Урок по теме «Логарифмические неравенства»

Мишенькина Татьяна Ивановна

учитель математики

I квалификационной категории

МБОУ «Лицей №9 имени АС Пушкина

ЗМР РТ»

Урок в 10 классе по теме «Логарифмические неравенства»

Цели: 
а) образовательные: 
▪ актуализация опорных знаний при решении логарифмических неравенств;

▪обобщение знаний и способов решения;
▪ контроль и самоконтроль знаний.  
б) развивающие: 
▪ развитие умений в применении знаний в конкретной ситуации;
▪  развитие навыков реализации теоретических навыков в практической деятельности;
▪  развитие умения сравнивать, обобщать, правильно формулировать и излагать мысли;
▪  развитие интереса к предмету через содержание учебного материала.
в) воспитательные:
▪ воспитание навыков самоконтроля и взаимоконтроля;
▪ воспитание культуры общения, умения работать в коллективе,  взаимопомощи;
▪ воспитание качеств характера таких как, настойчивость в достижении цели, умение не растеряться в проблемных ситуациях.

Технологии, используемые на уроке: технология дифференцированного и  разно-уровневого  обучения; технология обучения в сотрудничестве, индивидуально-групповая технология.

Оборудование: проектор, доска, карточки с заданиями, оценочные листы.

Задачи: - закрепить умения решать логарифмические неравенства

- рассмотреть типичные трудности, встречающиеся при решении логарифмических неравенств

- познакомиться с методом «рационализации» при решении логарифмических неравенств

Ход урока

У каждого ученика на столе имеется оценочный лист (см. приложение №1).

Актуализация знаний (0-5б)

(самооценка)

Деловая игра

(0-5б)

(оценивает учитель)

Работа по карточкам

(0-4б)

(оценивает партнер по плечу)

Работа с формулами

(0-3б)

(самооценка)

После каждого этапа лист заполняется, что даст возможность оценить работу на уроке, определить задачи на устранение пробелов в знаниях. За правильный ответ ученик вписывает в оценочный лист баллы.

I. Какие ассоциации можно составить с понятием логарифма?

Предполагаемые ответы учеников:

(логарифмические уравнения, логарифмические неравенства, логарифмическая функция и т.д.)

Действительно, мы уже много знаем о логарифмах: умеем сравнивать логарифмы, решать простейшие логарифмические уравнения и неравенства, строить графики логарифмической функции.

Решение логарифмических неравенств имеет много общего с решением показательных неравенств

а) при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, мы также сравниваем основание логарифма с единицей

б) если решаем логарифмическое неравенство с помощью замены переменных, то нужно решать относительно замены до получения простейшего неравенства

Однако, есть очень важное отличие: поскольку логарифмическая функция имеет ограниченную область определения, при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифмов, необходимо учитывать область допустимых значений.

II.Актуализация опорных знаний:

1)Вспомним свойства логарифмической функции (слайд 3)

2)Выполним задания, используя свойства логарифмической функции

Задание 1.Найти область определения функции (слайд 4)

а) у = б) у = в) у =log₅I7x-1I

Задание 2. Сравнить с нулем значения логарифма (слайд 5)

а) lg 7 б) log_0,43 в) ln0,7

Задание 3. Решить неравенство: (слайд 6)

а) log_0,3 x>log_0,3 5 б)log₂х< log₂8 в)log_0,5x<0

С помощью логарифмов можно сравнивать числа (слайд 7)

3) Логарифмическая комедия.

Сейчас я докажу вам, что 2>3.

Начнем с неравенства , бесспорно верного. Затем следует преобразование тоже не вызывающее сомнений, значит , т.е. . Разделим обе части неравенства на , имеем 2>3.

Попробуйте разгадать софизм. (Математическим софизмом называется умышленно ложное умозаключение, которое имеет видимость правильного).

4) Продолжим разгадывать софизмы. Найдите ошибку в решении следующих неравенств.

Деловая игра: ученики выступают в роли экспертов(за правильные ответы награждаются баллами)

Задание 4. Найдите ошибку в решении неравенства: (слайд 8)

1. а)log₈ (5х-10) < log₈(14-х),

5x-10 < 14-x,

6x < 24,

x < 4.

Ответ: (-∞; 4).

Ошибка: не учтена область определения неравенства.

Верное решение:

log₈ (5х-10)< log₈ (14-х) (слайд 9)

2<x <4. Ответ: (2;4).

(слайд 10)

Ошибка: не учтена область определения исходного неравенства.

Верное решение

Ответ: .

3. log_0,5 (3х+1)< log_0,5(2-х) (слайд11)

Ответ:

Итак, подводных камней при решении логарифмических неравенств, встречается много.

На что же мы должны обратить особое внимание при решении логарифмических неравенств? Как вы думаете?

ВНИМАНИЕ! (слайд 12)

1. ОДЗ исходного неравенства. 2.Основание логарифма.

В завершении работы ученики заполняют оценочный лист.

III.Работа по карточкам (см. приложение 2)

Решить неравенство в тетради, записать ответ в таблицу (столбик 2),записать формулу, которую использовали при решении неравенства (столбик 3).

Решить неравенство

ответ

Какие формулы использовали

1.lg(x-2) + lg (27 – x) < 2

2.log₃ (x+2)(x+4) + log_1/3 (x+2) < 0,5 log_√3 7

3.log₄ x² < log₂ (4 – x) + log₂ (3 - x)

x+3

4.log_x ------ > 1

x-1

Проверить с партнером по плечу, затем правильные ответы выписать на доске, обсудить формулы

log_a(xy) = log_aIxI + log_aIyI

log_a(x/y) = log_aIxI - log_aIyI

log_ax² = 2log_aIxI

IV.При решении неравенства №4 возникает вопрос: как решить? Учитывая свойства логарифмической функции, нужно рассмотреть 2 случая:

1) основание логарифма 0 < а < 1 2) основание логарифма а> 1.

Есть метод, который облегчает решение неравенства. Назовем его метод «рационализации».

Он основан на следующем факте: знак разности log_a f(x) – log_a g(x) совпадает со знаком произведения(а – 1)(f (x) –g(x)) на ОДЗ, т.е.

log_a f(x) > log_a g(x) <=> f(x) >0 ,g(x)>0 , (а – 1)(f (x) –g(x))>0.

(это утверждение легко доказывается, попробуйте самостоятельно).

Решить неравенство №5 этим методом

№5.log_1/4(3x+8)<log_1/4(x+2)

(задание разбирается на доске учителем)

Рассмотрим теперь неравенство log_h(x) f(x)> log_h(x) g(x)>0, a> 0,a ≠1  и найдем соответствующие ему условия равносильности. 
ОДЗ этого неравенства: f (x) > 0, g(x)>0, имеем (h(x) – 1)(f(x) - g(x)) > 0

Далее неравенство №4(из карточки) – ученики решают самостоятельно, командиры групп оценивают.

№6. (lg(3x²-3x+7) – lg(6+x-x²))/(10x-7)(10x-3) ≥ 0

(задание разбирается на доске учителем)

Итак, при решении логарифмических неравенств можно использовать равносильные переходы на области допустимых значений переменных.

V. Практикум по решению неравенств.

(предлагается задание для работы в группах с обсуждением, проверкой на доске)

№7.(log_0,5(x+1))/(x-4)<0

№8.(log₂(x-3))/(x²-25)>0

№9.log_2x(x²-5x+6)<1

№10.log_3x+5(9x²+8x+8)>2

№11.log_x-3(2(x²-10x+24))≥log_x-3(x²-9)

VI. Домашнее задание: подобрать и решить 5 неравенств на применение нового метода

VII. Рефлексия.

- что нового узнали на уроке

- где будем применять

- какие трудности испытывали

VIII. Подведение итога урока. Подсчет баллов, сдать оценочные листы.