- 30.04.2014
- 673
- 0
Тема: «Свойства тригонометрических функций»
Цели: - ознакомить учащихся со свойствами тригонометрических функций, с понятиями знаков, периодичности, четности и нечетности тригонометрических функций;
- обучить учащихся определению знаков выражения тригонометрических функций используя свойства тригонометрических функций;
- развитие кругозора математических знаний в области раздела «Элементы тригонометрии»;
- воспитание сознательного отношения к изучению данной темы.
Тип: Урок ознакомления с новым материалом.
Метод: Словесное объяснение, рассказ, демонстрация слайдовых презентаций, практическое закрепление изученного материала.
Оборудование: интерактивная доска
Ход урока
Организационный момент
Проверка подготовленности учащихся к уроку.
Приветствие учителя и учащихся.
Фиксация отсутствующих учащихся.
Постановка целей и задач урока.
Актуализация опорных знаний.
Устный опрос:
Что называют синусом угла 
? (Отношение ординаты точки к радиусу)
Что называют косинусом угла ? (Отношение абсциссы точки к радиусу)
Что называют тангенсом угла ? (Отношение ординаты точки к ее абсциссе)
Что называют котангенсом угла ? (Отношение абсциссы точки к ее ординате)
Какой четверти принадлежит угол 140° (II), 
(I), 225° (III), 
(IV)?
Ознакомление с новым материалом.
Знаки тригонометрических функций
Из определения тригонометрических функций следует, что знаки («+» и «–») каждой функции зависят от знаков координат конца подвижного радиуса, т.е. от того, в какой четверти лежит его конец.
Предположим, что при повороте начального радиуса ОА в положительном направлении получен подвижный радиус ОВ и он сделал полный оборот. Здесь мы видим, как изменяются координаты точки В, являющейся концом подвижного радиуса (рис. 1).
Рис
Нетрудно заметить, что когда точка В находится в верхней полуокружности, координата y положительна, а при переходе точки В на нижнюю полуокружность координата y отрицательна. Так как знак синуса угла по определению зависит от знака y, поэтому и I и II четвертях
, в III и IV четвертях 
(слайд ). Из определения знак косинуса угла зависит от знака координаты x. Поэтому, когда точка В находится в правой полуокружности, абсцисса x имеет положительный знак, а когда точка В находится в левой полуокружности, абсцисса x имеет отрицательный знак. Следовательно, в I и IV четвертях 
, а в II и III четвертях 
(слайд ).
Поскольку 
, то знаки этих функций будут положительными в тех координатных четвертях, когда координаты точки В имеют одинаковые знаки, и отрицательны в тех четвертях, когда координаты точки В имеют противоположные знаки. Следовательно, в I и III четвертях 
, а во II и IV четвертях 
(слайд ).
Результаты исследования знаков тригонометрических функций можно указать также в виде таблицы (слайд ).
Четверти
Функции
I
II
III
IV
+
+
+
+
+
–
–
–
–
–
+
+
–
+
–
–
Периодичность тригонометрических функций
Выше мы рассмотрели случаи, когда подвижный радиус совершал полный оборот. Известно, что если подвижный радиус и дальше продолжает свое круговое движение, то его конец снова займет одно из предыдущих положений. Другими словами, тригонометрические функции снова принимают те же значения, которые имели от 0 до 
. И эти их значения не изменяются при повторении полных оборотов несколько раз.
Функции, обладающие таким свойством, называются периодическими функциями.
Если к аргументу тригонометрических функций прибавить полный оборот () целое число раз, то их значения не изменятся. При повороте радиуса ОА на угол и на угол 
, и на угол 
и т.д. получится один и тот же радиус ОВ, т.е. для углов , и т.д. тригонометрические функции имеют одни и те же значения.
Следовательно, функции 
являются периодическими функциями.
Исследованные свойства тригонометрических функций позволяют свести нахождение значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса любого угла к нахождению их значений для неотрицательного угла, меньшего 
Рассмотрим примеры. Найдем 
.
;
.
3. Четность и нечетность тригонометрических функций
До сих пор тригонометрические функции мы рассматривали в основном для случаев 
. Теперь перейдем к рассмотрению формулы, которая выражает тригонометрические функции отрицательного аргумента через значения тригонометрических функций с положительным аргументом. Для этого, как и прежде в прямоугольной системе, возьмем окружность с центром в начале координат и с радиусом ОА (рис. 2).
Предположим, что при повороте радиуса ОА на угол он переходит в радиус ОВ, а при повороте радиуса ОА на угол 
он займет положение 
. Если соединить точки В и 
, то получим равнобедренный треугольник 
. ОР является биссектрисой угла 
этого треугольника. Поэтому точки В и будут симметричны относительно оси 
.
Рис
Вам известно, что точки, симметрично расположенные относительно оси, имеют одинаковые абсциссы и противоположные ординаты. Поэтому, если координаты точки В обозначим через 
, то координатами точки будут 
. Значит, 
Эти равенства записываем в виде формулы следующим образом:
(1)
Если изменение знака аргумента влечет за собой и изменение знака функции, то функция называется нечетной, а если изменение знака аргумента не влечет изменения знака функции, то функция называется четной. Следовательно, из приведенной выше формулы (1) можно сделать вывод о том, что синус, тангенс и котангенс являются нечетными функциями, а косинус является четной функцией.
Далее записываем определения:
Если изменение знака аргумента влечет за собой и изменение знака функции, то функция называется нечетной.
Если изменение знака аргумента не влечет изменения знака функции, то функция называется четной.
Например: 
Первичное закрепление нового материала.
Для усвоения и закрепления нового изученного материала, учащимся необходимо выполнить следующие задания:
совместно с учителем: № 287 (устно), № 288 (устно), №289 (у доски) – 2 учащихся, № 290 (у доски) – 1 учащийся;
самостоятельно: задания по карточкам (по уровням) – выборочно; тестовые задания (по уровням).
Учащиеся работают по учебнику.
№ 287 (устно) Определите знак выражений:
а) 
- «+» (положительный, т.к. угол находится в I четверти, а синус в I четверти имеет знак «+»);
б) 
- «+» (положительный, т.к. угол находится в I четверти, а косинус в I четверти имеет знак «+»);
в) 
- «–» (отрицательный, т.к. угол находится в II четверти, а тангенс во II четверти имеет знак «–»);
г) 
- «+» (положительный, т.к. угол находится в III четверти, а котангенс в III четверти имеет знак «+»);
д) 
- «–» (отрицательный, т.к. угол находится в IV четверти, а синус в IV четверти имеет знак «–»);
е) 
- «+» (положительный, т.к. угол находится в III четверти, а тангенс в III четверти имеет знак «+»).
№ 288 (устно) Углом, какой четверти является , если:
а) 
– угол лежит в IV четверти;
б) 
угол лежит в III четверти;
в) 
угол лежит во II четверти;
г) 
угол лежит в III четверти.
№ 289 (у доски) – 2 учащихся
Определите знак произведения:
а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
;
д) 
;
е) 
№ 290 (у доски) – 1 учащийся
Сравните значения выражений с нулем:
а) 
б) 
в) 
г) 
Далее выполнение учащимися самостоятельной работы по карточкам и тестовые задания
Вариант А(1)
Определите знак следующих выражений:
а) 
б) 
в) 
г) 
Углом, какой четверти является угол , если:
а) 
б) 
в) 
Вариант А(2)
Определите знак следующих выражений:
а) 
б) 
в) 
г) 
Углом, какой четверти является угол , если:
а) 
б) 
в) 
Вариант В(1)
Определите знаки произведений:
а) 
б) 
в) 
Найдите значение выражения:
а) 
б) 
в) 
г) 
Вариант В(2)
Определите знаки произведений:
а)
б)
в)
2. Найдите значение выражения:
а) 
б) 
в) 
г) 
Вариант С(1)
Углом, какой четверти является угол , если:
а)
б) 
в) 
Определите знак выражения:
а) 
б) 
в) 
3. Найдите значение выражения:
а) 
б) 
в) 
г) 
Вариант С(2)
Углом, какой четверти является угол , если:
а) 
б) 
в) 
Определите знак выражения:
а) 
б) 
в) 
3. Найдите значение выражения:
а) 
б) 
в) 
г) 
Тестовое задание №1
Отношение абсциссы точки на окружности к ее ординате называется:
А) Синусом угла; В) Косинусом угла; С) Тангенсом угла; D) Котангенсом угла.
В какой четверти расположен угол
:
А) I; B) II; C) III; D) IV.
Найдите значение 
А) 
В) 1; С) 
; D) 
Поворотом, на какой угол радиус займет такое же положение, что и при повороте на угол 
:
А)
D) 
.
Среди чисел найдите число, меньшее нуля:
А) 
; В) 
C) 
; D) 
Найдите значение 
:
А) ; В) 
; С) 
D) 
Углом, какой четверти является угол 
если 
А) I; B) II; C) III; D) IV.
Найдите значение 
:
А) ; В) ; С) D)
Выразите в градусах угол 
:
А) 
; В) 
; С) 
; D) 
Выразите в радианах угол :
А) 
В) 
; С) 
D) 
Тестовое задание №2
1. В какой четверти расположен угол :
А) I; B) II; C) III; D) IV.
2. Найдите значение 
:
А) ; В) 
; С) 
D)
Отношение абсциссы точки на окружности к радиусу называется:
А) Синусом угла; В) Косинусом угла; С) Тангенсом угла; D) Котангенсом угла.
В какой четверти расположен угол
:
А) I; B) II; C) III; D) IV.
Найдите значение 
А) В) 1; С) ; D)
Поворотом, на какой угол радиус займет такое же положение, что и при повороте на угол 
:
А)D) .
Среди чисел найдите число, меньшее нуля:
А) 
; В) 
C) 
; D) 
Найдите значение 
:
А) ; В) ; С) D)
Углом, какой четверти является угол если 
А) I; B) II; C) III; D) IV.
Найдите значение 
:
А) ; В) ; С) D)
После выполнения самостоятельной работы, необходимо провести проверку.
Вторичное закрепление материала
Какие знаки имеют тригонометрические функции?
В каких четвертях имеет положительные знаки синус, косинус, тангенс и котангенс?
В какой четверти имеют положительные знаки все тригонометрические функции?
Какая функция является четной, и почему?
Какие функции называются нечетными, и почему?
Подведение итогов урока
Обсуждение успешности достижения целей и задач урока:
С какими свойствами тригонометрических функций мы сегодня познакомились?
Какими навыками и умениями вы сегодня обучились на уроке?
Как вы считаете, достигли ли мы поставленной цели?
Аргументированное выставление оценок за урок.
Разъяснение домашнего задания:
Д/з - № 291 стр.106.
Вариант А(1)
Определите знак следующих выражений:
а) б)
в) г)
Углом, какой четверти является угол , если:
а)
б)
в)
Вариант А(2)
Определите знак следующих выражений:
а) б)
в) г)
Углом, какой четверти является угол , если:
а)
б)
в)
Вариант В(1)
Определите знаки произведений:
а)
б)
в)
Найдите значение выражения:
а) б)
в) г)
Вариант В(2)
Определите знаки произведений:
а) 
б) 
в) 
2. Найдите значение выражения:
а) б)
в) г)
Вариант С(1)
Углом, какой четверти является угол , если:
а)
б)
в)
Определите знак выражения:
а)
б)
в)
3. Найдите значение выражения:
а) б)
в) г)
Вариант С(2)
Углом, какой четверти является угол , если:
а)
б)
в)
Определите знак выражения:
а) 
б)
в)
3. Найдите значение выражения:
а) б)
в) г)
Тестовое задание №1
Отношение абсциссы точки на окружности к ее ординате называется:
А) Синусом угла; В) Косинусом угла; С) Тангенсом угла; D) Котангенсом угла.
В какой четверти расположен угол:
А) I; B) II; C) III; D) IV.
Найдите значение
А) В) 1; С) ; D)
Поворотом, на какой угол радиус займет такое же положение, что и при повороте на угол :
А)D) .
Среди чисел найдите число, меньшее нуля:
А) ; В) C) ; D)
Найдите значение :
А) ; В) ; С) D)
Углом, какой четверти является угол если
А) I; B) II; C) III; D) IV.
Найдите значение :
А) ; В) ; С) D)
Выразите в градусах угол :
А) ; В) ; С) ; D)
Выразите в радианах угол :
А) В) ; С) D)
Тестовое задание №2
1. В какой четверти расположен угол :
А) I; B) II; C) III; D) IV.
2. Найдите значение :
А) ; В) ; С) D)
Отношение абсциссы точки на окружности к радиусу называется:
А) Синусом угла; В) Косинусом угла; С) Тангенсом угла; D) Котангенсом угла.
В какой четверти расположен угол:
А) I; B) II; C) III; D) IV.
Найдите значение
А) В) 1; С) ; D)
Поворотом, на какой угол радиус займет такое же положение, что и при повороте на угол :
А)D) .
Среди чисел найдите число, меньшее нуля:
А) ; В) C) ; D)
Найдите значение :
А) ; В) ; С) D)
Углом, какой четверти является угол если
А) I; B) II; C) III; D) IV.
Найдите значение :
А) ; В) ; С) D)
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Тема: «Свойства тригонометрических функций» Цели: - ознакомить учащихся со свойствами тригонометрических функций, с понятиями знаков, периодичности, четности и нечетности тригонометрических функций; - обучить учащихся определению знаков выражения тригонометрических функций используя свойства тригонометрических функций; - развитие кругозора математических знаний в области раздела «Элементы тригонометрии»; - воспитание сознательного отношения к изучению данной темы. Тип: Урок ознакомления с новым материалом. Метод: Словесное объяснение, рассказ, демонстрация слайдовых презентаций, практическое закрепление изученного материала. Оборудование: интерактивная доска Ход урока I. Организационный момент II. Актуализация опорных знаний. 1. Устный опрос: 1) Что называют синусом угла ? (Отношение ординаты точки к радиусу) 2) Что называют косинусом угла ? (Отношение абсциссы точки к радиусу) 3) Что называют тангенсом угла ? (Отношение ординаты точки к ее абсциссе) 4) Что называют котангенсом угла ? (Отношение абсциссы точки к ее ординате) 2. Какой четверти принадлежит угол 140° (II), (I), 225° (III), (IV)? III. Ознакомление с новым материалом. 1. Знаки тригонометрических функций Из определения тригонометрических функций следует, что знаки («+» и «–») каждой функции зависят от знаков координат конца подвижного радиуса, т.е. от того, в какой четверти лежит его конец. Предположим, что при повороте начального радиуса ОА в положительном направлении получен подвижный радиус ОВ и он сделал полный оборот. Здесь мы видим, как изменяются координаты точки В, являющейся концом подвижного радиуса . Нетрудно заметить, что когда точка В находится в верхней полуокружности, координата y положительна, а при переходе точки В на нижнюю полуокружность координата y отрицательна. Так как знак синуса угла по определению зависит от знака y, поэтому и I и II четвертях , в III и IV четвертях . Из определения знак косинуса угла зависит от знака координаты x. Поэтому, когда точка В находится в правой полуокружности, абсцисса x имеет положительный знак, а когда точка В находится в левой полуокружности, абсцисса x имеет отрицательный знак. Следовательно, в I и IV четвертях , а в II и III четвертях . 2. Периодичность тригонометрических функций Выше мы рассмотрели случаи, когда подвижный радиус совершал полный оборот. Известно, что если подвижный радиус и дальше продолжает свое круговое движение, то его конец снова займет одно из предыдущих положений. Другими словами, тригонометрические функции снова принимают те же значения, которые имели от 0 до . И эти их значения не изменяются при повторении полных оборотов несколько раз. Функции, обладающие таким свойством, называются периодическими функциями. Следовательно, функции являются периодическими функциями. 3. Четность и нечетность тригонометрических функций Значит, Если изменение знака аргумента влечет за собой и изменение знака функции, то функция называется нечетной, а если изменение знака аргумента не влечет изменения знака функции, то функция называется четной. Следовательно, из приведенной выше формулы (1) можно сделать вывод о том, что синус, тангенс и котангенс являются нечетными функциями, а косинус является четной функцией. Далее записываем определения: Если изменение знака аргумента влечет за собой и изменение знака функции, то функция называется нечетной. Если изменение знака аргумента не влечет изменения знака функции, то функция называется четной. IV. Первичное закрепление нового материала. Для усвоения и закрепления нового изученного материала, учащимся необходимо выполнить следующие задания: 1) совместно с учителем: № 287 (устно), № 288 (устно), №289 (у доски) – 2 учащихся, № 290 (у доски) – 1 учащийся; 2) самостоятельно: задания по карточкам (по уровням) – выборочно; тестовые задания (по уровням). Далее выполнение учащимися самостоятельной работы по карточкам и тестовые задания После выполнения самостоятельной работы, необходимо провести проверку. V. Вторичное закрепление материала 1. Какие знаки имеют тригонометрические функции? 2. В каких четвертях имеет положительные знаки синус, косинус, тангенс и котангенс? 3. В какой четверти имеют положительные знаки все тригонометрические функции? 4. Какая функция является четной, и почему? 5. Какие функции называются нечетными, и почему? VI. Подведение итогов урока 1. Обсуждение успешности достижения целей и задач урока: 1) С какими свойствами тригонометрических функций мы сегодня познакомились? 2) Какими навыками и умениями вы сегодня обучились на уроке? 3) Как вы считаете, достигли ли мы поставленной цели? 2. Аргументированное выставление оценок за урок. 3. Разъяснение домашнего задания.
6 661 964 материала в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Байжуманов Данияр Маулетович. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 180 ч.
Мини-курс
4 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.