Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Презентации / Презентация по математике 10 класс «Решение алгебаических задач геометрическими способами»
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Презентация по математике 10 класс «Решение алгебаических задач геометрическими способами»

библиотека
материалов
 Учитель: Александрова С.В.
Актуальность Математика – предмет, изучающийся с первого по выпускной класс....
В своей работе мы ставим следующую цель: Показать, что преимущество геометрич...
Задачи: Найти и изучить литературу по данной теме. Рассмотреть алгебраические...
Предмет исследования: Геометрические методы решения задач. Объект исследовани...
Основная часть 1. Решение тригонометрических задач. Многие тригонометрические...
Пример 1: выразить через все остальные аркфункции РЕШЕНИЕ: Так как то можно р...
Угол α можно рассматривать как арккосинус или арктангенс, или арккотангенс со...
Пример 2. Вычислить arctg2+arctg3+arctg1 Определение: arctg а (арктангенс а)...
Использование геометрического подхода делает данную задачу практически устной...
2. Решение систем уравнений Решить систему уравнений: Решение: По теореме обр...
 По теореме обратной теореме о пропорциональных отрезках
3. Решение текстовых задач на движение Задачи на движение и на совместную раб...
4. Решение конкурсных задач и задач ЕГЭ Геометрическим методом хорошо решаютс...
Пример 2. При каких значениях a система уравнений x²+y²=z; имеет x+y+z=a един...
Преобразуем полученное уравнение: x²+y²+x+y=(x²+x+0,25)+(y²+y+0,25)-0,25-0,25...
2)Если 0,5+а=0, т.е. при а=-0,5, уравнение(*) имеет единственное решение, т.к...
Пример 3: Вычислить (без калькулятора и таблиц) sin18. Приведём геометрически...
Таким образом OC = AC. Пусть AB = x, СВ = 1-x. Поскольку АС – биссектриса тре...
Пример 4: Решить уравнение sin3x + 2√2cos3x = 2 Решение: Рассмотрим прямоугол...
Пример 5: Найдите значение выражения tg(arcsin ). Решение: По определению арк...
ЗАКЛЮЧЕНИЕ Геометрический метод характеризуют как метод, идущий от наглядных...
Мы предлагаем свой алгоритм решения алгебраических задач геометрическим спосо...
Преимущества решения задач геометрическим способом: При решении задачи этим м...
Выводы Мы рассмотрели различные задачи, подобрали для них геометрические спо...
Литература: Куликова Л. В. , Литвинова С. А., За страницами учебника математи...
28 1

"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1  Учитель: Александрова С.В.
Описание слайда:

Учитель: Александрова С.В.

№ слайда 2 Актуальность Математика – предмет, изучающийся с первого по выпускной класс.
Описание слайда:

Актуальность Математика – предмет, изучающийся с первого по выпускной класс. Объем материала, терминов, которыми должен оперировать старшеклассник по математике, чрезвычайно велик. Необходимо знать и уметь применят такие методы для решения задач, которые позволят сэкономить время и будут наглядны, т.е. решение задачи будет выглядеть очевидным. Многие задачи алгебры очень трудно решить аналитическим путем. Поэтому любое представление условия задачи в виде рисунка или чертежа облегчает решение задачи. Многие задачи ЕГЭ из части 2 можно решить геометрическим методом. Геометрический метод состоит в том, что само доказательство или решение задачи направляется наглядным представлением.

№ слайда 3 В своей работе мы ставим следующую цель: Показать, что преимущество геометрич
Описание слайда:

В своей работе мы ставим следующую цель: Показать, что преимущество геометрического решения алгебраических задач в его наглядности, так как геометрический подход допускает изящное решение;

№ слайда 4 Задачи: Найти и изучить литературу по данной теме. Рассмотреть алгебраические
Описание слайда:

Задачи: Найти и изучить литературу по данной теме. Рассмотреть алгебраические задачи, которые можно решить и алгебраически и геометрически. Сравнить способы решения задач различными методами. Определить задачи, которые удобнее решать геометрическим методом. Рассмотреть ряд приемов решения нестандартных и конкурсных задач. Развивающая задача: повысить свое интеллектуальное развитие.

№ слайда 5 Предмет исследования: Геометрические методы решения задач. Объект исследовани
Описание слайда:

Предмет исследования: Геометрические методы решения задач. Объект исследования: Алгебраические задачи. Методы исследования: Аналогия, обобщение, анализ научной литературы.

№ слайда 6 Основная часть 1. Решение тригонометрических задач. Многие тригонометрические
Описание слайда:

Основная часть 1. Решение тригонометрических задач. Многие тригонометрические задачи не решаются привычными для них методами или решаются очень сложно, а использование какого-нибудь геометрического приема дает короткое решение. «Тригонометрические функции — это испытанный аппарат геометрии и их тоже нужно излагать, отправляясь от простых наглядных задач, как они практически и возникли — из решения треугольников»?

№ слайда 7 Пример 1: выразить через все остальные аркфункции РЕШЕНИЕ: Так как то можно р
Описание слайда:

Пример 1: выразить через все остальные аркфункции РЕШЕНИЕ: Так как то можно рассматривать как радианную меру острого угла прямоугольного треугольника, в котором противолежащий ему катет а=7, гипотенуза с=√50 По теореме Пифаго- ра другой катет равен: а b c α

№ слайда 8 Угол α можно рассматривать как арккосинус или арктангенс, или арккотангенс со
Описание слайда:

Угол α можно рассматривать как арккосинус или арктангенс, или арккотангенс соответствующих чисел (рис. 4). a b c α

№ слайда 9 Пример 2. Вычислить arctg2+arctg3+arctg1 Определение: arctg а (арктангенс а)
Описание слайда:

Пример 2. Вычислить arctg2+arctg3+arctg1 Определение: arctg а (арктангенс а) — это такое число из интервала тангенс которого равен а. Решение: На основании этого определения arctg1= π/4 Что же такое arctg2 ? Это число из интервала (-π/2:π/2) тангенс которого равен 2. Аналогично и arctg3. Воспользуемся графической интерпретацией (рис.5). Из рисунка вид­но, что arctg2 = x1 , arctg3 = x2 . Ясно, что числа х1 и х2 иррациональные и указать их значения можно только приближенно. По рис. 6 видно, что arctg2= α, а arctg3 = β. Однозначно определить ответ невозможно. x1 x2

№ слайда 10 Использование геометрического подхода делает данную задачу практически устной
Описание слайда:

Использование геометрического подхода делает данную задачу практически устной. Выполним следующие построения: arctg3 = <BAM, arctg2 =<CAN (рис. 7). Тогда arctg1=<ВАС, где <ВАС - острый угол прямоугольного равнобедренного ∆ABC(ВС=АС=√5, АВ=√10) Таким образом, arctg2+arctg3+ +arctg1=<ВАМ+<ВАС+<CAN= <MAN=180°=π. Ответ: π √5 √10

№ слайда 11 2. Решение систем уравнений Решить систему уравнений: Решение: По теореме обр
Описание слайда:

2. Решение систем уравнений Решить систему уравнений: Решение: По теореме обратной теореме Пифагора, из уравнения х²+у²=3², числа х и у являются катетами ∆АBD ( <D – прямой) с гипотенузой АВ = 3. Рассматривая второе уравнение у²+z²=4², построим ∆BDC, где у и z – катеты, а ВС = 4 – гипотенуза. Третье уравнение y²= xz подсказывает, что число у есть среднее пропорциональное чисел х и z.

№ слайда 12  По теореме обратной теореме о пропорциональных отрезках
Описание слайда:

По теореме обратной теореме о пропорциональных отрезках <АВС = 90° АС = ( х + z ) = = 5, тогда AB²=AD•AC, 9=х•5, х =9/5 BC²=DC•AC, 16=z•5, z =16/5 BD²=y²=x•z =9/5•16/5 и BD=12/5=y. Однако, такой прием дает потерю корней, легко убедиться, что х=±9/5; у=±12/5; z=±16/5.

№ слайда 13 3. Решение текстовых задач на движение Задачи на движение и на совместную раб
Описание слайда:

3. Решение текстовых задач на движение Задачи на движение и на совместную работу можно решать графически. Решение задачи основывается на точных геометрических соотношениях. Решить задачу: Расстояние между двумя городами равно 450 км. Два автомобиля выходят одновременно навстречу друг другу. Один автомобиль мог бы пройти все расстояние за 9 часов, другой – вдвое быстрее. Через сколько часов они встретятся? Читаем с чертежа ответ: 3 часа.

№ слайда 14 4. Решение конкурсных задач и задач ЕГЭ Геометрическим методом хорошо решаютс
Описание слайда:

4. Решение конкурсных задач и задач ЕГЭ Геометрическим методом хорошо решаются уравнения и неравенства с параметрами, а также их системы Пример1: При каком a система уравнений |x|+|y| =1 имеет ровно четыре решения? x²+y²=a Решение: Построим линии, определяе- мые уравнениями системы. r=√2/2. Четыре решения могут быть только в двух случаях, когда a=R²=1, или a=r²=1/2. Ответ:1;1/2.

№ слайда 15 Пример 2. При каких значениях a система уравнений x²+y²=z; имеет x+y+z=a един
Описание слайда:

Пример 2. При каких значениях a система уравнений x²+y²=z; имеет x+y+z=a единственное решение? Система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда уравнение x²+y²+x+y=a, полученное из системы x²+y²= z x+y+z=a

№ слайда 16 Преобразуем полученное уравнение: x²+y²+x+y=(x²+x+0,25)+(y²+y+0,25)-0,25-0,25
Описание слайда:

Преобразуем полученное уравнение: x²+y²+x+y=(x²+x+0,25)+(y²+y+0,25)-0,25-0,25=a (x+0,5)²+(y+0,5)²=0,5+a (*) Итак, уравнение(*) задает на плоскости окружность с центром(-0,5;0,5)и радиусом R=√0,5+a. 1)Если 0,5+а<0, т.е. при а<-0,5, множество точек, задаваемых на плоскости уравнением(*), пусто, а следовательно, исходная система решений не имеет

№ слайда 17 2)Если 0,5+а=0, т.е. при а=-0,5, уравнение(*) имеет единственное решение, т.к
Описание слайда:

2)Если 0,5+а=0, т.е. при а=-0,5, уравнение(*) имеет единственное решение, т.к. и окружность вырождается в точку(-0,5;0,5); 3)Если 0,5+a>0,т.е. при a>-0,5, множество точек, задаваемых на плоскости уравнением (*), является окружностью с центром(-0,5;0,5) и R√0,5+а. В этом случае уравнение (*), а следовательно, и исходная система, имеет бесконечно много решений. Ответ: а = - 0,5.

№ слайда 18 Пример 3: Вычислить (без калькулятора и таблиц) sin18. Приведём геометрически
Описание слайда:

Пример 3: Вычислить (без калькулятора и таблиц) sin18. Приведём геометрический способ решения (рис 14). Рассмотрим сектор OAB окружности с центром в точке O и радиуса 1, Проведём хорду AB, на отрезке OB построим точку C так, чтобы AC = AB, при этом <AСВ = <ABC= 72°, a <CАВ = 36°.

№ слайда 19 Таким образом OC = AC. Пусть AB = x, СВ = 1-x. Поскольку АС – биссектриса тре
Описание слайда:

Таким образом OC = AC. Пусть AB = x, СВ = 1-x. Поскольку АС – биссектриса треугольника ОАВ, справедлива пропорция = откуда х²+х-1=0, (х>0), х=(√ 5-1)/2 По теореме косинусов: АВ²=ОА²+ОВ² -2ОА·ОВ · cos<АОВ, х²=1+1 – 2cos36°, х=√2(1-cos36°) =√2(1-cos²18°+sin²18°)= 2sin18° Тогда sin 18°=(√ 5-1)/4 Ответ: (√ 5-1)/4 72°

№ слайда 20 Пример 4: Решить уравнение sin3x + 2√2cos3x = 2 Решение: Рассмотрим прямоугол
Описание слайда:

Пример 4: Решить уравнение sin3x + 2√2cos3x = 2 Решение: Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами ВС = 1 и АС = 2√2. Тогда АВ= = 3. Пусть <А= φ, где φ – острый угол. Тогда cos φ=2√2/3 и sin φ=1/3. Имеем sin3x+ cos3x = , cos3xcos φ + sin3x sin φ= сos(3x- φ)= Решая уравнение получим: х=1/3arcsin1/3±1/3arccos2/3+2πn/3, nєZ Ответ: х=1/3arcsin1/3±1/3arccos2/3+2πn/3, nєZ 3 2√2 1

№ слайда 21 Пример 5: Найдите значение выражения tg(arcsin ). Решение: По определению арк
Описание слайда:

Пример 5: Найдите значение выражения tg(arcsin ). Решение: По определению арксинуса имеем: - arc . Построим прямоугольный треугольник АВС с углом А, который равен arcsin . При этом, по теореме Пифагора, прилежащий катет будет равен . Поэтому tg(arcsin ) = = и tg(arcsin )= · =2. Ответ: 2. А В С 2 5

№ слайда 22 ЗАКЛЮЧЕНИЕ Геометрический метод характеризуют как метод, идущий от наглядных
Описание слайда:

ЗАКЛЮЧЕНИЕ Геометрический метод характеризуют как метод, идущий от наглядных представлений. Существенными признаками этого понятия являются геометрические (наглядные) представления и законы геометрии, в которых отражены свойства геометрических фигур. Мы попытались сопоставить задачи и способы их решения, вот какая картина у нас получилась:

№ слайда 23
Описание слайда:

№ слайда 24 Мы предлагаем свой алгоритм решения алгебраических задач геометрическим спосо
Описание слайда:

Мы предлагаем свой алгоритм решения алгебраических задач геометрическим способом: Построение геометрической модели задачи, т.е. перевод её на язык геометрии; Решение получившейся геометрической задачи; Перевод полученного ответа с геометрического языка на естественный.

№ слайда 25 Преимущества решения задач геометрическим способом: При решении задачи этим м
Описание слайда:

Преимущества решения задач геометрическим способом: При решении задачи этим методом четко определяется начало действия; Графическая иллюстрация облегчает проведение анализа, составления уравнений, помогает найти несколько способов решения; Расширяется область использования графиков, повышается графическая культура учеников; Совершенствуется техника решения уравнений (разделений переменных); Реализуются внутрипредметные (алгебра и геометрия) и межпредметные (математика и физика) связи.

№ слайда 26 Выводы Мы рассмотрели различные задачи, подобрали для них геометрические спо
Описание слайда:

Выводы Мы рассмотрели различные задачи, подобрали для них геометрические способы решения, сравнили алгебраический и геометрический методы решения. Удобнее и нагляднее всего решать геометрическим методом тригонометрические задачи. Этот метод можно использовать в качестве проверки при решении задач. Рассмотренные геометрические методы подходят для решения конкурсных нестандартных и олимпиадных задач. Позволяют существенно упростить их решение, сделать его более понятным и наглядным. Применение геометрических методов позволяет развивать пространственное воображение, которое является основным для освоения материала в старших классах. Позволяет сократить время решения задач (применимо к тестам).

№ слайда 27 Литература: Куликова Л. В. , Литвинова С. А., За страницами учебника математи
Описание слайда:

Литература: Куликова Л. В. , Литвинова С. А., За страницами учебника математики, М. - Глобус, 2008. Киселева Ю. С., Методическое пособие по теме: Использование геометрических методов при решении алгебраических задач. В.А. Филимонов, Геометрия помогает решить задачу – Математика в школе № 2-3, 1992 Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др., Алгебра и начало анализа: Учеб. Для 10-11 кл. образоват. учреждений ,– 10-е изд., дораб. – М.: Просвящение, 2002. – 384с.

№ слайда 28
Описание слайда:

Краткое описание документа:

Данная презентация предназначена для  обобщающего урока по решению различных задач по алгебре с помощью геометрических правил и теоретических умений.   Презентация помогает учащимся рассмотреть различные способы решения задач, уметь применять их в практике, увидеть нестандартные способы решения.  Также предлагаются задания ЕГЭ прошлых лет, задания повышенной сложности. Данный презентация помогает систематизировать знания по решению заданий разного содержания и помогает лучше подготовиться к экзамену.  
Автор
Дата добавления 06.05.2014
Раздел Математика
Подраздел Презентации
Просмотров418
Номер материала 96726050611
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх