Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Материалы для подготовки к ЕГЭ. Задача С4.
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Материалы для подготовки к ЕГЭ. Задача С4.

библиотека
материалов

9


Материалы для подготовки к ЕГЭ. Задача С4


Задание С4. Решение многовариантных задач по планиметрии.


Наиболее часто используемые теоретические сведения: признаки подобия треугольников; теорема Пифагора; теорема косинусов; теорема синусов; свойства средней линии треугольника и средней линии трапеции; формулы радиусов вписанной и описанной окружностей; формула длины отрезка стороны треугольника до точки касания со вписанной окружностью; свойство медианы треугольника; свойство биссектрисы угла треугольника; формулы площади треугольника, параллелограмма, трапеции, произвольного четырехугольника (через диагонали и угол между ними); свойства углов, связанных с окружностью (центральный, вписанный, угол между касательной и секущей, угол между секущими, угол между хордами); свойство пропорциональности отрезков хорд, свойство пропорциональности отрезков секущих, теорема о касательной и секущей; соотношения, связанные с высотой в прямоугольном треугольнике; свойства и признаки четырехугольника, вписанного в окружность, и описанного около окружности; условия нахождения четырех точек на одной окружности (на одной дуге или на дополнительных дугах); отрезок, соединяющий основания двух высот треугольника, отсекает подобный исходному треугольник.


Полезные навыки при решении задач: дополнительные построения в трапеции (проведение через вершину прямой, параллельной боковой стороне; проведение высот; пересечение продолжений боковых сторон; проведение прямой до пересечения с продолжением основания через вершину и точку на боковой стороне); навыки вычисления отношений пересекающихся отрезков, умение вычислять отношения площадей фигур, знание привычных вариантов расположения подобных треугольников, привычный поиск прямоугольного треугольника, связанного с касающимися окружностями.


Необходимо знать: точка касания двух окружностей лежит на прямой, соединяющей их центры; отношение высот треугольника обратно пропорционально отношению сторон; в произвольной трапеции точка пересечения диагоналей, точка пересечения продолжений боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой; отношение площадей треугольников с общим углом или со смежными углами равно произведению отношений сторон, прилежащих к указанному углу;


Основные причины возникновения нескольких случаев в выполнении чертежа, проведении решения или написании ответа:

  1. Не указано, где именно расположена точка на прямой: на стороне фигуры или на ее продолжении;

  2. Не указано, считать отношение, данное в условии, от одного конца отрезка, или же от другого;

  3. Не указано, происходит внешнее касание окружностей, или же внутреннее;

  4. Не указано, пересекаются прямые(лучи) внутри фигуры, или же вне ее;

  5. Не указано, в какую именно из областей вписана окружность;

  6. Не указано, как именно расположена прямая, образующая с данной прямой данный угол;

  7. Не указано, лежит ли основание высоты треугольника на его стороне или на ее продолжении (острый угол или тупой);

  8. Возможны два треугольника с заданным синусом угла (угол тупой или острый);

  9. Не указано, расположены центры двух пересекающихся окружностей - по одну сторону от общей хорды, или же по разные;

  10. Не указано, проведена внешняя или внутренняя общая касательная.



Сложности могут возникнуть:

  1. При обнаружении всех случаев расположения фигур или всех возможных конфигураций фигуры. (внимательно читаем и запоминаем предыдущий раздел)

  2. При составлении уравнений. (советуем вспомнить все факты, касающиеся данной ситуации, и проверить, не дают ли они нужное недостающее уравнение)

  3. При изменении уравнения в соответствии с новой конфигурацией. (советуем запомнить, какие точки участвовали в предыдущем случае, и называть соответствующие точки точно так же. Скорее всего, уравнение получится таким же или почти таким же.

  4. При решении полученных уравнений. Если все совсем плохо, подумайте, а не слишком ли тяжелый способ решения Вы избрали. Возможно, на поверхности лежит другой, намного легче…

  5. Конечно, нужно как можно больше тренировать внимательность и аккуратность. Одна ошибка в арифметике на любом этапе решения задачи может зачеркнуть все сделанное!



Советы:

1) если какое-либо условие дано, то, вероятно, оно должно быть использовано при решении; если Вы не можете решить задачу, проверьте, все ли данные осознаны и использованы.

2) Если в задаче речь идет о касающихся окружностях, то сразу, автоматически, рассматриваем внешнее и внутреннее касание, и в каждом случае проводим прямую центров, на которой обязательно лежит точка касания. (хорошо выражаются отрезки, равные сумме или разности радиусов)

3) Если в задаче окружность касается прямой, то сразу проводим радиус в точку касания, он будет перпендикулярен касательной.

4) Если две окружности имеют общую касательную, то, во-первых, если ничего не указано, то их две (существенно различных): внешняя и внутренняя, а, во-вторых, расстояние между точками касания с прямой легко вычисляется с помощью построения «волшебного» прямоугольного треугольника.

5) Если в задаче найдено два варианта расположения, посмотрите, нет ли еще!

6) Если Вы просчитали все случаи и получили несколько ответов, посмотрите, все ли они подходят по условию….



Необходимо помнить:

  1. Задание может содержать два и более случаев. Если Вы рассмотрите все случаи и не успеете (не сумеете?) довести ни один до правильного ответа, то есть шанс получить хотя бы балл.

  2. Один случай, полностью решенный, доведенный до правильного ответа, дает более половины баллов за задачу!

  3. Не боги горшки обжигают. Если Вы знаете много стандартных конфигураций, и знаете, как с ними справляться, не понаслышке, а прорешав множество задач, то велика вероятность, что и эту незнакомую задачу Вы решить сможете. Смелее!

  4. Если не знаете, что делать, чтобы решить задачу, вываливайте на лист все, что знаете о данной ситуации. Решение может найтись само!

  5. По микроскопическим чертежам решать задачи умеют немногие. Чертеж должен быть хорошим! Он должен Вам помогать, а не мешать. Речь не идет об идеально ровных окружностях. Вы должны видеть на чертеже все необходимое, и линии не должны случайно сливаться, а точки – случайно совпадать!



Характеристика блоков заданий:

Блок 1 – Подготовка к выполнению задач уровня С4. Основные приемы в заданиях весьма умеренного уровня сложности.

Блок 2 – Работа на занятии. Задания немного более высокого уровня, или более комплексные, включающие различные приемы. Заданий достаточно много, преподаватель имеет возможность выбрать, какие примеры надо в первую очередь разобрать на семинарах. Всем, даже хорошо решающим, есть, чем заняться.

Блок 3 – Домашнее задание. Он больше остальных, так как на занятии очень много успеть невозможно, а без тренировки выполнить хорошо задание на экзамене трудно.


Внимание! Задания не всегда расположены в порядке возрастания сложности!


Блок 1. (обязательный минимум-подготовка к задачам ЕГЭ - начало работы на занятии)


1. Дан параллелограмм ABCD. Биссектрисы углов А и D делят сторону ВС на три равные части. Вычислите стороны параллелограмма, если его периметр равен 40.

Два случая возникают из-за того, что лучи могут пересечься как внутри фигуры, так и вне ее. Остается только заметить равнобедренные треугольники.

5, 15, 5, 15 или 8, 12, 8, 12

2. В прямоугольнике hello_html_m4ef745e0.gifhello_html_55301095.gif, hello_html_m1f799d85.gif. Точка hello_html_m555574ae.gifна прямой hello_html_6758a948.gif выбрана так, что hello_html_m488c945b.gif. Найдите hello_html_m52ccd7fa.gif.

Опять равнобедренные треугольники! Только надо рассмотреть три возможных расположения точки Е на прямой АВ (на отрезке или вне его). Оказывается, что один из случаев не реализуется. Но это надо доказать…

1 или 3

3. В треугольнике hello_html_m14fbeb71.gif на стороне hello_html_244937f7.gif выбрана точка hello_html_m30953a3f.gif так, что она делит сторону ВС в отношении 1:2. Медиана hello_html_4ef8dc6b.gif пересекает отрезок hello_html_m4f5faa8a.gif в точке hello_html_3612d1f0.gif. Какую часть площади треугольника hello_html_m14fbeb71.gif составляет площадь треугольника hello_html_m120e2d4e.gif?

Тренируемся находить отношение отрезков либо с помощью дополнительных построений и подобия треугольников, либо по теореме Менелая. Далее ищем «часть от части» площади. Стандартная задача для знающих несложные методы.

hello_html_m7f4b0743.gif или hello_html_m468b7afa.gif

4. Дан параллелограмм hello_html_m4ef745e0.gif, hello_html_55301095.gif, hello_html_28138446.gif, hello_html_aab3c9.gif. Окружность с центром в точке hello_html_m2b228de4.gif касается биссектрисы угла hello_html_4e8be1f3.gif и двух сторон параллелограмма, исходящих из вершины одного его острого угла. Найдите площадь четырехугольника hello_html_55c06b75.gif.

Два случая – обе окружности вписаны в правильные треугольники, только один из них «вылезает» за пределы параллелограмма. Далее в одном из вариантов расположения площадь легко собирается «по частям» из треугольников, если заметить, что в них найденный радиус является высотой. Второй случай удобно сводится к первому вычитанием из параллелограмма.

hello_html_49c03be9.gif или hello_html_736016ee.gif

5. Найдите длину отрезка общей касательной к двум окружностям, заключенного между точками касания, если радиусы окружностей равны 23 и 7, а расстояние между центрами окружностей равно 34.

Стандартный алгоритм: радиусы в точку касания, перпендикулярные прямой, точка касания лежит на прямой центров, ищем «волшебный» прямоугольный треугольник с помощью проведения линии, параллельной касательной. Можно прямо запомнить формулу для расстояния между точками касания двух касающихся окружностей с общей касательной. Не забудьте, что касательная может быть как внешняя, так и внутренняя!

16 или 30

6. Около треугольника АВС описана окружность с центром О, угол АОС равен hello_html_7c1229a.gif. В треугольник АВС вписана окружность с центром М. Найдите угол АМС.

Надо знать: связь центрального и вписанного углов; Сумму противоположных углов вписанного четырехугольника (для второго варианта расположения); уметь вычислить угол между биссектрисами двух углов треугольника, на пересечении которых лежит упомянутый центр вписанной окружности! Больше ничего… Только аккуратность. И смелость.

hello_html_m78dad732.gif или hello_html_m5a5807cb.gif

7. В треугольнике hello_html_4acc6c72.gif сторона hello_html_m756831df.gif равна 6, высота hello_html_5b884a4a.gif равна hello_html_m23a0db55.gif, а сторона hello_html_6758a948.gif равна hello_html_102cc257.gif. Найдите площадь треугольника hello_html_4acc6c72.gif.

Высота может опуститься как на сторону треугольника, так и на ее продолжение…. Так что надо рассмотреть и случай тупоугольного треугольника тоже!

hello_html_f05e455.gif или hello_html_m41648e26.gif

8. На стороне hello_html_m756831df.gif параллелограмма hello_html_m4ef745e0.gif выбрана точкаhello_html_m555574ae.gif , делящая эту сторону в отношении 2:3. Отрезок hello_html_43098182.gif пересекает диагональ hello_html_m346ad540.gif в точке hello_html_m25e7e86d.gif. Какую часть площади параллелограмма hello_html_m4ef745e0.gif составляет площадь треугольника hello_html_m4a0598b.gif?

Простейшие действия с площадями. Знание базовых формул. Желающие могут сделать задачу красиво, без вычислений, только с отношениями, «часть от части». Не забудьте, что не указано, откуда считать отношение!

hello_html_68739141.gif или hello_html_m20e74a73.gif

9. Две окружности пересекаются в точках hello_html_6bfcd3a2.gif и hello_html_m79d9937d.gif. Через точку hello_html_6bfcd3a2.gif проведены диаметры hello_html_m346ad540.gif и hello_html_4c16abe9.gif этих окружностей. Найдите расстояние между центрами окружностей, если hello_html_m16a4ef8d.gif, hello_html_7e63b272.gif.

Угол, опирающийся на диаметр, и средняя линия треугольника!

Откуда случаи? Просто центры двух окружностей могут находиться по одну сторону от общей хорды. А могут – по разные.

5 или 2

10. Трапеция hello_html_m4ef745e0.gif с основаниями hello_html_4c16abe9.gif и hello_html_m756831df.gif вписана в окружность с центром hello_html_m2b228de4.gif. Найдите высоту трапеции, если ее средняя линия равна 3 и hello_html_m2feb69a9.gif.

Опять центральный угол и вписанный. Желательно знать формулы универсальной тригонометрической подстановки – тогда можно решить задачу чисто алгебраически, даже не понимая, почему два случая…. И когда центр окружности внутри трапеции, а когда – вне!

9 или 1

11. Прямая отсекает от сторон прямого угла отрезки 5 и 12. Найдите радиус окружности, касающейся этой прямой и сторон угла.

Простейший случай вписанной и вневписанной окружности. Радиус вписанной, как положено в прямоугольном треугольнике, даже может быть вычислен как отрезок стороны до точки касания. Формулу для радиуса вневписанной желательно знать, может пригодиться. Чтобы каждый раз не выводить через площади частей!

2 или 15



Блок 2. (задания для работы на занятии)

12. На стороне hello_html_m2f5d21aa.gif квадрата hello_html_m4ef745e0.gif построен равносторонний треугольник hello_html_m1e9ecc03.gif. Найдите высоту треугольника hello_html_m7e3cb42f.gif, проведенную из вершины hello_html_6bfcd3a2.gif, если известно, что сторона квадрата равна 1.

Треугольник можно построить как вовнутрь квадрата, так и наружу. Других трудностей в задаче не предполагается! Только немного посчитать.

hello_html_50f49696.gif

13. В окружность радиуса hello_html_m102259ca.gif вписана трапеция основаниями 2 и 4. Найдите расстояние от центра окружности до точки пересечения диагоналей трапеции.

Трапеция равнобокая; середины оснований и точка пересечения диагоналей лежат не просто на одной прямой, а на оси симметрии! Только надо помнить, что в подобных фигурах высоты, как и любые другие линейные размеры, относятся с тем же коэффициентом, что и стороны!

hello_html_9485cde.gif

14. Расстояние между центрами окружностей радиусов 2 и 8 равно 15. Этих окружностей и их общей касательной касается третья окружность. Найдите ее радиус.

Задача-сюрприз. Здесь не два случая, и даже не три…. Можно устраивать конкурс, кто найдет больше! Целых шесть. Два, если общая касательная внутренняя, и четыре, если внешняя!

Справились – приступаем к стандартному вычислению расстояния между точками касания и поиску прямоугольных треугольников.

hello_html_5c1faf3.gif, или hello_html_mac4be77.gif, или hello_html_m764c8ff3.gif, или hello_html_296e8ca4.gif, или hello_html_m41f041f8.gif

15. Окружность hello_html_m465a3394.gif радиуса 12 вписана в прямоугольную трапецию с основаниями 28 и 21. Найдите радиус окружности, которая касается основания, большей боковой стороны и окружности hello_html_m465a3394.gif .

Две окружности закатились в разные уголки…. А по сути – только синус с косинусом меняются местами! Можно даже решать не два случая, а….. скажем, полтора, сославшись на прямой угол между биссектрисами углов при боковой стороне трапеции. Только посчитать бы нужную функцию угла! Впрочем, поможет очевидное подобие треугольников.

3 или hello_html_m656a31ba.gif

16. Дана трапеция hello_html_m4ef745e0.gif, основания которой hello_html_7dacf682.gif Окружность, касающаяся прямых hello_html_m30dcb06.gif и hello_html_7b71b5d3.gif, касается стороны hello_html_m1d829fdb.gif в точке hello_html_315d6416.gif. Найдите длину отрезка hello_html_4cfee717.gif.

Вот и опять вписанная и вневписанная окружности! Точнее, длины отрезков до точки касания. Правда, предварительно придется поработать с теоремой Пифагора.

30 или 5

17. Прямая, проведенная через середину hello_html_4d129430.gif стороны hello_html_6758a948.gif квадрата hello_html_m4ef745e0.gif, пересекает прямые hello_html_m2f5d21aa.gif и hello_html_4c16abe9.gif в точках hello_html_5db72f73.gif и hello_html_7aabf5a6.gif соответственно и образует с прямой hello_html_6758a948.gif угол, тангенс которого равен 4. Найдите площадь треугольника hello_html_m479090f8.gif, если сторона квадрата hello_html_m4ef745e0.gif равна 8.

Угол наклона известен, но неизвестно, в какую сторону он отложен! (Возникает ассоциация с декартовой системой координат: модуль коэффициента дан, а знак – нет.) Отсюда два случая. Если не мудрствовать, то далее ничего сложнее формулы площади треугольника через сторону и высоту применять не придется!

16 или 48

18. Площадь трапеции hello_html_m4ef745e0.gif равна 90, а одно из оснований трапеции вдвое больше другого. Диагонали пересекаются в точке О; отрезки, соединяющие середину Р основания hello_html_4c16abe9.gif с вершинами В и С, пересекаются с диагоналями трапеции в точках М и N соответственно. Найдите площадь четырехугольника OMPN.

Раздолье для любителей вычислять отношения площадей. Можно коллекционировать способы. Сложение-вычитание, «часть от части». Вопрос – что увидишь на чертеже! Не забыть, что не сказано, середина какого именно основания дана – большего или меньшего. Варианты…

4 или 10

19. Расстояние между параллельными прямыми равно 4. На одной из них лежит точка С, а на другой – точки А и В, причем треугольник АВС – остроугольный равнобедренный, и его боковая сторона равна 5. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник АВС.

Колдуем с теоремой Пифагора… И формула радиуса вписанной окружности. Более ничего. Кроме, разве что, немного забавного расположения треугольника. И спасибо, что он остроугольный по условию!

hello_html_4072397f.gif или hello_html_5f9d35d6.gif

20. Центр hello_html_m2b228de4.gif окружности радиуса 4 принадлежит биссектрисе угла величиной hello_html_6b099b8b.gif. Найдите радиус окружности, вписанной в данный угол и касающейся данной окружности, если известно, что расстояние от точки hello_html_m2b228de4.gif до вершины угла равно 10.

Стоило чуть-чуть оторвать исходную окружность от сторон угла – и какой эффект! Сразу не два случая, а четыре! Вычисления проводим с помощью тех же «волшебных» прямоугольных треугольников. Только уже не пишем на автомате, надо ведь понять, где 5, а где 4, где сложить, а где что вычесть!

2, или 14, или 6, или hello_html_m2063b7f.gif

21. Дан квадрат hello_html_m4ef745e0.gif со стороной 17 и окружность hello_html_m465a3394.gif с центром в точке hello_html_6bfcd3a2.gifрадиуса 8. Найдите радиус окружности, касающейся окружности hello_html_m465a3394.gif, содержащейся внутри квадрата и касающейся двух его соседних сторон.

Три варианта, из которых один совсем тривиальный…. Помним, что точка касания – на прямой центров, и ищем прямоугольные треугольники! Так как углы фигуры – прямые, то все нужные стороны считаются легко.

5, или hello_html_4271cc95.gif, или hello_html_m34460a9b.gif

22. В окружности, радиус которой равен 10, проведена хорда hello_html_627f0d84.gif. Точка hello_html_19574bde.gif лежит на хорде hello_html_6758a948.gif так, что hello_html_m128f4783.gif. Найдите радиус окружности, касающейся данной окружности и касающейся хорды hello_html_6758a948.gifс точке hello_html_19574bde.gif.

Центры двух окружностей либо по одну сторону от хорды, либо по разные. Прежде, чем считать хорошие прямоугольные треугольники, надо найти расстояние от центра большой окружности до хорды. Конечно, тоже по теореме Пифагора.

hello_html_26b7259e.gif или hello_html_6f1f610a.gif

23. Сторона равностороннего треугольника hello_html_4acc6c72.gif равна 10. Точка hello_html_4e8be1f3.gif лежит на прямой hello_html_m756831df.gif так, что hello_html_m20a76bff.gif. Окружности, вписанные в каждый из треугольников hello_html_2a8a65e9.gif и hello_html_m723b7c41.gif, касаются прямой hello_html_m30dcb06.gif в точках hello_html_m555574ae.gif и hello_html_m25e7e86d.gif соответственно. Найдите длину отрезка hello_html_m27dc4a73.gif.

Длины отрезков сторон до точки касания! Кто знает формулу, для того задачка очень легкая. Если не знать…. Можно долго провозиться с обходными маневрами. Углы считать, например… Да, не забудьте коварные слова «точка лежит на прямой»! Это значит, что придется рассматривать и случай, когда она на продолжении стороны. Спасибо, что в другую сторону не получится из-за данного отношения!

1 или 5

24. Четырехугольник hello_html_m4ef745e0.gif описан около окружности и вписан в другую окружность. Прямыеhello_html_4c16abe9.gif и hello_html_m756831df.gif пересекаются в точке hello_html_5db72f73.gif. Найдите периметр треугольника hello_html_3aaf1ea.gif, если известно, что hello_html_5f5f5754.gif и hello_html_m5067679f.gif.

Пропорциональность отрезков секущих и хитрое подобие «перевернутых» треугольников. Тогда все считается, Конечно, мы учли свойства вписанных и описанных четырехугольников. И еще… Мы не знаем, что больше - hello_html_2e440ef2.gifили hello_html_m3e5dfd0f.gif. Поэтому такая задача смогла попасть в ЕГЭ.

hello_html_1d1f5ce2.gif или hello_html_m7bb19ba2.gif

25. Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, равна 32, а радиус вписанной в треугольник окружности равен 15. Найти радиус окружности, касающейся стороны треугольника и продолжений двух других его сторон.

Опять вневписанные окружности. Правда, треугольник очень уж хороший. Так что задача легко поддастся тем, кто просто видит подобные прямоугольные треугольники и умеет считать углы.

240 или 32

26. На стороне hello_html_m21ba3027.gif угла hello_html_4acc6c72.gif, равного hello_html_m70bc9a55.gif, взята такая точка hello_html_4e8be1f3.gif, что hello_html_m6e63dbc6.gif и hello_html_23aa4364.gif. Найдите радиус окружности, проходящей через точки hello_html_6bfcd3a2.gif,hello_html_4e8be1f3.gif и касающиеся прямой hello_html_m756831df.gif.

Очень симпатичная задачка. Применить надо много чего, а считать – легко. Так как окружность может касаться ПРЯМОЙ ВС, получаем два случая. Прямая до вершины угла, или же после. Полезно помнить теорему о касательной и секущей, а также теорему косинусов. И общее правило: Если нужна окружность, проходящая через…. (какие-то точки), то ищите вписанный треугольник! Поможет теорема синусов.

1 или 7

27. В треугольнике hello_html_4acc6c72.gif на стороне hello_html_m7132d37.gif взята точка hello_html_4e8be1f3.gif такая, что hello_html_7cb08d83.gif. Известно, что hello_html_m63ff2a4c.gif. Какую длину может иметь сторона hello_html_m346ad540.gif, если известно, что окружность, проходящая через точки hello_html_m79d9937d.gif и hello_html_4e8be1f3.gifи касающаяся прямой hello_html_m346ad540.gif, касается также прямой hello_html_m756831df.gif?

Теорема о касательной и секущей. Которые (касательные и секущие) надо обязательно видеть! И теорема косинусов. Только здесь может оказаться немного сложно найти второй случай. Как-то не видится, что точка касания с прямой АС может быть за точкой А….

24 или hello_html_3bafdff6.gif

28. Дан отрезок длины 20. Три окружности радиуса 4 имеют центры в концах этого отрезка и в его середине. Найдите радиус четвертой окружности, касающейся трех данных.

Первое впечатление, возможно, приводит в состояние растерянности…. Три окружности какие-то совсем уж одинаковые, и расположены симметрично…. Но, если подумать, то все ясно: либо две соседние окружности внутри большой, либо одна – средняя. А далее опять все по шаблону – касание на оси центров, перпендикуляры на данный отрезок, прямоугольные треугольники, теорема Пифагора…

hello_html_30fffd4d.gif или hello_html_563ae1ac.gif

29. Окружности радиусов 2 и 4 касаются в точке hello_html_m3bbbc48f.gif. Через точку hello_html_m3bbbc48f.gif проведена прямая, пересекающая второй раз меньшую окружность в точке hello_html_m62170625.gif, а большую окружность – в точке hello_html_m7073e899.gif. Известно, что hello_html_5128adde.gif. Найдите hello_html_4a6978be.gif.

Как, один ответ? Задача попала в ЕГЭ случайно? Что ж, можно сказать, и так. Только попала из старых вариантов мех-мата МГУ. Так что она – для внимательных!

Итак, если человек делает один чертеж, видит равнобедренные подобные треугольники, радуется, получает правильный ответ….. то – не рассчитывайте на полный балл. Почему? Забыл случай внутреннего касания! Вы не забыли? Что же, молодцы. В ответе еще одно число? Опять полного балла не будет. Потому что здесь надо не только рассмотреть оба типа касания, но и увидеть, что в случае внутреннего касания хорда не влезает в окружность! То есть тут ответа нет. Теперь, когда мы рассмотрели оба случая, а затем отсеяли ненужный, имеем правильное решение!

hello_html_737b7be9.gif

30. Дана окружность радиуса 2 с центром hello_html_3623fb65.gif. Хордаhello_html_m2843c9a5.gif пересекает радиус hello_html_6847fd36.gif в точке hello_html_220d5084.gif, причем hello_html_m3c1f9abf.gif. Найдите радиус окружности, вписанной в угол hello_html_m1162b25f.gif и касающейся дуги hello_html_7b71b5d3.gif, если hello_html_m20fbfd23.gif.

Ищем второй вариант расположения. Вы нашли? Увидели внешнее касание? Окружность вписана в угол, а не в часть круга! Теперь можно решать задачу. Надо увидеть, что угол дали замечательный! Он прекрасно делится пополам…. И можно поискать «хороший» треугольник для теоремы Пифагора или для теоремы косинусов – кто что найдет! И еще не испугаться ответов…

hello_html_4e297783.gif или hello_html_m4116656e.gif

31. Окружности hello_html_m408877c8.gif и hello_html_844309e.gif радиусов hello_html_m6ae6848e.gif и hello_html_f7f24a0.gif (hello_html_5feb3cae.gif) соответственно касаются в точке hello_html_6bfcd3a2.gif. Через точку hello_html_m155f220c.gif, лежащую на окружности hello_html_m408877c8.gif, проведена прямая, касающаяся окружности hello_html_844309e.gif в точке hello_html_579878f7.gif. Найдите hello_html_m70cd898c.gif, если известно, что hello_html_690a1076.gif.

Задача напоминает №29. Те же подобные равнобедренные треугольники с радиусами… Те же два случая. Только отбрасывать нечего. И посчитать в общем виде. Аккуратно. До ответа (ов).

hello_html_f039d21.gif

32. Окружности с центрами hello_html_3623fb65.gif и hello_html_m155f220c.gif радиуса hello_html_m769d8127.gif пересекаются в точке hello_html_m511351aa.gif. Радиус hello_html_ma753773.gif окружности с центром hello_html_3623fb65.gif перпендикулярен hello_html_m769d8127.gif, причем точки hello_html_6bfcd3a2.gif и hello_html_m511351aa.gif лежат по одну сторону от прямой hello_html_m769d8127.gif. Окружность hello_html_1103f772.gif касается меньших дуг hello_html_m2843c9a5.gif и hello_html_6847fd36.gif этих окружностей, а также прямой hello_html_ma753773.gif, а окружность hello_html_844309e.gif касается окружности с центром hello_html_m155f220c.gif, прямой hello_html_ma753773.gif и окружности hello_html_1103f772.gif. Найдите отношение радиуса окружности hello_html_1103f772.gif к радиусу окружности hello_html_844309e.gif.

В задаче можно заблудиться! А всего-то надо увидеть три точки касания с одной и той же прямой! И два случая взаимного расположения окружностей ( и точек касания, соответственно!). Да, еще один прямоугольный треугольничек для связи первого радиуса с исходными. Успехов!

hello_html_m480414.gif

33. Точки hello_html_22838ada.gif - основания высот треугольника АВС. Углы треугольника hello_html_52300cb4.gif равны hello_html_18d1e448.gif и hello_html_m19aac76e.gif. Найдите углы треугольника АВС.

Один из углов между двумя высотами треугольника всегда равен углу треугольника.

Если треугольник остроугольный, то прямая, соединяющая основания двух высот треугольника, отсекает от него треугольник, подобный исходному. С коэффициентом, равным косинусу общего угла.

Кстати, если соединить основания всех высот, то получится треугольник, называемый «ортотреугольником». А его биссектрисы лежат на высотах исходного треугольника….

И, если с остроугольным треугольников все ясно, то тупоугольные дают целый букет ответов…. Который можно вычислить только для одного варианта из трех, а остальные к нему свести!

hello_html_m2fd511e0.gif, или hello_html_me39f66a.gif, или hello_html_m97350c7.gif, или hello_html_m3bd534f7.gif

34. Высоты треугольника АВС пересекаются в точке Н. Известно, что отрезок СН равен радиусу окружности, описанной около треугольника. Найдите угол АСВ.

Ищем угол треугольника между его высотами! Плюс знание теоремы синусов ( с радиусом). И…. возникает замечательный прямоугольный треугольник, где катет вдвое меньше гипотенузы!

hello_html_41856004.gif или hello_html_m4c73639.gif

35. Дана трапеция АВСD с боковыми сторонами hello_html_m60fa93a3.gif, hello_html_63002797.gif и верхним основанием hello_html_777b2a6b.gif. Известно, что hello_html_mde59f23.gif. Найдите BD.

Можем считать, что нам дали косинус угла при другом основании… (отличается знаком). Далее – работа для теоремы косинусов. Сплошная алгебра… Можно, конечно, придумать и геометрическое решение, но так намного проще.

36 или hello_html_3e332ab0.gif



hello_html_m19cd80ab.gif, hello_html_m30d8391b.gif

41. Расстояния от общей хорды двух пересекающихся окружностей до их центров относятся как 2:5. Общая хорда имеет длину hello_html_m650321e7.gif, а радиус одной из окружностей в два раза больше радиуса другой окружности. Найдите расстояние между центрами окружностей.

3 или 7

42. Две окружности, радиусы которых равны 9 и 4, касаются внешним образом. Найдите радиус третьей окружности, которая касается двух данных окружностей и их общей внешней касательной.

36 или hello_html_1a08c4bd.gif

43. На стороне hello_html_m2f5d21aa.gif квадрата hello_html_m4ef745e0.gif построен равнобедренный прямоугольный треугольник hello_html_m1e9ecc03.gif с гипотенузой hello_html_m2f5d21aa.gif. Найдите высоту треугольника hello_html_m7e3cb42f.gif, проведенную из вершины hello_html_6bfcd3a2.gif, если известно, что сторона квадрата равна 1.

hello_html_m180ace9.gif или hello_html_m2c15b3e8.gif

44. Расстояние между центрами окружностей радиусов 1 и 9 равно 17. Третья окружность касается обеих окружностей и их общей касательной. Найдите радиус третьей окружности.

hello_html_882a22a.gif, или hello_html_m252ef101.gif, или hello_html_m157fca2a.gif, или hello_html_72bda7dc.gif, или hello_html_30fffd4d.gif, или hello_html_m613e9aca.gif

45. Окружность hello_html_m465a3394.gif радиуса 24 вписана в равнобедренную трапецию с основаниями 36 и 64. Найдите радиус окружности, которая касается основания, боковой стороны и окружности hello_html_m465a3394.gif.

6 или hello_html_1737758a.gif

46. Прямая, проведенная через середину hello_html_4d129430.gif стороны hello_html_m30dcb06.gif квадрата hello_html_m4ef745e0.gif, пересекает прямые hello_html_50a91a0d.gif и hello_html_m2843c9a5.gif в точках hello_html_m7afb2e01.gif и hello_html_m6ae6848e.gif соответственно и образует с прямой hello_html_m30dcb06.gif угол, тангенс которого равен 3. Найдите площадь треугольника hello_html_m798c2582.gif, если сторона квадрата hello_html_m4ef745e0.gif равна 6.

22,5 или 4,5

47. Расстояние между параллельными прямыми равно 12. На одной из них лежит точка С, а на другой – точки А и В, причем треугольник АВС – остроугольный равнобедренный, и его боковая сторона равна 13. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник АВС.

hello_html_54b56525.gif или hello_html_m5331c1c2.gif

48. Дан квадрат hello_html_m4ef745e0.gif со стороной 7 и окружность hello_html_m465a3394.gif с центром в точке hello_html_6bfcd3a2.gifрадиуса 2. Найдите радиус окружности, касающейся окружности hello_html_m465a3394.gif, содержащейся внутри квадрата и касающейся двух его соседних сторон.

3, или hello_html_m17249927.gif, или hello_html_m52c1dbf3.gif

49. Сторона равностороннего треугольника hello_html_4acc6c72.gif равна 10. Точка hello_html_4e8be1f3.gif лежит на прямой hello_html_m756831df.gif так, что hello_html_m20a76bff.gif. Окружности, вписанные в каждый из треугольников hello_html_2a8a65e9.gif и hello_html_m723b7c41.gif, касаются прямой hello_html_50a91a0d.gif в точках hello_html_m555574ae.gif и hello_html_m25e7e86d.gif соответственно. Найдите длину отрезка hello_html_m27dc4a73.gif.

hello_html_m14b0f28e.gif или hello_html_32f1c264.gif

50. В прямоугольном треугольнике АВС угол С прямой, один из углов равен hello_html_41856004.gif. Из вершины прямого угла проведена медиана СМ. В треугольник АВС вписана окружность с центром в точке О. Найдите угол между ОМ и ОВ.

hello_html_m56c42957.gif или hello_html_13fa3aac.gif

51. Дан параллелограмм АВСD. Точка М лежит на диагонали ВD и делит ее в отношении 1:2. Найдите площадь параллелограмма АВСD, если площадь четырехугольника АВСМ равна 60.

180 или 90

52. В треугольнике АВС АВ=12, ВС=5, СА=10. Точка D лежит на прямой ВС так, что ВD:DС=4:9. Окружности, вписанные в каждый из треугольников АDC и АDB, касаются стороны AD в точках E и F. Найдите длину отрезка EF.

hello_html_735d492c.gif или hello_html_m67ddfae.gif

53. Прямая отсекает от сторон прямого угла отрезки 3 и 4. Найдите радиус окружности, касающейся этой прямой и сторон угла.

1 или 6

54. Трапеция с основаниями 14 и 40 вписана в окружность радиуса 25. Найдите высоту трапеции.

39 или 9

55. Вершина равнобедренного треугольника с боковой стороной 5 и основанием 8 служит центром данной окружности радиуса 2. Найдите радиус окружности, касающейся данной и проходящей через концы основания треугольника.

hello_html_m2919a5ce.gif или hello_html_m6c1071e9.gif

56. Окружности радиусов 20 и 3 касаются внутренним образом. Хорда АВ большей окружности касается меньшей окружности в точке М. Найдите длины отрезков АМ и МВ, если АВ=32.

24 и 8 или hello_html_195176e5.gif и hello_html_m71ee3b8.gif

57. В окружности, радиус которой равен 15, проведена хорда АВ=24. Точка С лежит на хорде АВ так, что АС:ВС=1:2. Найдите радиус окружности, касающейся данной окружности и касающейся хорды АВ в точке С.

hello_html_1737758a.gif или hello_html_m44d0ebdb.gif


Автор
Дата добавления 21.04.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров260
Номер материала ДБ-046551
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх