Презентация по геометрии для 8 класса по теме «Теорема Пифагора»

Описание презентации по отдельным слайдам:

• 

  1 слайд

  ПИФАГОРА
  МОУ «СОШ №17» г. АНГАРСКА
  ТЕОРЕМА
  

• 

  2 слайд

• 

  3 слайд

  Трудно найти человека, у которого имя Пифагора
  не ассоциировалось бы с теоремой Пифагора.
  
  Пожалуй, даже те, кто в своей жизни навсегда распрощался
  с математикой, сохраняют воспоминания о «пифагоровых штанах»
  — квадрате на гипотенузе, равновеликом двум квадратам на катетах.
  
  Причина такой популярности теоремы Пифагора триедина:
  это простота — красота — значимость.
  
  В самом деле, теорема Пифагора проста, но не очевидна.
  Это сочетание двух противоречивых начал и придает ей особую
  притягательную силу, делает ее красивой.
  Но, кроме того, теорема Пифагора имеет огромное значение:
  она применяется в геометрии буквально на каждом шагу,
  и тот факт, что существует около 200 различных доказательств
  этой теоремы (геометрических, алгебраических, механических и т.д.),
  свидетельствует о гигантском числе ее конкретных реализаций.
  

• 

  4 слайд

  Популярность теоремы Пифагора столь велика, что её доказательства встречаются даже в
  художественной литературе.
  Теорема Пифагора издавна широко применялась в
  разных областях науки, техники и практической жизни.
  О ней писали в своих произведениях римский
  архитектор и инженер Витрувий, греческий писатель-
  моралист Плутарх, греческий учёный III века Диоген
  Лаэрций, математик Y века Прокл и многие другие.
  Легенда о том, что в честь своего открытия Пифагор
  принёс богам гекатомбу (так называлось у древних
  греков принесение в жертву быка или, как рассказывают другие, сто быков), послужила поводом для юмора в рассказах писателей и в стихах поэтов. Так, например, немецкий писатель – романист А. Шамиссо, который в начале XIX века участвовал в кругосветном путешествии на русском корабле «Рюрик», написал следующие стихи:
  

• 

  5 слайд

  Пребудет вечной истина, как скоро
  И ныне теорема Пифагора
  Обильно было жертвоприношенье
  Он отдал на закланье и сожженье.
  За света луч, пришедший с облаков.
  Поэтому всегда с тех самых пор,
  Чуть истина рождается на свет,
  Её познает слабый человек!
  
  Верна, как и в его далёкий век.
  
  Богам от Пифагора. Сто быков
  
  Быки ревут, её почуя, вслед
  
  Они не в силах свету помешать,
  А могут лишь, закрыв глаза, дрожать
  От страха, что вселил в них Пифагор.
  

• 

  6 слайд

  Не найти никакой другой теоремы, заслужившей
  столько внимания и всевозможных сравнений.
  Во Франции и некоторых областях Германии в
  средневековье теорему Пифагора почему-то называли
  «мостом ослов».
  У математиков арабского Востока эта теорема
  получила название «теоремы невесты». Дело в том,
  что в некоторых списках «Начал» Евклида эта теорема
  называлась «теоремой нимфы» за сходство чертежа
  с пчёлкой, бабочкой, что по-гречески называлось
  нимфой. Этим же словом греки называли ещё
  некоторых богинь, а также вообще молодых, женщин
  и невест. При переводе с греческого арабский
  переводчик, не обратив внимания на чертёж, перевёл
  слово «нимфа» как «невеста», а не «бабочка». Так
  появилось ласковое название знаменитой теоремы –
  «теоремы невесты».
  

• 

  7 слайд

  Пифагор искал числовые отношения в геометрических построениях.
  Ему был известен так называемый
  египетский треугольник со сторонами, выраженными
  числами 3,4 и 5.
  Египтяне знали, что это прямоугольный
  треугольник, и применяли его для определения прямых углов при восстановлении размываемых ежегодными разливами Нила границ земельных участков.
  Пифагор показал зависимость между сторонами
  египетского треугольника, которая выражается
  формулой:
  ИСТОРИЯ ОТКРЫТИЯ СВЯЗИ
  МЕЖДУ СТОРОНАМИ
  ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА
  ПИФАГОРОМ
  

• 

  8 слайд

  Занимаясь поисками треугольников, стороны которых
  а, b, с удовлетворяли бы условию:
  Пифагор нашёл формулы, которые в современной
  символике могут быть выражены так:
  где n означает
  произвольное число
  Оказалось, что всякий треугольник с такими сторонами
  является прямоугольным треугольником.
  

• 

  9 слайд

  Теперь прямоугольный треугольник со сторонами
  выраженными натуральными числами, мы называем
  пифагорейскими треугольниками.
  3
  4
  5
  9
  40
  41
  5
  12
  13
  20
  21
  29
  

• 

  10 слайд

  В практике при построении прямого угла (а значит при
  построении взаимно перпендикулярных линий)
  треугольник со сторонами 3, 4, 5 был уже в глубокой
  древности известен египтянам и другим народам
  древнего Востока. Не является случайным то
  обстоятельство, что именно такие пропорции
  археологи находят в размерах тесаных плит пирамиды
  Хефрена. Ещё более знаменательно, однако, то, что
  так называемая царская комната в знаменитой
  пирамиде Хеопса имеет размеры , особенным образом
  связанные с числами 3, 4, 5. Диагональ всей комнаты
  содержит 5 тех же самых единиц, которых самая
  длинная стена имеет 4, а диагональ самой маленькой
  стены – 3 единицы.
  Треугольник со сторонами 3, 4, 5 считался в древности
  магической фигурой.
  

• 

  11 слайд

  Не подлежит при этом сомнению, что, как и раньше, так
  и сейчас, сельские плотники, закладывая фундамент
  избы или хозяйственных построек, чтобы получить
  прямой угол, чертят треугольник со сторонами 3,4,5;
  это же самое тысячи лет назад проделывалось при
  строительстве великолепных храмов в Египте,
  Вавилоне, Китае, а вероятно, также и в Мексике.
  

• 

  12 слайд

  Эта теорема была известна и в Древней Индии; об этом
  свидетельствуют следующие предложения,
  содержащиеся в «Сутрах»:
  1) квадрат диагонали прямоугольника равен сумме
  квадратов его большей и меньшей сторон.
  2) Квадрат на диагонали квадрата в два раза больше
  самого квадрата.
  

• 

  13 слайд

  Пифагор не открыл, следовательно, это свойство прямоугольных треугольников –
  он только первым сумел его обобщить и доказать, перевести его из области практики в область науки.
  
  Как он это сделал неизвестно.
  Рассмотрим способы доказательства
  теоремы Пифагора.
  Сделать это полезно потому, что в современных школьных
  учебниках дается алгебраическое доказательство теоремы.
  При этом бесследно исчезает первозданная геометрическая аура
  теоремы, теряется та нить Ариадны, которая вела древних мудрецов
  к истине, а путь этот почти всегда оказывался кратчайшим и всегда
  красивым.
  
  Итак, Теорема Пифагора.
  

• 

  14 слайд

  Рис. 2
  
  1.
  Древнекитайское доказательство
  На древнекитайском чертеже четыре равных прямоугольных треугольника с катетами а, b и гипотенузой с уложены так, что их внешний контур образует квадрат со стороной а+b, а внутренний — квадрат со стороной с, построенный на гипотенузе (рис. б).
  Если квадрат со стороной с вырезать и оставшиеся 4 затушеванных треугольника уложить в два прямоугольника (рис. в), то ясно, что образовавшаяся пустота, с одной стороны, равна , а с другой —
  т.е.
  

• 

  15 слайд

  
  Заметим, что при таком доказательстве построения внутри квадрата на гипотенузе, которые мы видим на древнекитайском чертеже
  (рис. а), не используются. По-видимому, древнекитайские математики имели другое доказательство. Именно если в квадрате со стороной с два заштрихованных треугольника
  (рис. б) отрезать и приложить гипотенузами к двум другим гипотенузам (рис. г), то легко обнаружить, что полученная фигура, которую иногда называют «креслом невесты», состоит из двух квадратов со сторонами а и b, т.е.
  

• 

  16 слайд

  На рисунке воспроизведен чертеж из трактата
  «Чжоу-би...».
  
  Здесь теорема Пифагора рассмотрена для египетского треугольника с катетами 3, 4 и гипотенузой 5 единиц измерения.
  Квадрат на гипотенузе содержит 25 клеток, а вписанный в него квадрат на большем катете — 16.
  Ясно, что оставшаяся часть содержит 9 клеток.
  Это и будет квадрат на меньшем катете.
  2.
  

• 

  17 слайд

  Древнеиндийское
  доказательство
  Математики Древней Индии заметили, что для доказательства
  теоремы Пифагора достаточно использовать внутреннюю часть
  древнекитайского чертежа.
  
  3.
  

• 

  18 слайд

  На рисунке изображено два равных квадрата. Длина сторон каждого квадрата
  равна a + b. Каждый из квадратов разбит на части, состоящие из квадратов и
  прямоугольных треугольников. Ясно, что если от площади квадрата отнять
  учетверенную площадь прямоугольного треугольника с катетами a, b,
  то останутся равные площади, т. е.
  
  Впрочем, древние индусы, которым принадлежит это рассуждение, обычно
  не записывали его, а сопровождали чертеж лишь одним словом: «смотри!»
  Вполне возможно, что такое же доказательство предложил и Пифагор.
  
  
  

• 

  19 слайд

  
  В написанном на пальмовых листьях трактате
  «Сиддханта широмани» («Венец знания») крупнейшего индийского математика XII в. Бхаскари помещен чертеж
  с характерным для индийских доказательств словом «смотри!»
  
  
  
  
  
  
  Как видим, прямоугольные треугольники уложены здесь
  гипотенузой наружу и квадрат перекладывается в
  «кресло невесты» (рис. б).
  
  Заметим, что частные случаи теоремы Пифагора
  (например, построение квадрата, площадь которого вдвое больше площади данного квадрата)
  встречаются в древнеиндийском
  трактате «Сульва сутра» (VII —V вв. до н.э.).
  
  

• 

  20 слайд

  Рис 1.
  
  
  Простейшее доказательство теоремы получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника.
  Вероятно, с него и начиналась теорема.
  В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных
  прямоугольных треугольников, чтобы убедиться в справедливости
  теоремы.
  Например, для ΔABC : квадрат, построенный на гипотенузе АС,
  содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах,—
  по два.
  Доказательства, основанные на
  использовании понятия равновеликости фигур.
  
  "Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника,
  равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах."
  
  4.
  

• 

  21 слайд

  Квадрат представляется в виде суммы двух частей,
  равновеликих меньшим квадратам.
  Это доказательство называют шарнирным,
  потому что здесь меняют своё положение только две
  части, равные исходному треугольнику, причем они
  прикреплены к остальной фигуре на шарнирах.
  
  
  5.
  

• 

  22 слайд

  Не разрезание,
  а дополнение квадратов до равных фигур
  равными же фигурами.
  6.
  

• 

  23 слайд

  Аддитивные доказательства.
  
  Эти доказательства основаны на разложении квадратов, построенных на катетах, на фигуры, из которых можно сложить квадрат, построенный на гипотенузе.
  
  Доказательство
  Энштейна
  
  основано на разложении квадрата, построенного на гипотенузе, на 8 треугольников.
  
  Здесь: ABC – прямоугольный
  треугольник с прямым углом C;
  CЄMN; CK⊥MN; PO || MN; EF || MN.
  
  7.
  

• 

  24 слайд

  На рис. приведено доказательство теоремы Пифагора с помощью разбиения ан-Найризия – средневекового багдадского комментатора «Начал» Евклида. В этом разбиении квадрат, построенный на гипотенузе, разбит на 3 треугольника и 2 четырехугольника. Здесь: ABC – прямоугольный треугольник с прямым углом C; DE = BF.
  
  8.
  

• 

  25 слайд

  ·        На основе доказательства
  ан-Найризия выполнено и другое разложение квадратов на попарно равные фигуры, здесь ΔABC – прямоугольный треугольник с прямым углом C.
  9.
  

• 

  26 слайд

  Еще одно доказательство методом разложения квадратов на равные части, называемое «колесом с лопастями».
  Здесь: ΔABC– прямоугольный треугольник с прямым углом C; O – центр квадрата, построенного на большом катете; пунктирные прямые, проходящие через точку O, перпендикулярны или параллельны гипотенузе.
  Это разложение квадратов интересно тем, что его попарно равные четырехугольники могут быть отображены друг на друга параллельным переносом. Может быть предложено много и других доказательств теоремы Пифагора с помощью разложения квадратов на фигуры.
   
  Доказательство Перигаля.
  10.
  

• 

  27 слайд

  Доказательства методом построения.
  
  Сущность этого метода состоит в том, что к квадратам, построенным на катетах, и к квадрату, построенному на гипотенузе, присоединяют равные фигуры таким образом, чтобы получились равновеликие фигуры.
  ·        На рисунке изображена обычная Пифагорова фигура – прямоугольный треугольник ABC с построенными на его сторонах квадратами. К этой фигуре присоединены треугольники 1 и 2, равные исходному прямоугольному треугольнику.
  Справедливость теоремы Пифагора вытекает из равновеликости шестиугольников AEDFPB и ACBNMQ. Здесь МC⊥EP, прямая EP делит шестиугольник AEDFPB на два равновеликих четырехугольника, прямая CM делит шестиугольник ACBNMQ на два равновеликих четырехугольника; поворот плоскости на 90° вокруг центра A отображает четырехугольник AEPB на четырехугольник ACMQ.
  F
  11.
  

• 

  28 слайд

  Доказательство Темпельгофа (1769г)
  а
  в
  с
  D
  Е
  В
  А
  С
  К
  Н
  G
  F
  L
  ΔLDE = ΔАВС
  ΔAGH = ΔАВС
  SLDСА = SFBCК = SABEL
  SKHGF = SKCBF
  
  
  SKCBFGH = SFCDLEB
  Эти шестиугольники имеют общий ΔАВС,
  а также равные ΔAGH = ΔLDE
  Остальные части этих шестиугольников
  являются равновеликими, а это значит, что
  S CDEB = SCAHK + SABFG
  или
  12.
  

• 

  29 слайд

  На рисунке Пифагорова фигура достроена до прямоугольника, стороны которого параллельны соответствующим сторонам квадратов, построенных на катетах. Разобьем этот прямоугольник на треугольники и прямоугольники. Из полученного прямоугольника вначале отнимем все многоугольники 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, остался квадрат, построенный на гипотенузе. Затем из того же прямоугольника отнимем прямоугольники 5, 6, 7 и заштрихованные прямоугольники, получим квадраты, построенные на катетах.
  Теперь докажем, что фигуры, вычитаемые в первом случае, равновелики фигурам, вычитаемым во втором случае.
  13.
  

• 

  30 слайд

  Доказательство Нассир-эд-дина (1594г)
  ΔGCL=ΔСВА, =>, LC=АВ
  ∟GCL=∟ СВА=∟АСМ, =>, LCМК - прямая
  Получаем фигуру с равными площадями:
  SDКМА = SАСLD1 =SАСНР =
  и аналогично
  SКЕВМ = SCВЕ1L =SCВFG =
  
  Но,
  SDЕВА = SDКМА +SКЕВМ
  и
  SDЕВА =
  Следовательно,
  14.
  

• 

  31 слайд

  Доказательство Гофмана (1821г)
  А
  В
  С
  а
  с
  в
  Е
  К
  F
  1. Построим ВF⊥CВ, причём ВF = СВ.
  2. Построим АК⊥АС, причём АК = АС.
  3. Точки F, С и К лежат на одной прямой.
  4. Построим ВЕ ⊥ ВА, причём ВЕ = ВА
  5. КFВА и СВЕА – равновеликие
  четырёхугольники, т.к. ΔАВF = ΔСВЕ.
  6. ΔКАF равновелик ΔСВЕ
  7. Вычитая от обоих четырёхугольников
  общий им ΔАВС, получим
  Т.е.
  15.
  

• 

  32 слайд

  Алгебраический метод доказательства.
  
  Среди доказательств теоремы Пифагора алгебраическим методом первое место (возможно, самое древнее) занимает доказательство, использующее подобие.
  Приведем в современном изложении одно из таких доказательств, принадлежащих Пифагору.
  ΔABC – прямоугольный,
  ∟C – прямой, CM⊥AB,
  b1 – проекция катета b на гипотенузу, a1 – проекция катета a на гипотенузу,
  h – высота треугольника, проведенная к гипотенузе.
  Из того, что ΔABC подобен ΔACM следует, что = cb1 (1)
  
  из того, что ΔABC подобен ΔBCM следует, что = ca1 (2)
  
  Складывая равенства (1) и (2), получим
  16.
  Если Пифагор действительно предложил такое доказательство, то он был знаком и с целым рядом важных геометрических теорем, которые современные историки математики обычно приписывают Евклиду.
  

• 

  33 слайд

  Доказательство Мёльманна
  
  
  где p – полупериметр треугольника, r – радиус вписанной в него окружности
  Имеем:
  
  откуда следует, что c2 = a2 + b2
  17.
  

• 

  34 слайд

  На рисунке три прямоугольных треугольника составляют трапецию.
  Поэтому площадь этой фигуры можно находить по формуле площади прямоугольной трапеции, либо как сумму площадей трех треугольников.
  В первом случае эта площадь равна
  
  во втором 
  
  Приравнивая эти выражения, получаем теорему Пифагора.
  Доказательство
  Гарфилда
  18.
  

• 

  35 слайд

  Существует много доказательств теоремы Пифагора,  проведенных как каждым из описанных методов, так и с помощью сочетания различных методов. Завершая обзор примеров различных доказательств, приведем еще рисунки, иллюстрирующие восемь способов, на которые имеются ссылки в «Началах» Евклида. На этих рисунках Пифагорова фигура изображена сплошной линией, а дополнительные построения – пунктирной.
  
  19.
  20.
  21.
  22.
  23.
  24.
  25.
  26.
  

• 

  36 слайд

  Доказательства методом разложения
  
  Существует целый ряд доказательств теоремы Пифагора, в которых квадраты, построенные на катетах и на гипотенузе, разрезаются так, что каждой части квадрата, построенного на гипотенузе, соответствует часть одного из квадратов, построенных на катетах. Во всех этих случаях для понимания доказательства достаточно одного взгляда на чертеж; рассуждение здесь может быть ограничено единственным словом: "Смотри!", как это делалось в сочинениях древних индусских математиков. Следует, однако, заметить, что на самом деле доказательство нельзя считать полным, пока мы не доказали равенства всех соответствующих друг другу частей. Это почти всегда довольно не трудно сделать, однако может (особенно при большом количестве частей) потребовать довольно продолжительной работы.
  

• 

  37 слайд

  Доказательство Энштейна
  Преимуществом этого доказательства является то, что здесь в качестве составных частей разложения фигурируют исключительно треугольники.
  Чтобы разобраться в чертеже, заметим, что прямая CD проведена перпендикулярно прямой EF.
  Разложение на треугольники можно сделать и более наглядным, чем на рисунке.
  27.
  

• 

  38 слайд

  Доказательство
  Нильсена.
  Доказательство
  Бетхера .
  27.
  28.
  

• 

  39 слайд

  Доказательство Гутхейля.
  Изображенное на рисунке разложение принадлежит Гутхейлю; для него характерно наглядное расположение отдельных частей, что позволяет сразу увидеть, какие упрощения повлечет за собой случай равнобедренного прямоугольного треугольника.
  29.
  

• 

  40 слайд

  Доказательство 9 века н.э.
  
  Ранее были представлены только такие доказательства, в которых квадрат, построенный на гипотенузе, с одной стороны, и квадраты, построенные на катетах, с другой, складывались из равных частей. Такие доказательства называются доказательствами при помощи сложения ("аддитивными доказательствами") или, чаще, доказательствами методом разложения. До сих пор мы исходили из обычного расположения квадратов, построенных на соответствующих сторонах треугольника, т. е. вне треугольника. Однако во многих случаях более выгодно другое расположение квадратов.
  

• 

  41 слайд

  На рисунке квадраты, построенные на катетах, размещены ступенями один рядом с другим. Эту фигуру, которая встречается в доказательствах, датируемых не позднее, чем 9 столетием н. э., индусы называли "стулом невесты". Способ построения квадрата со стороной, равной гипотенузе, ясен из чертежа. Общая часть двух квадратов, построенных на катетах, и квадрата, построенного на гипотенузе, - неправильный заштрихованный пятиугольник 5. Присоединив к нему треугольники 1 и 2, получим оба квадрата, построенные на катетах; если же заменить треугольники 1 и 2 равными им треугольниками 3 и 4, то получим квадрат, построенный на гипотенузе. На рисунках ниже изображены два различных расположения близких к тому, которое дается на первом рисунке.
  

• 

  42 слайд

  Доказательства методом дополнения
  Доказательство первое.
  Наряду с доказательствами методом сложения можно привести примеры доказательств при помощи вычитания, называемых также доказательствами методом дополнения.
  
  Общая идея таких доказательств заключается в следующем.
  
  От двух равных площадей нужно отнять равновеликие части так, чтобы в одном случае остались два квадрата, построенные на катетах, а в другом- квадрат, построенный на гипотенузе.
  
  Ведь если в равенствах В – А = С и В1 - А1 = С1
  часть А равновелика части А1, а часть В равновелика В1, то части С и С1 также равновелики.
  
  

• 

  43 слайд

  Поясним этот метод на примере. На рис. к обычной пифагоровой фигуре приставлены сверху и снизу треугольники 2 и 3, равные исходному треугольнику 1. Прямая DG обязательно пройдет через C. Заметим теперь (далее мы это докажем), что шестиугольники DABGFE и CAJKHB равновелики. Если мы от первого из них отнимем треугольники 1 и 2, то останутся квадраты, построенные на катетах, а если от второго шестиугольника отнимем равные треугольники 1 и 3, то останется квадрат, построенный на гипотенузе. Отсюда вытекает, что квадрат,  построенный на гипотенузе, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах.
  Остается доказать, что наши шестиугольники равновелики. Заметим, что прямая DG делит верхний шестиугольник на равновеликие части; то же можно сказать о прямой CK и нижнем шестиугольнике. Повернем четырехугольник DABG, составляющий половину шестиугольника DABGFE, вокруг точки А по часовой стрелке на угол 90; тогда он совпадет с четырехугольником CAJK, составляющим половину шестиугольника CAJKHB. Поэтому шестиугольники DABGFE и CAJKHB равновелики.
  30.
  

• 

  44 слайд

  1.     треугольники 1, 2, 3, 4;
  2.     прямоугольник 5;
  3.     прямоугольник 6 и квадрат 8;
  4.     прямоугольник 7 и квадрат 9;
  Затем выбросим из прямоугольника части так, чтобы остались только квадраты, построенные на кататах. Этими частями будут:
  1.     прямоугольники 6 и 7;
  2.     прямоугольник 5;
  3.     прямоугольник 1(заштрихован);
  4.     прямоугольник 2(заштрихован);
  Нам осталось лишь показать, что отнятые части равновелики. Это легко видеть в силу расположения фигур. Из рисунка ясно, что:
  1.     прямоугольник 5 равновелик самому себе;
  2.     четыре треугольника 1,2,3,4 равновелики двум прямоугольникам 6 и 7;
  3.     прямоугольник 6 и квадрат 8, взятые вместе, равновелики прямоугольнику 1 (заштрихован);;
  4.     прямоугольник 7 вместе с квадратом 9 равновелики прямоугольнику 2(заштрихован).
     
  
  Знакомый нам чертеж теоремы Пифагора заключим в прямоугольную рамку, направления сторон которой совпадают с направлениями катетов треугольника. Продолжим некоторые из отрезков фигуры так, как указано на рисунке, при этом прямоугольник распадается на несколько треугольников, прямоугольников и квадратов. Выбросим из прямоугольника сначала несколько частей так чтобы остался лишь квадрат, построенный на гипотенузе. Эти части следующие:
  
  Другое доказательство
  методом вычитания.
  
  31.
  

• 

  45 слайд

  Доказательство Евклида
  Приведено в предложении 47 первой книги «Начал».
  На гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника АВС строятся
  соответствующие квадраты и доказывается, что прямоугольник
  BJLD равновелик квадрату ABFH, а прямоугольник JCEL равновелик
  квадрату АСКG.
  Тогда сумма квадратов на катетах будет равна квадрату на
  гипотенузе.
  
  32.
  

• 

  46 слайд

  
  В самом деле, затушеванные на рисунке треугольники ABD и BFC
  равны по двум сторонам и углу между ними:
  FB=AB, BC==BD и FBC=d+ABC=ABD.
  
  Но SABD=1/2 SBJLD, так как у треугольника ABD и прямоугольника
  BJLD общее основание BD и общая высота LD.
  
  Аналогично SFBC=1\2 SABFH (BF—общее основание, АВ—общая
  высота).
  
  Отсюда, учитывая, что SABD=SFBC , имеем SBJLD= SABFH.
  
  Аналогично, используя равенство треугольников ВСК и АСЕ,
  доказывается, что SJCEL=SACKG.
  
  Итак, SABFH+SACKG=SBJLD+SJCEL= SBCED
  
  Доказательство Евклида в сравнении с древнекитайским или древнеиндийским выглядит
  чрезмерно сложным. По этой причине его нередко называли «ходульным» и «надуманным».
  Но такое мнение поверхностно.
  Теорема Пифагора у Евклида является заключительным звеном в цепи предложений 1-й книги
  «Начал».
  Для того чтобы логически безупречно построить эту цепь, чтобы каждый шаг доказательства был
  основан на ранее доказанных предложениях, Евклиду нужен был именно выбранный им путь.
  
  

• 

  47 слайд

  Дано:
  ∆АВС, ∠С=90°
  А
  С
  В
  Доказать:
  Доказательство:
  D
  2) Доп. постр. СD – высота ∆АВС
  ∆АDС
  прямоугольный
  ∆ВСD
  прямоугольный
  1) ∆АВС прямоугольный (по условию)
  ;
  А.В. Погорелов
  33.
  

• 

  48 слайд

  Выражение площади квадрата, построенного на гипотенузе, как сумма площадей четырех
  
  треугольников
  
  и площади квадрата со стороной, равной разности катетов,
  т.е.
  
  Трактатовое доказательство
  34.
  

• 

  49 слайд

  Доказательство Хоукинсa.
  Приведем еще одно доказательство, которое имеет вычислительный характер, однако сильно отличается от всех предыдущих. Оно опубликовано англичанином Хоукинсом в 1909 году; было ли оно известно до этого- трудно сказать.
   
  
  Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C повернем на 90° так, чтобы он занял положение A'CB'. Продолжим гипотенузу A'В' за точку A' до пересечения с линией АВ в точке D. Отрезок В'D будет высотой треугольника В'АВ. Рассмотрим теперь заштрихованный четырехугольник A'АВ'В. Его можно разложить на два равнобедренных треугольника САA' и СВВ' (или на два треугольника A'В'А и A'В'В).
  SCAA‘=b²/2      SCBB‘=a²/2      SA'AB'B=(a²+b²)/2
  Треугольники A'В'А и A'В'В имеют общее основание с и высоты DA и DB, поэтому :
  
  SA'AB'B=
  
  Сравнивая два полученных выражения для площади,
  получим:
  
  35.