Дисциплина:
Математика
Тема:
«Применение производной к решению задач»
Три пути ведут к знанию: путь размышления
- это путь самый благородный, путь подражания
- это путь самый лёгкий и
путь опыта – это путь
самый горький.
Конфуций
Номер
занятия в теме: 2
Цель: создание
условий для обобщения и закрепления материала по теме «Применение производной к
решению задач»
Задачи
урока:
Обучающие: повторение
основных формул и правил дифференцирования, применение производной к
исследованию функции, нахождению наибольшего и наименьшего значения функции,
физический и геометрический смысл производной; формирование умения комплексного
применения знаний, умений, навыков и их перенос в новые условия; проверка
знаний, умений и навыков обучающихся по данной теме.
Развивающие:
содействие развитию мыслительных операций: анализ, обобщение; формированию умений
самооценки и взаимооценки.
Воспитательные:
содействие формированию творческой деятельности обучающихся.
Тип урока:
закрепление знаний и способов деятельности.
Форма
проведения:
беседа, групповая работа обучающихся.
Метод
обучения: репродуктивный,
частично – поисковый.
Форма
организации обучения: фронтальная, групповая письменная
Оборудование:
Мультимедийный
проектор.
Презентация с
целеполаганием и заданиями.
Приложения с
основными формулами и правилами дифференцирования (для каждого обучающегося).
Карточки с
заданиями.
Карточки для
проведения рефлексии, оценочные листы.
Карточки с
разноуровневым домашним заданием.
Цветные кружки.
Формирование
общих компетенций: ОК3.2, ОК3.3, ОК6.1, ОК6.3, ОК6.4.
План
урока
1.Организационный
момент. (2 мин.)
2.Целеполагание.
(3 мин.)
3.Актуализация
знаний и умений. (6 мин.)
4.Разноуровневая
работа в группах. (15 мин.)
5. «Защита»
обучающимися выполненных работ. (10 мин.)
6.Подведение
итогов урока, рефлексия. (6 мин.)
7.Домашнее
задание. (3 мин.)
Ход
урока
1.Организационный
момент
Приветствую,
создаю эмоциональный настрой на работу.
2.Целеполагание
Преподавателем
сообщается тема урока и предлагается обучающимся определить цели урока и
самостоятельно выбрать из предложенных трёх групп цели, которые они ставят для
себя на данном уроке. Демонстрация целей идёт с помощью мультимедийного
проектора. Цели классифицируются по мотивам обучения:
Когнитивные:
уточнить основные понятия и законы темы,
углублённо рассмотреть конкретные вопросы во время решения задач.
Креативные:
провести самостоятельное исследование по теме,
применить имеющиеся знания в нестандартной ситуации.
Оргдеятельностные:
проявить и развить свои способности, организовать
свои цели, составить реальный план, выполнить его и оценить свои результаты.
На
основании выбранных целей учащиеся поднимают кружок определённого цвета: 1
группа – коричневый, 2 группа – красный, 3 группа – зелёный.
3.Актуализация
знаний и умений
Форма подачи заданий: мультимедийный проектор.
Ответы
обучающие демонстрируют на переносных досках.
Задание 1.
1.
Зная правило дифференцирования произведения двух функций, составьте формулу (u∙v∙w)΄ = …
Ответ:
u΄vw + uv΄w + uvw΄
2.
Зная связь первой производной и экстремумов, установите, как определить вид
экстремума по второй производной.
Задание 2.
Составить
алгоритм отыскания промежутков выпуклости вверх и вниз для функции у = 2х6
– 5х4.
Ответ:
1. у΄=12х5
– 20х3
2. у΄΄=60х4
– 60х2
3.
у΄΄=0 при
х=0, х=1, х=-1.
4. у΄΄> 0,
функция выпукла вниз при х ≤ -1, х ≥ 1.
5. у΄΄< 0,
функция выпукла вверх при -1 ≤ х ≤ 1.
Задание 3.
Установить
соответствие между предложенными графиками у=f΄(x) и
формулами, задающими функцию у=f(x).
1.
у=х2-1 2. у=х3- 1 3.
у=(х-1)2 4. у=-х2 -1
А Б
В Г
Ответы:
1-
Б, 2 – А, 3 – Г, 4 – В.
Анализ
итогов работы.
4.Разноуровневая
работа в группах
Форма
подачи заданий: карточки
Обучающиеся
согласно заявленным целям на урок распределяются по группам, заполняют
оценочный лист.
Каждой группе
предлагаются задания.
Группа
1. Когнитивные мотивы обучения.
I. По
графику производной схематически изобразить
график
функции и график второй производной.
II.
Определите
значение параметра b, при
котором функция
возрастает на
отрезке [b-5; b+4].
Группа 2. Креативные
наклонности.
I. По
предложенному решению составить условие задачи.
Решение:
1. D(у) = R
y΄=-3x2-12x, k(x0)=-3x02 - 12x0,
2. 1 способ хв=12:(-6)=-2
2 способ k΄(x0) = -6x0 –
12 k΄ + -
k΄(x0) = 0 при x0 =
-2 -2
k
max
хmax = -2
3. у=f(x0) + f΄(x0)(x- x0)
у=-13 + 12(х+2)
у=12х + 11
II.
Предложите несколько формул, задающих функцию у=f(x), если
Группа 3. Оргдеятельностные приоритеты деятельности.
I. Описать алгоритм нахождения наибольшего
и
наименьшего значения функции у=f(x) на
отрезке
[a;b].
II.
Составить план решения следующей задачи:
Материальная точка движется прямолинейно по закону х(t)=18t2 – t3 (x- в
метрах, t- в
секундах). Определите, в какой момент времени из промежутка [4;8] скорость
точки будет наибольшей и найдите в это время ускорение.
5.
«Защита» обучающимися выполненных работ
Обучающиеся
оформляют решения на доске и поясняют ход выполнения заданий. Каждая группа,
выслушивая защиту других, готовит им вопросы.
Работа первой группы.
№
1.
Для графика
функции у=f(x): f΄(x)>0
f(x)
возрастает [-5;-2,8],[-0,4;3,5]
f΄(x)<0
f(x) убывает
[-2,8;-0,4,[3,5;5]
f΄(x)=0 и
производная меняет знак с плюса на
минус при х=-2,8 и х=3,5 х=-2,8 и х=3,5
точки максимума
f΄(x)=0 и
производная меняет знак с минуса на
плюс при х=-0,4 х=-0,4 точка минимума
Для графика
функции f ΄΄(х): f΄(x) убывает
на промежутках [-3,5;-1,5],
[0,5;1,5], [2,8;5] значит функция у=f΄΄(x)
отрицательна на этих промежутках и
обращается в нуль при х=-3,5, х=-1,5, х=0,5,
х=1,5, х=2,8
f΄(x)
возрастает на промежутках [-5;-3,5],
[-1,5;0,5], [1,5;2,8] значит функция у=f΄΄(x)
положительна на этих промежутках.
№
2. D(у)=R, 
, у΄>0 при х <1 и непрерывна при
х=1, значит функция возрастает на промежутке (-∞; 1], т.е. b+4≤1, b≤-3.
Работа второй группы.
№
1. Обучающиеся представляют составленные ими условия задачи. Классу
предлагается проанализировать решение и условия и выбрать наиболее точную
формулировку.
Формулировка
преподавателя: Напишите уравнение касательной к графику функции у=-х3-6х2+3,
которая имеет наибольший угловой коэффициент.
№ 2. 
Все
остальные функции будут отличаться от данной свободным членом.
Работа третьей группы.
№
1.
Найти
наибольшее значение функции y=f(x) на отрезке [a,b].
1.
Найти производную данной функции.
2.
Найти критические точки.
3.
Выбрать критические точки, принадлежащие заданному отрезку.
4.
Найти значение функции в отобранных критических точках и концах отрезка.
5.
Выбрать наибольшее значение функции.
№ 2.
|
План
решения
|
Реализация
плана
|
|
1.
Отыскать функцию, задающую скорость у= V(t).
2.
Найти производную функции V(t). 3. Указать критические точки.
4.
Выбрать точки, принадлежащие отрезку [4,8]
5.
Найти значение функции V(t) при
х=4, х=6, х=8
6.
Записать ответ, выбрав наибольшее из найденных значений.
|
1. V(t)=x΄(t), V(t)=36t – 3t2
2. V΄ (t)= 36 –
6t
3. V΄ (t)=0 при t=6
4. 6
принадлежит отрезку [4,8]
5. V(4)=96
м/с, V(6)=108
м/с,
V(8)=96м/с
6. max V(t) = V(6) =108
м/с
[4;8]
|
6.Подведение
итогов урока, рефлексия
Рефлексия
На
листочках для рефлексии обучающимся предлагается изобразить в виде прямых, как
изменялись во время урока три параметра: личная активность, самочувствие,
самостоятельность. По шкале ординат отмечено время урока.
0 мин
0 мин 0
мин
15 30 45 15 30 45 15
30 45
активность
самостоятельность самочувствие
Каждая
группа заполняет оценочные листы.
|
№
|
Ф.И.
|
Самооценка
|
Оценка
группы
|
|
1.
|
|
|
|
|
2.
|
|
|
|
|
…..
|
|
|
|
Заслушиваются
итоги каждой группы.
7.Домашнее
задание
Обучающимся
предлагается домашнее задание по трём уровням сложности.
Домашнее задание.
|
Группа А
|
Группа В
|
Группа С
|
|
1.
Проводятся касательные к графику функции y = 3x – x2 в точке
с абсциссой 2 и в точке максимума. Найдите площадь треугольника,
образованного осью ординат и этими касательными.
2.
Придумайте функцию y = f(x), у которой
значение в точке максимума меньше значения в точке минимума.
|
1. Напишите уравнение такой касательной
к графику функции  ,
которая не пересекает прямую у = х
2. Придумайте функцию, у которой два
минимума и ни одного максимума. Задайте её формулой, исследуйте и постройте
график.
|
1. Найдите все
отрицательные a, для каждого из которых касательные к
параболе у = (х-1)2, проведенные через точку оси Oy с ординатой a высекают на оси Ox отрезок длины 4.
2. Придумайте
непрерывную функцию, график которой будет иметь наклонную асимптоту,
задаваемую уравнением у=0,5х-1. Опишите эту функцию своими свойствами.
|
