• 

  1 слайд

  Выполнила: Патрушева Татьяна Васильевна, учитель математики, высшая квалификационная категория г. Пермь. МАОУ «СОШ №10»
  

• 

  2 слайд

  Содержание:
  Арифметическая прогрессия
  Теория.
  Задачи для самостоятельного решения.
  Геометрическая прогрессия
  Теория.
  Задачи для самостоятельного решения.
  Занимательные задачи на применение формул прогрессий.
  

• 

  3 слайд

  Арифметическая прогрессия:
  Арифметической прогрессией называется ряд чисел, в котором каждое число, начиная со второго, равняется предыдущему, сложенному с одним и тем же постоянным числом
  Формула п - го члена:ап= а1+ d(п-1)
  d- разность арифметической прогрессии: d= ап+1 - ап
  Характеристическое свойство:ап = (ап-1 + ап+1 ): 2
  Формулы суммы п- первых членов:
  
  
  
  

• 

  4 слайд

  Задача 1
  Представь, что ты прораб на стройке. Привезли и выгрузили большое количество труб. Нужно быстро определить, чтобы закрыть наряд шоферу, сколько привезли труб? Как ты это сделаешь? Какое рационализаторское предложение внесешь по транспортировке и выгрузке труб?
  
  
  

• 

  5 слайд

  Задача 1
  При хранении бревен строевого леса их укладывают так, как показано на рисунке.
  
  
  
  
  Сколько бревен находится в одной кладке, если в ее основание положить 16 бревен?
  
  
  
  

• 

  6 слайд

  Задача 2: Диаметры пяти шкивов, насаженных на общий вал, образуют арифметическую прогрессию. Найти диаметры шкивов, если сумма первого и третьего составляет 268 мм, а второго и четвертого - 316 мм.
  Решение: По условию задачи а1 + а3 = 268; а2 + а4 = 316, найти требуется а1, а2, а3, а4, а5
  Составим и решим систему уравнений, используя формулу
  ап = а1+ d(п-1)
  
  
  
  
  
  Подставив полученные значения в формулу ап = а1+ d(п-1), найдем остальные значения
  а2 = 134, а3 = 158, а4 = 182, а5 = 206
  
  Ответ: 110, 134, 158, 182, 206
  

• 

  7 слайд

  Задача 3: За первый день было вспахано 100 га пашни, а в каждый последующий день - на 3 га больше, чем в предыдущий. Найти, сколько гектаров пашни было вспахано за 19 дней.
  Решение: По условию задачи а1 = 100, d = 3, n = 19, значит найти требуется S19.
  По формуле:
  
  
  
  
  Ответ: 2413
  

• 

  8 слайд

  Задача 4: Два тела, находясь на расстоянии 153 м друг от друга, начали двигаться одновременно навстречу друг другу. Первое тело движется со скоростью 10 м/с, второе в первую секунду прошло 3 м, а в каждую последующую - на 5 м больше, чем в предыдущую. Через сколько секунд тела встретятся?
  Решение: Первое тело движется равномерно, и поэтому путь, пройденный этим телом, вычисляется по формуле: S=V·t. Движение второго тела подчиняется законам арифметической прогрессии где а1 = 3, d = 5
  Поэтому
  необходимо найти t.
  Из условия задачи получаем уравнение:
  5t2 + 21t - 306 =0
  t1=6, t2= -10,2
  Второй корень не удовлетворяет условию t
  Ответ: 6
  

• 

  9 слайд

  Задачи для самостоятельного решения:
  За изготовление и установку первого железобетонного кольца заплатили 100 уе., а за каждое следующее кольцо платили на 20 уе. больше, чем за предыдущее. На постройку колодца израсходовали 9 колец. Какова стоимость колодца?
  Ответ:1620
  За рытье колодца оплачивается за первый метр глубины 150 уе., а за каждый следующий – на 10 уе. больше, чем за предыдущий. Вычислить стоимость работы, если глубина колодца составила 10 м. Ответ:1950
  Шар, катящийся по желобу, в первую секунду проходит 0,6 м, а путь, пройденный в каждую следующую секунду, увеличивается на 0,6 м. Сколько секунд будет двигаться шар по шестиметровому желобу? Ответ:4
  Турист, двигаясь по пересеченной местности, за первый час пути прошел 800 в, а за каждый следующий час проходил на 25 м меньше, чем за предыдущий. Сколько времени он потратил на путь, равный 5700 м? Ответ: 8
  
  

• 

  10 слайд

  Геометрическая прогрессия:
  Геометрическая прогрессия - это ряд чисел, каждое из которых получается из предыдущего умножением его на некоторое постоянное для этого ряда число
  Формула п - го члена:bп= b1 ·qn­1
  q- знаменатель геометрической прогрессии:
  q= bn+1 : bn
  Характеристическое свойство:
  Формулы суммы п - первых членов:
  
  
  

• 

  11 слайд

  Задача 1: Известно, что бактерия в питательной среде через каждые полчаса делится на две. Сколько бактерий может образоваться из одной бактерии за 10 часов?
  Решение: Бактерия была одна, следовательно, b1=1. Она делится на две, значит q=2, а так как время деления полчаса, то за 10 часов произойдет 20 делений и нам нужно найти b21
  По формуле: bп= b1 ·qn­1
  b21 = 1·220 =1048576 ≈ 1,05·106
  
  Ответ: 10,5·106
  

• 

  12 слайд

  Задача 2: После каждого качания поршня под колоколом воздушного насоса давление воздуха уменьшается на 0,83 начального давления. Определить, как велико будет давление воздуха под колоколом после 15 качаний, если первоначальное давление было равно 760 мм ртутного столба.
  Решение: Из условия задачи получаем, что b1=760; q=0,83; n = 16, а найти необходимо b16 .
  По формуле bп= b1 ·qn­1 , значит:
  b16=760 ·0,8315 ≈ 46,45
  
  Ответ: 46,45
  

• 

  13 слайд

  Задача 3 В сберегательный банк внесли вклад в размере 10000 рублей с доходом 2% годовых. Какую сумму выплатит банк вкладчику через 4 года? (ответ дать в рублях)
  Решение: За один год банк выплатит S1 = b1 + b1 q=b1 ·(1+q),
  где b1- вклад, q- процентная ставка.
  За 2 года S2 =S1+S1q = S1 (1+q), но S1=b1·(1+q), следовательно, S2=b1·(1+q)2.
  Тогда за n лет Sn = b1·(1+q)n
  Найдем по этой формуле S4 , S4 = b1·(1+q)4
  10000·(1+2%:100%)4 = 10000 · 1,02 4 = 10824,32
  10824 руб. 32 коп.
  
  Ответ:10824,32
  

• 

  14 слайд

  Служившему воину дано вознаграждение за 1 рану 1 копейка,
  за другую – 2 копейки,
  за третью – 4 копейки и т.д.
  По исчислению нашлось, что воин получил вознаграждение 655 рублей 35 копеек. Спрашивается число его ран.
  Занимательные задачи
  №1 «Вознаграждение воина»
  

• 

  15 слайд

  Пусть число ран n, то
  1+2+4+8+…+2n-1=65535.
  1,2,4,8,… -геометрическая прогрессия, b1=1, b2=2, то q=2.
  Sn=(1-2n-1*2)/(1-2)= 2n-1=65535.
  2n=65536, 2n=216, n=16.
  Ответ: воин имел 16 ран.
  РЕШЕНИЕ
  

• 

  16 слайд

  Решение:
  80*(1+81+812+813+814+…+819)+1
  Выражение в скобках
  1, 81, 812, 813, …, 819…
  b1=1, b2=81, q= 81, bn=819
  Sn=(1-81*819)/(1-81)= (1-8110)/(-80)
  (80* (1-8110)/(-80))+1=-1+8110+1=8110
  №2 Вычислить
  

• 

  17 слайд

  у =
  Решение: Область определения функции: х ≠ 0.
  1 + sin 30 + sin 30 + sin 30 + … = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 +… сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой q = 1/2.
  Тогда S = 1 : (1 – 1/2 ) = 2.
  Функция приобретает вид; 1) у = х + 2, если х > 0;
  2) у = х – 2, если х < 0.
  
  2
  4
  Задание №3 Построить график функции
  

• 

  18 слайд

  График функции выглядит так:
  y
  x
  4
  2
  -2
  -4
  2
  -2
  0
  

• 

  19 слайд

  Занимательные задачи на применение формул прогрессий
  Однажды богач заключил выгодную, как ему казалось, сделку с человеком, который целый месяц ежедневно должен был приносить по 100 тысяч руб., а взамен в первый день месяца богач должен был отдать 1 коп., во второй - 2 коп., в третий - 4 коп., в четвертый - 8 коп. и т.д. в течение 30 дней. Сколько денег получил богач и сколько он отдал? Кто выиграл от сделки?
  
  Ответ: получил 3·106 руб., отдал примерно 107 руб.,
  богач проиграл
  2. Больной принимает лекарство по следующей схеме: в первый день он принимает 5 капель, а в каждый следующий день – на 5 капель больше, чем в предыдущий. Дойдя до нормы 40 капель в день, он 3 дня пьёт по 40 капель, а потом ежедневно уменьшает прием на 5 капель, доведя его до 5 капель в последний день. Сколько пузырьков лекарства нужно купить больному, если в каждом содержится 20 мл лекарства (что составляет 200 капель)?
  
  Ответ: 2 пузырька
  3. Улитка ползет вверх по дереву, начиная от его основания. За первую минуту она проползла 30 см, а за каждую следующую минуту – на 5 см больше, чем за предыдущую. За какое время улитка достигнет вершины дерева высотой 5,25 м?
  Ответ: 10 минут
  

• 

  20 слайд

  "Прогрессио - движение вперёд!"
  Урок сегодня завершён,
  Но каждый должен знать:
  Познание, упорство, труд
  К прогрессу в жизни приведут.
  

Краткое описание материала