Ведущей
линией учебника А.Г.Мордковича (издательство
«Мнемозина») является функционально-графическая линия. Иррациональные
уравнения изучаются в 8 классе на очень примитивном уровне.
При
этом иррациональные уравнения изучаются до введения
иррациональных чисел, что, по-моему мнению, не совсем удобно.
В учебнике и задачнике для 10 – 11 классов содержится глава,
посвященная методам решения уравнений. Отдельной темы, содержащей изучение только
иррациональные уравнения нет.
А решение иррациональных уравнений зачастую вызывает затруднения, так как требуют
хорошего знания теоретического материала, умения проводить исследования
различных ситуаций.
У
многих учеников единственным устойчивым знанием является применение метода
возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Для некоторых этот
метод является единственным.
При
этом иногда ученики забывают делать проверку найденных корней после возведения
частей уравнения в чётную степень корня.
Все
высвеченные проблемы подвели меня к мысли, что необходимо уделить больше
внимания вопросу изучения иррациональных уравнений и рассмотреть более глубоко
этот материал на уроках математики.
Урок
в 11 классе по теме:
«Некоторые
способы решения иррациональных уравнений»
Цитата
урока: (выписана на доске)
«Знание только тогда – знание, когда оно
добыто усилием собственной мысли, а не памятью» - слова Л.Н. Толстого.
Цель:
·
обобщение знаний учеников по данной теме;
·
демонстрация различных методов решения
иррациональных уравнений;
·
показ возможности решения иррациональных уравнений
на основе исследования;
·
формирование навыка самообразования, самоорганизации,
умения анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы;
·
воспитание самостоятельности, умения выслушивать
других и умения общаться в группе;
·
повышение интереса к предмету.
Форма проведения: семинарское занятие.
Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор.
Ход
занятия:
Учитель:
Сегодня мы
поговорим об иррациональных уравнениях.
На доске
приведены примеры уравнений иррациональных и не являющихся иррациональными.
1)
Назовите те уравнения, которые являются
иррациональными.
Дайте определения
иррационального уравнения.
Ответы
учеников.(иррациональными являются уравнения 1), 3),
4), 6). Определение иррационального уравнения:
Иррациональным
называют уравнение, в котором переменная содержится под знаком радикала или под
знаком возведения в дробную степень.)
I. Учитель:
На предыдущих
уроках мы рассматривали решение иррациональных уравнений методом возведения
обеих частей уравнения в степень корня (в основном в квадрат). При возведении
частей уравнения в чётную степень мы получаем уравнение-следствие, решение
которого приводит иногда к появлению посторонних корней. И тогда обязательной
частью решения уравнения является проверка корней или нахождение области
определения уравнения.
Однако при решении
иррациональных уравнений не всегда следует сразу приступать к «слепому» применению
известного алгоритма решения.
В заданиях Единого
государственного экзамена имеется довольно много уравнений, при решении которых
необходимо выбрать такой способ решения, который позволяет решить уравнения
проще, быстрее. Поэтому необходимо знать и другие методы решения иррациональных
уравнений, с некоторыми из них мы сегодня познакомимся.
При подготовке к уроку
некоторые ученики получили листы-рекомендации, в которых рассматриваются
основные приёмы решения иррациональных уравнений. Ребята ознакомились с
предложенными решениями и подобрали свои уравнения, решить которые предстоит нам
на уроке.
II.Выступление учеников
1 ученик.
Решение иррационального уравнения
методом возведения обеих частей уравнения в степень корня.
х + = 3х – 7
Решим данное
уравнение традиционным способом – методом возведения обеих частей в квадрат.
Слагаемое, содержащее квадратный корень оставим в левой части уравнения, а х
перенесём в правую часть.
= 2х – 7
Возведём обе части
уравнения в квадрат:
=
Получаем:
х + 4 = 4 – 28х + 49
Перенесём все члены уравнения в одну часть,
получаем квадратное уравнение
4 – 29х + 45 = 0
Корни этого уравнения х = 5 и х = 2,25
Решая это
уравнение мы возводили обе части уравнения в квадрат. При
возведении обеих частей уравнения в любую четную степень получается уравнение,
являющееся не равносильное данному, а являющееся
следствием исходного, следовательно, при этом возможно
появление посторонних корней. Поэтому необходимым условием
решения является проверка корней.
Если х = 5, то = 10 - 7
3 = 3 – верно
х = 5 – корень
уравнения
Если х = 2,25, то = 4,5 - 7
2,5 = - 2,5 –
неверно
х = 2,25
посторонний корень
Ответ: х = 5
Предлагаю решить в
классе уравнение:
2 ученик.
Решение уравнения методом исследования области определения уравнения.
Пусть дано уравнение: - = –
Возведение обеих частей в квадрат приведёт нас
к громоздким вычислениям и трате времени на экзамене.
Воспользуемся методом исследования области
допустимых значений заданного уравнения.
Область допустимых значений данного уравнения
определяется системой неравенств <=> <=> х=2
Данное
уравнение определено только при х = 2.
Проверим,
является ли число 2 корнем уравнения:
- = –
5 = 5 –
верно.
Ответ: х = 2.
Попробуйте решить уравнение: = х - 2
3 ученик. Использование свойства монотонности
функции.
Я хочу рассказать
об уравнениях, решение которых основывается на свойстве монотонности
функций. Существуют теоремы:
Теорема 1. Пусть уравнение имеет
вид: f(x) = с, где f(x) –монотонно возрастающая (убывающая) функция,
а с – число, входящее область значений функции f(x), тогда уравнение f(x) = с имеет единственный корень.
Теорема 2. Пусть
уравнение имеет вид f(x)= g(x), где
функции f(x) и g(x) «встречно монотонны», т.е. f(x) возрастает, а g(x)
убывает или наоборот, то такое уравнение имеет не более одного корня.
Если удается заметить эти свойства функций в
уравнении или привести уравнение к таким видам, и при этом нетрудно угадать
корень уравнения, то он и будет единственным решением данного уравнения.
Пример для изучения
Пусть дано уравнение: + = 6
ОДЗ уравнения: х+60; х
Функции = и = являются возрастающими на промежутке [- 6; , поэтому функция у = + так же является возрастающей на этом промежутке, и следовательно
принимает любое значение, в том числе и 6, только один раз. Значит, уравнение
имеет единственный корень.
Найдём этот корень подбором.
х = 2.
Проверкой убеждаемся, что число 2 является
корнем данного уравнения.
Ответ: х = 2.
Я предлагаю решить на уроке уравнение:
+ = 9 –
Это уравнение
можно попытаться решить возведением обеих частей в квадрат (трижды!). Однако
при этом получится уравнение четвертой степени.
Попробуйте использовать свойства монотонности
функций, входящих в уравнение.
Ответ: х = 1
4 ученик Метод введения новой
перменной.
Удобным средством
решения иррациональных уравнений иногда является метод введения новой
переменной, или «метод замены». Метод обычно применяется в случае, если в
уравнении неоднократно встречается некоторое выражение, зависящее от
неизвестной величины. Тогда имеет смысл обозначить это выражение какой-нибудь
новой буквой и попытаться решить уравнение сначала относительно введенной
неизвестной, а потом уже найти исходную неизвестную.
Пример для изучения:
Дано уравнение: + =
ОДЗ уравнения: х х
Пусть , тогда
Получаем
уравнение t + =
= = 2
Тогда
или
Возведём обе части
уравнения в 5-ю степень. При возведении обеих частей уравнения в нечётную
степень получаем уравнение, равносильное данному, следовательно, не требуется
проверка найденных корней. Получаем
; х = ; х = 2
Ответ: х = ; х = 2
В классе я предлагаю решить уравнение:
5 ученик Метод оценки частей уравнения.
Рассмотрим уравнение: + = 14х -
Запишем уравнение в виде + = -( +49)
+ = -
Так как левая часть данного уравнения
неотрицательная, а
правая - неположительная при любых допустимых
значениях x ,
то равенство возможно только в том случае,
когда они обе части уравнения
равны нулю. Легко убедиться, что это возможно
только при х = 7.
Для решения в классе предлагаю уравнение:
+ = 0
III. Работа учеников в группах.
После
прослушивания выступающих начинается работа учеников в группах по решению
предложенных уравнений.
Учитель
контролирует работу групп, даёт консультации.
IV . Домашнее задание № 1712 – 1719 (а) стр 253 задачника
V/ Итог урока:
рефлексия
Вопросы рефлексии:
Как
вы считаете, насколько полезным было проведенное занятие?
Получены
ли новые знания и умения?
Кратко
опишите, какие моменты занятия вам особенно запомнились.
Каких
моментов занятия вам хотелось бы избежать?
Какие
трудности вы испытали при изучении материала, при ответе на вопросы, в
ходе решения заданий? Сумели ли вы их преодолеть? Если да, то как?
Опишите
свои впечатления от проведенного занятия. Хотели бы вы в будущем принимать
участие в таких занятиях?
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.