Материалы для повторения и подготовки к экзамену «(Экономическая задача) задача №19»

Материалы для повторения и подготовки к экзамену «(Экономическая задача) задача №19»

I.                 Вспомним:

1)  1% - это 0,01

2)  Основные соотношения и выражениями, встречающиеся при решении задач на проценты:

·       Число a составляет p% от числа в:

a =  = 0,01bp

·       Число а увеличили на p%:

a·(1+0,01p)

·       Число а увеличили сначала на p%, а потом еще на q%:

a·(1+0,01p)·(1+0,01q)

·       Число а уменьшили на p%:

 a·(1 - 0,01p)

3)  Задачи, связанные с изменением цены

Пусть S_o – первоначальная цена, S – новая (окончательная ) цена.

·       Повышение цены на a%               n раз на a%         

   S= S_o ·(1+0,01a)                    S= S_o ·(1+0,01a)ⁿ 

·          Понижение  цены на a%          n раз на a%         

    S= S_o ·(1-0,01a)                   S= S_o ·(1-0,01a)ⁿ 

·       Удобно пользоваться схематичной записью:

                 S_o ·(1+0,01a)

a%                                       

Sо                                  d%

                                                         S_o ·(1+0,01a)( 1-0,01d)

Пример 1.

Цена товара сначала понизилась на 5%, а затем повысилась на 5%.Изменилась ли первоначальная цена и если да, то на сколько процентов?                                                           

                                                                S= S_о(1-5·0,01) (1+5·0,01)

S_o                          

                   5%                             5%

                             S_о(1-5·0,01)

S= S_о(1-5·0,01) (1+5·0,01)= S_о(1-25·0,0001).

Ответ. Понизилась на 25%.

Пример 2.

После двух последовательных понижений цены товар стал стоить 2400 руб. Какова исходная цена товара, если после первого понижения его цена была 3200 руб., а процент второго пониженения был на 5% больше, чем процент первого?

x  руб                

                       У%

                             X(1 – 0,01y)=3200

                                                        (y+5)%

                                                        2400 руб.

              Получаем систему:               

                                                  3200·(1-(y+5)·0,01) = 2400;

(1-(y+5)·0,01) = ;       (y+5)·0,01 = ;        y+5 = 25;      y=20%

X(1 – 0,01·20)=3200;    X·0,8=3200;       X=4000.

Ответ:    4000руб; 20%.

   Пример 3.

31 декабря 2014 года Дмитрий взял в банке 4 290 000рублей в кредит под 14,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая - 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 14,5%), затем Дмитрий переводит в банк Х рублей.  Какой должна быть сумма Х, чтобы Дмитрий выплатил долг двумя равными платежами (то есть за два года)?

1 способ.

	Долг (руб.)	Остаток (руб.)
31.12.2014 г	4 290 000
31.12.2015 г	4 290 000·1,145 = 4 912 050	4 912 050 - Х
31.12.2016 г	(4 912 050 – Х) ·1,145= 5 624 297,25 – 1,145Х	5 624 297,25 – 1,145Х – Х=0

      Имеем уравнение:    5 624 297,25 – 1,145Х – Х=0;

                                        Х=2 622 050.

Таким образом,   ежегодная  выплата составляет   2 622 050 руб.

Ответ: 2 622 050 руб. 

2 способ.

Ответ: 2 622 050 руб. 

Пример 4.

31 декабря 2014 года Алексей  взял в банке 6 902 000рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая - 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Алексей переводит в банк Х рублей.  Какой должна быть сумма Х, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя  равными платежами (то есть за четыре года)?

Решение.

1 способ.

	Долг	Остаток
31.12.2014 г	6 902 000рублей
31.12.2015 г	6 902 000·1,125 = 7 764 750	7 764 750- Х
31.12.2016 г	(7 764 750– Х) ·1,125= = 8 735 343,75  – 1,125Х	8 735 343,75– 1,125Х – Х= =8 735 343,75– 2,125Х
31.12.2017 г	(8 735 343,75– 2,125Х) ·1,125 =9 827 261, 71875 – 2,390625Х	9 827 261, 71875 – 3,390625Х
31.12.2018 г	(9 827 261, 71875 – 3,390625Х)· ·1,125 = 11055669,43359375- -3,814453125Х	11055669,43359375- -4,814453125Х = 0

Имеем уравнение: 11055669,43359375-  4,814453125Х = 0;

                                    Х=2 296 350.

Таким образом,   ежегодная  выплата составляет   2 296 350 руб.

Ответ: 2 296 350 руб. 

2 способ. 

Пусть S – cумма кредита, годовые а%. , в=1+0,01а .                               

31.12.2015 г.  S₁ = Sb-X

31.12.2016 г.  S₂ = S₁b-X = (Sb-X)b-X = Sb² – (1+b)X

31.12.2017 г.  S₃ = S₂b-X= (Sb² – (1+b)X)b –X = Sb³ – (1+b+b²)X=

                                 = Sb³ –

31.12.2018 г.  S₄ = S₃b-X= Sb⁴ – (1+b+b²)bX-X= Sb⁴ – (1+b+b²+b³)X=

                        = Sb⁴ –

При S=6 902 000, в = 1,125 находим  S из уравнения Sb⁴ –

Напомним: (a-1)(a²+a+1)= a³-1            отсюда   a²+a+1 =  

     (a-1)(а³+a²+a+1)= a⁴-1         отсюда а³+ a²+a+1 =

Пример  5.   

 31 декабря 2014 года Антон взял в банке 1 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивает долг на определенное количество процентов), затем Антон переводит определенный транш. Антон выплатил кредит за два транша, переведя в первый раз 510 тыс. рублей, во второй – 649 тыс. руб. Под какой процент банк выдал кредит Антону?

Решение. b=1+0,01a

	Долг	Остаток
31.12.2014 г	1 000 000 руб.
31.12.2015 г	1 000 000 · (1+0,01a)= 1 000 000 + 10 000a	1 000 000 + 10 000a -510 000=  = 490 000+10 000a
31.12.2016 г	(490 000+10 000a)· (1+0,01a)=100a2+14900a-4900	100a2+14900a-490000-64900=0

100a²+14900a – 159000 - 64900=0;

a²+149a - 1590=0;

a₁=10; a₂ = -159.

По смыслу задачи  a>0, поэтому кредит выдан под 10%.

Ответ: 10%.

Пример  6.   

31 декабря 2014 Тимофей взял в банке 7 007 000 рублей в кредит под 20% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивает долг на 20%), затем Тимофей переводит в банк платеж. Весь долг Тимофей выплатил за з равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа?

1 способ.

	Долг (руб.)	Остаток (руб.)
31.12.2014 г	7 007 000
31.12.2015 г	7 007 000·1,2  = 8 408 400	8 408 400- Х
31.12.2016 г	(8 408 400– Х) ·1,2= 10 090 080 – 1,2Х	10 090 080 – 2,2Х
31.12.2017 г	(10 090 080 – 2,2Х)·1,2=12 108 096-2,64Х	12 108 096-3,64Х

12 108 096-3,64Х =0

Х= 3 326 400;            3Х=9 979 200

	Долг (руб.)	Остаток (руб.)
31.12.2014 г	7 007 000
31.12.2015 г	7 007 000·1,2  = 8 408 400	8 408 400- Y
31.12.2016 г	(8 408 400– Y) ·1,2= 10 090 080 – 1,2Y	10 090 080 – 2,2Y

10 090 080 – 2,2Y =0;                                 Y= 4 586 400;     2Y= 9 172 800

 Значит,   3Х-2Y= 9 979 200 - 9 172 800 = 806 400.

Ответ: 806 400 руб.

II способ.

1) S₃ = S₂b-X= (Sb² – (1+b)X)b –X = Sb³ – (1+b+b²)X= Sb³ –

По условию задачи     Sb³ –  =0, откуда  Х =

2)  S₂ = S₁b-Y = (Sb-Y)b-Y= Sb² – (1+b)Y, откуда   Sb² – (1+b)Y=0, Y =

Пример 7. (Демонстрационный вариант КИМ ЕГЭ 2015)

31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 9 930 000рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая - 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк определенную сумму ежегодного платежа.  Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Сергей выплатил долг тремя   равными ежегодными платежами?

Решение.

1 способ.

Пусть S руб.  – cумма кредита, ежегодный платеж равен Х руб., годовые составляют a%,  тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент b=1+0,001a.

	Долг (руб.)	Остаток (руб.)
31 декабря 2013 года	S
31 декабря 2014 года	Sb	S1 = Sb-X
31 декабря 2015 года	S1 b = (Sb - X)b	S2 =(Sb - X)b – X=Sb2 – Xb -X =      = Sb2 – (1+b)X
31 декабря 2016 года	S2 b = (Sb2 – (1+b)X)b	S3 =(Sb2 – (1+b)X)b – X= = Sb3–(1+b+b2)X= = Sb 3-

По условию тремя выплатами Сергей должен погасить кредит полностью, поэтому  имеем уравнение:

Sb³    =0.      Откуда     X=.  

Ответ.  3 993 000 руб.

Пример  8.В банк помещена сумма 3900 тысяч рублей под 50% годовых. В конце каждого из первых четырех лет хранения после вычисления процентов вкладчик дополнительно вносил на счет одну и ту же φксированную сумму. К концу пятого года после начисления процентов оказалось, что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 725%. Какую сумму вкладчик ежегодно добавлял к вкладу?

Решение.

50% годовых означает, что каждый год сумма на счету вкладчика увеличивается в 1,5 раза.

Будем рассуждать следующим образом:

1)   Вкладчик ничего не добавляет к первоначальной сумме:

Первоначальная сумма	Через один год	Через  два года	Через три года	Через четыре года	Через пять лет
3 900	1,5·3 900	1,52·3 900	1,53·3 900	1,54·3 900	1,55·3 900

2)   Первая добавка х рублей была внесена через год:

Первоначальная сумма	Через один год	Через  два года	Через три года	Через четыре года	Через пять лет
3 900	1,5·3 900	1,52·3 900	1,53·3 900	1,54·3 900	1,55·3 900
	х	1,5х	1,52х	1,53х	1,54х

3)   Вкладчику это понравилось, и он стал повторять процесс (вносить х руб.) каждый год:

Первоначальная сумма	Через один год	Через  два года	Через три года	Через четыре года	Через пять лет
3 900	1,5·3 900	1,52·3 900	1,53·3 900	1,54·3 900	1,55·3 900		3 9008,25
	х	1,5х	1,52х	1,53х	1,54х
		х	1,5х	1,52х	1,53х
			х	1,5х	1,52х
				х	1,5х

Через 5 лет вкладчик забрал все деньги из последнего столбика:

а) Добавки принесли доход

 1,5х +1,5²х +1,5³х +1,5⁴х =  x(1,5 +1,5² +1,5³ +1,5⁴)=   = 3·х·(1,5⁴-1)= .

    б) Известно, что размер вклада увеличился на 725%, т.е. увеличился в 8,25 раз

1,5⁵·3 900 + = 3 900·8,25;             =3 900·8,25 - 1,5⁵·3 900;

Х= 210.

Ответ:  210руб.

Примечание: Применим формулу суммы п-первых членов геометрической прогрессии:S_n=

Пример 9. (Демонстрационный вариант КИМ ЕГЭ 2015)

31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 9 930 000рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая - 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк определенную сумму ежегодного платежа.  Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Сергей выплатил долг тремя   равными ежегодными платежами?

Решение.

1 способ.

Пусть S руб.  – cумма кредита, ежегодный платеж равен Х руб., годовые составляют a%,  тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент b=1+0,001a.

	Долг (руб.)	Остаток (руб.)
31 декабря 2013 года	S
31 декабря 2014 года	Sb	S1 = Sb-X
31 декабря 2015 года	S1 b = (Sb - X)b	S2 =(Sb - X)b – X=Sb2 – Xb -X =      = Sb2 – (1+b)X
31 декабря 2016 года	S2 b = (Sb2 – (1+b)X)b	S3 =(Sb2 – (1+b)X)b – X= = Sb3–(1+b+b2)X= = Sb 3-

По условию тремя выплатами Сергей должен погасить кредит полностью, поэтому  имеем уравнение:

Sb³    =0.      Откуда     X=.  

Ответ.  3 993 000 руб.

Задача 10. УМК для экспертов

       15-го января  был выдан полугодовой кредит  на развитие  бизнеса. В  таблице  представлен график его погашения. 

Дата	15.01	15.02	15.03	15.04	15.05	15.06	15.07
Долг (в процентах от кредита)	100%	90%	80%	70%	60%	50%	0%

        В  конце  каждого  месяца,  начиная  с  января,  текущий  долг  увеличивался  на  5%,  а   выплаты  по  погашению  кредита  происходили  в  первой  половине  каждого  месяца,  начиная с февраля. На сколько процентов общая сумма выплат при таких условиях  больше суммы самого кредита?

  Решение.   Представим таблицей реальную ситуацию, описанную в условии задачи:

Дата	15.01		15.02		15.03		15.04		15.05		15.06		15.07
Долг (в процентах от кредита) на начало месяца	100%		90%		80%		70%		60%		50%		0%
Долг (в процентах от кредита) к концу месяца		105		1,05·90=94,5%		1,05·80 =84%		1,05·70 =73.5%		1,05·60 =63%		1,05·50 =52,5%
Процент выплаты кредита			105-90 =15%		94,5-80= 14,5%		84-70= 14%		73.5-60 =13,5%		63-50= 13%		52,5%

15%+14,5%+14%+13,5%+13%+52,5% =122,5%

122,5% - 100% = 22,5%

      Ответ: 22,5.