Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Урок математики в 11 классе по теме «Некоторые способы решения иррациональных уравнений»
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Урок математики в 11 классе по теме «Некоторые способы решения иррациональных уравнений»

библиотека
материалов

hello_html_m49a878ab.gif

Ведущей линией учебника А.Г.Мордковича (издательство «Мнемозина») является функционально-графическая линия. Иррациональные уравнения изучаются в 8 классе на очень примитивном уровне.

При этом иррациональные уравнения изучаются до введения иррациональных чисел, что, по-моему мнению, не совсем удобно.

В учебнике и задачнике для 10 – 11 классов содержится глава, посвященная методам решения уравнений. Отдельной темы, содержащей изучение только иррациональные уравнения нет.

А решение иррациональных уравнений зачастую вызывает затруднения, так как требуют хорошего знания теоретического материала, умения проводить исследования различных ситуаций.

У многих учеников единственным устойчивым знанием является применение метода возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Для некоторых этот метод является единственным.

При этом иногда ученики забывают делать проверку найденных корней после возведения частей уравнения в чётную степень корня.

Все высвеченные проблемы подвели меня к мысли, что необходимо уделить больше внимания вопросу изучения иррациональных уравнений и рассмотреть более глубоко этот материал на уроках математики.

Урок в 11 классе по теме:

«Некоторые способы решения иррациональных уравнений»


Цитата урока: (выписана на доске)


«Знание только тогда – знание, когда оно добыто усилием собственной мысли, а не памятью» - слова Л.Н. Толстого.

Цель:

  • обобщение знаний учеников по данной теме;

  • демонстрация различных методов решения иррациональных уравнений;

  • показ возможности решения иррациональных уравнений на основе исследования;

  • формирование навыка самообразования, самоорганизации, умения анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы;

  • воспитание самостоятельности, умения выслушивать других и умения общаться в группе;

  • повышение интереса к предмету.


Форма проведения: семинарское занятие.


Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор.


Ход занятия:

Учитель:

Сегодня мы поговорим об иррациональных уравнениях.

На доске приведены примеры уравнений иррациональных и не являющихся иррациональными.


hello_html_m2fc46958.gifhello_html_7ab2f20b.gifhello_html_m9b934c9.gif1) hello_html_m2c35e609.png

hello_html_1d94f0d7.gifhello_html_m610eda25.gif

Назовите те уравнения, которые являются иррациональными.

Дайте определения иррационального уравнения.

Ответы учеников.(иррациональными являются уравнения 1), 3), 4), 6). Определение иррационального уравнения:

Иррациональным называют уравнение, в котором переменная содержится под знаком радикала или под знаком возведения в дробную степень.)

I. Учитель:

На предыдущих уроках мы рассматривали решение иррациональных уравнений методом возведения обеих частей уравнения в степень корня (в основном в квадрат). При возведении частей уравнения в чётную степень мы получаем уравнение-следствие, решение которого приводит иногда к появлению посторонних корней. И тогда обязательной частью решения уравнения является проверка корней или нахождение области определения уравнения.

Однако при решении иррациональных уравнений не всегда следует сразу приступать к «слепому» применению известного алгоритма решения.

В заданиях Единого государственного экзамена имеется довольно много уравнений, при решении которых необходимо выбрать такой способ решения, который позволяет решить уравнения проще, быстрее. Поэтому необходимо знать и другие методы решения иррациональных уравнений, с некоторыми из них мы сегодня познакомимся.

При подготовке к уроку некоторые ученики получили листы-рекомендации, в которых рассматриваются основные приёмы решения иррациональных уравнений. Ребята ознакомились с предложенными решениями и подобрали свои уравнения, решить которые предстоит нам на уроке.


II.Выступление учеников


1 ученик.

Решение иррационального уравнения методом возведения обеих частей уравнения в степень корня.

х + hello_html_m7c2db748.gif = 3х – 7

Решим данное уравнение традиционным способом – методом возведения обеих частей в квадрат. Слагаемое, содержащее квадратный корень оставим в левой части уравнения, а х перенесём в правую часть.

hello_html_m7c2db748.gif = 2х – 7

Возведём обе части уравнения в квадрат:

hello_html_3bad2342.gif = hello_html_m7649555e.gif

Получаем:

х + 4 = 4hello_html_b0f6fad.gif – 28х + 49

Перенесём все члены уравнения в одну часть, получаем квадратное уравнение

4hello_html_b0f6fad.gif – 29х + 45 = 0

Корни этого уравнения х = 5 и х = 2,25

Решая это уравнение мы возводили обе части уравнения в квадрат. При возведении обеих частей уравнения в любую четную степень получается уравнение, являющееся не равносильное данному, а являющееся следствием исходного, следовательно, при этом возможно появление посторонних корней. Поэтому необходимым условием решения является проверка корней.

Если х = 5, то hello_html_2e9e89f0.gif = 10 - 7

3 = 3 – верно

х = 5 – корень уравнения

Если х = 2,25, то hello_html_67f2aeef.gif = 4,5 - 7

2,5 = - 2,5 – неверно

х = 2,25 посторонний корень

Ответ: х = 5

Предлагаю решить в классе уравнение: image408


2 ученик. Решение уравнения методом исследования области определения уравнения.


Пусть дано уравнение: hello_html_4341461d.gif - hello_html_5e2efec9.gif = hello_html_3071f594.gifhello_html_m259f060f.gif

Возведение обеих частей в квадрат приведёт нас к громоздким вычислениям и трате времени на экзамене.

Воспользуемся методом исследования области допустимых значений заданного уравнения.

Область допустимых значений данного уравнения определяется системой неравенствhello_html_m1a1ba6be.gif <=> hello_html_m4d024860.gif <=> х=2

hello_html_md6020de.gif

hello_html_5f98001.gif

2

х






Данное уравнение определено только при х = 2.

Проверим, является ли число 2 корнем уравнения:

hello_html_m2d18f715.gif - hello_html_m3e7a4256.gif = hello_html_m29fae517.gifhello_html_m3e7a4256.gif

5 = 5 – верно.

Ответ: х = 2.


Попробуйте решить уравнение: hello_html_3ded7809.gif= х - 2


3 ученик. Использование свойства монотонности функции.

Я хочу рассказать об уравнениях, решение которых основывается на свойстве монотонности функций. Существуют теоремы:


Теорема 1. Пусть уравнение имеет вид: f(x) = с, где f(x) –монотонно возрастающая (убывающая) функция, а с – число, входящее область значений функции f(x), тогда уравнение f(x) = с имеет единственный корень.


Теорема 2. Пусть уравнение имеет вид f(x)= g(x), где функции f(x) и g(x) «встречно монотонны», т.е. f(x) возрастает, а g(x) убывает или наоборот, то такое уравнение имеет не более одного корня.


Если удается заметить эти свойства функций в уравнении или привести уравнение к таким видам, и при этом нетрудно угадать корень уравнения, то он и будет единственным решением данного уравнения.

Пример для изучения

Пусть дано уравнение: hello_html_12fc0b45.gif +hello_html_52dcd8ca.gif = 6

ОДЗ уравнения: х+6hello_html_m30bfbdb1.gif0; хhello_html_md9f83a9.gif

Функции hello_html_m3e89983f.gif = hello_html_12fc0b45.gif и hello_html_2ef4dd98.gif = hello_html_52dcd8ca.gif являются возрастающими на промежутке [- 6; hello_html_m7ea8694.gif, поэтому функция у = hello_html_12fc0b45.gif +hello_html_52dcd8ca.gif так же является возрастающей на этом промежутке, и следовательно принимает любое значение, в том числе и 6, только один раз. Значит, уравнение имеет единственный корень.

Найдём этот корень подбором.

х = 2.

Проверкой убеждаемся, что число 2 является корнем данного уравнения.


Ответ: х = 2.

Я предлагаю решить на уроке уравнение:

hello_html_22374bcf.gif +hello_html_614b878b.gif = 9 – hello_html_248418ab.gif

Это уравнение можно попытаться решить возведением обеих частей в квадрат (трижды!). Однако при этом получится уравнение четвертой степени.

Попробуйте использовать свойства монотонности функций, входящих в уравнение.

Ответ: х = 1

4 ученик Метод введения новой перменной.


Удобным средством решения иррациональных уравнений иногда является метод введения новой переменной, или «метод замены». Метод обычно применяется в случае, если в уравнении неоднократно встречается некоторое выражение, зависящее от неизвестной величины. Тогда имеет смысл обозначить это выражение какой-нибудь новой буквой и попытаться решить уравнение сначала относительно введенной неизвестной, а потом уже найти исходную неизвестную.

Пример для изучения:

Дано уравнение: hello_html_414494cc.gif + hello_html_m2c6210e8.gif = hello_html_m11fa625d.gif

ОДЗ уравнения: х hello_html_m3de78483.gif х hello_html_16fdee67.gif

Пусть hello_html_m37bbaa15.gif, тогда hello_html_51fc522c.gifhello_html_m39ccf500.gif

Получаем уравнение t + hello_html_m39ccf500.gif = hello_html_m11fa625d.gif

hello_html_m29a5b84a.gif


hello_html_624bdf4b.gif

hello_html_48eebe89.gif = hello_html_6eec8aff.gifhello_html_34735f1f.gif = 2

Тогда

hello_html_m29d922da.gif или hello_html_m7cd46549.gif

Возведём обе части уравнения в 5-ю степень. При возведении обеих частей уравнения в нечётную степень получаем уравнение, равносильное данному, следовательно, не требуется проверка найденных корней. Получаем

hello_html_36986989.gif; х = hello_html_4b7230cf.gifhello_html_426bdab6.gif; х = 2


Ответ: х = hello_html_4b7230cf.gif ; х = 2

В классе я предлагаю решить уравнение: hello_html_m27efd5f6.png

5 ученик Метод оценки частей уравнения.

Рассмотрим уравнение:hello_html_m5cc91f30.gif +hello_html_m2c10ccd9.gif = 14х - hello_html_b0f6fad.gif

Запишем уравнение в виде hello_html_m74af141.gif + hello_html_m2c10ccd9.gif = -(hello_html_70cf01e.gif +49)

hello_html_m74af141.gif + hello_html_m2c10ccd9.gif = - hello_html_2a4f9425.gif


Так как левая часть данного уравнения неотрицательная, а

правая - неположительная при любых допустимых значениях x ,

то равенство возможно только в том случае, когда они обе части уравнения

равны нулю. Легко убедиться, что это возможно только при х = 7.


Для решения в классе предлагаю уравнение: hello_html_34a9f794.gif

hello_html_m2c958fcd.gif + hello_html_m6043c966.gif = 0


III. Работа учеников в группах.

После прослушивания выступающих начинается работа учеников в группах по решению предложенных уравнений.

Учитель контролирует работу групп, даёт консультации.

IV . Домашнее задание № 1712 – 1719 (а) стр 253 задачника


V/ Итог урока:

рефлексия

Вопросы рефлексии:

Как вы считаете, насколько полезным было проведенное занятие?

Получены ли новые знания и умения?

Кратко опишите, какие моменты занятия вам особенно запомнились.

Каких моментов занятия вам хотелось бы избежать?

Какие трудности вы испытали при изучении материала, при ответе на вопросы, в ходе решения заданий? Сумели ли вы их преодолеть? Если да, то как?

Опишите свои впечатления от проведенного занятия. Хотели бы вы в будущем принимать участие в таких занятиях?


Краткое описание документа:

Решение иррациональных уравнений зачастую вызывает затруднения, так как требуют хорошего знания теоретического материала, умения проводить исследования различных ситуаций. У многих учеников единственным устойчивым знанием является применение метода возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Для некоторых этот метод является единственным. При этом иногда ученики забывают делать проверку найденных корней после возведения частей уравнения в чётную степень корня или находить область определения уравнения. Все высвеченные проблемы подвели меня к мысли, что необходимо уделить больше внимания вопросу изучения иррациональных уравнений и рассмотреть более глубоко этот материал на уроках математики. Привожу в качестве примера урок-семинар. На уроке рассматриваем различные способы решения иррациональных уравнения.
Автор
Дата добавления 21.10.2012
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров5828
Номер материала 890102136
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх