ВМ, подставим известные значения сторон 13/(12-r)=12/BM, 5(12-r)=13r, выразим радиус r=3 см.

Запись на доске и в тетрадях

Учитель: следующий номер 690.

Ученик выходит к доске, читает формулировку, решает задачу у доски, комментируя свои действия; остальные учащиеся решают на местах, делают записи в своих тетрадях.

Ученик: найдите основание равнобедренного треугольника, если радиус вписанной в него окружности делит высоту, проведенную к основанию, в отношении 12:5, считая от основания, а боковая сторона равна 60 см.

Учитель: с чего начнем решать?

Ученик: начнем с того, что рассмотрим треугольники АВН и ОВМ: угол В – общий, углы М и Н равны по 90°, следовательно эти треугольники подобны по двум углам.

Учитель: верно. Что это нам дает?

Ученик: учитывая это условие, мы можем составить отношение ВН/ВМ=АН/ОМ=АВ/ОВ.

Учитель: что мы можем выразить из этого отношения?

Ученик: так как, по условию ВО:ОН = 12:5, то можем записать ВМ=12х, ОМ=5х, следовательно 60/12х=АН/5х, отсюда выразим АН=(60*5х)/12х=25(см).

Учитель: хорошо. Теперь как найдем АС?

Ученик: АС=2АН=2*25=50 (см)

Запись на доске и в тетрадях

Учитель: хорошо, следующий номер 691.

Ученик выходит к доске, читает формулировку, решает задачу у доски, комментируя свои действия; остальные учащиеся решают на местах, делают записи в своих тетрадях.

Ученик: точка касания окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит одну из боковых сторон на отрезки, равные 3 см и 4 см, считая от основания. Найдите периметр треугольника.

Учитель: посмотрите внимательно на чертеж и скажите, какое свойство мы можем использовать при решении этой задачи?

Ученик: мы можем использовать свойство касательных отрезков.

Учитель: какие именно отрезки нужно рассмотреть?

Ученик: АК и АЕ – они равны, а значит АК=АЕ=3 см и АС=2АК=6 см

Учитель: Какие стороны еще нужно найти?

Ученик: нужно найти стороны АВ и ВС, но так как они равны, то можно найти только одну сторону, например, АВ. АВ=АЕ+ВЕ=3+4=7 (см).

Учитель: теперь мы можем найти периметр?

Ученик: да, Р_АВС = 2АВ+АС=2*7+6=20 (см)

Запись на доске и в тетрадях

Учитель: это был последний номер. Подведем итоги урока.

5. Подведение итогов.

Учитель: сегодня на уроке вы в целом хорошо поработали; те учащиеся, которые работали у доски, получают соответствующие отметки. Итак, что нового вы узнали сегодня на уроке?

Ученики:

- мы узнали, что такое вписанная окружность;

- еще мы доказали теорему о вписанной окружности;

- научились применять изученные свойства и теорему к решению задач.

6. Домашнее задание.

Учитель: записываем домашнее задание:

Запись в дневниках:

№ 692; №693. П. 74 (стр. 174-175) – выучить определение, теорему и доказательство, свойства вписанных окружностей.

Учитель: на этом урок окончен, можете быть свободны.