Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Материалы для повторения и подготовки к экзамену «(Экономическая задача) задача №19»

Материалы для повторения и подготовки к экзамену «(Экономическая задача) задача №19»



  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

hello_html_4c68d86b.gifhello_html_4aef06d5.gifhello_html_68e2f011.gifhello_html_m7db4bb0e.gifhello_html_m4d26af8b.gifhello_html_m11b20cc3.gifМатериалы для повторения и подготовки к экзамену «(Экономическая задача) задача №19»

  1. Вспомним:

1) 1% - это 0,01

2) Основные соотношения и выражениями, встречающиеся при решении задач на проценты:



  • Число a составляет p% от числа в:

a = hello_html_m328e0605.gif = 0,01bp

  • Число а увеличили на p%:

(1+0,01p)

  • Число а увеличили сначала на p%, а потом еще на q%:

a·(1+0,01p)·(1+0,01q)

  • Число а уменьшили на p%:

a·(1 - 0,01p)

3) Задачи, связанные с изменением цены

Пусть So – первоначальная цена, S – новая (окончательная ) цена.

  • Повышение цены на a% n раз на a%

S= So ·(1+0,01a) S= So ·(1+0,01a)n

  • Понижение цены на a% n раз на a%

S= So ·(1-0,01a) S= So ·(1-0,01a)n

  • Удобно пользоваться схематичной записью:

So ·(1+0,01a)

a%

Sо d%

So ·(1+0,01a)( 1-0,01d)



Пример 1.

Цена товара сначала понизилась на 5%, а затем повысилась на 5%.Изменилась ли первоначальная цена и если да, то на сколько процентов?

S= Sо(1-5·0,01) (1+5·0,01)

So

5% 5%

Sо(1-5·0,01)

S= Sо(1-5·0,01) (1+5·0,01)= Sо(1-25·0,0001).

Ответ. Понизилась на 25%.

Пример 2.

После двух последовательных понижений цены товар стал стоить 2400 руб. Какова исходная цена товара, если после первого понижения его цена была 3200 руб., а процент второго пониженения был на 5% больше, чем процент первого?

x руб

У%

X(1 – 0,01y)=3200

(y+5)%

2400 руб.

Получаем систему: hello_html_m12ea9655.gif

3200·(1-(y+5)·0,01) = 2400;

(1-(y+5)·0,01) = hello_html_m57c90caf.gif; (y+5)·0,01 = hello_html_685d8d49.gif; y+5 = 25; y=20%

X(1 – 0,01·20)=3200; X·0,8=3200; X=4000.

Ответ: 4000руб; 20%.

Пример 3.

31 декабря 2014 года Дмитрий взял в банке 4 290 000рублей в кредит под 14,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая - 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 14,5%), затем Дмитрий переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Дмитрий выплатил долг двумя равными платежами (то есть за два года)?

1 способ.


Долг (руб.)

Остаток (руб.)

31.12.2014 г

4 290 000


31.12.2015 г

4 290 000·1,145 = 4 912 050

4 912 050 - Х

31.12.2016 г

(4 912 050 – Х) ·1,145= 5 624 297,25 – 1,145Х

5 624 297,25 – 1,145Х – Х=0



Имеем уравнение: 5 624 297,25 – 1,145Х – Х=0;

Х=2 622 050.

Таким образом, ежегодная выплата составляет 2 622 050 руб.

Ответ: 2 622 050 руб.

2 способ.

http://reshimvse.com/img/1416914473r.pngОтвет: 2 622 050 руб.

Пример 4.

31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 6 902 000рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая - 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Алексей переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?

Решение.

1 способ.


Долг

Остаток

31.12.2014 г

6 902 000рублей


31.12.2015 г

6 902 000·1,125 = 7 764 750

7 764 750- Х

31.12.2016 г

(7 764 750– Х) ·1,125=

= 8 735 343,75 – 1,125Х

8 735 343,75– 1,125Х – Х=

=8 735 343,75– 2,125Х

31.12.2017 г

(8 735 343,75– 2,125Х) ·1,125 =9 827 261, 71875 – 2,390625Х

9 827 261, 71875 – 3,390625Х

31.12.2018 г

(9 827 261, 71875 – 3,390625Х)·

·1,125 = 11055669,43359375-

-3,814453125Х

11055669,43359375-

-4,814453125Х = 0

Имеем уравнение: 11055669,43359375- 4,814453125Х = 0;

Х=2 296 350.

Таким образом, ежегодная выплата составляет 2 296 350 руб.

Ответ: 2 296 350 руб.

2 способ.

Пусть S cумма кредита, годовые а%. , в=1+0,01а .

31.12.2015 г. S1 = Sb-X

31.12.2016 г. S2 = S1b-X = (Sb-X)b-X = Sb2 – (1+b)X

31.12.2017 г. S3 = S2b-X= (Sb2 – (1+b)X)b –X = Sb3 – (1+b+b2)X=

= Sb3 hello_html_3ca39f65.gif

31.12.2018 г. S4 = S3b-X= Sb4 – (1+b+b2)bX-X= Sb4 – (1+b+b2+b3)X=

= Sb4 hello_html_m20cbf488.gif

При S=6 902 000, в = 1,125 находим S из уравнения Sb4 hello_html_m370d05fc.gif

Напомним: (a-1)(a2+a+1)= a3-1 отсюда a2+a+1 = hello_html_778b71d6.gif

(a-1)(а3+a2+a+1)= a4-1 отсюда а3+ a2+a+1 = hello_html_m54721a6d.gif



Пример 5.

31 декабря 2014 года Антон взял в банке 1 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивает долг на определенное количество процентов), затем Антон переводит определенный транш. Антон выплатил кредит за два транша, переведя в первый раз 510 тыс. рублей, во второй – 649 тыс. руб. Под какой процент банк выдал кредит Антону?

Решение. b=1+0,01a



Долг

Остаток

31.12.2014 г

1 000 000 руб.


31.12.2015 г

1 000 000 · (1+0,01a)= 1 000 000 + 10 000a

1 000 000 + 10 000a -510 000= = 490 000+10 000a

31.12.2016 г

(490 000+10 000a)· (1+0,01a)=100a2+14900a-4900

100a2+14900a-490000-64900=0



100a2+14900a 159000 - 64900=0;

a2+149a - 1590=0;

a1=10; a2 = -159.

По смыслу задачи a>0, поэтому кредит выдан под 10%.

Ответ: 10%.

Пример 6.

31 декабря 2014 Тимофей взял в банке 7 007 000 рублей в кредит под 20% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивает долг на 20%), затем Тимофей переводит в банк платеж. Весь долг Тимофей выплатил за з равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа?

1 способ.


Долг (руб.)

Остаток (руб.)

31.12.2014 г

7 007 000


31.12.2015 г

7 007 000·1,2 = 8 408 400

8 408 400- Х

31.12.2016 г

(8 408 400– Х) ·1,2= 10 090 080 – 1,2Х

10 090 080 – 2,2Х

31.12.2017 г

(10 090 080 – 2,2Х)·1,2=12 108 096-2,64Х

12 108 096-3,64Х

12 108 096-3,64Х =0

Х= 3 326 400; 3Х=9 979 200


Долг (руб.)

Остаток (руб.)

31.12.2014 г

7 007 000


31.12.2015 г

7 007 000·1,2 = 8 408 400

8 408 400- Y

31.12.2016 г

(8 408 400– Y) ·1,2= 10 090 080 – 1,2Y

10 090 080 – 2,2Y

10 090 080 – 2,2Y =0; Y= 4 586 400; 2Y= 9 172 800

Значит, 3Х-2Y= 9 979 200 - 9 172 800 = 806 400.

Ответ: 806 400 руб.



II способ.

  1. S3 = S2b-X= (Sb2 – (1+b)X)b –X = Sb3 – (1+b+b2)X= Sb3 hello_html_3ca39f65.gif

По условию задачи Sb3 hello_html_3ca39f65.gif =0, откуда Х = hello_html_24737ddd.gif

  1. S2 = S1b-Y = (Sb-Y)b-Y= Sb2 – (1+b)Y, откуда Sb2 – (1+b)Y=0, Y = hello_html_m73ddb1cd.gif

Пример 7. (Демонстрационный вариант КИМ ЕГЭ 2015)

31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 9 930 000рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая - 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк определенную сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?

Решение.

1 способ.

Пусть S руб. cумма кредита, ежегодный платеж равен Х руб., годовые составляют a%, тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент b=1+0,001a.


Долг (руб.)

Остаток (руб.)

31 декабря 2013 года

S


31 декабря 2014 года

Sb

S1 = Sb-X

31 декабря 2015 года

S1 b = (Sb - X)b

S2 =(Sb - X)b – X=Sb2 – Xb -X =

= Sb2 – (1+b)X

31 декабря 2016 года

S2 b = (Sb2 – (1+b)X)b

S3 =(Sb2 – (1+b)X)b – X=

= Sb3–(1+b+b2)X=

= Sb 3-hello_html_6cc5743f.gif

По условию тремя выплатами Сергей должен погасить кредит полностью, поэтому имеем уравнение:

Sb3 hello_html_m54e8abe0.gif =0. Откуда X=hello_html_me8f896.gif.

Ответ. 3 993 000 руб.

Пример 8.В банк помещена сумма 3900 тысяч рублей под 50% годовых. В конце каждого из первых четырех лет хранения после вычисления процентов вкладчик дополнительно вносил на счет одну и ту же φксированную сумму. К концу пятого года после начисления процентов оказалось, что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 725%. Какую сумму вкладчик ежегодно добавлял к вкладу?

Решение.

50% годовых означает, что каждый год сумма на счету вкладчика увеличивается в 1,5 раза.

Будем рассуждать следующим образом:

  1. Вкладчик ничего не добавляет к первоначальной сумме:

Первоначальная сумма

Через

один год

Через

два года

Через

три года

Через четыре года

Через

пять лет



3 900

1,5·3 900

1,52·3 900

1,53·3 900

1,54·3 900

1,55·3 900









  1. Первая добавка х рублей была внесена через год:

Первоначальная сумма

Через

один год

Через

два года

Через

три года

Через четыре года

Через

пять лет

3 900

1,5·3 900

1,52·3 900

1,53·3 900

1,54·3 900

1,55·3 900


х

1,5х

1,52х

1,53х

1,54х







  1. Вкладчику это понравилось, и он стал повторять процесс (вносить х руб.) каждый год:



Первоначальная сумма

Через

один год

Через

два года

Через

три года

Через четыре года

Через

пять лет



3 900

1,5·3 900

1,52·3 900

1,53·3 900

1,54·3 900

1,55·3 900






3 900hello_html_1c14d446.gif8,25


х

1,5х

1,52х

1,53х

1,54х

hello_html_12c59f38.gif



х

1,5х

1,52х

1,53х




х

1,5х

1,52х





х

1,5х



Через 5 лет вкладчик забрал все деньги из последнего столбика:

а) Добавки принесли доход

1,5х +1,52х +1,53х +1,54х = x(1,5 +1,52 +1,53 +1,54)= hello_html_369e9aa4.gif = 3·х·(1,54-1)= hello_html_12c59f38.gif.

б) Известно, что размер вклада увеличился на 725%, т.е. увеличился в 8,25 раз

1,55·3 900 +hello_html_12c59f38.gif = 3 900·8,25; hello_html_12c59f38.gif =3 900·8,25 - 1,55·3 900;

Х= 210.

Ответ: 210руб.

Примечание: Применим формулу суммы п-первых членов геометрической прогрессии:Sn=hello_html_9bb8eb9.gif

Пример 9. (Демонстрационный вариант КИМ ЕГЭ 2015)

31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 9 930 000рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая - 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк определенную сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?

Решение.

1 способ.

Пусть S руб. cумма кредита, ежегодный платеж равен Х руб., годовые составляют a%, тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент b=1+0,001a.


Долг (руб.)

Остаток (руб.)

31 декабря 2013 года

S


31 декабря 2014 года

Sb

S1 = Sb-X

31 декабря 2015 года

S1 b = (Sb - X)b

S2 =(Sb - X)b – X=Sb2 – Xb -X =

= Sb2 – (1+b)X

31 декабря 2016 года

S2 b = (Sb2 – (1+b)X)b

S3 =(Sb2 – (1+b)X)b – X=

= Sb3–(1+b+b2)X=

= Sb 3-hello_html_6cc5743f.gif

По условию тремя выплатами Сергей должен погасить кредит полностью, поэтому имеем уравнение:

Sb3 hello_html_m54e8abe0.gif =0. Откуда X=hello_html_me8f896.gif.

Ответ. 3 993 000 руб.

Задача 10. УМК для экспертов

15-го января был выдан полугодовой кредит на развитие бизнеса. В таблице представлен график его погашения.

Дата

15.01

15.02

15.03

15.04

15.05

15.06

15.07


Долг (в процентах от кредита)

100%

90%

80%

70%

60%

50%

0%

В конце каждого месяца, начиная с января, текущий долг увеличивался на 5%, а выплаты по погашению кредита происходили в первой половине каждого месяца, начиная с февраля. На сколько процентов общая сумма выплат при таких условиях больше суммы самого кредита?

Решение. Представим таблицей реальную ситуацию, описанную в условии задачи:

Дата

15.01


15.02


15.03


15.04


15.05


15.06


15.07


Долг (в процентах от кредита) на начало месяца

100%


90%


80%


70%


60%


50%


0%

Долг (в процентах от кредита) к концу месяца


105


1,05·90=94,5%


1,05·80

=84%


1,05·70

=73.5%


1,05·60

=63%


1,05·50

=52,5%


Процент выплаты кредита



105-90

=15%


94,5-80=

14,5%


84-70=

14%


73.5-60

=13,5%


63-50=

13%


52,5%

15%+14,5%+14%+13,5%+13%+52,5% =122,5%

122,5% - 100% = 22,5%

Ответ: 22,5.


Автор
Дата добавления 25.03.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров80
Номер материала ДВ-554886
Получить свидетельство о публикации

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх