Инфоурок Алгебра КонспектыУрок математики в 11 классе по теме «Некоторые способы решения иррациональных уравнений»

Урок математики в 11 классе по теме «Некоторые способы решения иррациональных уравнений»

Скачать материал

 

Ведущей          линией      учебника     А.Г.Мордковича    (издательство «Мнемозина»)   является   функционально-графическая   линия.  Иррациональные уравнения изучаются в 8 классе на очень примитивном уровне.

 При этом иррациональные уравнения изучаются до введения иррациональных чисел, что, по-моему мнению, не совсем удобно.

В учебнике и задачнике для 10 – 11 классов содержится глава, посвященная методам решения уравнений. Отдельной темы, содержащей изучение только иррациональные уравнения нет.

А решение иррациональных уравнений зачастую вызывает затруднения, так как  требуют хорошего знания теоретического материала, умения проводить исследования различных ситуаций.

У многих учеников единственным устойчивым знанием является применение метода возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Для некоторых этот метод является единственным.

При этом иногда ученики забывают делать проверку найденных корней после возведения частей уравнения в чётную степень корня.

Все высвеченные проблемы подвели меня к мысли, что необходимо уделить больше внимания вопросу изучения иррациональных уравнений и рассмотреть более глубоко этот материал на уроках математики.

Урок в 11 классе по теме:

«Некоторые способы решения иррациональных уравнений»

 

Цитата урока: (выписана на доске)

 

«Знание только тогда – знание, когда оно добыто усилием собственной мысли, а не памятью» - слова Л.Н. Толстого.

 

Цель:

·         обобщение знаний учеников по данной теме;

·          демонстрация различных методов решения иррациональных уравнений;

·         показ возможности решения  иррациональных уравнений на основе исследования;

·         формирование навыка самообразования, самоорганизации, умения анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы;

·         воспитание самостоятельности, умения выслушивать других и умения общаться в группе;

·         повышение интереса к предмету.

 

Форма проведения: семинарское занятие.

 

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор.

 

Ход занятия:

Учитель:

Сегодня мы поговорим об иррациональных уравнениях.

На доске приведены примеры уравнений иррациональных и не являющихся иррациональными. 

 

1)

 


 

Назовите те уравнения, которые являются иррациональными.

Дайте определения иррационального уравнения.

Ответы учеников.(иррациональными являются  уравнения 1), 3), 4), 6). Определение иррационального уравнения:

Иррациональным называют уравнение, в котором переменная содержится под знаком радикала или под знаком возведения в дробную степень.)

  I. Учитель:

На предыдущих уроках  мы рассматривали решение иррациональных уравнений методом возведения обеих частей уравнения в степень корня (в основном в квадрат). При возведении частей уравнения в чётную степень  мы получаем уравнение-следствие, решение которого приводит иногда к появлению посторонних корней. И тогда обязательной частью решения уравнения является проверка корней или нахождение области определения уравнения.

Однако при решении иррациональных  уравнений не всегда следует сразу приступать к «слепому» применению известного алгоритма решения.

В заданиях Единого государственного экзамена имеется довольно много уравнений, при решении которых необходимо выбрать такой способ решения, который позволяет решить уравнения проще, быстрее. Поэтому необходимо знать и другие методы решения иррациональных уравнений, с некоторыми из них  мы сегодня  познакомимся. 

При подготовке к уроку некоторые ученики получили листы-рекомендации, в которых рассматриваются основные приёмы решения иррациональных уравнений. Ребята ознакомились с предложенными решениями и подобрали свои уравнения, решить которые предстоит нам на уроке.

 

II.Выступление учеников

 

1 ученик.

 Решение иррационального уравнения методом возведения обеих частей уравнения  в степень корня.

    х +  = 3х – 7

Решим данное уравнение традиционным способом – методом возведения обеих частей в квадрат. Слагаемое, содержащее квадратный корень оставим в левой части уравнения, а х перенесём в правую часть.

 = 2х – 7

Возведём обе части уравнения в квадрат:

 =

Получаем:

х + 4  = 4 – 28х + 49

Перенесём все члены уравнения в одну часть, получаем квадратное уравнение

4 – 29х + 45 = 0

Корни этого уравнения х = 5   и х = 2,25

Решая это уравнение мы возводили обе части уравнения в квадрат. При возведении обеих частей уравнения в любую четную степень получается уравнение, являющееся не равносильное данному, а являющееся следствием исходного, следовательно, при этом возможно появление посторонних корней. Поэтому необходимым условием решения является проверка корней.

Если х = 5, то  = 10 - 7

3 = 3 – верно

х = 5 – корень уравнения

Если х = 2,25, то  = 4,5 - 7

2,5 = - 2,5 – неверно

х = 2,25 посторонний корень

Ответ: х = 5

Предлагаю решить в классе уравнение:    image408

 

2 ученик. Решение уравнения методом исследования области определения уравнения.

 

   Пусть дано уравнение:   -    =  –

Возведение обеих частей в квадрат приведёт нас к громоздким вычислениям и трате времени на экзамене.

Воспользуемся методом исследования области допустимых значений заданного уравнения.

Область допустимых значений данного уравнения определяется системой неравенств      <=>   <=> х=2

  

 

 

 

 

Данное уравнение определено только при х = 2.

Проверим, является ли число 2 корнем уравнения:

 -  =  –

5 = 5 – верно.

Ответ: х = 2.

 

 Попробуйте решить уравнение:         = х - 2

 

    3 ученик.   Использование свойства монотонности функции.

Я хочу рассказать об уравнениях, решение которых   основывается на  свойстве монотонности функций. Существуют теоремы:

 

     Теорема 1. Пусть уравнение имеет вид:   f(x) = с, где f(x) –монотонно  возрастающая (убывающая) функция, а с – число, входящее область значений функции f(x), тогда уравнение f(x) = с имеет единственный корень.

 

Теорема 2. Пусть уравнение имеет вид  f(x)= g(x),  где функции f(x) и g(x)    «встречно монотонны», т.е. f(x)  возрастает, а g(x)  убывает или наоборот, то такое уравнение имеет не более одного корня.

 

  Если удается заметить эти свойства функций в уравнении или привести уравнение к таким видам, и при этом нетрудно угадать корень уравнения, то он и будет единственным решением данного уравнения.

    Пример для изучения

Пусть  дано  уравнение:       + = 6

  ОДЗ уравнения:  х+60;  х

Функции   =     и  =  являются возрастающими на промежутке [- 6; , поэтому функция у =  + так же является возрастающей на этом промежутке, и следовательно принимает любое значение, в том числе и 6, только один раз. Значит, уравнение имеет единственный корень.

Найдём этот корень подбором.

 х = 2.

Проверкой убеждаемся, что число 2 является корнем данного уравнения.

 

Ответ: х = 2.

   

 Я предлагаю решить на уроке уравнение:

 + = 9 –

    

Это уравнение можно попытаться решить возведением обеих частей в квадрат (трижды!). Однако при этом получится уравнение четвертой степени.

Попробуйте использовать свойства монотонности функций, входящих в уравнение.

Ответ: х = 1

4 ученик Метод введения новой перменной. 

 

Удобным средством решения иррациональных уравнений иногда является метод введения новой переменной, или «метод замены». Метод обычно применяется в случае, если в уравнении неоднократно встречается некоторое выражение, зависящее от неизвестной величины. Тогда имеет смысл обозначить это выражение какой-нибудь новой буквой и попытаться решить уравнение сначала относительно введенной неизвестной, а потом уже найти исходную неизвестную.

Пример для изучения:

Дано уравнение:        +  =

ОДЗ уравнения: х   х

Пусть ,     тогда     

Получаем уравнение t +  =  

 

 =        = 2

Тогда 

               или      

 

Возведём обе части уравнения в 5-ю степень. При возведении обеих частей уравнения в нечётную степень получаем уравнение, равносильное данному, следовательно, не требуется проверка найденных корней. Получаем

;  х =                      ;    х = 2

 

Ответ: х =  ;    х = 2

 В классе я предлагаю решить уравнение:  

5 ученик Метод оценки частей уравнения.

Рассмотрим уравнение: + = 14х -  

 

Запишем уравнение в виде    +  = -( +49)

 

 +  = -

 

Так как левая часть данного уравнения неотрицательная, а

правая - неположительная при любых допустимых значениях x ,

то равенство возможно только в том случае, когда они обе части уравнения

равны нулю. Легко убедиться, что это возможно только при х = 7.

 

Для решения в классе предлагаю уравнение:  

 +  = 0

 

III. Работа учеников в группах.

После прослушивания выступающих начинается работа учеников в группах  по решению предложенных уравнений.

Учитель контролирует работу групп, даёт консультации.

IV . Домашнее задание  № 1712 – 1719 (а) стр 253 задачника

 

V/  Итог урока: 

    рефлексия

Вопросы рефлексии:

Как вы считаете, насколько полезным было проведенное занятие?

Получены ли новые знания и умения?

Кратко опишите, какие моменты занятия вам особенно запомнились.

Каких моментов занятия вам хотелось бы избежать?

Какие трудности вы испытали при изучении материала, при ответе на вопросы, в ходе решения заданий? Сумели ли вы их преодолеть? Если да, то как?

Опишите свои впечатления от проведенного занятия. Хотели бы вы в будущем принимать участие в таких занятиях?

 

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Урок математики в 11 классе по теме «Некоторые способы решения иррациональных уравнений»" Смотреть ещё 4 926 курсов

Методические разработки к Вашему уроку:

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Краткое описание документа:

Решение иррациональных уравнений зачастую вызывает затруднения, так как требуют хорошего знания теоретического материала, умения проводить исследования различных ситуаций. У многих учеников единственным устойчивым знанием является применение метода возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Для некоторых этот метод является единственным. При этом иногда ученики забывают делать проверку найденных корней после возведения частей уравнения в чётную степень корня или находить область определения уравнения. Все высвеченные проблемы подвели меня к мысли, что необходимо уделить больше внимания вопросу изучения иррациональных уравнений и рассмотреть более глубоко этот материал на уроках математики. Привожу в качестве примера урок-семинар. На уроке рассматриваем различные способы решения иррациональных уравнения.

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 851 345 материалов в базе

Скачать материал

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 21.10.2012 8157
    • DOCX 49 кбайт
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Гусева Елена Витальевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    Гусева  Елена Витальевна
    Гусева Елена Витальевна
    • На сайте: 11 лет и 6 месяцев
    • Подписчики: 0
    • Всего просмотров: 8583
    • Всего материалов: 1

Оформите подписку «Инфоурок премиум»

Вы сможете бесплатно проходить любые из 4926 курсов в нашем каталоге.

Перейти в каталог курсов

Мини-курс

Анализ конкурентной среды и формирование стратегии обеспечения конкурентоспособности организации

3 ч.

699 руб. 399 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Эволюция педагогической мысли от античности до эпохи Просвещения

4 ч.

699 руб. 399 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Контент-маркетинг: стратегии и инструменты

5 ч.

699 руб. 399 руб.
Подать заявку О курсе
Смотреть ещё 4 926 курсов