• 

  1 слайд

  Арифметическая прогрессия
  Учебное пособие для 9 класса
  
  
  Калинина С.В.
  

• 

  2 слайд

  Содержание
  Введение
  Понятие арифметической прогрессии
  Формула n-го члена арифметической прогрессии
  Сумма первых n членов арифметической прогрессии
  Характеристическое свойство арифметической прогрессии
  Об авторе
  Тест
  

• 

  3 слайд

  Понятие арифметической прогрессии
  

• 

  4 слайд

  Определение.
  Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называют арифметической прогрессией, а число d – разностью арифметической прогрессии.
  пример
  

• 

  5 слайд

  Пример 1. 1, 3, 5, 7, 9, 11, …- это арифметическая прогрессия, у которой
  
  
  Пример 2. 20, 17, 14, 11, 8, 5, 2, -1, -4, … - это арифметическая прогрессия, у которой
  
  
  Пример 3. 8, 8, 8, 8, 8, … - это арифметическая прогрессия, у которой
  
  

• 

  6 слайд

  
  Таким образом, арифметическая прогрессия – это числовая последовательность , заданная рекуррентно соотношениями
  ,
  

• 

  7 слайд

  Арифметическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если d>0, и убывающей, если d<0.
  Для обозначения арифметической прогрессии используется знак .
  запомни
  

• 

  8 слайд

  Формула n-го члена арифметической прогрессии
  

• 

  9 слайд

  Рассмотрим арифметическую прогрессию
  с разностью d.
  
  
  
  
  
  и т.д.
  

• 

  10 слайд

  Для любого номера справедливо равенство
  
  
  Это формула n-го члена арифметической прогрессии.
  пример
  

• 

  11 слайд

  Пример. Дана арифметическая прогрессия .
  Известно, что . Найти .
  Положим n=22, воспользуемся формулой , получим
  ?
  

• 

  12 слайд

  Перепишем формулу n-го члена арифметической прогрессии
  в виде
  
  Введем обозначения:
  
  Получим
  Подробнее
  пример
  

• 

  13 слайд

  Пример. , 3, 5, 7, 9, 11, … - арифметическая прогрессия, у которой .
  Составим формулу n-го члена:
  

• 

  14 слайд

  Арифметическую прогрессию рассматривают как линейную функцию y=dx+m, заданную на множестве N натуральных чисел.
  Угловой коэффициент этой линейной функции равен d – разности арифметической прогрессии.
  

• 

  15 слайд

  Формула суммы членов конечной арифметической прогрессии
  

• 

  16 слайд

  Пусть -
  конечная арифметическая прогрессия
  - сумма первых n членов арифметической прогрессии
  -
  сумма членов прогрессии в порядке возрастания их номеров.
  -
  сумма членов прогрессии в порядке убывания их номеров.
  
  

• 

  17 слайд

  Сложим эти равенства, группируя попарно слагаемые, получим
  
  
  В каждой из скобок записана сумма, равная сумме .
  Всего таких скобок n. Следовательно,
  

• 

  18 слайд

  Формула суммы n членов арифметической прогрессии
  запомни
  пример
  

• 

  19 слайд

  Пример.
  Дана конечная арифметическая прогрессия
  Известно, что Найти , т.е. .
  Решение. Имеем
  
  Значит,
  ?
  

• 

  20 слайд

  
  С формулой связан один из эпизодов биографии К.Гаусса. Однажды на уроке учитель, чтобы занять первоклассников пока он будет заниматься с учениками третьего класса, велел сложить все числа от 1 до 100, надеясь, что это займет много времени. Но маленький Гаусс сразу сообразил, что 1+100=101, 2+99=101 и т.д. и таких чисел будет 50. осталось умножить 101*50. Это мальчик сделал в уме. Едва учитель закончил чтение условия, он предъявил ответ. Изумленный учитель понял, что это самый способный ученик в его практике.
  Интересно!
  

• 

  21 слайд

  Характеристическое свойство арифметической прогрессии
  

• 

  22 слайд

  Теорема
  Числовая последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме первого(и последнего, в случае конечной последовательности), равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.
  

• 

  23 слайд

  Доказательство
  Пусть дана арифметическая прогрессия
  
  Рассмотрим три ее члена, следующие друг за другом
  
  
  Известно, что
  
  
  
  
  Сложив эти равенства, получим :
  
  Это значит, что каждый член арифметической прогрессии(кроме первого и последнего) равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.
  

• 

  24 слайд

  Верно и обратное: если последовательность такова, что для любого n>1 выполняется равенство
  
  
  то - арифметическая прогрессия.
  Перепишем последнее равенство в виде
  
  
  
  Т.е. разность между любым членом последовательности и предшествующим ему всегда одна и та же, а это означает, что задана арифметическая прогрессия.
  пример
  ?
  

• 

  25 слайд

  Пример.
  При каком значении xчисла 3x+2, 5x-4, 1x+12 образуют конечную арифметическую прогрессию?
  Решение.
  Согласно характеристическому свойству, заданные выражения должны удовлетворять соотношению
  
  
  Решая это уравнение, находим:
  
  
  
  При этом значении x заданные выражения 3x+2, 5x-4, 11x+12 принимают, соответственно значения -14,5, -31,5, -48,5. это – арифметическая прогрессия, ее разность равна -17.
  Ответ: x=-5,5.
  

• 

  26 слайд

  Из предложенных последовательностей выберите ту, которая является арифметической прогрессией
  а) 2; 4; 8; 16 б) -7; -7; -7; -7 в) 1; 3; 9; 27
  2. Какая из данных арифметических прогрессий является возрастающей?
  а) 15; 12; 9; 6 б) 3; 3; 3; 3 в) 5; 8; 11; 14
  3. Найдите , если .
  а) 5 б) 13 в) -21
  4. Найдите , если .
  а) 54 б) 27 в)9
  5.Известно, что . Найдите n.
  а) 41 б) -23 в) 23
  6. Известно, что . Найдите d.
  а) -3 б) 3 в) 2
  

• 

  27 слайд

  Верно!
  

• 

  28 слайд

  Неверно…
  

• 

  29 слайд

  Найдите сумму двенадцати первых членов арифметической прогрессии, если .
  а) 294 б) 41 в) 57
  2. Известно, что . Найдите d.
  а) 5 б) 3 в) 9
  3. Найдите сумму первых четырнадцати членов арифметической прогрессии, заданной формулой .
  а) 497 б) 511 в)1022
  

• 

  30 слайд

  
  
  Калинина Светлана Владимировна
  Учитель математики
  МБОУ Нечунаевская СОШ
  Алтайский край
  Шипуновский район
  ОБ АВТОРЕ
  

• 

  31 слайд

  Данное учебное пособие предназначено для учащихся 9 класса общеобразовательной школы.
  Основная цель учебного пособия состоит в формировании знаний и умений по теме «Арифметическая прогрессия».
  Пособие состоит из нескольких разделов, каждый из которых содержит теоретические сведения, примеры, задания для самоконтроля.
  После изучения данной темы учащиеся могут проверить свои знания и умения, выполнив тест, прилагаемый к данному учебному пособию.
  Введение
  

• 

  32 слайд

  Верно!
  

• 

  33 слайд

  Неверно…
  

• 

  34 слайд

  Успехов !!!
  

Краткое описание материала