Инфоурок Алгебра Другие методич. материалыМатериалы для самостоятельной работы учащихся на повторение курса математики 7 – 8 классов

Материалы для самостоятельной работы учащихся на повторение курса математики 7 – 8 классов

Скачать материал

 

 


 


Уважаемые учащиеся!

 

Вы, конечно, знаете, что после окончания 9 класса вас ожидает Государственная итоговая аттестация (ГИА) по предмету математика в форме Основного государственного экзамена (ОГЭ). Для того чтобы подготовиться к ОГЭ за период летних каникул, вам необходимо повторить теорию, выучить формулы и выполнить предложенные задания.

Контрольно – измерительные материалы ОГЭ по математике состоят из трех модулей: «Алгебра», «Геометрия» и «Реальная математика». Теоретические сведения и задания, представленные в данном сборнике, также разбиты на модули.

Рекомендации по работе со сборником:

1.     Выберите одну из тем для повторения

2.     Внимательно изучите теоретические сведения.

3.     Выучите формулы, отмеченные знаком «У»

4.     Выполните задания для самостоятельной работы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание

 

Модуль «Алгебра»……………………………………………………………………...4

     Тема 1. Алгебраические выражения……………………………………………......5

Задания для самостоятельного выполнения………………………………………..6

Тема 2. Уравнения ……………………………………………………………………8

Задания для самостоятельного выполнения………………………………………10

Тема 3. Степени ……………………………………………………………………..12

Задания для самостоятельного выполнения………………………………………13

Тема 4.Квадратные корни …………………………………………………………..16

Задания для самостоятельного выполнения………………………………………17

Тема 5. Неравенства ………………………………………………………………...19

Задания для самостоятельного выполнения………………………………………21

Тема 6. Системы уравнений и неравенств ………………………………………..27

Задания для самостоятельного выполнения………………………………………28

Модуль «Геометрия»………………………………………………………………….31

     Тема 7. Треугольники…………………………………………….............................32

Задания для самостоятельного выполнения………………………………………34

Тема 8. Четырехугольники…………………………………………….....................39

Задания для самостоятельного выполнения………………………………………40

Тема 9. Площади фигур……………………………………………..........................47

Задания для самостоятельного выполнения………………………………………49

Тема 10. Окружность, круг и их элементы……………………………………......54

Задания для самостоятельного выполнения………………………………………57

Модуль «Реальная математика»…………………………………………………….62

     Тема 11. Анализ диаграмм, таблиц, графиков……………………………….........63

Задания для самостоятельного выполнения………………………………………63

Интернет – источники……………………………………………………………….82

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Модуль

«Алгебра»

 

http://www.hnhsd.org/teachers/wp-content/uploads/2013/08/math-clipart-7.jpg

 

Тема 1. Алгебраические выражения

Выражения, в которых наряду с буквами могут быть использованы числа, знаки арифметических действий и скобки, называются алгебраическими выражениями.

Примеры алгебраических выражений:

2m - n;     3·(2a + b);     0,24x;     0,3a -b · (4a + 2b);     a2– 2ab;

http://www.mathematics-repetition.com/wp-content/uploads/2014/10/2014-10-25_094238.jpg

 Если в алгебраическом выражении буквы (переменные) заменить их значениями и выполнить указанные действия, то полученное в результате число называется значением алгебраического выражения.

Пример 1.  Найти значение выражения: 1) a + 2b - c при a = -2; b = 10; c = -3,5.

 Решение.

a + 2b -c при a = -2; b = 10; c = -3,5. Вместо переменных подставим их значения. Получим: — 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

 

Значения буквы (переменной), при которых алгебраическое выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями буквы (переменной).

 

Пример 2. При каких значениях переменной выражение не имеет смысла?

http://www.mathematics-repetition.com/wp-content/uploads/2014/10/2014-10-25_102141.jpg

 

Решение. Мы знаем, что на нуль делить нельзя, поэтому, каждое из данных выражений не будет иметь смысла при том значении буквы (переменной), которая обращает знаменатель дроби в нуль!

В примере 1) это значение а = 0. Действительно, если вместо а подставить 0, то нужно будет число 6 делить на 0, а этого делать нельзя. Ответ: выражение 1) не имеет смысла при а = 0.

В примере 2) знаменатель х — 4 = 0 при х = 4, следовательно, это значение х = 4 и нельзя брать. Ответ: выражение 2) не имеет смысла при х = 4.

В примере 3) знаменатель х + 2 = 0 при х = -2. Ответ: выражение 3) не имеет смысла при х = -2.

В примере 4) знаменатель 5 -|x| = 0 при  |x| = 5. А так как |5| = 5 и |-5| = 5, то нельзя брать х = 5 и х = -5. Ответ: выражение 4) не имеет смысла при х = -5 и при х = 5.

 

Для упрощения алгебраических выражений применяют законы (свойства) умножения.

a·b=b·a (переместительный: от перестановки множителей произведение не меняется).

(a·b)·c=a·(b·c) (сочетательный: чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего).

Пример 3. Упростить выражения:

Решение.

1)      4 · х · (-2,5) = -4 · 2,5 · х = -10х.

2)      -3,5 · 2у · (-1) = 7у.

3)      3а · (-3) · 2с = -18ас.

Если алгебраическое выражение дано в виде сократимой дроби, то пользуясь правилом сокращения дроби его можно упростить, т.е. заменить тождественно равным ему более простым выражением.

Пример 4. Упростите, используя сокращение дробей.

http://www.mathematics-repetition.com/wp-content/uploads/2014/10/2014-10-25_164750.jpg

Решение. Сократить дробь — это значит разделить ее числитель и знаменатель на одно и то же число (выражение), отличное от нуля. Дробь 10) сократим на 3b; дробь 11) сократим на а и дробь 12) сократим на 7n. Получаем:

http://www.mathematics-repetition.com/wp-content/uploads/2014/10/2014-10-25_165608.jpg

Зачастую при упрощении дробных выражений необходимо применить формулы сокращенного умножения и вынесение общего множителя за скобки.

УФормулы сокращенного умножения:

·          Формула квадрата суммы: (a+b)2=a2+2ab+b2

·          Формула квадрата разности: (a−b)2=a2−2ab+b2

·         Формула разности квадратов: (a−b)(a+b)=a2−b2

 

Пример 5. Упростите вы­ра­же­ние  https://oge.sdamgia.ru/formula/82/82e2596dc6c84331e1e4fef21fe23e6ap.png  и най­ди­те его зна­че­ние при  https://oge.sdamgia.ru/formula/44/440bcb2225cd249b09bb29454f83249dp.png. В ответ за­пи­ши­те полученное число.

Решение.

Упростим выражение: 

https://oge.sdamgia.ru/formula/09/09b8659ca4460b1b9cb2e2d47e0aa245p.png

 При https://oge.sdamgia.ru/formula/44/440bcb2225cd249b09bb29454f83249dp.png, зна­че­ние полученного вы­ра­же­ния равно 0, 25. Ответ: 0,25.

Важно! Иногда при упрощении выражений необходимо приводить алгебраические дроби к общему знаменателю (№6) или применить свойства степени (№7, см. тему 3)

 

Задания для самостоятельного выполнения

1. Упростите вы­ра­же­ние https://oge.sdamgia.ru/formula/d0/d0341f39930da5088068353b0a676e43p.png, най­ди­те его зна­че­ние при https://oge.sdamgia.ru/formula/b3/b300360c9bf5c51bf45e69a0556bf466p.png; https://oge.sdamgia.ru/formula/58/583ae07fd5fe24513c98864ac41a3b7bp.png. В ответ за­пи­ши­те полученное число.

2. Упростите вы­ра­же­ние https://oge.sdamgia.ru/formula/7d/7d8a5d3cad26f0f4f85bcf5257598e86p.png и най­ди­те его зна­че­ние при https://oge.sdamgia.ru/formula/7a/7a55a9b0bf5dbcd9ce04cd4a6fee3ddcp.png. В ответ за­пи­ши­те по­лу­чен­ное число.

3. Упростите вы­ра­же­ние  https://oge.sdamgia.ru/formula/71/71f00dc6e1063460ccaa7983f4c98274p.png  и най­ди­те его зна­че­ние при  https://oge.sdamgia.ru/formula/3c/3c9a7dfb7b6ca10d662df3d500e59ecbp.png. В ответ за­пи­ши­те по­лу­чен­ное число.

4. Упростите вы­ра­же­ние  https://oge.sdamgia.ru/formula/82/82e2596dc6c84331e1e4fef21fe23e6ap.png  и най­ди­те его зна­че­ние при  https://oge.sdamgia.ru/formula/44/440bcb2225cd249b09bb29454f83249dp.png. В ответ за­пи­ши­те полученное число.

5. Упростите вы­ра­же­ние  https://oge.sdamgia.ru/formula/3c/3c7b42eefd9cd2d8882f86d1ee10cbc9p.png  и най­ди­те его зна­че­ние при  https://oge.sdamgia.ru/formula/77/77f2b42daee6eedaac4526294c96c856p.png. В от­ве­те запишите най­ден­ное значение.

6. Представьте в виде дроби вы­ра­же­ние  https://oge.sdamgia.ru/formula/b5/b5db491c94369b9d24146d8e390050fbp.png  и най­ди­те его зна­че­ние при  https://oge.sdamgia.ru/formula/be/be2e2f55ca57acc751aa1b4712f59775p.png. В ответ за­пи­ши­те по­лу­чен­ное число.

7. Упростите вы­ра­же­ние  https://oge.sdamgia.ru/formula/e4/e426eb037065afc2b501cf3d2a45c8c0p.png  и най­ди­те его зна­че­ние при  https://oge.sdamgia.ru/formula/3f/3f8b7e2bfe1c8c9dcb3cda1f8dc96a50p.png. В от­ве­те запишите по­лу­чен­ное число.

8. Упростите вы­ра­же­ние  https://oge.sdamgia.ru/formula/c6/c689d6b59690955a4253f5caff990e19p.png  и най­ди­те его зна­че­ние при  https://oge.sdamgia.ru/formula/3b/3bf1c9c97122af8bdcb4676bf6116fb7p.png

9. Найдите зна­че­ние вы­ра­же­ния https://oge.sdamgia.ru/formula/0b/0bf19fdcbb8f657f1aeaeea92142b806p.png при https://oge.sdamgia.ru/formula/06/06b16faa6915bec780c2f4faef2ac266p.png

10. Найдите зна­че­ние вы­ра­же­ния https://oge.sdamgia.ru/formula/8b/8b0f67c677f8d39f39cbb1a9d8e4b78bp.png при https://oge.sdamgia.ru/formula/5d/5d940c3a49e20319f66d5615fbe53441p.png

11. Найдите зна­че­ние вы­ра­же­ния https://oge.sdamgia.ru/formula/b0/b06b2a1f50c76cba8f43b1b1eb6f1357p.png при https://oge.sdamgia.ru/formula/9c/9c32acaf16780c714de0cf23bb1082dfp.png

12. Найдите зна­че­ние вы­ра­же­ния https://oge.sdamgia.ru/formula/7b/7beaa1bcbf396c0311db38974ec80bc3p.png при https://oge.sdamgia.ru/formula/8a/8a7252f3d4febc2352ca041732b83a79p.png

13. Упро­сти­те вы­ра­же­ние https://oge.sdamgia.ru/formula/aa/aaf8828b1dfddb878294b14351226ffdp.png и най­ди­те его зна­че­ние при https://oge.sdamgia.ru/formula/dc/dcbcda669730bff83d9d9d98849641dep.png В от­ве­те за­пи­ши­те най­ден­ное зна­че­ние.

14. Упро­сти­те вы­ра­же­ние https://oge.sdamgia.ru/formula/8a/8a443c232ea72de503d56d213f13b094p.png и най­ди­те его зна­че­ние при https://oge.sdamgia.ru/formula/3b/3b1a8c693a1ac68c195a16ebbfc7f62dp.png и https://oge.sdamgia.ru/formula/b2/b23355c23e26cde2998a1e89d756f416p.png В от­ве­те за­пи­ши­те най­ден­ное зна­че­ние.

15. Сократите дробь https://oge.sdamgia.ru/formula/0a/0ab077aba6fc6c0a8eefae15e3fa981cp.png

16. Упро­сти­те вы­ра­же­ние https://oge.sdamgia.ru/formula/75/7571f3cda07bd709c697ee7ad49962e3p.png и най­ди­те его зна­че­ние при https://oge.sdamgia.ru/formula/38/38109e9aa8e33e94cb78c1ca9acaa13ap.png https://oge.sdamgia.ru/formula/d4/d4462b273265184c7a8246857eabc7afp.png В от­ве­те за­пи­ши­те най­ден­ное зна­че­ние.

17. Найдите зна­че­ние выражения https://oge.sdamgia.ru/formula/c4/c442e509b6d29430a5fc339f197dee55p.png при https://oge.sdamgia.ru/formula/dc/dc9791942c5716d51249089473cef5edp.png https://oge.sdamgia.ru/formula/01/01a881834da7aaa442f1b6fa84d3d067p.png

18. Найдите зна­че­ние выражения https://oge.sdamgia.ru/formula/68/681af154245fcce11bc4db4d0920ebedp.png при https://oge.sdamgia.ru/formula/ca/ca2a461edb07a5da87a95bd29caa5637p.png https://oge.sdamgia.ru/formula/2c/2c38f4216604a4d36739c8f642a289cfp.png

19.  Найдите зна­че­ние выражения https://oge.sdamgia.ru/formula/f6/f6ae9f57220ee933758126b173fe2194p.png при https://oge.sdamgia.ru/formula/82/82b37959a2e572b4670674ef16256edfp.png

20. Найдите зна­че­ние вы­ра­же­ния https://oge.sdamgia.ru/formula/85/859d02528d27e1833e2b2c9b6bb4eaeap.png при https://oge.sdamgia.ru/formula/08/08ea7edabc3c4a3123e9cac9c8774b41p.png

21. Найдите зна­че­ние выражения https://oge.sdamgia.ru/formula/cf/cf928db01e4e7022400acaaa0ce87b2cp.png при https://oge.sdamgia.ru/formula/28/28db423acbe9bac33cbbb9ce58eac18fp.png

22. Найдите зна­че­ние выражения https://oge.sdamgia.ru/formula/43/4369947efcaaabcf8d6886df6fe5701bp.png при https://oge.sdamgia.ru/formula/78/787393e97dc3fd8aba6e21fd6c8f457bp.png

23. Найдите зна­че­ние вы­ра­же­ния https://oge.sdamgia.ru/formula/28/28dc45c42b9bb350a0f214a1acbe074ep.png при https://oge.sdamgia.ru/formula/21/212c386c2daa1f102b19c01695070dd6p.png

24. Найдите зна­че­ние выражения https://oge.sdamgia.ru/formula/2f/2f984e1f5f90cf54c687bfcb79d6c069p.png при https://oge.sdamgia.ru/formula/f2/f2df83832b4d6c4165fc49e03892f155p.png

25. Найдите зна­че­ние вы­ра­же­ния https://oge.sdamgia.ru/formula/6e/6edb3393c9248604d7098e223ed0dbc1p.png при a = 78, c = 21.

26. Найдите зна­че­ние вы­ра­же­ния https://oge.sdamgia.ru/formula/2a/2a3aa6e4f3b33a2316327602a0308ce1p.png при a = 7,7.

27. Упростите вы­ра­же­ние https://oge.sdamgia.ru/formula/4b/4bc8d16d31df7bde23b9c2a759d3fc19p.png, най­ди­те его зна­че­ние при https://oge.sdamgia.ru/formula/81/81ff88cac73246455b6b45b47edbc3c8p.png. В ответ за­пи­ши­те полученное число.

28. Найдите зна­че­ние выражения  https://oge.sdamgia.ru/formula/13/133739a6b73b3d6bac7cbff00f42c06fp.png  при  https://oge.sdamgia.ru/formula/6d/6d4aeb406d661f3b9ae54a83c9fe03e2p.png

29. Найдите зна­че­ние вы­ра­же­ния https://oge.sdamgia.ru/formula/57/573485c9166add45ebe48902fceb49bfp.png при https://oge.sdamgia.ru/formula/55/55fb053ad9559359915c0438ce1e6b1dp.png

30. Найдите зна­че­ние выражения https://oge.sdamgia.ru/formula/f1/f1518437db917c590449cc20c09a1a76p.png при https://oge.sdamgia.ru/formula/1f/1f7966943d6344eae98345df77799527p.png

 

Тема 2. Уравнения

Линейные уравнения

Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением. Выражение, стоящее слева от знака равенства, называется левой частью уравнения, а выражение, стоящее справа, - правой частью уравнения.

Линейным называется такое уравнение, в котором неизвестное x находится в числителе уравнения и без показателей. Например: 2х–5=3

Линейные уравнения сводятся к виду ax=b, которое получается при помощи раскрытия скобок, приведения подобных слагаемых, переноса слагаемых из одной части уравнения в другую, а также умножения или деления обеих частей уравнения на число, отличное от нуля.

Пример 6. Решить уравнение 5(5+3х)−10х=8

Решение. Раскроем скобки: 25+15х−10х=8

Перенесем неизвестные слагаемые в левую часть уравнения, а известные в правую. При переносе из одной части в другую, у слагаемого меняется знак на противоположный: 15х−10х=8−25

Приведем подобные слагаемые: 5х = −17 это конечный результат преобразований.

После преобразований к виду ax=b, где, a=0, корень уравнения находим по формуле х=

х= − , х = −3,4

Ответ: −3,4

Важно! Иногда уравнение может быть представлено в дробно – рациональном виде (№15) и оно сводится к линейному уравнению. Для этого нужно найти общий знаменатель.

 

Квадратные уравнения

Квадратное уравнение — уравнение вида ax2+bx+c=0, где a,b,c — некоторые числа a≠0, x — неизвестное. Перед тем как решать уравнение, необходимо раскрыть скобки и собрать все слагаемые в левой части уравнения.

Числа a,b,c называются коэффициентами квадратного уравнения.

a - старший коэффициент; b - средний коэффициент; c - свободный член.

Если в квадратном уравнении коэффициенты b и c не равны нулю, то уравнение называется полным квадратным уравнением. Например, уравнение 2x2–8x+3=0. Если один из коэффициентов b или c равен нулю или оба коэффициента равны нулю, то квадратное уравнение называется неполным. Например, 5x2–2x=0.

Решение неполных квадратных уравнений

1) Неполное квадратное уравнение имеет вид ax2+bx=0, если a≠0;c=0. В левой части этого уравнения есть общий множитель x.

1. Вынесем общий множитель x за скобки.

Мы получим x(ax+b)=0. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому получаем x=0 или ax+b=0. Таким образом, данное уравнение эквивалентно двум уравнениям:

x=0;ax+b=0

2. Решаем получившиеся уравнения каждое отдельно. Мы получим x=0 и x= . Следовательно, данное квадратное уравнение имеет два корня x=0 и x=

Пример 7. Решить уравнение 2−5х=0

Решение. 

Вынесем х как общий множитель за скобки: х(4х−5)=0

Приравняем каждый множитель к нулю и найдем корни уравнения.

x=0 или 4х−5=0, значит х1=0 и х2=1,25

Ответ: х1=0 и х2=1,25

2) Неполное квадратное уравнение вида ax2+c=0,a≠0,b=0

Для решения данного неполного квадратного уравнения выразим x2.

ax2+ c=0, ax2= −c, x2=

При решении последнего уравнения возможны два случая:

·           если  >0, то получаем два корня: x= ±

·           если  <0, то уравнение во множестве действительных чисел не имеет решений.

Пример 8. Решить уравнение x2−16=0

Решение. x2−16=0, x2=16, x= ±4. Ответ: х1=4,х2=−4

 

УРешение полного квадратного уравнения

1)                  Решение с помощью дискриминанта

Дискриминантом квадратного уравнения D называется выражение b2—4ac.

УПри решении уравнения с помощью дискриминанта возможны три случая:

1. D>0. Тогда корни уравнения равны: x1,2=

2. D=0. В данном случае решение даёт два двукратных корня: x1= x2=

3. D<0. В этом случае уравнение не имеет корней.

Пример 9. Решить уравнение 2−11= −8х

Соберем все слагаемые в левую часть уравнения и расставим в порядке убывания степеней

2+8х−11=0, a=3,b=8,c= −11

D=b2−4ac=82−4·3·(−11)=196

x1=  =  =1              x2=  =  = −3

Ответ: x1=1,x2= −3

2)      Устные способы решения квадратных уравнений

Если сумма коэффициентов равна нулю (а+b+c= 0), то х1=1, х2=

Пример 10 . Решить уравнение 2+3х−7=0

Решение. 4+3−7=0, следовательно х1=1,х2= . Ответ: х1=1,х2=  .

Если старший коэффициент в сумме со свободным равен среднему коэффициенту (a+c=b), то

 х1= −1, х2=

Пример 11. Решить уравнение 2+7х+2=0

Решение. 5+2=7, следовательно, х1= −1,х2= − . Ответ: х1= −1,х2= −

Важно! Приведенные квадратные уравнения можно решать как по общей формуле, так и по теореме Виета.

Уhttps://examer.ru/i/theory/math/36.jpg

Дробно рациональные уравнения

Рациональное уравнение, в котором левая или правая части являются дробными выражениями, называется дробным.

Чтобы решить дробное уравнение, необходимо:

1.      найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

2.      умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

3.      решить получившееся целое уравнение;

4.      исключить из его корней те, которые обращают в ноль общий знаменатель.

Пример 12. Решить уравнение 4x+1− = 0

Решение.

1. находим значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ): x=0

2. находим общий знаменатель дробей и умножаем на него обе части уравнения

4x+1− = 0 ¦·x,

4x·x+1·x−= 0

3. решаем полученное уравнение 4x2+x−3=0 – квадратное уравнение, его корни  

х1= −1,х2=

4. исключаем те корни, при которых общий знаменатель равен нулю. В первом пункте получилось, что при x=0 уравнение не имеет смысл, среди корней уравнения нуля нет, значит, оба корня нам подходят.

Ответ: х1= −1,х2=

При решении уравнения с двумя дробями можно использовать основное свойство пропорции.

Основное свойство пропорции: Если =  , то a·d=b·c

Пример 13. Решить уравнение  =

Решение.

1.      Находим значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ): x=0

2.      Воспользуемся основным свойством пропорции: х(3х−5) = −2

3.    Раскроем скобки и соберем все слагаемые в левой части уравнения

2−5х+2=0

4.    Решим данное квадратное уравнение x1=1,x2 =

В первом пункте получилось, что при x=0 уравнение не имеет смысл, среди корней уравнения нуля нет, значит, оба корня нам подходят.

Ответ: x1=1,x2 =

 

Задания для самостоятельного выполнения

Линейные уравнения

1. Найдите корни уравнения  https://oge.sdamgia.ru/formula/b9/b9450a2c383af4aabcd6f1ae58679e63p.png. Если кор­ней несколько, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке возрастания.

2. Решите урав­не­ние  https://oge.sdamgia.ru/formula/09/092a608a1ddd4c77c6389522d57b9ff7p.png.

3. Решите урав­не­ние https://oge.sdamgia.ru/formula/93/93b048fa429f24394781d50f60b73211p.png

4. Решите урав­не­ние https://oge.sdamgia.ru/formula/25/25912ef7ec26954bde837dbf0e2cba07p.png

5. Решите урав­не­ние https://oge.sdamgia.ru/formula/20/20af498a5d9ab80a43465f486d8a73c5p.png

6. При каком зна­че­нии https://oge.sdamgia.ru/formula/9d/9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6p.png зна­че­ния вы­ра­же­ний https://oge.sdamgia.ru/formula/09/09c152e7c3da1c8d7f3b9c54c4b5aa67p.png и https://oge.sdamgia.ru/formula/09/0906ad936ad4940fba760710f2aede4fp.png равны?

7. Решите урав­не­ние https://oge.sdamgia.ru/formula/81/813bbc22173bbff6215a83ff4b4a23aap.png

8. Решите урав­не­ние https://oge.sdamgia.ru/formula/b5/b56381d45468dd1472087c6ac1b293afp.png

9. Решите урав­не­ние https://oge.sdamgia.ru/formula/69/699e0c02c674ca8aa4b74a3f35e6f4d3p.png

10. Решите урав­не­ние https://oge.sdamgia.ru/formula/d5/d5cae26ba616dd66eeb3bedfb7bbdbfbp.png

11. Решите урав­не­ние https://oge.sdamgia.ru/formula/87/8797ffcbfcc671f1a65c7909431ce18ap.png

12. Решите урав­не­ние https://oge.sdamgia.ru/formula/1e/1e6c0280d346fc2858e9cd5553e81ed9p.png

13. Решите урав­не­ние https://oge.sdamgia.ru/formula/6a/6adc9e177d45295009e2a05134f577b7p.png

14. Решите урав­не­ние https://oge.sdamgia.ru/formula/1a/1a7c0a63714fe0f6f7f309ab4c715946p.png Если кор­ней несколько, за­пи­ши­те их в ответ в по­ряд­ке возрастания, через точку с запятой.

15. Решите урав­не­ние https://oge.sdamgia.ru/formula/33/334891da5c4046f9592f98fc2b127ddcp.png

 

Квадратные уравнения

1. Решите урав­не­ние https://oge.sdamgia.ru/formula/e9/e94552ea0155de88b6d42a2d9060db50p.png. Если кор­ней несколько, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке возрастания.

2. Решите урав­не­ние https://oge.sdamgia.ru/formula/3a/3a65c72e2a686e8e233edb88bef94a7fp.png. Если кор­ней несколько, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке возрастания.

3. Решите урав­не­ние https://oge.sdamgia.ru/formula/3b/3b91caa1fd110640ae5dcbd1cba9824fp.png. Если кор­ней несколько, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке возрастания.

4. Найдите корни урав­не­ния  https://oge.sdamgia.ru/formula/ed/ed2f470d6c38f0c9d7632608747811e4p.png. Если кор­ней несколько, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке возрастания.

5. Найдите корни урав­не­ния  https://oge.sdamgia.ru/formula/d4/d450bf4ab5a34ddda6470391cc328cc2p.png. Если кор­ней несколько, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке возрастания.

6. Решите урав­не­ние (x + 2)2 = (x − 4)2.

7. Най­ди­те корни урав­не­ния https://oge.sdamgia.ru/formula/32/32201b9a05dfe1f389efcf6c7d4f7810p.png Если кор­ней несколько, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке возрастания.

8. Най­ди­те корни урав­не­ния https://oge.sdamgia.ru/formula/f9/f95db4ce03de0a12cc31b0f9c63764f4p.png Если кор­ней несколько, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке возрастания.

9.  Уравнение https://oge.sdamgia.ru/formula/a4/a403b939f44b82f30e8c641330843f15p.png имеет корни −6; 4. Най­ди­те https://oge.sdamgia.ru/formula/e8/e8d7bc1a67db44e249ed90a160afd0b5p.png

10.  Решите урав­не­ние https://oge.sdamgia.ru/formula/b1/b18826ab935a1a66d0ae620ea98ecbe0p.png

11. Решите урав­не­ние https://oge.sdamgia.ru/formula/a0/a00440b4b6bdcec275e6a2347973acdfp.png

12. Решите урав­не­ние https://oge.sdamgia.ru/formula/14/1451a0db76e5268c0c940ca2f3261c89p.png

13. Решите урав­не­ние https://oge.sdamgia.ru/formula/ac/acbc3ad34bfc8ae89a8d991030aefdaap.png Если кор­ней несколько, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке возрастания.

14. Решите урав­не­ние 8x2 − 12x + 4 = 0. Если кор­ней несколько, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке возрастания.

18. Уравнение https://oge.sdamgia.ru/formula/a4/a403b939f44b82f30e8c641330843f15p.png имеет корни −5; 7. Най­ди­те https://oge.sdamgia.ru/formula/e8/e8d7bc1a67db44e249ed90a160afd0b5p.png

 

Дробно рациональные уравнения

1. Решите уравнение:   https://oge.sdamgia.ru/formula/f6/f647b29cbb6e05e4e7d73b98866565fep.png.Если кор­ней несколько, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке возрастания.

2. Решите урав­не­ние   https://oge.sdamgia.ru/formula/30/3019d2f90f6723ac4299f7ce2ce8dcdbp.png.Если кор­ней несколько, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке возрастания.

3. Решите урав­не­ние https://oge.sdamgia.ru/formula/e6/e69904034c43a15f5942f16ddc43c34ep.png

4. Решите уравнение: https://oge.sdamgia.ru/formula/05/0539a4e6ff49ddaa484ef70d43660480p.png

5. Решите уравнение: https://oge.sdamgia.ru/formula/a7/a7ceed6f9e196b0f29f8eb1f0ae41f9cp.png

6. Решите урав­не­ние https://oge.sdamgia.ru/formula/d6/d6411bdc9c076b3f8482c5982d08fb92p.png

7. Решите урав­не­ние https://oge.sdamgia.ru/formula/5d/5d0b3795f2a7f2d98860dde76b8158dap.pngЕсли кор­ней несколько, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке возрастания.

8. Решите урав­не­ние https://oge.sdamgia.ru/formula/e3/e3c6174b89e1cea0c44607b4bde9f2e2p.png

9. Решите урав­не­ние https://oge.sdamgia.ru/formula/a7/a7e3cc0bacda9184963a33a19cd9052ep.png

10. Решите урав­не­ние https://oge.sdamgia.ru/formula/95/95212b942676679dd082b0900c152455p.png

Тема 3. Степени

Степенью числа а с натуральным показателем n, большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен а.

an= a·a·a·a·a (n,раз)

 

В частном случае основание а с показателем 1 называется само число а. a1=a

Степень с отрицательным основанием и чётным показателем равна степени с основанием, противоположным исходному основанию, и с тем же показателем.

(−a)2n=a2n, где 2n - четный показатель

Основание в любом отрицательном показателе степени можно представить в виде основания в таком же положительном показателе степени, изменив положение основания относительно черты дроби.

Уa−n =

Пример 14.

УРадикал (корень) можно представить в виде степени с дробным показателем

УПример 15.

 

Свойства степеней

1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели складываются. an·am=an+m

2. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели вычитаются an:am=an−m

3. При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели перемножаются (an)m=an·m

4. При возведении в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель

(a·b)n=an·bn

5. При возведении в степень дроби в эту степень возводиться числитель и знаменатель

6. При возведении любого основания в нулевой показатель степени результат равен единице a0=1

Пример 16. Вычислить

Решение:

Перед решением необходимо сделать одинаковые основания у степеней, для этого разложим основание 14 на множители и далее применим свойства степеней

 = 

Ответ: 14

Пример 17. Найдите значение выражения:  при a=5

Решение:

Для начала упростим выражение, используя свойства степеней

Подставим в полученное выражение вместо «а» число 5.

Ответ: 0,2

 

Уhttp://cs614721.vk.me/v614721034/5444/xTdtdoKTIHM.jpg

 

Задания для самостоятельного выполнения

1. Какое из следующих выражений равно https://oge.sdamgia.ru/formula/3a/3add7c512761fde98ecfab3691fe9ed3p.png? В ответе укажите номер правильного варианта.

1) https://oge.sdamgia.ru/formula/73/7310e432eba934fad6aae0016deef4c8p.png    2) https://oge.sdamgia.ru/formula/0f/0f40e7c465563e98cae45fdc293fd18fp.png     3) https://oge.sdamgia.ru/formula/94/946c7d9a184b3b29dc677bf2110eceebp.png    4) https://oge.sdamgia.ru/formula/57/575812b4d8abe2af7894b679c4ffa7d4p.png

2. Какое из следующих выражений равно https://oge.sdamgia.ru/formula/d1/d1a9aa245b791a2f40eaa32f1892eaf7p.png? В ответе укажите номер правильного варианта.

 

1) https://oge.sdamgia.ru/formula/e9/e9205ec417fbcd0c6cf502ac93ab0d83p.png        2) https://oge.sdamgia.ru/formula/ca/cab8f2e5860cc65dd941fce85ff40979p.png      3) https://oge.sdamgia.ru/formula/e7/e74490a777781eddc1c425e1dcd56224p.png          4) https://oge.sdamgia.ru/formula/38/380c5ce72e865a569ca5e80229917863p.png

3. Представьте выражение  в виде степени с основанием c. В ответе укажите номер правильного варианта.          

 

https://oge.sdamgia.ru/formula/96/961f96305a0b53328de73df148611472p.png                                   1) https://oge.sdamgia.ru/formula/62/62f430f5f2ae7835578e095981dec186p.png      2) https://oge.sdamgia.ru/formula/cf/cfc90f16ff3ccfe05b9765aaee5bf461p.png       3) https://oge.sdamgia.ru/formula/58/58cfc76b06c0bb4212347cff7efb6d20p.png    4) https://oge.sdamgia.ru/formula/5b/5bcf3ba87bc4eed9602b7e53a5bf6316p.png

4. Представьте выражение  в виде степени с основанием x. В ответе укажите номер правильного варианта.

 

https://oge.sdamgia.ru/formula/f2/f2ff67db61b9281527f1ed29673a2f0ap.png                                   1) https://oge.sdamgia.ru/formula/0d/0d1102af3cd8d367438d44d7d2a71684p.png      2) https://oge.sdamgia.ru/formula/d5/d5b806dca0f2933e8fcc99d8a41f6b52p.png         3) https://oge.sdamgia.ru/formula/36/364d7ce5e69b10df5005a2e2aa37a48ap.png         4) https://oge.sdamgia.ru/formula/b2/b26e6b72098af10803777dd79b5e96d8p.png

5. Найдите зна­че­ние вы­ра­же­ния https://oge.sdamgia.ru/formula/9f/9f675217b71619d149f2db59762c874ap.png при https://oge.sdamgia.ru/formula/dd/dd4caedc5dd00bf70703ad89715a5708p.png. В ответе укажите номер правильного варианта.

 

1) −125   2) 125      3) https://oge.sdamgia.ru/formula/e4/e465953d26314c654b042b0033f4e426p.png        4) https://oge.sdamgia.ru/formula/b1/b15ca9c1d0faf7c220707adf780c371ep.png

 

6.  Ка­ко­му из сле­ду­ю­щих вы­ра­же­ний равна дробь https://oge.sdamgia.ru/formula/0b/0b139f5903f949abbecb6f6c5f51f031p.png В ответе укажите номер правильного варианта.

 

1) https://oge.sdamgia.ru/formula/97/97d2b5ae43cb1fdbc421e77e52df47a8p.png   2) https://oge.sdamgia.ru/formula/09/094b90962429672bc15d093ffca25e52p.png   3) https://oge.sdamgia.ru/formula/97/97194a3615b2c38475ffda96e895c020p.png   4) https://oge.sdamgia.ru/formula/69/6960c032381d7207f9573cea2f4b8a9bp.png

 

7. Представьте вы­ра­же­ние https://oge.sdamgia.ru/formula/b1/b1aedc0e40fc03ac59ceb6d117c2939ap.png в виде сте­пе­ни с ос­но­ва­ни­ем https://oge.sdamgia.ru/formula/19/1956940fd568edcef6c60b3723bb951bp.png В ответе укажите номер правильного варианта.

 

1) https://oge.sdamgia.ru/formula/a3/a313ec1bf58666633bc3e2dd47b8f689p.png    2) https://oge.sdamgia.ru/formula/d8/d8ffab1dafe89b7a4967ed46616db6fdp.png    3) https://oge.sdamgia.ru/formula/40/40709eef3ec63775f54e54776fef8a02p.png    4) https://oge.sdamgia.ru/formula/ea/ead66896bde0b84bd0f239cc88a83c5cp.png

 

8. Представьте вы­ра­же­ние https://oge.sdamgia.ru/formula/9e/9ec1c5899f64df04a43fe9f750d5a908p.png в виде сте­пе­ни с ос­но­ва­ни­ем https://oge.sdamgia.ru/formula/fd/fd3500a59568ee1c126a5e50c6bc8b91p.png В ответе укажите номер правильного варианта.

1) https://oge.sdamgia.ru/formula/57/57cffd6b5ccc0cbc6f3a09b723f7ff4ap.png    2) https://oge.sdamgia.ru/formula/a2/a28134106a0ac502d7895ef521a1482ep.png    3) https://oge.sdamgia.ru/formula/93/936c317ea5d020b14a05c1f69ad9f3c9p.png    4) https://oge.sdamgia.ru/formula/5d/5d4e3513060e90d8cb5aa003d30a97aep.png

 

9. Представьте вы­ра­же­ние https://oge.sdamgia.ru/formula/0c/0cb286d63112cc3534dff8af60c628fep.png в виде сте­пе­ни с ос­но­ва­ни­ем x. В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го варианта.

1) https://oge.sdamgia.ru/formula/48/48ea9be719fa783b7063fd5c5531521ap.png    2) https://oge.sdamgia.ru/formula/60/609eaa5bd30fb21a6aff6774e740b2a1p.png    3) https://oge.sdamgia.ru/formula/63/63f08d62841dde1a9a22641ec0c1767ap.png    4) https://oge.sdamgia.ru/formula/0a/0a2211157a5a4959047101a6164929a9p.png

10. Какое из данных ниже выражений при любых значениях https://oge.sdamgia.ru/formula/7b/7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1p.png равно дроби https://oge.sdamgia.ru/formula/53/535af197f2cac8fb99590ec7168868ccp.png?

1) https://oge.sdamgia.ru/formula/8a/8a30ed284477067ad0a9d15904ab8732p.png    2) https://oge.sdamgia.ru/formula/e5/e5d8c11c7a6d1fe0f038c3a0bad1e5b1p.png    3) https://oge.sdamgia.ru/formula/73/73c6ea83feb10da9a0807d8e44bcde71p.png    4) https://oge.sdamgia.ru/formula/49/498216c8436b63e8a9847d341151bd33p.png

 

11. Найдите зна­че­ние вы­ра­же­ния  https://oge.sdamgia.ru/formula/af/af2f50ddacaf6ef704fa6f4a5ce8372bp.png

12. Найдите зна­че­ние вы­ра­же­ния  https://oge.sdamgia.ru/formula/a3/a3a01b141b1c98d5d381f115c10501e0p.png

13. Запишите в от­ве­те но­ме­ра тех выражений, зна­че­ние ко­то­рых равно 0.

Номера за­пи­ши­те в по­ряд­ке воз­рас­та­ния без пробелов, за­пя­тых и дру­гих до­пол­ни­тель­ных символов.

1) https://oge.sdamgia.ru/formula/99/9910142c1561b371d538a1495a215e57p.png

2) https://oge.sdamgia.ru/formula/c0/c0768ac034c3c54ed75f1610befe0445p.png

3) https://oge.sdamgia.ru/formula/73/7374935c0f6b5711390e5ab20a07fac6p.png

4) https://oge.sdamgia.ru/formula/82/824367038b77ceaad336ac4d583768d9p.png

14. Запишите де­ся­тич­ную дробь, рав­ную сумме https://oge.sdamgia.ru/formula/22/22340abf3af66eae936db337c5eaf94bp.png.

15. Найдите зна­че­ние вы­ра­же­ния   https://oge.sdamgia.ru/formula/55/553ca631a6be409483477b9611e228a3p.png.

16. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  https://oge.sdamgia.ru/formula/3e/3e12d31c3ed551c955bf84486c241140p.png

17. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  https://oge.sdamgia.ru/formula/c0/c0480bfaebea1a462125a5e7d19149a8p.png

18. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  https://oge.sdamgia.ru/formula/f9/f97a91538b0fbf56e7712c0b10985859p.png

19. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  https://oge.sdamgia.ru/formula/58/58ad788fb4acfca56531b0f4bce67c60p.png

20. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  https://oge.sdamgia.ru/formula/39/39063efccaf375338ed45b4fc8a9b894p.png

21. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  https://oge.sdamgia.ru/formula/8f/8f753b8a0608c4099520fd5463349b2ap.png

22. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  https://oge.sdamgia.ru/formula/4a/4a88bda2a30bf123c88ca127a0d56268p.png

23. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  https://oge.sdamgia.ru/formula/02/02e134b0cfded0a0604e14d4bf114ab2p.png

24. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  https://oge.sdamgia.ru/formula/bf/bfbbcd42128391acb318ebed742d5e5ep.png

25. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  https://oge.sdamgia.ru/formula/af/af2f50ddacaf6ef704fa6f4a5ce8372bp.png

26. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  https://oge.sdamgia.ru/formula/a3/a3a01b141b1c98d5d381f115c10501e0p.png

27. Найдите зна­че­ние вы­ра­же­ния https://oge.sdamgia.ru/formula/68/68a5c242dbd76dee385c42e3a6447e65p.png

28. Найдите зна­че­ние вы­ра­же­ния https://oge.sdamgia.ru/formula/b8/b8187210a7d1b5fa8f0bfcbe75ffd705p.png

29. Найдите зна­че­ние вы­ра­же­ния https://oge.sdamgia.ru/formula/81/81d93063e76418a7957728e67cd8762dp.png

30. Найдите зна­че­ние вы­ра­же­ния https://oge.sdamgia.ru/formula/74/742bceac43838e38a4c57f75d12e963dp.png

31. Найдите зна­че­ние вы­ра­же­ния (4,9 · 10− 3)(4 · 10− 2).

32. Найдите зна­че­ние вы­ра­же­ния https://oge.sdamgia.ru/formula/42/425e1a72b1fb6e7f95d6ec043a7534c0p.png

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тема 4. Квадратные корни

Арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число b, квадрат которого равен а: √а = b ( при a ≥ 0, b ≥ 0, b2 = a).

Пример 18. √9 = 3 (9 > 0, 3 > 0, 32 = 9)

При а < 0 выражение √a не имеет смысла.

Пример 19. √-25 – невозможно извлечь корень: 52 = 25 и -52 = 25 (а не -25)

При любом а, при котором выражение √a имеет смысл, верно равенство (√a)2 = |а|.

Пример 20. (√25)2 = 52 = 25, √-52 = √25 = 5

Свойства арифметического квадратного корня:

Уhttp://raal100.narod.ru/olderfiles/3/Svoistva_arifmet-kvadr-kornya7.png

 

Преобразование выражений с квадратными корнями

http://raal100.narod.ru/olderfiles/3/Preobrazovaniya_s_kvadratami1.png

Уhttp://festival.1september.ru/articles/514083/img1.gif

 

 

 

Задания для самостоятельного выполнения

 

1. Значение ка­ко­го из вы­ра­же­ний является чис­лом рациональным? В ответе укажите номер правильного варианта.

1) https://oge.sdamgia.ru/formula/90/9025c7386d46fe4081b8e40f7dbd82b9p.png   2) https://oge.sdamgia.ru/formula/a3/a33dd3f6ca878969add5c3591357f7fcp.png   3) https://oge.sdamgia.ru/formula/1e/1e314f011d99b45bb36bbfa03f55f68cp.png   4) https://oge.sdamgia.ru/formula/85/85ec07843f3673982a656efd0fd0c6c9p.png

 

2. Расположите в порядке возрастания числа: https://oge.sdamgia.ru/formula/f1/f10ac6fceee41bb786d24ee337f02babp.png; https://oge.sdamgia.ru/formula/84/84507545f131b7108866546c72caaa20p.png; 5,5. В ответе укажите номер правильного варианта.

 

1) https://oge.sdamgia.ru/formula/dc/dc4f1def6993cf311cb3174f338b192ep.png  2) https://oge.sdamgia.ru/formula/37/3746165ed4a739b910254861026b6462p.png   3) https://oge.sdamgia.ru/formula/eb/eb7c189e1b522a3cf436fa717fe4229bp.png   4) https://oge.sdamgia.ru/formula/24/24ea05f2e8e267ed599c31bff621b9f1p.png

 

3. Расположите в порядке убывания числа: https://oge.sdamgia.ru/formula/f1/f10ac6fceee41bb786d24ee337f02babp.png; https://oge.sdamgia.ru/formula/84/84507545f131b7108866546c72caaa20p.png; 5,5. В ответе укажите номер правильного варианта.

 

1) https://oge.sdamgia.ru/formula/dc/dc4f1def6993cf311cb3174f338b192ep.png   2) https://oge.sdamgia.ru/formula/51/512688a2b0a559f48f45637bddcf033ap.png   3) https://oge.sdamgia.ru/formula/9b/9b3a9b10f855b4e07e56c60bff511f79p.png   4) https://oge.sdamgia.ru/formula/b1/b11864da8792a018561db19a1af87952p.png

4. Укажите наи­боль­шее из сле­ду­ю­щих чисел. В ответе укажите номер правильного варианта.

1) https://oge.sdamgia.ru/formula/ec/eca279ff4a8ec90963f5b8ef38af058dp.png   2) https://oge.sdamgia.ru/formula/c0/c0585acae576a1b63a0ccfb4362c45cbp.png   3) https://oge.sdamgia.ru/formula/e4/e4da3b7fbbce2345d7772b0674a318d5p.png   4) https://oge.sdamgia.ru/formula/d8/d8dcb47435efc53b0592a9725b9e22aep.png

5.  Зна­че­ние ка­ко­го из дан­ных вы­ра­же­ний яв­ля­ет­ся наи­мень­шим? В ответе укажите номер правильного варианта.

1) https://oge.sdamgia.ru/formula/dc/dc7a204185d6830de9e1d0148902e0e2p.png   2) https://oge.sdamgia.ru/formula/18/183d5db1d5d3b279d87445c55125859ap.png   3) https://oge.sdamgia.ru/formula/32/326d9d8f9404113bebccdb63b6a4c77fp.png   4) https://oge.sdamgia.ru/formula/14/1402a3b7559064491d221dd628bb600ap.png

 

6. В каком слу­чае числа https://oge.sdamgia.ru/formula/9b/9bdddf57eb8ab80f2beb3a0564411e84p.png и 6 рас­по­ло­же­ны в по­ряд­ке возрастания? В от­ве­те укажите номер пра­виль­но­го варианта.

 1) https://oge.sdamgia.ru/formula/61/618b736f61593900dbe63753dd652590p.png

2) https://oge.sdamgia.ru/formula/8a/8ab8992ef8257fe058010c76b4c2c170p.png

3) https://oge.sdamgia.ru/formula/c5/c5888d0436629b1d2a145a713070093ap.png

4) https://oge.sdamgia.ru/formula/83/838385ff59cdbfca2f31bf860c0dc9c4p.png

7. Зна­че­ние ка­ко­го из вы­ра­же­ний яв­ля­ет­ся чис­лом ир­ра­ци­о­наль­ным? В ответе укажите номер правильного варианта.

 

1) https://oge.sdamgia.ru/formula/e1/e16fa120ce6e3ac7218d36093b5aaacdp.png

2) https://oge.sdamgia.ru/formula/69/69452e1a0e93c0803755d04b22b7a584p.png

3) https://oge.sdamgia.ru/formula/c6/c6df33802ed0de76ac0a5b0353b69c8ap.png

4) https://oge.sdamgia.ru/formula/b4/b400869272669e239a7879b264d4a5ffp.png

8. Какое из чисел https://oge.sdamgia.ru/formula/94/9445030ec54e96afd6b30597b84c48a5p.png https://oge.sdamgia.ru/formula/ac/ac13a8c579962e8b1f72171667b9e6fdp.png https://oge.sdamgia.ru/formula/05/05febe264cf9290dcabc179663a23c72p.png яв­ля­ет­ся ир­ра­ци­о­наль­ным? В ответе укажите номер правильного варианта.

1) https://oge.sdamgia.ru/formula/38/388ba16569dc01151a4db33e8ef4f99fp.png    2) https://oge.sdamgia.ru/formula/f3/f3ef1ecde8d7e3da4fe7d8c3c5c5ed8fp.png    3) https://oge.sdamgia.ru/formula/05/05febe264cf9290dcabc179663a23c72p.png    4) ни одно из этих чисел

 

9. Какое из чисел https://oge.sdamgia.ru/formula/94/94c2ea035c46d68f3f2bf3a50f197941p.png https://oge.sdamgia.ru/formula/81/816d2ef3c3f2256d30c004773cc8cff2p.png https://oge.sdamgia.ru/formula/35/359ea25a3234c73214a15c926fe3e800p.png яв­ля­ет­ся ра­ци­о­наль­ным? В от­ве­те укажите номер пра­виль­но­го варианта.

1) https://oge.sdamgia.ru/formula/ff/ff9ae155d980b0078fd9e08dc346cd64p.png    2) https://oge.sdamgia.ru/formula/30/305784683542ba11c22c8ede706ced67p.png    3) https://oge.sdamgia.ru/formula/35/359ea25a3234c73214a15c926fe3e800p.png  4) Все эти числа ир­ра­ци­о­наль­ны.

10. Зна­че­ние ка­ко­го из чисел яв­ля­ет­ся наи­боль­шим? В ответе укажите номер правильного варианта.

1) https://oge.sdamgia.ru/formula/05/05febe264cf9290dcabc179663a23c72p.png    2) https://oge.sdamgia.ru/formula/67/673953b270b2a2770dcc08459ed16529p.png   3) https://oge.sdamgia.ru/formula/2a/2aa11f81519d529e9cc33a2610240157p.png    4) https://oge.sdamgia.ru/formula/eb/eb15ac059be61d5805c2449579922838p.png

11. Зна­че­ние ка­ко­го вы­ра­же­ния яв­ля­ет­ся ра­ци­о­наль­ным чис­лом? В ответе укажите номер правильного варианта.

1) https://oge.sdamgia.ru/formula/c5/c59d07d5ae2ad4e52a646f4e587c2abdp.png   2) https://oge.sdamgia.ru/formula/8c/8ce55dfd6a79b7140f6cc6c1a5902e1dp.png  3) https://oge.sdamgia.ru/formula/b0/b053a7c9e8c0cb321e95b9dae692ed4ep.png   4) https://oge.sdamgia.ru/formula/b5/b58698b35f07aa49a651564bcfc735a9p.png

12. Зна­че­ние ка­ко­го из дан­ных вы­ра­же­ний яв­ля­ет­ся наи­мень­шим? В ответе укажите номер правильного варианта.

1) https://oge.sdamgia.ru/formula/f4/f4f72e2b633e4ef13eb384425a6a7167p.png    2) https://oge.sdamgia.ru/formula/75/75b40b045a877069177a66be80d76df1p.png    3) https://oge.sdamgia.ru/formula/32/323f27295d58a38dad551a0a8feb6e6ap.png    4) https://oge.sdamgia.ru/formula/4f/4f97dbfbaa3a356f7d57be7e8ed4bde4p.png

 

13. Найдите зна­че­ние вы­ра­же­ния https://oge.sdamgia.ru/formula/ec/ec43cb7c7d436fac895beb038759fd7cp.pngВ ответе укажите номер правильного варианта.

1) https://oge.sdamgia.ru/formula/3b/3b05a90f244928f96ef861f4e57152a8p.png    2) https://oge.sdamgia.ru/formula/fb/fb6867b7e48eac517b7b9a80af8be3e2p.png    3) https://oge.sdamgia.ru/formula/79/79ca7f65d1c1cc4e7bc35a96bad755aap.png    4) https://oge.sdamgia.ru/formula/ea/ea5d2f1c4608232e07d3aa3d998e5135p.png

14. Между ка­ки­ми чис­ла­ми за­клю­че­но число https://oge.sdamgia.ru/formula/ca/ca81436d61c98abc1d1013e7b68297c0p.png В ответе укажите номер правильного варианта.

1) 8 и 9    2) 72 и 74    3) 24 и 26    4) 4 и 5

15. Какое из дан­ных чисел при­над­ле­жит промежутку [6; 7]? В ответе укажите номер правильного варианта.

1) https://oge.sdamgia.ru/formula/65/65ebe73c520528b6825b8ff4002086d7p.png    2) https://oge.sdamgia.ru/formula/18/1801cfc88edd59ca7296ac197514e703p.png    3) https://oge.sdamgia.ru/formula/13/133bd7fe1cc62f0a673fab08e88bdc77p.png    4) https://oge.sdamgia.ru/formula/32/32144bf52d54aa800d6bae600d6c3a31p.png

16. Значение какого из выражений является числом иррациональным?

 

1) https://oge.sdamgia.ru/formula/24/241d28fd31ada76e1dfd4c29d03f77abp.png    2) https://oge.sdamgia.ru/formula/d3/d3efd7dcc60a9ff2ac73c19795ef5b23p.png    3) https://oge.sdamgia.ru/formula/2d/2d7f9f3e9bf5a032b4c5745ac5349caep.png    4) https://oge.sdamgia.ru/formula/4e/4e210cb1e1350a26bf8968238fbbae69p.png

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тема 5. Неравенства

Линейные неравенства

Линейным неравенством с одной переменной называется неравенство вида ax+b>0 или ax+b < 0 или ax+b≥0 или ax+b ≤ 0.

Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство.

Решить неравенство – значит найти все его решения или доказать что решений нет.

Неравенства, имеющие одни и те же решения, называются равносильными. Неравенства, не имеющие решений, также считают равносильными.

При решении неравенств используются следующие свойства:

1. Если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство.

2. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство;

3. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.

Пример 21. Решим неравенство: 4х+7>-5+х

Решение:

1)      Перенесем слагаемое x с противоположным знаком в левую часть, а число 7 с противоположным знаком в правую часть: 4х-х > -5-7

2)      Приведем подобные члены: 3х > -12

3)      Разделим обе части неравенства на 3: х > -4

4)      Множество решений неравенства состоит из всех чисел, больших -4. Это множество представляет собой числовой промежуток (-4; +∞).

 

Квадратные  неравенства

Общий вид квадратных неравенств, это ax2+bx+c>0(<0,≤0,≥0),гдеa≠0.

 Множество решений квадратного неравенства легко определить, приблизительно начертив график функции y=ax2+bx+c (параболу).

 Шаги решения квадратного неравенства:

У 1. Определяются точки пересечения параболы и оси x с помощью решения уравнения ax2+bx+c=0. Вспомним формулы корней квадратного уравнения:

 D=b2−4ac,  x1,2=

Если  D>0, у уравнения два разных корня, парабола пересекает ось x в двух точках

Если  D=0, у уравнения два одинаковых корня, вершина параболы находится на оси x

Если  D<0, у уравнения нет реальных корней, парабола не пересекает ось x

Если у уравнения ax2+bx+c = 0 есть ровно один корень x1, то

·         неравенство вида ax2+bx+c ≥0 выполняется при любых значениях x. В этом случае решение неравенства — это (−∞;+∞), то есть вся числовая ось.

·         неравенство вида ax2+bx+c >0 выполняется при любых значениях x, кроме x1, так как при x=x1 выражение ax2+bx+c равно 0. Тогда решение неравенства — это объединение двух интервалов (−∞;x1) и (x1;+∞).

·         неравенство вида ax2+bx+c ≤0 выполняется только при x=x1

·         неравенство вида ax2+bx+c<0 не выполняется ни при одном значении x. В этом случае у неравенства нет решений (решение — пустое множество ).

2. Учитывая количество корней и знак коэффициента a, чертится график параболы.

Обрати внимание! Если a>0, ветви параболы устремлены вверх, если a<0, то вниз.

 Совет: если хочешь, чтобы ветви параболы всегда были уcтремлены вверх, в случаях, когда a<0, сначала обе части неравенства перемножь на (−1).

Не забудь, что на противоположный поменяется также знак неравенства.

 3. Выбираются пустые или закрашенные точки, в зависимости от вида знака неравенства:

У если стоит знак нестрогого неравенства ≤ или  ≥

если стоит знак строгого неравенства < или >

 4. Закрашивается правильный интервал.

 5. Записывается ответ.

Пример 22. Решить квадратное неравенство −2x2+4x−5≤0

Решение:

−2x2+4x−5≤0 ∣⋅(−1)

2x2−4x+5≥0

D=16−425= −24 - парабола не пересекает осьOx

Ответ:  x(−∞;+∞)или xR

Алгоритм решения квадратных неравенств.

1.  Делаем из неравенства уравнение. Решаем его, находим корни.

2. Рисуем ось Х, отмечаем точками корни уравнения. Если исходное неравенство нестрогое, точки - черные (закрашенные). Если строгое - белые (пустые внутри).

3. Схематично рисуем параболу по исходному выражению.

4. Определяем области +/- на рисунке. Выбираем нужные области по исходному неравенству и записываем ответ.

Пример 23. Решить неравенство: -x2+3x > 0

Решение:

1.      Делаем из неравенства уравнение: -x2+3x = 0 и решаем (любым способом), находим корни: х1= 0, х2= 3

2.    Рисуем ось иксов, отмечаем на ней корни уравнения: здесь точки на оси белые, т.к. исходное неравенство - строгое.

3.        Рисуем (схематично!) параболу: ветви параболы направлены вниз, это потому, что в исходном выражении перед x2 стоит минус.

4.    Определяем области "+" и "-" на рисунке. Смотрим на исходное неравенство и соображаем, какое условие должно выполняться: больше нуля, или меньше? Нам надо больше нуля. Можно этот промежуток подштриховать.

Смотрим на картину и записываем ответ: х  (0; 3)

Пример 24. Решить неравенство: x2≤ 4

Решение:

1.    Переносим четвёрку влево, получаем: x2- 4≤ 0

2.    Делаем из неравенства уравнение: x2- 4 = 0 и находим корни: х1= -2, х2= 2

3.     

 

4.     

 

 

5.     

Ответ: х [-2; 2]

 

Задания для самостоятельного выполнения

Линейные неравенства

1. Решите не­ра­вен­ство  https://oge.sdamgia.ru/formula/70/70de3a1fed3f1894280f745ffd7d5af4p.png. В ответе укажите номер правильного варианта.

1) https://oge.sdamgia.ru/formula/92/92c39d77adb8dd9b4e146dd1e8d5354cp.png    2) https://oge.sdamgia.ru/formula/d5/d52d2809a7320fcca7c61bed8a032c72p.png    3) https://oge.sdamgia.ru/formula/ed/ed2f61c0ab4fd3521aef21ccf8afb06fp.png    4) https://oge.sdamgia.ru/formula/40/404c420ae321bc72db8d85942b01af67p.png

2. Ре­ши­те не­ра­вен­ство

https://oge.sdamgia.ru/formula/70/70de3a1fed3f1894280f745ffd7d5af4p.png

 

и опре­де­ли­те, на каком ри­сун­ке изоб­ра­же­но мно­же­ство его ре­ше­ний. В ответе укажите номер правильного варианта.

 https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=5948

3. Ре­ши­те не­ра­вен­ство https://oge.sdamgia.ru/formula/c3/c372267e368fcc85c073f711ca547cfep.png и опре­де­ли­те, на каком ри­сун­ке изоб­ра­же­но мно­же­ство его ре­ше­ний. В ответе укажите номер правильного варианта.

 https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=5951

4. Ре­ши­те не­ра­вен­ство https://oge.sdamgia.ru/formula/57/57edd5b08b6a99c4eeaf31b67cb315cdp.png и опре­де­ли­те, на каком ри­сун­ке изоб­ра­же­но мно­же­ство его ре­ше­ний. В ответе укажите номер правильного варианта.

 https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=5955

5. Ре­ши­те не­ра­вен­ство https://oge.sdamgia.ru/formula/65/65a5e842a0f7f6cb6a34c863427ba538p.png и опре­де­ли­те, на каком ри­сун­ке изоб­ра­же­но мно­же­ство его ре­ше­ний. В ответе укажите номер правильного варианта.

 https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=5957

6. При каких зна­че­ни­ях a вы­ра­же­ние 5a + 9 при­ни­ма­ет от­ри­ца­тель­ные зна­че­ния? В ответе укажите номер правильного варианта.

 

1) https://oge.sdamgia.ru/formula/3f/3fd79e029a8a4d4314abfb7f7e3f649dp.png   2) https://oge.sdamgia.ru/formula/ea/ea3b55b49b02af3d31f7fed010705b99p.png   3) https://oge.sdamgia.ru/formula/a8/a8247dfe5dd0cdcd21eab3b814afff2bp.png   4) https://oge.sdamgia.ru/formula/0b/0bba9d454d69e86c1034561d14d5139dp.png

 

7. Решите не­ра­вен­ство https://oge.sdamgia.ru/formula/d1/d17173665fd6cee5e026e4a54e06a68cp.png В ответе укажите номер правильного варианта.

1) (−4; +∞)    2) (−12; +∞)    3) (−∞; −4)    4) (−∞; −12)

8. При каких зна­че­ни­ях x зна­че­ние вы­ра­же­ния 9x + 7 мень­ше зна­че­ния вы­ра­же­ния 8x − 3?

В ответе укажите номер правильного варианта.

1) x > 4    2) x < 4    3) x > − 10    4) x < − 10

9. Решите не­ра­вен­ство https://oge.sdamgia.ru/formula/19/199e8eb6923da0688f2b385121ecac70p.png  В ответе укажите номер правильного варианта.

1) (− ∞; 8)    2) (− ∞; 1)    3) (8; +∞)    4) (1; +∞)

10. При каких зна­че­ни­ях x зна­че­ние вы­ра­же­ния 6x − 2 боль­ше зна­че­ния вы­ра­же­ния 7x + 8?

В ответе укажите номер правильного варианта.

1) x > − 10   2) x < − 10    3) x > − 6    4) x < − 6

11. Решите не­ра­вен­ство https://oge.sdamgia.ru/formula/ab/ab471c7d0fd9e95164057d8cef7ee441p.png В ответе укажите номер правильного варианта.

1) [−0,4; +∞)    2) (−∞; −2]    3) [−2; +∞)    4) (−∞; −0,4]

12. На каком ри­сун­ке изоб­ра­же­но мно­же­ство ре­ше­ний не­ра­вен­ства https://oge.sdamgia.ru/formula/38/3809b27ce59685cccf62d5d547150192p.png

В ответе укажите номер правильного варианта.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=6261

13. На каком ри­сун­ке изоб­ра­же­но мно­же­ство ре­ше­ний не­ра­вен­ства https://oge.sdamgia.ru/formula/a1/a1aafe8cc46c01fbca7c119d2ba47e57p.png

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го варианта.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=7651

 

 

 

 

Квадратные  неравенства

1. На каком ри­сун­ке изоб­ра­же­но мно­же­ство ре­ше­ний не­ра­вен­ства https://oge.sdamgia.ru/formula/1b/1b0343b1c4f049ec1db11b4a905db1b3p.png В ответе укажите номер правильного варианта.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=5937

2. Решение ка­ко­го из дан­ных не­ра­венств изоб­ра­же­но на рисунке? В ответе укажите номер правильного варианта.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=5940

1) https://oge.sdamgia.ru/formula/a8/a803b4b37aca2dae6641c1a30d86f544p.png   2) https://oge.sdamgia.ru/formula/d5/d56e20331146523d583abbba2da51863p.png   3) https://oge.sdamgia.ru/formula/71/7138199b60f2230cd18cefdd79c464d5p.png   4) https://oge.sdamgia.ru/formula/15/155fa31dac809cd2a3ea4d3c3408ffb3p.png

3. Решите не­ра­вен­ство https://oge.sdamgia.ru/formula/a2/a258000bb713132a9a516df3001b93e5p.png. В ответе укажите номер правильного варианта.

 

1) https://oge.sdamgia.ru/formula/88/8883e1f26938a2e9aa2e597108f688fbp.png         2) https://oge.sdamgia.ru/formula/a7/a7270c9de2766840c3d401ad8c72649ep.png

                            3) https://oge.sdamgia.ru/formula/80/80998ce8eac92c29a2b7e3c884535b14p.png                                       4) https://oge.sdamgia.ru/formula/8a/8a92edb840e76a16cd575d6f3f42eed3p.png

4. Решите не­ра­вен­ство https://oge.sdamgia.ru/formula/7d/7def7950244234d84ac5fe12331d4420p.png В от­ве­те укажите номер пра­виль­но­го варианта.

 

1) https://oge.sdamgia.ru/formula/f7/f76184ee855a8b328682d18ffeeabfd2p.png                    2) https://oge.sdamgia.ru/formula/dd/dd52b310d239167f38025c44ea1887d5p.png

3) https://oge.sdamgia.ru/formula/4d/4d72ef08ca52d1ea6e517f666c77c5d2p.png                  4) https://oge.sdamgia.ru/formula/2d/2d7e2282b6fad0b6a0d65e6a76e673d9p.png

5. Решите не­ра­вен­ство https://oge.sdamgia.ru/formula/19/19dd676f1687340667ad66655c15d83ap.png. В от­ве­те укажите номер пра­виль­но­го варианта.

 

1) https://oge.sdamgia.ru/formula/a0/a07f4f21142358dd6683916b1058df4cp.png               2) https://oge.sdamgia.ru/formula/15/1501ad5d4e2867487d16ecfb9d6dc0a9p.png

3) https://oge.sdamgia.ru/formula/6a/6ab602cb6b54d145434ab4b5539df2a7p.png                                                4) https://oge.sdamgia.ru/formula/d1/d185d10db0cb919194063b60a5a4a932p.png

6. Решите не­ра­вен­ство https://oge.sdamgia.ru/formula/3d/3d5f3e864218a948abf932139be4c787p.png. В ответе укажите номер правильного варианта.

 

1) https://oge.sdamgia.ru/formula/1b/1bc6b63b7c1357212e4e2548dcae3d2ep.png                              2) https://oge.sdamgia.ru/formula/a7/a731d58c4100d823f9037a79f584b1b4p.png

3) https://oge.sdamgia.ru/formula/0a/0a0b2c75892300c23d83bdc4b2aaee16p.png                                                              4) https://oge.sdamgia.ru/formula/10/10018c907d8bbaaf3c22a07eb2bfd34bp.png

7. Решите не­ра­вен­ство https://oge.sdamgia.ru/formula/0a/0add3242501b44f81c92afd73dd23b06p.png. В от­ве­те укажите номер пра­виль­но­го варианта.

 

1) https://oge.sdamgia.ru/formula/5c/5c87b335518980491a1ea27480e840f3p.png                                2) https://oge.sdamgia.ru/formula/7c/7c639b435011726883a45253255a3841p.png

3) https://oge.sdamgia.ru/formula/91/91451eb1837925cd007e9916ca505ea5p.png                                                                4) https://oge.sdamgia.ru/formula/8a/8a92edb840e76a16cd575d6f3f42eed3p.png

8. На каком ри­сун­ке изоб­ра­же­но мно­же­ство ре­ше­ний не­ра­вен­ства  https://oge.sdamgia.ru/formula/03/032249769fc416c11739e3b5d30e4568p.png ?

В ответе укажите номер правильного варианта.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=5941

1) 1      2) 2      3) 3      4) 4

9. Решите не­ра­вен­ство https://oge.sdamgia.ru/formula/95/957b73887208ed3edadafcef359fb405p.png В ответе укажите номер правильного варианта.

 

1) https://oge.sdamgia.ru/formula/4c/4c6d9b47443de2003d2ba9325a42ba73p.png                    2) https://oge.sdamgia.ru/formula/07/07a4f39ef693a53c94356b0e3b17c72ep.png

3) https://oge.sdamgia.ru/formula/d4/d4cf9c6ab3c0b4bfecf157269138c111p.png                                               4) https://oge.sdamgia.ru/formula/a8/a899602133312afdf88edd0c87df011ep.png

10. На каком ри­сун­ке изоб­ра­же­но мно­же­ство ре­ше­ний не­ра­вен­ства https://oge.sdamgia.ru/formula/23/23224758a9cebd44a61e65680ae887aap.png ?

В ответе укажите номер правильного варианта.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=5946

11. На каком ри­сун­ке изоб­ра­же­но мно­же­ство ре­ше­ний не­ра­вен­ства https://oge.sdamgia.ru/formula/57/57fc46565bdb65dc18a550c3d24478c2p.png?

В ответе укажите номер правильного варианта.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=5954

12. На каком ри­сун­ке изоб­ра­же­но мно­же­ство ре­ше­ний не­ра­вен­ства https://oge.sdamgia.ru/formula/f0/f089d643add3e84cf3bf0ac549d45fc2p.png?

В ответе укажите номер правильного варианта.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=5959

13. Ре­ше­ние ка­ко­го из дан­ных не­ра­венств изоб­ра­же­но на ри­сун­ке? В ответе укажите номер правильного варианта.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=5961

 

1) https://oge.sdamgia.ru/formula/aa/aa38e7d07ee95cbd4911d4ea5a862782p.png    2) https://oge.sdamgia.ru/formula/d1/d19600c2166f936885d28f9cb9cfedf7p.png    3) https://oge.sdamgia.ru/formula/fd/fd11d83f8f2111c0c4ce31f0f5de6c3fp.png    4) https://oge.sdamgia.ru/formula/d4/d410e8a70f90fe4efdeecee7face8d06p.png

14. На каком ри­сун­ке изоб­ра­же­но мно­же­ство ре­ше­ний не­ра­вен­ства https://oge.sdamgia.ru/formula/00/00811069e88d4d179b1813323c5990d6p.png?

В ответе укажите номер правильного варианта.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=5962

15.  Ре­ше­ние ка­ко­го из дан­ных не­ра­венств изоб­ра­же­но на ри­сун­ке? В ответе укажите номер правильного варианта.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=5963

1) https://oge.sdamgia.ru/formula/d4/d410e8a70f90fe4efdeecee7face8d06p.png    2) https://oge.sdamgia.ru/formula/d1/d19600c2166f936885d28f9cb9cfedf7p.png    3) https://oge.sdamgia.ru/formula/fd/fd11d83f8f2111c0c4ce31f0f5de6c3fp.png    4) https://oge.sdamgia.ru/formula/aa/aa38e7d07ee95cbd4911d4ea5a862782p.png

16.  Ре­ше­ние ка­ко­го из дан­ных не­ра­венств изоб­ра­же­но на ри­сун­ке? В ответе укажите номер правильного варианта.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=5964

1) https://oge.sdamgia.ru/formula/a8/a803b4b37aca2dae6641c1a30d86f544p.png    2) https://oge.sdamgia.ru/formula/d4/d4c8853de4219cf2c9aa9e3688f7b2a7p.png    3) https://oge.sdamgia.ru/formula/71/7138199b60f2230cd18cefdd79c464d5p.png   4) https://oge.sdamgia.ru/formula/15/155fa31dac809cd2a3ea4d3c3408ffb3p.png

17. Решите неравенство: https://oge.sdamgia.ru/formula/96/9698543c828c1a040bae0682f4c196c8p.png В ответе укажите номер правильного варианта.

 

1) https://oge.sdamgia.ru/formula/78/7840995d4bd7ad7dff39b3630d4d09edp.png                   2) https://oge.sdamgia.ru/formula/28/28b6ada8a9bb384694c8f26267c32687p.png

3) https://oge.sdamgia.ru/formula/15/15edd316cc0558e72a6b05a3392dc85dp.png                                              4) https://oge.sdamgia.ru/formula/71/71aa92194beb2f326af402797aa16d71p.png

18. Решите неравенство: https://oge.sdamgia.ru/formula/1d/1d867fc7db04e065dbfde18dbcbf049cp.png. В ответе укажите номер правильного варианта.

 

1) https://oge.sdamgia.ru/formula/50/50af148531535ea92e336c45675b5527p.png                      2) https://oge.sdamgia.ru/formula/0f/0f3ceefc5573826aefe358a0808e8eefp.png

3) https://oge.sdamgia.ru/formula/af/af002980e07b52c5001ab237b32f2ac6p.png                                                 4) https://oge.sdamgia.ru/formula/59/59fdfb9dba7cc1e8fa19a04872b6ca9dp.png

19. Решите неравенство: https://oge.sdamgia.ru/formula/23/232a716881c82aea9792d190b2236a5fp.png В ответе укажите номер правильного варианта.

 

1) https://oge.sdamgia.ru/formula/3c/3c3984f4dbee9bbbd4790b87c06b80c6p.png                     2) https://oge.sdamgia.ru/formula/82/828a2744e993c97cf40ed95677bab0d1p.png

3) https://oge.sdamgia.ru/formula/0a/0af4d061fdc8f5ca4aec05e6bf645e97p.png                                                4) https://oge.sdamgia.ru/formula/41/412861e483c4a169fe2498da8877ebbdp.png

20. Ука­жи­те не­ра­вен­ство, ко­то­рое не имеет ре­ше­ний. В ответе укажите номер правильного варианта.

1) x2​ − 64 ≤ 0     2) x2​ + 64 ≥ 0     3) x2​​ − 64 ≥ 0     4) x2​​ + 64 ≤ 0

21. Ука­жи­те не­ра­вен­ство, ре­ше­ни­ем ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся любое число. В ответе укажите номер правильного варианта.

1) x2​ − 15 < 0     2) x2 + 15 > 0     3) x2 ​+ 15 < 0     4) x2 ​− 15 > 0

22. Решение ка­ко­го из дан­ных не­ра­венств изоб­ра­же­но на рисунке? В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го варианта.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=5968

1) https://oge.sdamgia.ru/formula/ef/efd7f0c16bdd5fc4c4aaed97c89604ddp.png    2) https://oge.sdamgia.ru/formula/3d/3d7b0a290b95409b0971435a893fd8abp.png    3) https://oge.sdamgia.ru/formula/2c/2c85ba87db14222c58125e13d6c981e8p.png    4) https://oge.sdamgia.ru/formula/ca/ca53ef5de0fb6ccb6635cde93dc33557p.png

23. На каком из ри­сун­ков изоб­ра­же­но ре­ше­ние неравенства  https://oge.sdamgia.ru/formula/02/0208651f29e56f8e78876fa1b4999740p.png В ответе укажите номер правильного варианта.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=6239

 

24. Решите не­ра­вен­ство https://oge.sdamgia.ru/formula/8e/8ee466430c1936af62e5c9576a985068p.png В ответе укажите номер правильного варианта.

 

1) (− ∞; +∞)    2) (− ∞; −6)(6; +∞)    3) (− 6; 6)    4) нет решений

25. На каком ри­сун­ке изоб­ра­же­но мно­же­ство ре­ше­ний не­ра­вен­ства https://oge.sdamgia.ru/formula/0f/0f66d5909fa0483055fe73e147c6e858p.png

В ответе укажите номер правильного варианта.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=6243

 26. На каком из ри­сун­ков изоб­ра­же­но ре­ше­ние не­ра­вен­ства https://oge.sdamgia.ru/formula/8b/8b6952e4617c478e4eb60a87208a56b7p.png В от­ве­те укажите номер пра­виль­но­го варианта.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=6244

 27. Решите не­ра­вен­ство https://oge.sdamgia.ru/formula/e5/e5e92673f9c31e6a44450ee6b400cc34p.png В ответе укажите номер правильного варианта.

1) (− ∞; +∞)     2) нет решений     3) (− 5; 5)     4) (− ∞; −5)(5; +∞)

28. На каком ри­сун­ке изоб­ра­же­но ре­ше­ние не­ра­вен­ства https://oge.sdamgia.ru/formula/68/68c3d74e52ee61bd66934ccbf5c68d01p.png В ответе укажите номер правильного варианта.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=6245

 29. На каком из ри­сун­ков изоб­ра­же­но ре­ше­ние не­ра­вен­ства https://oge.sdamgia.ru/formula/10/1046e41c45e5900ecaff543574ffa1bcp.png В ответе укажите номер правильного варианта.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=6246

 30. На каком из ри­сун­ков изоб­ра­же­но ре­ше­ние не­ра­вен­ства https://oge.sdamgia.ru/formula/a2/a2f5a3cc1212790b837267d62560eb14p.png В ответе укажите номер правильного варианта.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=6247

 31. На каком рисунке изображено множество решений неравенства https://oge.sdamgia.ru/formula/da/dac37d9efc29eddbde836807327f33cbp.png?

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=10241

 

32. На каком рисунке изображено множество решений неравенства https://oge.sdamgia.ru/formula/1c/1c1cbef057d9aea8b3101587818fafa3p.png?

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=10243

33. На каком рисунке изображено множество решений неравенства https://oge.sdamgia.ru/formula/f4/f470f5c717b999e81d9fa58e3977f9f7p.png?

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=10271

34. На каком рисунке изображено множество решений неравенства https://oge.sdamgia.ru/formula/27/27058838998707e62dc834dce48976b3p.png?

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=10280

 

Тема 6. Системы уравнений и неравенств

Системы уравнений

Система уравнений — это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких (или одной) переменных.

Другими словами, если задано несколько уравнений с одной, двумя или больше неизвестными, и все эти уравнения (равенства) должны одновременно выполняться, такую группу уравнений мы называем системой.

Объединяем уравнения в систему с помощью фигурной скобки:

Система уравнений и методы ее решения

Метод подстановки

Это самый простой метод, но зачастую – самый трудоемкий. Идея проста – нужно в одном из уравнений выразить одну переменную через другие, а затем полученное выражение подставить в остальные уравнения вместо этой переменной.

Затем точно так же выражаем и подставляем другую переменную и т.д., пока не получим уравнение с одной переменной. После его решения и нахождения одной из переменных - последовательно возвращаемся к ранее выраженным, подставляя найденные значения.

Рассмотрим на примере.

Пример 25. Решить систему уравнений:

​​ Из второго уравнения очень просто выразить y: 3x−y=7 y=3x−7

Теперь подставим то, что получилось вместо y в первое уравнение: 2x+3y=12 2x+3(3x−7)=12. Мы получили уравнение с одной неизвестной, которое очень просто решить: 2x+3(3x−7)=12

2x+33x−37=12

2x+9x−21=12

11x=33

x=3

А теперь вернемся к выраженному y и подставим в него полученное значение x:

y=3x−7=33−7=2

Итак, ответ: x=3; y=2.

Ответ, кстати, принято записывать как координаты, то есть в таком виде: (x; y)

То есть ответ в нашем примере запишется так: (3;2)

Метод сложения

Метод сложения основан на следующем: если сложить левые части двух (или больше) уравнений, полученное выражение будет равно сложенным правым частям этих же уравнений. То есть: a+c=b+d

Пример 26. Решить систему уравнений:

Сложим эти уравнения (левые части друг с другом, и правые – тоже друг с другом):

2x+y+3x-y=15 5x=15 x=3

y просто уничтожился в результате сложения. Это и была цель всего действия: складываем уравнения только тогда, когда при этом получим более простое уравнение.

Остается теперь только подставить в любое уравнение вместо x число 3:

  

​​  Ответ: (3; 6).

Пример 27. Решить систему уравнений :

Очевидно, здесь сложение ничего не даст. Придется решать другим методом? Нет! Иначе метод сложения был бы полезен слишком редко. Мы ведь можем умножать любое уравнение на любое ненулевое число? Так давай умножим первое уравнение на такое число, чтобы потом при сложении какая-то переменная исчезла. Лучше всего умножить на (−2):

 

Теперь можно складывать:

−4x−6y+4x+5y= −26+23 − y= −3 y=3

Теперь подставим y=3 в первое уравнение системы:

 

Ответ: (2; 3).

Системы неравенств

Система неравенств состоит из нескольких неравенств с одной переменной. Эти неравенства объединяются фигурной скобкой (так же, как и уравнения в системах уравнений). Задача состоит в том, чтобы найти все общие решения заданных неравенств.

Значение переменной, при котором каждое из неравенств системы становится верным числовым неравенством, называют решением системы неравенств.

Множество всех решений системы неравенств является общим решением (чаще всего - просто решением системы неравенств.)

   означает, что неравенства 2x−1>3  и  3x−2<11 образуют систему неравенств.

 Решить систему неравенств - это найти все её решения.

Пример 28. Решить систему неравенств

1. Решив первое неравенство, получаем 2x>4,  x>2

 2. Решив второе неравенство, получаем 3x<13, x<

 3. Полученные промежутки отметим на оси координат. Для каждого возьмём свою штриховку (верхнюю или нижнюю).

Al313.jpg

4. Решение системы уравнений, это пересечение штриховок, т.е. промежуток, на котором штриховки совпадают.

В данном случае получаем ответ: (2;).

 

Задания для самостоятельного выполнения

Системы уравнений

 

1. Решите си­сте­му уравнений   https://oge.sdamgia.ru/formula/0f/0f6f2de8fd09c78d5777712eea46ac7ap.png В ответе запишите сумму решений системы.

2. Решите си­сте­му уравнений  https://oge.sdamgia.ru/formula/9c/9c153709529757b85af5d5e88a2dda03p.png В ответе запишите сумму решений системы.

3. Решите си­сте­му уравнений   https://oge.sdamgia.ru/formula/92/92186c09f51cfd26c9ae27e6d72699edp.png В ответе запишите сумму решений системы.

4. Решите си­сте­му уравнений   https://oge.sdamgia.ru/formula/a9/a9ad4149b538629c43d25db4f58ecd99p.png В ответе запишите сумму решений системы.

5. Решите си­сте­му уравнений   https://oge.sdamgia.ru/formula/54/54a1ecbfd196b1ab0a17bde2deb1e825p.png В ответе запишите сумму решений системы.

6. Решите си­сте­му урав­не­ний   https://oge.sdamgia.ru/formula/d8/d87fbb53fbce2ab5f5821fd48a3bb581p.png В ответе запишите сумму решений системы.

Системы неравенств

1. Решите си­сте­му неравенств

https://oge.sdamgia.ru/formula/eb/eb4410f9a9e20cd2ad0869f30cc64787p.png

На каком ри­сун­ке изображено мно­же­ство её решений? В ответе укажите номер правильного варианта.

 https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=5943

2. Ре­ши­те си­сте­му не­ра­венств https://oge.sdamgia.ru/formula/9f/9f2ae2d8b65c55e25e99ed80bfdd2b38p.png

 На каком из ри­сун­ков изоб­ра­же­но мно­же­ство её решений? В ответе укажите номер правильного варианта.

 https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=5945

 

 

3. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние https://oge.sdamgia.ru/formula/9d/9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6p.png, удо­вле­тво­ря­ю­щее си­сте­ме не­ра­венств

https://oge.sdamgia.ru/formula/bf/bf3a218c90a03e90889c2661d293b8a1p.png

 

4. Решите си­сте­му не­ра­венств https://oge.sdamgia.ru/formula/ec/ec45eefa3cc457818fc503e9c36f359bp.png

 На каком ри­сун­ке изоб­ра­же­но мно­же­ство её решений? В ответе укажите номер правильного варианта.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=5969

5. На каком ри­сун­ке изоб­ра­же­но мно­же­ство ре­ше­ний си­сте­мы неравенств

https://oge.sdamgia.ru/formula/a7/a75ad4e550f7ec1727657036315f1241p.png

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=8094

6. Укажите решение системы неравенств:

https://oge.sdamgia.ru/formula/bc/bc0b05a2b1ea3d755e6697d894cfc9fbp.png

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=10038

 7. Укажите решение системы неравенств:

https://oge.sdamgia.ru/formula/de/de817ff7409dee0a6e86882e7cd470e8p.png

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=10044

8. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние x, удо­вле­тво­ря­ю­щее си­сте­ме не­ра­венств

 

https://oge.sdamgia.ru/formula/96/9663011229dbb643b3a210dfc10e2500p.png

 

9. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние https://oge.sdamgia.ru/formula/9d/9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6p.png, удо­вле­тво­ря­ю­щее си­сте­ме не­ра­венств

 

https://oge.sdamgia.ru/formula/f9/f9833a903cf33eeeff77c51c20cc4e70p.png

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Модуль

«Геометрия»

 

http://www.playcast.ru/uploads/2017/02/10/21598421.jpg

 

Тема 7. Треугольники

Треугольником называется фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки - его сторонами.

На рисунке:

А,В,С - вершины треугольника.

АВ,ВС и АС – стороны треугольника.

 

Виды треугольников по величине углов:

1. Остроугольный треугольник - такой треугольник, в котором все углы меньше 90°, т.е. острые.

 

2. Прямоугольный треугольник - треугольник, имеющий прямой угол.

3. Тупоугольный треугольник - треугольник, содержащий тупой угол, т.е. угол от 90° до 180°.

Виды треугольников по соотношению сторон:

1. Равносторонний (правильный) треугольник – это такой треугольник, у которого все стороны и углы равны.

2. Равнобедренный треугольник - это такой треугольник, у которого две стороны равны. Равные стороны называются боковыми. Третья сторона называется основанием.

 

3. Разносторонний треугольник – это такой треугольник, у которого длины всех сторон разные.

У
 


Медиана, биссектриса, высота

Медиана – это отрезок, соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке O, эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Медиана делит сторону пополам

У
 


Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне этого треугольника. Биссектриса делит угол пополам

У
 

 


Высота треугольника - это перпендикуляр, опущенный из любой вершины на противоположную сторону (или её продолжение). Эта сторона называется основанием треугольника.

 

 

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=6324

Пример 29. В треугольнике ABC проведены медиана BM и высота BH . Известно, что AC = 84 и BC = BM. Найдите AH.

Решение:

AH=AM +MH

Так как BM – медиана, то AM=MC=

Так как BC = BM, следовательно треугольник MBC – равнобедренный, BH в нем является медианой, биссектрисой и высотой, MH =

AH=AM +MH= 42 + 21 = 63

Ответ. 63

Пример 30. Сторона равностороннего треугольника равна 16. Найдите высоту этого треугольника.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=10316Решение:

Так как треугольник равносторонний, то все его стороны равны 16. В равностороннем треугольнике высота является и медианой и биссектрисой, отсюда основание треугольника

Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора найдем катет (высоту):

УОтвет. 24

Основные свойства треугольников:

1)   Сумма всех углов в треугольнике равна 180°.

2)   В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

3)   В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, одновременно является медианой и биссектрисой.

4)   В равностороннем треугольнике все углы по 60°.

5)   Внешний угол треугольника равен сумме двух углов, не смежных с ним.

6)   Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.

 

УMN - средняя линия, так как соединяет середины соседних сторон.

MN‖AC ,MN=

 

Прямоугольный треугольник

В прямоугольном треугольнике катетами называются две стороны треугольника, которые образуют прямой угол. Гипотенузой называется сторона, лежащая напротив прямого угла.

Некоторые свойства прямоугольного треугольника:

1)   Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90 градусов.

2)   УЕсли в прямоугольном треугольнике один из острых углов равен 45 градусов, то этот треугольник равнобедренный.

3)   Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы.

4)   Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в 60 градусов, равен малому катету этого треугольника, умноженному на √3.

5)   Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, равна ее половине и радиусу описанной окружности (R).

6)   Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, делит треугольник на два равнобедренных треугольника, основаниями которых являются катеты данного треугольника.

Пример 31.

Один острый угол прямоугольного треугольника на 44° больше другого острого угла. Найдите больший острый угол.

Решение:

В прямоугольном треугольнике АВС А и В – острые.

Пусть А=х, тогда В=(х+44).

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90 градусов.

На основании этого правила, составим и решим уравнение:

            х+х+44=90

2х+44=90

2х=90−44

2х=46

х=23

УУгол В больший в этом треугольнике, через «х» он записывался как, х+44, следовательно, В=23+44=67°.

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. АС2+ВС2=АВ2

 

Задания для самостоятельного выполнения

Треугольники общего вида

 

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=6267

1.  В треугольнике ABC проведена биссектриса AL, угол ALC равен 112°, угол ABC равен 106°. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=6324

2. В треугольнике ABC про­ве­де­ны медиана BM и высота BH . Известно, что AC = 84 и BC = BM. Най­ди­те AH.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=6324

3. В тре­уголь­ни­ке ABC BM — ме­ди­а­на и BH – высота. Известно, что AC = 216, HC = 54 и ACB = 40°. Най­ди­те угол AMB. Ответ дайте в градусах.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=10233

4. В треугольнике https://oge.sdamgia.ru/formula/90/902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932p.png известно, что https://oge.sdamgia.ru/formula/b8/b82337d7568aa6717a851c2934660202p.png, https://oge.sdamgia.ru/formula/50/5089fa881630360a9b3361469c1a0c5dp.png - медиана, https://oge.sdamgia.ru/formula/5a/5aba58a978e3d95c8212984fc9a99045p.png. Найдите https://oge.sdamgia.ru/formula/25/25ec916d56b8212e569dbf2e4e4b51d4p.png.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=10319

5. Точки https://oge.sdamgia.ru/formula/69/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04acp.png и https://oge.sdamgia.ru/formula/8d/8d9c307cb7f3c4a32822a51922d1ceaap.png являются серединами сторон https://oge.sdamgia.ru/formula/b8/b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9p.png и https://oge.sdamgia.ru/formula/f8/f85b7b377112c272bc87f3e73f10508dp.png треугольника https://oge.sdamgia.ru/formula/90/902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932p.png, сторона https://oge.sdamgia.ru/formula/b8/b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9p.png равна 66, сторона https://oge.sdamgia.ru/formula/f8/f85b7b377112c272bc87f3e73f10508dp.png равна 37, сторона https://oge.sdamgia.ru/formula/41/4144e097d2fa7a491cec2a7a4322f2bcp.png равна 74. Найдите https://oge.sdamgia.ru/formula/94/943afaf25ac17fe7bc39fdaae916e3a4p.png

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=10233

6. В треугольнике https://oge.sdamgia.ru/formula/90/902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932p.png известно, что https://oge.sdamgia.ru/formula/28/28f71634a0d3cbc0675656a667545436p.png, https://oge.sdamgia.ru/formula/50/5089fa881630360a9b3361469c1a0c5dp.png - медиана, https://oge.sdamgia.ru/formula/8f/8f17bda14a2fc663b307066471964d87p.png. Найдите https://oge.sdamgia.ru/formula/25/25ec916d56b8212e569dbf2e4e4b51d4p.png.

 

7. В треугольнике два угла равны 36° и 73°. Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.

 

8. В треугольнике два угла равны 43° и 88°. Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.

 

Равнобедренные и равносторонние треугольники

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=3422

 

1. В рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­ке ABC бис­сек­три­сы CN и AM пе­ре­се­ка­ют­ся в точке P. Найдите https://oge.sdamgia.ru/formula/d5/d51e74d2940d0653a0ea3266e861bbb9p.png.

 

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=3419

 

2. В рав­но­бед­рен­ном треугольнике https://oge.sdamgia.ru/formula/08/0827f60811d54216d5b34d2805d4e25bp.png. Най­ди­те https://oge.sdamgia.ru/formula/41/4144e097d2fa7a491cec2a7a4322f2bcp.png, если вы­со­та https://oge.sdamgia.ru/formula/a7/a74d277b56c1f8761b7aa43c6d716b8ep.png.

 

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=3421

 

3.  В рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­ке  ABC  ме­ди­а­ны  BK  и  AM  пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O. Най­ди­те https://oge.sdamgia.ru/formula/e2/e28bc48a8eca1a4795a9cb56307ef791p.png.

 

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=22

 

4. В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке ABC с ос­но­ва­ни­ем AC внеш­ний угол при вершине C равен 123°. Най­ди­те ве­ли­чи­ну угла ABC. Ответ дайте в градусах.

 

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=6265

5. В тре­уголь­ни­ке ABC AC = BC. Внеш­ний угол при вер­ши­не B равен 146°. Най­ди­те угол C. Ответ дайте в градусах.

 

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=6269

 

6.  Точка D на сто­ро­не AB тре­уголь­ни­ка ABC вы­бра­на так, что AD = AC. Известно, что CAB = 80° и ACB=59. Най­ди­те угол DCB. Ответ дайте в градусах.

 

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=6304

 

7.  В тре­уголь­ни­ке ABC AB = BC = 53, AC = 56. Най­ди­те длину ме­ди­а­ны BM.

 

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=10100

 

8. В треугольнике https://oge.sdamgia.ru/formula/90/902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932p.png известно, что https://oge.sdamgia.ru/formula/94/94623831cd335a1267dd5f75f120b4f5p.png, https://oge.sdamgia.ru/formula/85/85334f98f676301dc8188d112909c95ep.png. Найдите угол https://oge.sdamgia.ru/formula/16/16e3de8d26a12b8f6531361a84e8fa1cp.png. Ответ дайте в градусах.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=10156

 

9. В треугольнике https://oge.sdamgia.ru/formula/90/902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932p.png известно, что https://oge.sdamgia.ru/formula/94/94623831cd335a1267dd5f75f120b4f5p.png, https://oge.sdamgia.ru/formula/09/093856df120fc9f33ba27eb418838dbbp.png. Найдите угол https://oge.sdamgia.ru/formula/16/16e3de8d26a12b8f6531361a84e8fa1cp.png. Ответ дайте в градусах.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=10255

 

10. Сторона равностороннего треугольника равна https://oge.sdamgia.ru/formula/9c/9c5d18a22120429974ee9a6ccf857f7ep.png. Найдите медиану этого треугольника.

 

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=9893

 

11.  Биссектриса равностороннего треугольника равна https://oge.sdamgia.ru/formula/b9/b96d4272e08d20fbbd8bdab4ffdb8f9ep.png. Найдите сторону этого треугольника.

 

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=10299

 

12.  Сторона равностороннего треугольника равна https://oge.sdamgia.ru/formula/3c/3c192937fddd10d6338ace056fab16a1p.png. Найдите высоту этого треугольника

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=10316

13.  Высота равностороннего треугольника равна https://oge.sdamgia.ru/formula/e9/e9f0e7e5ef43192ed566701a8ce3ffdfp.png. Найдите сторону этого треугольника.

 

 

 

 

 

Теорема Пифагора

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=32

 

1.  От стол­ба вы­со­той 9 м к дому на­тя­нут провод, ко­то­рый кре­пит­ся на вы­со­те 3 м от земли (см. рисунок). Рас­сто­я­ние от дома до стол­ба 8 м. Вы­чис­ли­те длину провода.

 

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=49

 

2.  От стол­ба к дому на­тя­нут провод дли­ной 10 м, ко­то­рый закреплён на стене дома на вы­со­те 3 м от земли (см. рисунок). Вы­чис­ли­те высоту столба, если рас­сто­я­ние от дома до стол­ба равно 8 м.

 

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=85

 

3.  Лестницу дли­ной 3 м при­сло­ни­ли к дереву. На какой вы­со­те (в метрах) на­хо­дит­ся верхний её конец, если ниж­ний конец от­сто­ит от ство­ла дерева на 1,8 м?

 

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=3415

 

4. Мальчик про­шел от дома по на­прав­ле­нию на во­сток 800 м. Затем по­вер­нул на север и про­шел 600 м. На каком рас­сто­я­нии (в метрах) от дома ока­зал­ся мальчик?

 

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=3417

 

5. Девочка про­шла от дома по на­прав­ле­нию на запад 500 м. Затем по­вер­ну­ла на север и про­шла 300 м. После этого она по­вер­ну­ла на во­сток и про­шла еще 100 м. На каком рас­сто­я­нии (в метрах) от дома ока­за­лась девочка?

 

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=2389

 

6. Глубина кре­пост­но­го рва равна 8 м, ши­ри­на 5 м, а вы­со­та кре­пост­ной стены от ее ос­но­ва­ния 20 м. Длина лестницы, по ко­то­рой можно взо­брать­ся на стену, на 2 м больше, чем рас­сто­я­ние от края рва до верх­ней точки стены (см. рис.). Най­ди­те длину лестницы.

 

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=3569

 

7. Лестница со­еди­ня­ет точки A и B и со­сто­ит из 35 ступеней. Вы­со­та каж­дой сту­пе­ни равна 14 см, а длина — 48 см. Най­ди­те рас­сто­я­ние между точ­ка­ми A и B (в метрах).

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=4415

 

8.  Точка креп­ле­ния троса, удер­жи­ва­ю­ще­го флаг­шток в вер­ти­каль­ном по­ло­же­нии, на­хо­дит­ся на вы­со­те 15 м от земли. Рас­сто­я­ние от ос­но­ва­ния флаг­што­ка до места креп­ле­ния троса на земле равно 8 м. Най­ди­те длину троса.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=4586

 

9.  От стол­ба к дому на­тя­нут про­вод дли­ной 17 м, ко­то­рый за­креплён на стене дома на вы­со­те 4 м от земли (см. ри­су­нок). Вы­чис­ли­те вы­со­ту стол­ба, если рас­сто­я­ние от дома до стол­ба равно 15 м.

 

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=4087

 

10.  Длина стре­мян­ки в сло­жен­ном виде равна 1,85 м, а её вы­со­та в раз­ло­жен­ном виде со­став­ля­ет 1,48 м. Най­ди­те рас­сто­я­ние (в метрах) между ос­но­ва­ни­я­ми стре­мян­ки в раз­ло­жен­ном виде.

 

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=4102

11.  Длина стре­мян­ки в сло­жен­ном виде равна 1,11 м, а рас­сто­я­ние между её ос­но­ва­ни­я­ми в раз­ло­жен­ном виде со­став­ля­ет 0,72 м. Най­ди­те вы­со­ту (в метрах) стре­мян­ки в раз­ло­жен­ном виде.

 

https://math-oge.sdamgia.ru/docs/DE0E276E497AB3784C3FC4CC20248DC0/questions/G14.17.01.01/xs3qstsrc27A570F929948EF1462471FAB28FC406_1_1395657095.png

12.  Лест­ни­ца со­еди­ня­ет точки A и B . Вы­со­та каж­дой сту­пе­ни равна 14 см, а длина — 48 см. Рас­сто­я­ние между точ­ка­ми A и B со­став­ля­ет 10 м. Най­ди­те вы­со­ту, на ко­то­рую под­ни­ма­ет­ся лест­ни­ца (в мет­рах).

https://math-oge.sdamgia.ru/docs/DE0E276E497AB3784C3FC4CC20248DC0/questions/G13.R.17.01/xs3qstsrc5533A302D5EDAECF45F23E62972E7732_1_1393234824.png

13.  По­жар­ную лест­ни­цу дли­ной 13 м при­ста­ви­ли к окну пя­то­го этажа дома. Ниж­ний конец лест­ни­цы от­сто­ит от стены на 5 м. На какой вы­со­те рас­по­ло­же­но окно? Ответ дайте в мет­рах

 

https://math-oge.sdamgia.ru/docs/DE0E276E497AB3784C3FC4CC20248DC0/questions/G13.R.17.03/xs3qstsrcFDFFC4292384977A4E29C1AE53858AD9_1_1393234887.png

14. Пожарную лест­ни­цу при­ста­ви­ли к окну, рас­по­ло­жен­но­му на вы­со­те 12 м от земли. Ниж­ний конец лест­ни­цы от­сто­ит от стены на 5 м. Ка­ко­ва длина лестницы? Ответ дайте в метрах

 

https://math-oge.sdamgia.ru/docs/DE0E276E497AB3784C3FC4CC20248DC0/questions/G.MA.2014.17.26.10/xs3qstsrc7680DD388A9F8513475B9316D94808F6_1_1395485184.png

 

15.  Точка креп­ле­ния троса, удер­жи­ва­ю­ще­го флаг­шток в вер­ти­каль­ном по­ло­же­нии, на­хо­дит­ся на вы­со­те 6,3 м от земли. Длина троса равна 6,5 м. Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки ос­но­ва­ния флаг­што­ка до места креп­ле­ния троса на земле. Ответ дайте в мет­рах.

https://math-oge.sdamgia.ru/docs/DE0E276E497AB3784C3FC4CC20248DC0/questions/G.MA.2014.17.26.16/xs3qstsrc1B4976D8DAD3B8EA48C58138152D325E_1_1395485204.png

16.  Рас­сто­я­ние от ос­но­ва­ния флаг­што­ка до места креп­ле­ния троса на земле равно 1,6 м. Длина троса равна 3,4 м. Най­ди­те рас­сто­я­ние от земли до точки креп­ле­ния троса, удер­жи­ва­ю­ще­го флаг­шток в вер­ти­каль­ном по­ло­же­нии. Ответ дайте в мет­рах.

 

 

.

Тема 8. Четырехугольники

ЧетырехугольникиЧетырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков. При этом никакие три из данных точек не лежат на одной прямой, а соединяющие их отрезки не пересекаются.

Две несмежные стороны четырехугольника называются противоположными. Две вершины, не являющиеся соседними, называются также противоположными.

Четырехугольники бывают выпуклые (как ABCD) и
невыпуклые (A1B1C1D1).

Виды четырёхугольников

Параллелограмм

УПараллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

Свойства параллелограмма

·      противолежащие стороны равны;

·      противоположные углы равны;

·      Свойства параллелограммадиагонали точкой пересечения делятся пополам;

·      сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°;

·      сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон: d12+d22=2(a2+b2).

Признаки параллелограмма

·      Четырехугольник является параллелограммом, если:

·      Две его противоположные стороны равны и параллельны.

·      Противоположные стороны попарно равны.

·      Противоположные углы попарно равны.

·      ТрапецияДиагонали точкой пересечения делятся пополам.

Трапеция

Трапецией называется четырехугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны, а две другие не параллельны.

Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а непараллельные стороны — боковыми сторонами. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией.

Трапеция называется равнобедренной (или равнобокой), если ее боковые стороны равны.

УТрапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной.

Свойства трапеции

·      ее средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме;

·      если трапеция равнобокая, то ее диагонали равны и углы при основании равны;

·      если трапеция равнобокая, то около нее можно описать окружность;

·      если сумма оснований равна сумме боковых сторон, то в нее можно вписать окружность.

Признаки трапеции

·      Четырехугольник является трапецией, если его параллельные стороны не равны

Прямоугольник

Свойства прямоугольникаПрямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

Свойства прямоугольника

·      все свойства параллелограмма;

·      диагонали равны.

Признаки прямоугольника

Параллелограмм является прямоугольником, если:

·      Один из его углов прямой.

·      Его диагонали равны.

Ромб

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны Свойства ромбаравны.

УСвойства ромба

·      все свойства параллелограмма;

·      диагонали перпендикулярны;

·      диагонали являются биссектрисами его углов.

Признаки ромба

·      Параллелограмм является ромбом, если:

·      Две его смежные стороны равны.

·      Его диагонали перпендикулярны.

·      Одна из диагоналей является биссектрисой его угла.

Квадрат

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны Свойства квадратаравны.

Свойства квадрата

·      все углы квадрата прямые;

·      диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.

Признаки квадрата

·      Прямоугольник является квадратом, если он обладает каким-нибудь признаком ромба.

 

Задания для самостоятельного выполнения

Многоугольники

1. Сумма трех углов вы­пук­ло­го че­ты­рех­уголь­ни­ка равна 300°. Най­ди­те чет­вер­тый угол. Ответ дайте в градусах.

 

2. В вы­пук­лом че­ты­рех­уголь­ни­ке ABCD https://oge.sdamgia.ru/formula/7c/7c07ef9b9d4d3dd7870316011c270b43p.pnghttps://oge.sdamgia.ru/formula/35/35a857e602d1939785bc924f76dbbf67p.pnghttps://oge.sdamgia.ru/formula/00/00e6a3405d4c5446d398d9b9499813b3p.pnghttps://oge.sdamgia.ru/formula/87/87606760aa544f91fafbb3439d16ba48p.png. Най­ди­те угол A. Ответ дайте в градусах.

 

3. Углы вы­пук­ло­го че­ты­рех­уголь­ни­ка от­но­сят­ся как 1:2:3:4. Най­ди­те мень­ший угол. Ответ дайте в градусах.

 

4. Два угла впи­сан­но­го в окруж­ность че­ты­рех­уголь­ни­ка равны 82° и 58°. Най­ди­те боль­ший из остав­ших­ся углов. Ответ дайте в градусах.

 

5. Четырёхугольник ABCD впи­сан в окружность. Угол ABC равен 136°, угол CAD равен 82°. Най­ди­те угол ABD. Ответ дайте в градусах.

6.  ABCDEFGH — пра­виль­ный восьмиугольник. Най­ди­те угол EFG. Ответ дайте в градусах.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=6283

7.  Радиус окруж­но­сти с цен­тром в точке O равен 85, длина хорды AB равна 80 (см. рисунок). Най­ди­те рас­сто­я­ние от хорды AB до па­рал­лель­ной ей ка­са­тель­ной k.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=6317

8.  Сторона AC тре­уголь­ни­ка ABC про­хо­дит через центр опи­сан­ной около него окружности. Най­ди­те C, если A = 75°. Ответ дайте в градусах.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=6319

9.  В вы­пук­лом че­ты­рех­уголь­ни­ке ABCD AB = BCAD = CD, B = 77°, D = 141°. Най­ди­те угол A. Ответ дайте в градусах.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=6349

10. Сторона https://oge.sdamgia.ru/formula/41/4144e097d2fa7a491cec2a7a4322f2bcp.png треугольника https://oge.sdamgia.ru/formula/90/902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932p.png проходит через центр описанной около него окружности. Найдите https://oge.sdamgia.ru/formula/5a/5a86125d4f3e448c7a802f1d665761f1p.png, если https://oge.sdamgia.ru/formula/25/259067f54485e43e662377461b4ea794p.png. Ответ дайте в градусах.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=10130

 

Параллелограмм

1. Разность углов, при­ле­жа­щих к одной сто­ро­не параллелограмма, равна 40°. Най­ди­те мень­ший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

2. Один угол па­рал­ле­ло­грам­ма в два раза боль­ше другого. Най­ди­те мень­ший угол. Ответ дайте в градусах.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=81

3.  Диагональ BD па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD об­ра­зу­ет с его сто­ро­на­ми углы, рав­ные 65° и 50°. Най­ди­те мень­ший угол параллелограмма.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=2359

 

4.  Диагональ  AC  па­рал­ле­ло­грам­ма  ABCD  об­ра­зу­ет с его сто­ро­на­ми углы, рав­ные 30° и 45°. Най­ди­те боль­ший угол параллелограмма.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=2361

 

5.  Диагональ  BD  па­рал­ле­ло­грам­ма  ABCD  об­ра­зу­ет с его сто­ро­на­ми углы, рав­ные 50° и 85°. Най­ди­те мень­ший угол параллелограмма.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=3517

 

6. В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD про­ве­де­на диа­го­наль AC. Угол DAC равен 47°, а угол CAB равен 11°. Най­ди­те боль­ший угол па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD. Ответ дайте в градусах.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=4410

 

7.  Диа­го­наль AC па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD об­ра­зу­ет с его сто­ро­на­ми углы, рав­ные 25° и 30°. Най­ди­те боль­ший угол па­рал­ле­ло­грам­ма.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=4529

 

8.  Диа­го­наль BD па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD об­ра­зу­ет с его сто­ро­на­ми углы, рав­ные 60° и 55°. Най­ди­те мень­ший угол па­рал­ле­ло­грам­ма.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=4555

9.  Диа­го­наль AC па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD об­ра­зу­ет с его сто­ро­на­ми углы, рав­ные 35° и 30°. Най­ди­те боль­ший угол па­рал­ле­ло­грам­ма.

10. На про­дол­же­нии сто­ро­ны AD па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD за точ­кой D от­ме­че­на точка E так, что DC = DE. Най­ди­те боль­ший угол па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD, если DEC = 53°. Ответ дайте в градусах.

 

11. В па­рал­ле­ло­грамм впи­са­на окруж­ность. Най­ди­те пе­ри­метр па­рал­ле­ло­грам­ма, если одна из его сто­рон равна 6.

 

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=6273

12.  В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD диа­го­наль AC в 2 раза боль­ше сто­ро­ны AB и ACD = 104°. Най­ди­те угол между диа­го­на­ля­ми параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

 

13. Биссектриса угла A па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну BC в точке K. Най­ди­те пе­ри­метр параллелограмма, если BK = 7, CK = 12.

 

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=6360

14.  Найдите ве­ли­чи­ну остро­го угла па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD, если бис­сек­три­са угла A об­ра­зу­ет со сто­ро­ной BC угол, рав­ный 15°. Ответ дайте в градусах.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=10106

 

15. Найдите острый угол параллелограмма https://oge.sdamgia.ru/formula/cb/cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7p.png, если биссектриса угла https://oge.sdamgia.ru/formula/7f/7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29p.png образует со стороной https://oge.sdamgia.ru/formula/f8/f85b7b377112c272bc87f3e73f10508dp.png угол, равный 33°. Ответ дайте в градусах.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=10097

 

16. Найдите величину острого угла параллелограмма https://oge.sdamgia.ru/formula/cb/cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7p.png, если биссектриса угла https://oge.sdamgia.ru/formula/7f/7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29p.png образует со стороной https://oge.sdamgia.ru/formula/f8/f85b7b377112c272bc87f3e73f10508dp.png угол, равный 31°. Ответ дайте в градусах.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=10119

 

17. В параллелограмме https://oge.sdamgia.ru/formula/cb/cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7p.png диагональ https://oge.sdamgia.ru/formula/41/4144e097d2fa7a491cec2a7a4322f2bcp.png в 2 раза больше стороны https://oge.sdamgia.ru/formula/b8/b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9p.png и https://oge.sdamgia.ru/formula/07/07d01b53fc5c4dd94dd3ac53ee71934fp.png. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=10120

 

18. Найдите величину острого угла параллелограмма https://oge.sdamgia.ru/formula/cb/cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7p.png, если биссектриса угла https://oge.sdamgia.ru/formula/7f/7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29p.png образует со стороной https://oge.sdamgia.ru/formula/f8/f85b7b377112c272bc87f3e73f10508dp.png угол, равный 14°. Ответ дайте в градусах.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=10125

 

19. Найдите острый угол параллелограмма https://oge.sdamgia.ru/formula/cb/cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7p.png, если биссектриса угла https://oge.sdamgia.ru/formula/7f/7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29p.png образует со стороной https://oge.sdamgia.ru/formula/f8/f85b7b377112c272bc87f3e73f10508dp.png угол, равный 41°. Ответ дайте в градусах.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=10133

 

20. В параллелограмме https://oge.sdamgia.ru/formula/cb/cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7p.png диагональ https://oge.sdamgia.ru/formula/41/4144e097d2fa7a491cec2a7a4322f2bcp.png в 2 раза больше стороны https://oge.sdamgia.ru/formula/b8/b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9p.png и https://oge.sdamgia.ru/formula/79/7972cd31334f678fa5640d2b0be30886p.png. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=10158

 

21. В параллелограмме https://oge.sdamgia.ru/formula/cb/cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7p.png диагональ https://oge.sdamgia.ru/formula/41/4144e097d2fa7a491cec2a7a4322f2bcp.png в 2 раза больше стороны https://oge.sdamgia.ru/formula/b8/b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9p.png и https://oge.sdamgia.ru/formula/0a/0aad8d9314ef7c34a0a4882557454c5bp.png. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=6360

 

22.  Найдите ве­ли­чи­ну остро­го угла па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD, если бис­сек­три­са угла A об­ра­зу­ет со сто­ро­ной BC угол, рав­ный 13°. Ответ дайте в градусах.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=6273

 

23.  В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD диа­го­наль AC в 2 раза боль­ше сто­ро­ны AB и ACD = 17°. Най­ди­те угол между диа­го­на­ля­ми параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=6273

24.  В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD диа­го­наль AC в 2 раза боль­ше сто­ро­ны AB и ACD = 63°. Най­ди­те угол между диа­го­на­ля­ми параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

 

Ромб

1.  Сто­ро­на ромба равна 34, а ост­рый угол равен 60° . Вы­со­та ромба, опу­щен­ная из вер­ши­ны ту­по­го угла, делит сто­ро­ну на два от­рез­ка. Ка­ко­вы длины этих от­рез­ков?

 Перечислите эти длины в от­ве­те через точку с за­пя­той в по­ряд­ке возрастания.

 

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=5857

2.  Пло­щадь ромба равна 27, а пе­ри­метр равен 36. Най­ди­те вы­со­ту ромба.

https://math-oge.sdamgia.ru/docs/DE0E276E497AB3784C3FC4CC20248DC0/questions/G.MA.2014.11.07.01/innerimg0.png

3. Рас­сто­я­ние от точки пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей ромба до одной из его сто­рон равно 19, а одна из диа­го­на­лей ромба равна 76. Най­ди­те углы ромба.

В от­ве­те за­пи­ши­те ве­ли­чи­ны раз­лич­ных углов в по­ряд­ке воз­рас­та­ния через точку с запятой.

4.  Точка O — центр окружности, на ко­то­рой лежат точки P, Q и R таким образом, что OPQR — ромб. Най­ди­те угол ORQ. Ответ дайте в градусах.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=6289

 

5.  Точка O — центр окружности, на ко­то­рой лежат точки S, T и V таким образом, что OSTV — ромб. Най­ди­те угол STV. Ответ дайте в градусах.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=6298

 

6. Высота BH ромба ABCD делит его сторону AD на отрезки AH = 44 и HD = 11. Найдите площадь ромба.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=9867

 

Трапеция

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=44

 

1.  Найдите боль­ший угол рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции ABCD, если диа­го­наль AC об­ра­зу­ет с ос­но­ва­ни­ем AD и бо­ко­вой сто­ро­ной AB углы, рав­ные 30° и 45° соответственно.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=100

2.  Найдите угол АDС рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции ABCD, если диа­го­наль АС об­ра­зу­ет с ос­но­ва­ни­ем ВС и бо­ко­вой сто­ро­ной АВ углы, рав­ные 30° и 50° соответственно.

3. Сумма двух углов рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равна 140°. Най­ди­те боль­ший угол трапеции. Ответ дайте в градусах.

4. Сумма двух углов рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равна 220°. Най­ди­те мень­ший угол трапеции. Ответ дайте в градусах.

5. Найдите мень­ший угол рав­но­бед­рен­ной трапеции, если два ее угла от­но­сят­ся как 1:2. Ответ дайте в градусах.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=3426

 

6. Основания тра­пе­ции равны 4 см и 10 см. Диа­го­наль трапеции делит сред­нюю линию на два отрезка. Най­ди­те длину боль­ше­го из них.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=2357

 

7.  Найдите угол  ABC  рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции  ABCD, если диа­го­наль  AC  об­ра­зу­ет с ос­но­ва­ни­ем  AD и бо­ко­вой сто­ро­ной  CD  углы, рав­ные 30° и 80° соответственно.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=2360

 

8. Найдите мень­ший угол рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции  ABCD, если диа­го­наль  AC  об­ра­зу­ет с ос­но­ва­ни­ем  BC  и бо­ко­вой сто­ро­ной  CD  углы, рав­ные 30° и 105° соответственно.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=3564

 

9.  Тан­генс остро­го угла пря­мо­уголь­ной тра­пе­ции равен  https://oge.sdamgia.ru/formula/34/3472cf85734bf57f17c10aa433df39d5p.png Най­ди­те её боль­шее основание, если мень­шее ос­но­ва­ние равно вы­со­те и равно 15.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=4416

 

10.  Най­ди­те угол АDС рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции ABCD, если диа­го­наль АС об­ра­зу­ет с ос­но­ва­ни­ем ВС и бо­ко­вой сто­ро­ной АВ углы, рав­ные 30° и 40° со­от­вет­ствен­но.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=5855

11.  Най­ди­те угол АВС рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции ABCD, если диа­го­наль АС об­ра­зу­ет с ос­но­ва­ни­ем AD и бо­ко­вой сто­ро­ной CD углы, рав­ные 20° и 100° со­от­вет­ствен­но.

https://math-oge.sdamgia.ru/docs/DE0E276E497AB3784C3FC4CC20248DC0/questions/G13.II.09.04/xs3qstsrcB7B148E23FDFAD954576978F0C16378D_1_1364380826.png

12.  Най­ди­те мень­ший угол рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции ABCD, если диа­го­наль АС об­ра­зу­ет с ос­но­ва­ни­ем ВС и бо­ко­вой сто­ро­ной CD углы, рав­ные 30° и 105° со­от­вет­ствен­но.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=4580

 

13.  Най­ди­те боль­ший угол рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции ABCD, если диа­го­наль АС об­ра­зу­ет с ос­но­ва­ни­ем AD и бо­ко­вой сто­ро­ной АВ углы, рав­ные 25° и 40° со­от­вет­ствен­но.

https://math-oge.sdamgia.ru/docs/DE0E276E497AB3784C3FC4CC20248DC0/questions/G13.R.10.01/xs3qstsrc07378B41D3E3A7734BABED5EC6E55449_1_1349961094.png

 

14.  В рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции из­вест­ны вы­со­та, мень­шее ос­но­ва­ние и угол при ос­но­ва­нии. Най­ди­те боль­шее ос­но­ва­ние.

https://math-oge.sdamgia.ru/docs/DE0E276E497AB3784C3FC4CC20248DC0/questions/G14.10.01.01/xs3qstsrc8D85BFC5F4A582754332FB2C60DD18EA_1_1377500088.gif

 

15.  Ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 4 и 10. Най­ди­те боль­ший из от­рез­ков, на ко­то­рые делит сред­нюю линию этой тра­пе­ции одна из её диа­го­на­лей.

https://math-oge.sdamgia.ru/docs/DE0E276E497AB3784C3FC4CC20248DC0/questions/G.MA.2014.11.06.05/innerimg0.png

16.  Ос­но­ва­ния рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равны 50 и 104, бо­ко­вая сто­ро­на 45. Най­ди­те длину диа­го­на­ли тра­пе­ции.

17. Около тра­пе­ции, один из углов ко­то­рой равен 49°, опи­са­на окруж­ность. Най­ди­те осталь­ные углы тра­пе­ции. Запишите ве­ли­чи­ны углов в ответ через точку с за­пя­той в по­ряд­ке неубывания.

18. В тра­пе­цию, сумма длин бо­ко­вых сто­рон ко­то­рой равна 24, впи­са­на окруж­ность. Най­ди­те длину сред­ней линии тра­пе­ции.

19. Биссектрисы углов A и B при бо­ко­вой сто­ро­не AB тра­пе­ции ABCD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке F. Най­ди­те AB, если AF = 24, BF = 32.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=6330

 

20.  В тра­пе­ции ABCD AB = CD, BDA = 49° и BDC = 13°. Най­ди­те угол ABD. Ответ дайте в градусах.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=6358

21.  Высота рав­но­бед­рен­ной трапеции, проведённая из вер­ши­ны C, делит ос­но­ва­ние AD на от­рез­ки дли­ной 1 и 5. Най­ди­те длину ос­но­ва­ния BC.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тема 9. Площади фигур

 

Формулы площади треугольника

1.    Формула площади треугольника по стороне и высоте

УПлощадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты S =     

2.    Формула площади треугольника по трем сторонам

Формула Герона S =

3.    Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон умноженного на синус угла между ними. S = a · b · sin α 

4.    Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности

S =

5.    ТреугольникФормула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности

Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности. S = p · r

где S - площадь треугольника,

a, b, c - длины сторон треугольника,

h - высота треугольника,

α - угол между сторонами a и b,

r - радиус вписанной окружности,

R - радиус описанной окружности,

p =         - полупериметр треугольника.

 

УФормулы площади квадрата

1.    КвадратФормула площади квадрата по длине стороны

Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны S = a2

2.    Формула площади квадрата по длине диагонали

Площадь квадрата равна половине квадрата длины его диагонали S =   

где S - Площадь квадрата,

a - длина стороны квадрата,

d - длина диагонали квадрата.

 

 

 

Формула площади прямоугольника

Прямоугольник

УПлощадь прямоугольника равна произведению длин двух его смежных сторон

S = a · b

 

где S - Площадь прямоугольника,

a, b - длины сторон прямоугольника.

 

 

 

 

 

 

 

Формулы площади параллелограмма

 

1.    Формула площади параллелограмма по длине стороны и высоте

УПлощадь параллелограмма равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты S = a · h

2.    параллелограммФормула площади параллелограмма по двум сторонам и углу между ними

Площадь параллелограмма равна произведению длин его сторон умноженному на синус угла между ними S = a · b · sin α

где S - Площадь параллелограмма,

a, b - длины сторон параллелограмма,

h - длина высоты параллелограмма,

α - угол между сторонами параллелограмма.

 

Формулы площади ромба

 

1.    Формула площади ромба по длине стороны и высоте

УПлощадь ромба равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты S = a · h

2.    Формула площади ромба по длине стороны и углу

Площадь ромба равна произведению квадрата длины его стороны и синуса угла между сторонами ромба S = a2 · sin α

3.    Формула площади ромба по длинам его диагоналей

Площадь ромба равна половине произведению длин его диагоналей.

ромбS =

где S - Площадь ромба,

a - длина стороны ромба,

h - длина высоты ромба,

α - угол между сторонами ромба,

d1, d2 - длины диагоналей.

 

 

Формулы площади трапеции

 

1.    Формула площади трапеции по длине основания и высоте

УтрапецияПлощадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту

S =

где S - Площадь трапеции,

a, b - длины основ трапеции,

h - высота трапеции

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задания для самостоятельного выполнения

 

Площадь квадрата

1. Сторона квад­ра­та равна 10. Най­ди­те его площадь.

2. Периметр квад­ра­та равен 40. Най­ди­те площадь квадрата.

3. Пе­ри­метр квад­ра­та равен 160. Най­ди­те пло­щадь квад­ра­та.

4. Най­ди­те пло­щадь квад­ра­та, если его диа­го­наль равна 1.

https://math-oge.sdamgia.ru/docs/DE0E276E497AB3784C3FC4CC20248DC0/questions/GIA.MATH.REP.2012.14.01/xs3qstsrc32C05656D534B5614F1F144EA1BBFCF1_1_1395476028.png

5.  Из квад­ра­та вы­ре­за­ли пря­мо­уголь­ник (см. ри­су­нок). Най­ди­те пло­щадь по­лу­чив­шей­ся фи­гу­ры.

https://math-oge.sdamgia.ru/docs/DE0E276E497AB3784C3FC4CC20248DC0/questions/G.MA.2014.10.09.01/innerimg0.png

6.  Най­ди­те пло­щадь квад­ра­та, опи­сан­но­го во­круг окруж­но­сти ра­ди­у­са 83.

 

 

Площадь прямоугольника

1. В пря­мо­уголь­ни­ке одна сто­ро­на равна 10, дру­гая сторона равна 12. Най­ди­те площадь прямоугольника.

2. В пря­мо­уголь­ни­ке диагональ равна 10, а угол между ней и одной из сто­рон равен 30°. Най­ди­те площадь прямоугольника, делённую на  https://oge.sdamgia.ru/formula/f6/f644b826c69179e3660b3005484b068cp.png.

3. В пря­мо­уголь­ни­ке диагональ равна 10, угол между ней и одной из сто­рон равен 30°, длина этой сто­ро­ны https://oge.sdamgia.ru/formula/ab/ab7780d4c0af6a341999533dd85fc608p.png. Най­ди­те площадь прямоугольника, деленную на https://oge.sdamgia.ru/formula/d1/d1b2e52808d71aa89a427c7b04b4ed9bp.png

4. Найдите пло­щадь прямоугольника, если его пе­ри­метр равен 44 и одна сто­ро­на на 2 боль­ше другой.

5. Найдите пло­щадь прямоугольника, если его пе­ри­метр равен 60, а от­но­ше­ние со­сед­них сто­рон равно 4:11.

6. Найдите пло­щадь прямоугольника, если его пе­ри­метр равен 58 и одна сто­ро­на на 5 боль­ше другой.

7.  В пря­мо­уголь­ни­ке одна сто­ро­на равна 96, а диа­го­наль равна 100. Най­ди­те пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка.

8. На сто­ро­не BC пря­мо­уголь­ни­ка ABCD, у ко­то­ро­го AB = 12 и AD = 17, от­ме­че­на точка E так, что EAB = 45°. Най­ди­те ED.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=6356

 

Площадь прямоугольного треугольника

1. В пря­мо­уголь­ном треугольнике один из ка­те­тов равен 10, а угол, ле­жа­щий напротив него, равен 45°. Най­ди­те площадь треугольника.

2. В пря­мо­уголь­ном треугольнике один из ка­те­тов равен 10, ост­рый угол, при­ле­жа­щий к нему, равен 60°, а ги­по­те­ну­за равна 20. Най­ди­те площадь треугольника, делённую на https://oge.sdamgia.ru/formula/f6/f644b826c69179e3660b3005484b068cp.png.

3. Най­ди­те пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, если его катет и ги­по­те­ну­за равны со­от­вет­ствен­но 28 и 100.

4. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке один из ка­те­тов равен 4, а ост­рый угол, при­ле­жа­щий к нему, равен 45°. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка.

5. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ги­по­те­ну­за равна 70, а один из ост­рых углов равен 45°. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка.

6. Катеты прямоугольного треугольника равны 8 и 15. Найдите гипотенузу этого треугольника.

7. Два катета прямоугольного треугольника равны 4 и 9. Найдите площадь этого треугольника.

8. Два катета прямоугольного треугольника равны 4 и 10. Найдите площадь этого треугольника.

9. Два катета прямоугольного треугольника равны 18 и 7. Найдите площадь этого треугольника.

10. Два катета прямоугольного треугольника равны 13 и 4. Найдите площадь этого треугольника.

 

Площадь равнобедренного треугольника

1. Сторона рав­но­сто­рон­не­го треугольника равна 10. Най­ди­те его площадь, делённую на https://oge.sdamgia.ru/formula/f6/f644b826c69179e3660b3005484b068cp.png.

2. Периметр рав­но­сто­рон­не­го треугольника равен 30. Най­ди­те его площадь, делённую на https://oge.sdamgia.ru/formula/f6/f644b826c69179e3660b3005484b068cp.png.

3. Высота рав­но­сто­рон­не­го треугольника равна 10. Най­ди­те его площадь, делённую на https://oge.sdamgia.ru/formula/3c/3c93a6c47c208ede50fad5660fa21a93p.png

4. В рав­но­бед­рен­ном треугольнике бо­ко­вая сторона равна 10, а угол, ле­жа­щий напротив основания, равен 120°. Най­ди­те площадь треугольника, делённую на https://oge.sdamgia.ru/formula/a8/a884d99e553d29a82c04af8a3337d2d4p.png

5. Периметр рав­но­бед­рен­но­го треугольника равен 16, а бо­ко­вая сторона — 5. Най­ди­те площадь треугольника.

6. В рав­но­бед­рен­ном треугольнике бо­ко­вая сторона равна 10, основание https://oge.sdamgia.ru/formula/1e/1e12636b174664ace7d799a5f33e4cfbp.png, а угол, ле­жа­щий напротив основания, равен 30°. Най­ди­те площадь треугольника.

7. Бо­ко­вая сто­ро­на рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равна 34, а ос­но­ва­ние равно 60. Най­ди­те пло­щадь этого тре­уголь­ни­ка.

8. Пе­ри­метр рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равен 216, а бо­ко­вая сто­ро­на — 78. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка.

 

Площадь треугольника

1. В тре­уголь­ни­ке одна из сто­рон равна 10, а опу­щен­ная на нее высота — 5. Най­ди­те площадь треугольника.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=114092. В тре­уголь­ни­ке одна из сто­рон равна 10, дру­гая равна https://oge.sdamgia.ru/formula/9c/9c5d18a22120429974ee9a6ccf857f7ep.png, а угол между ними равен 60°. Най­ди­те площадь треугольника.

3. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка, изоб­ражённого на ри­сун­ке.

4. В тре­уголь­ни­ке ABC от­ре­зок DE — сред­няя линия. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка CDE равна 97. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC.

5. Сторона треугольника равна 12, а высота, проведённая к этой стороне, равна 33. Найдите площадь этого треугольника.

 

Площадь трапеции

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=9

 

1.  Най­ди­те площадь трапеции, изображённой на рисунке.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=69

2.  Найдите пло­щадь трапеции, изображённой на рисунке.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=83

 

3.  Найдите пло­щадь трапеции, изображённой на рисунке.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=83

4.  Найдите пло­щадь трапеции, изображённой на рисунке.

5. Основания тра­пе­ции равны 18 и 12, одна из бо­ко­вых сторон равна https://oge.sdamgia.ru/formula/39/39b4572b4316b034d8778c77bd53db35p.png, а угол между ней и одним из ос­но­ва­ний равен 135°. Най­ди­те площадь трапеции.

6. Основания тра­пе­ции равны 18 и 12, одна из бо­ко­вых сторон равна 6, а синус угла между ней и одним из ос­но­ва­ний равен https://oge.sdamgia.ru/formula/79/7964c6a339acf2ddea25a5ef0552b97ep.png. Най­ди­те площадь трапеции.

7. Основания тра­пе­ции равны 18 и 12, одна из бо­ко­вых сторон равна 6, а ко­си­нус угла между ней и одним из ос­но­ва­ний равен https://oge.sdamgia.ru/formula/bc/bcb817ad10ab30322dc3a51b24808becp.png. Най­ди­те площадь трапеции

8. Основания тра­пе­ции равны 18 и 12, одна из бо­ко­вых сторон равна 6, а тан­генс угла между ней и одним из ос­но­ва­ний равен https://oge.sdamgia.ru/formula/4d/4d8d7ba05e6c70bedca6ca67b56e1543p.png. Най­ди­те площадь трапеции.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=3407

 

9. Средняя линия тра­пе­ции равна 11, а мень­ше основание равно 5. Най­ди­те большее ос­но­ва­ние трапеции.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=9

 

10.  Най­ди­те площадь трапеции, изображённой на рисунке.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=4440

 

11.  Бо­ко­вая сто­ро­на тра­пе­ции равна 5, а один из при­ле­га­ю­щих к ней углов равен 30°. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, если её ос­но­ва­ния равны 3 и 9.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=4443

 

12.  В рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции ос­но­ва­ния равны 3 и 9, а один из углов между бо­ко­вой сто­ро­ной и ос­но­ва­ни­ем равен 45°. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=4083

13.  Найдите пло­щадь трапеции, изображённой на рисунке.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=4098

14.  Найдите пло­щадь трапеции, изображённой на рисунке.

15. Ос­но­ва­ния рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равны 5 и 17, а ее бо­ко­вые сто­ро­ны равны 10. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

16. Основания тра­пе­ции равны 1 и 13, одна из бо­ко­вых сто­рон равна https://oge.sdamgia.ru/formula/f8/f8cc3e0c1583009c4d96fbb197714a1dp.png, а угол между ней и одним из ос­но­ва­ний равен 135°. Най­ди­те пло­щадь трапеции.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=6367

 

17.  В тра­пе­ции ABCD AD = 5, BC = 2, а её пло­щадь равна 28. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции BCNM, где MN – сред­няя линия тра­пе­ции ABCD.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=6385

 

18.  В тра­пе­ции ABCD AD = 3, BC = 1, а её пло­щадь равна 12. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=8131

 

19.  Высота рав­но­бед­рен­ной трапеции, проведённая из вер­ши­ны C, делит ос­но­ва­ние AD на от­рез­ки дли­ной 2 и 9. Най­ди­те длину ос­но­ва­ния BC.

20. Основания рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равны 4 и 14, бо­ко­вая сто­ро­на равна 13. Най­ди­те длину диа­го­на­ли трапеции.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=6367

 

21.  В тра­пе­ции ABCD известно, что AD = 6, BC = 2, а её пло­щадь равна 32. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции BCNM, где MN – сред­няя линия тра­пе­ции ABCD.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=6367

 

22.  В тра­пе­ции ABCD известно, что AD = 5, BC = 1, а её пло­щадь равна 51. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции BCNM, где MN – сред­няя линия тра­пе­ции ABCD.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=6367

 

23.  В тра­пе­ции ABCD известно, что AD = 8, BC = 5, а её пло­щадь равна 52. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции BCNM, где MN – сред­няя линия тра­пе­ции ABCD.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=6358

24. Высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины https://oge.sdamgia.ru/formula/0d/0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257p.png, отсекает от основания https://oge.sdamgia.ru/formula/e1/e182ebbc166d73366e7986813a7fc5f1p.png отрезок длиной 2. Длина основания https://oge.sdamgia.ru/formula/f8/f85b7b377112c272bc87f3e73f10508dp.png равна 7. Найдите длину основания https://oge.sdamgia.ru/formula/e1/e182ebbc166d73366e7986813a7fc5f1p.png.

.

 

 

 

 

 

Площадь ромба, параллелограмма

1. https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=28Найдите пло­щадь параллелограмма, изображённого на рисунке.

2. Сторона ромба равна 5, а диа­го­наль равна 6. Най­ди­те площадь ромба.

3. Периметр ромба равен 40, а один из углов равен 30°. Най­ди­те пло­щадь ромба.

4. Периметр ромба равен 24, а синус од­но­го из углов равен https://oge.sdamgia.ru/formula/79/7964c6a339acf2ddea25a5ef0552b97ep.png. Най­ди­те площадь ромба.

5. Одна из сто­рон параллелограмма равна 12, а опу­щен­ная на нее вы­со­та равна 10. Най­ди­те площадь параллелограмма.

6. Одна из сто­рон параллелограмма равна 12, дру­гая равна 5, а один из углов — 45°. Най­ди­те площадь параллелограмма, делённую на https://oge.sdamgia.ru/formula/db/dbf970b20271ad58feed105bf88fd19fp.png.

 7.  Пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD равна 56. Точка E — се­ре­ди­на сто­ро­ны CD. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции AECB.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=4435

 

8. Най­ди­те пло­щадь ромба, если его диа­го­на­ли равны 14 и 6.

9. Сто­ро­на ромба равна 9, а рас­сто­я­ние от цен­тра ромба до неё равно 1. Най­ди­те пло­щадь ромба.

10. Сто­ро­на ромба равна 50, а диа­го­наль равна 80. Най­ди­те пло­щадь ромба.

11. Пе­ри­метр ромба равен 116, а один из углов равен 30°. Най­ди­те пло­щадь ромба.

12.  Высота BH па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD делит его сто­ро­ну AD на от­рез­ки AH = 1 и HD = 28. Диа­го­наль параллелограмма BD равна 53. Най­ди­те площадь параллелограмма.

 

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=6344

 

13.  Высота BH ромба ABCD делит его сто­ро­ну AD на от­рез­ки AH = 5 и HD = 8. Най­ди­те площадь ромба.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=6379

 

14.  Диагональ AC па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD об­ра­зу­ет с его сто­ро­на­ми углы, рав­ные 30° и 45° . Най­ди­те боль­ший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=8098

 

15. Площадь ромба равна 54, а пе­ри­метр равен 36. Най­ди­те вы­со­ту ромба.

16. Высота https://oge.sdamgia.ru/formula/1b/1baa5a77aeff33338948c1e0c4466462p.png ромба https://oge.sdamgia.ru/formula/cb/cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7p.png делит его сторону https://oge.sdamgia.ru/formula/e1/e182ebbc166d73366e7986813a7fc5f1p.png на отрезки https://oge.sdamgia.ru/formula/cf/cf04e141152a6b5aebdb7c83710d2b9bp.png и https://oge.sdamgia.ru/formula/4e/4eb186edb0884ef418389ea7f2ee4c22p.png. Найдите площадь ромба.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=10175

 

 

 

 

 

 

 

Тема 10. Окружность, круг и их элементы

 

https://image.jimcdn.com/app/cms/image/transf/none/path/s506037909bfe13e6/image/i737d8637d7af3763/version/1391542023/image.pngОкружность — это линия на плоскости, каждая точка которой расположена на одинаковом расстоянии от центра окружности. Это расстояние называется радиус и в записях обозначается буквой R .

Центр окружности обозначают буквой O.

Окружность разделяет плоскость на две части, внутреннюю и внешнюю. Внутренняя часть, включающая саму окружность, называется кругом.

Точка O — это центр и круга и окружности.

Отрезки OA, OB, и OC — это радиусы, их длины равны. Отрезок BC, проходящий через центр окружности (круга) называется диаметром и обозначается буквой D. Диаметр разделяет круг на два полукруга, а окружность на две полуокружности.

Диаметр равен двум радиусам, это хорошо видно на рисунке.

BC = OC + OB , так как BC = D,  а  OC = OB = R , то D   = 2R .

Точки A и B делят окружность на две части, которые называются дугами, а точки A и B концами этих дуг. 

Дуга окружности — это часть окружности ограниченная двумя точками. 

На рисунке точки B и C разделили окружность на две дуги, голубую и зеленую. 

Записать их названия мы можем так: 

BC (дуга BC) — в данном случае речь может идти как о голубой так и о зеленой; 

BAC (дуга BAC) — в данном случае речь идет именно о зеленой дуге.   

Касательная

https://image.jimcdn.com/app/cms/image/transf/none/path/s506037909bfe13e6/image/ic4f9606cda1696a3/version/1391542416/image.pngПрямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

Свойства касательной:

1)   Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

2)   Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Хорда

https://image.jimcdn.com/app/cms/image/transf/none/path/s506037909bfe13e6/image/i0f11689747e19774/version/1391542742/image.pngОтрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.

Свойства хорд:

1)   Диаметр (радиус), перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и обе стягиваемые ею дуги пополам. Верна и обратная теорема: если диаметр (радиус) делит пополам хорду, то он перпендикулярен этой хорде.

2)   Дуги, заключенные между параллельными хордами, равны.

3)   Если две хорды окружности, AB и CD пересекаются в точке M, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: AM•MB = CM•MD.

Свойства окружности:

1)      Прямая может не иметь с окружностью общих точек; иметь с окружностью одну общую точку (касательная); иметь с ней две общие точки (секущая).

2)      Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.

3)      Точка касания двух окружностей лежит на линии, соединяющей их центры.

 

Теорема о касательной и секущей

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая, то квадрат длины касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть: MC2 = MA•MB.

https://image.jimcdn.com/app/cms/image/transf/dimension=202x10000:format=png/path/s506037909bfe13e6/image/id7bc4180801fde7e/version/1391543710/image.png

Теорема о секущих

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение одной секущей на её внешнюю часть равно произведению другой секущей на её внешнюю часть. MA•MB = MC•MD.

https://image.jimcdn.com/app/cms/image/transf/none/path/s506037909bfe13e6/image/iad154bc30b78009c/version/1391543786/image.pngУглы в окружности

Уhttps://image.jimcdn.com/app/cms/image/transf/none/path/s506037909bfe13e6/image/i5ff0eb2a04dd868a/version/1391543934/image.pngЦентральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре (слева).

 Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным углом (справа).

Любые две точки окружности делят ее на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. Мерой дуги может служить мера соответствующего ей центрального угла.

Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.

Свойства углов, связанных с окружностью:

1)      УВписанный угол либо равен половине соответствующего ему центрального угла, либо дополняет половину этого угла до 180°

2)      Углы, вписанные в одну окружность и опирающиеся на одну и ту же дугу, равны

3)      Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°

4)      Угол, образованный касательной к окружности и секущей, проведенной через точку касания, равен половине дуги, заключенной между его сторонами.

 

Вписанная окружность

Центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении биссектрис треугольника.

Если окружность вписана в произвольный четырехугольник, тогда попарные суммы противолежащих сторон равны между собой: a + b = c + d

вписанная окружность

 

Описанная окружность и её свойства

1)      Центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к его трем сторонам.

2)      Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы.

3)      Около трапеции можно описать окружность только тогда, когда трапеция равнобедренная.

4)      Если окружность описана около произвольного четырехугольника, тогда попарные суммы противолежащих углов равны между собой.

описанная окружность

Пример 32. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 92°, угол CAD равен 60°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

решение 10 задания огэ по математикеРешение:

Внимательно посмотрим на рисунок. Угол ABC опирается на дугу ADC, а угол CAD - на дугу DC. Угол, который нам необходимо найти - ABD, опирается на дугу AD - которая является частью дуги ADC за вычетом дуги DC. Значит, угол ABD равен разности углов ABC и CAD:

ABD = 92 - 60 = 32

Ответ: 32°

 

Пример 33. Касательные в точках A и B к окружности с центром O пересекаются под углом 2º. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах.

решение 10 задания огэ по математикеРешение:

Во-первых, касательные равны между собой по длине, а значит треугольник с основанием AB равнобедренный. Угол при вершине этого треугольника равен 2 градуса по условию, значит углы при основании равны: (180 - 2) / 2 = 89°

Во-вторых, касательные перпендикулярны радиусу, то есть угол между ними и радиусом равен 90 градусов.

Заметим, что угол ABO, который необходимо найти, является частью угла между касательной и радиусом, а именно за вычетом угла, который мы нашли в первом пункте. Значит, этот угол равен: 90 - 89 = 1°

Ответ: 1

Пример 34. В треугольнике ABC известно, что AC = 16, BC = 12, угол C равен 90º. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

решение 10 задания огэ по математикеРешение:

Для решения необходимо вспомнить, что центр описанной около прямоугольного треугольника окружности расположен в середине гипотенузы. То есть гипотенуза является диаметром, а её половина - радиусом.

По теореме Пифагора найдем гипотенузу AB:

AB² = BC² + AC² = 12² + 16² = 144 + 256 = 400

AB = √400 = 20

Гипотенуза равна 20, значит радиус - 10.

Ответ: 10

 

Задания для самостоятельного выполнения

Касательная, хорда, секущая, радиус

 

1. Радиус круга равен 1. Най­ди­те его площадь, деленную на π.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=5795

 

2. Радиус OB окруж­но­сти с цен­тром в точке O пе­ре­се­ка­ет хорду AC в точке D и пер­пен­ди­ку­ля­рен ей. Най­ди­те длину хорды AC, если BD= 1 см, а ра­ди­ус окружности равен 5 см.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=8

 

3.  К окруж­но­сти с цен­тром в точке О про­ве­де­ны ка­са­тель­ная AB и се­ку­щая AO. Най­ди­те ра­ди­ус окружности, если AB = 12 см, AO = 13 см.

 

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=5798

 

4. В тре­уголь­ни­ке ABC угол C равен 90°, AC = 30 , BC =  5 . Най­ди­те ра­ди­ус окружности, опи­сан­ной около этого треугольника.

https://math-oge.sdamgia.ru/docs/DE0E276E497AB3784C3FC4CC20248DC0/questions/G.MA.2014.10.05.01/innerimg0.png

 

5.  Длина хорды окруж­но­сти равна 72, а рас­сто­я­ние от цен­тра окруж­но­сти до этой хорды равно 27. Най­ди­те диа­метр окруж­но­сти

6. Прямая ка­са­ет­ся окруж­но­сти в точке K. Точка O — центр окружности. Хорда KM об­ра­зу­ет с ка­са­тель­ной угол, рав­ный 83°. Най­ди­те ве­ли­чи­ну угла OMK. Ответ дайте в градусах.

 

7. Отрезки AB и CD яв­ля­ют­ся хор­да­ми окружности. Най­ди­те длину хорды CD, если AB = 20, а рас­сто­я­ния от цен­тра окруж­но­сти до хорд AB и CD равны со­от­вет­ствен­но 24 и 10.

 

8. Отрезки AB и CD яв­ля­ют­ся хор­да­ми окружности. Най­ди­те рас­сто­я­ние от цен­тра окруж­но­сти до хорды CD, если AB = 18, CD = 24, а рас­сто­я­ние от цен­тра окруж­но­сти до хорды AB равно 12.

 

9. На окруж­но­сти с цен­тром O от­ме­че­ны точки A и B так, что AOB = 66°. Длина мень­шей дуги AB равна 99. Най­ди­те длину боль­шей дуги.

 

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=6348

 

10.  Отрезок AB = 40 ка­са­ет­ся окруж­но­сти ра­ди­у­са 75 с цен­тром  O в точке B. Окруж­ность пе­ре­се­ка­ет от­ре­зок AO в точке D. Най­ди­те AD.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=8097

11.  Сторона AC тре­уголь­ни­ка ABC про­хо­дит через центр опи­сан­ной около него окружности. Най­ди­те C , если A = 440. Ответ дайте в градусах.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=8326

 

12.  Окружность впи­са­на в квадрат. Най­ди­те пло­щадь квадрата.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=50

 

13.  Из точки А про­ве­де­ны две ка­са­тель­ные к окруж­но­сти с цен­тром в точке О. Най­ди­те ра­ди­ус окружности, если угол между ка­са­тель­ны­ми равен 60°, а рас­сто­я­ние от точки А до точки О равно 8.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=10057

 

14. К окружности с центром в точке https://oge.sdamgia.ru/formula/f1/f186217753c37b9b9f958d906208506ep.png проведены касательная https://oge.sdamgia.ru/formula/b8/b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9p.png и секущая https://oge.sdamgia.ru/formula/2c/2c64c5cf613d8b9f4f7f3980d29aca10p.png. Найдите радиус окружности, если https://oge.sdamgia.ru/formula/2f/2f50d0aa4d2da627aed81d21040fe7c7p.pnghttps://oge.sdamgia.ru/formula/9b/9b99805342efbea98230479f1eebac5cp.png.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=10098

15. На отрезке https://oge.sdamgia.ru/formula/b8/b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9p.png выбрана точка https://oge.sdamgia.ru/formula/0d/0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257p.png так, что https://oge.sdamgia.ru/formula/6e/6e32be732b15b2f3bae9080621f1cb36p.png и https://oge.sdamgia.ru/formula/8b/8bbf6ee8b8b348c36c893ca723a7de0ap.png. Построена окружность с центром https://oge.sdamgia.ru/formula/7f/7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29p.png, проходящая через https://oge.sdamgia.ru/formula/0d/0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257p.png. Найдите длину отрезка касательной, проведённой из точки https://oge.sdamgia.ru/formula/9d/9d5ed678fe57bcca610140957afab571p.png к этой окружности.

 

 

Окружность, описанная вокруг многоугольника

1.  В окруж­ность вписан рав­но­сто­рон­ний восьмиугольник. Най­ди­те величину угла ABC.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=5436

 

2.  В окруж­ность впи­сан рав­но­сто­рон­ний восьмиугольник. Най­ди­те ве­ли­чи­ну угла ABC.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=2387

 

3. Боковая сто­ро­на рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равна 4. Угол при вершине, про­ти­во­ле­жа­щий основанию, равен 120°. Най­ди­те диа­метр окружности, опи­сан­ной около этого треугольника.

4.  Окружность с цен­тром в точке O опи­са­на около рав­но­бед­рен­но­го треугольника ABC, в ко­то­ром AB = BC и ABC = 177°. Най­ди­те величину угла BOC. Ответ дайте в градусах.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=6308

5.  Четырехугольник ABCD впи­сан в окружность. Угол ABC равен 70°, угол CAD равен 49°. Най­ди­те угол ABD. Ответ дайте в градусах.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=6340

 

6.  Найдите пло­щадь квадрата, опи­сан­но­го во­круг окруж­но­сти радиуса 7.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=8522

Центральные и впи­сан­ные углы

 

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=45

 

1.  Цен­траль­ный угол AOB опи­ра­ет­ся на хорду AB дли­ной 6. При этом угол OAB равен 60°. Най­ди­те радиус окружности.

 

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=82

 

2.  В окруж­но­сти с цен­тром в точке О про­ве­де­ны диаметры AD и BC, угол OCD равен 30°. Най­ди­те величину угла OAB.

 

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=2227

 

3.  Найдите гра­дус­ную меру MON, если известно, NP — диаметр, а гра­дус­ная мера MNP равна 18°.

 

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=2233

 

4.  Найдите DEF, если гра­дус­ные меры дуг DE и EF равны 150° и 68° соответственно.

 

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=2241

5.  Найдите гра­дус­ную меру ACB, если известно, что BC яв­ля­ет­ся диа­мет­ром окружности, а гра­дус­ная мера AOC равна 96°.

 

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=2251

 

6.  Найдите KOM, если известно, что гра­дус­ная мера дуги MN равна 124°, а гра­дус­ная мера дуги KN равна 180°.

 

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=2319

 

7.  В окруж­но­сти с цен­тром O AC и BD — диаметры. Угол ACB равен 26°. Най­ди­те угол AOD. Ответ дайте в градусах.

 

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=2366

 

8.  Прямоугольный тре­уголь­ник с ка­те­та­ми 5 см и 12 см впи­сан в окружность. Чему равен ра­ди­ус этой окружности?

 

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=2396

 

9. Величина цен­траль­но­го угла AOD равна 110°. Най­ди­те величину впи­сан­но­го угла ACB. Ответ дайте в градусах.

 

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=5797

 

10. Точки ABC и D лежат на одной окруж­но­сти так, что хорды AB и СD вза­им­но перпендикулярны, а BDC = 25°. Най­ди­те величину угла ACD.

 

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=5801

 

 

11.  Точка О — центр окруж­но­сти, AOB = 84° (см. ри­су­нок). Най­ди­те ве­ли­чи­ну угла ACB (в гра­ду­сах).

 

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=6089

12.  На окруж­но­сти с цен­тром O от­ме­че­ны точки A и B так, что https://oge.sdamgia.ru/formula/90/9000494feda46a97a65e0d8edf1dd8dfp.png Длина мень­шей дуги AB равна 63. Най­ди­те длину боль­шей дуги.

 

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=6357

 

13.  AC и BD — диа­мет­ры окруж­но­сти с цен­тром O. Угол ACB равен 79°. Най­ди­те угол AOD. Ответ дайте в градусах.

 

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=8114

 

14.  Треугольник ABC впи­сан в окруж­ность с цен­тром в точке O. Най­ди­те гра­дус­ную меру угла C тре­уголь­ни­ка ABC, если угол AOB равен 115°.

 

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=8509

 

15.  Сторона AC тре­уголь­ни­ка ABC со­дер­жит центр опи­сан­ной около него окружности. Най­ди­те https://oge.sdamgia.ru/formula/5a/5a86125d4f3e448c7a802f1d665761f1p.png, если https://oge.sdamgia.ru/formula/8c/8c3b23dc36ee9d2da8eea1355e4099d6p.png. Ответ дайте в градусах.

 

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=9868

 

16.  Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Найдите угол ABC, если угол BAC равен 30°. Ответ дайте в градусах.

 

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=10051

 

17. На окружности с центром в точке https://oge.sdamgia.ru/formula/f1/f186217753c37b9b9f958d906208506ep.png отмечены точки https://oge.sdamgia.ru/formula/7f/7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29p.png и https://oge.sdamgia.ru/formula/9d/9d5ed678fe57bcca610140957afab571p.png так, что https://oge.sdamgia.ru/formula/e5/e5df624a8db4ff83ab559059b6b20c8fp.png. Длина меньшей дуги https://oge.sdamgia.ru/formula/b8/b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9p.png равна 50. Найдите длину большей дуги https://oge.sdamgia.ru/formula/b8/b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9p.png.

 

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=10065

 

18. Центр окружности, описанной около треугольника https://oge.sdamgia.ru/formula/90/902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932p.png, лежит на стороне https://oge.sdamgia.ru/formula/b8/b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9p.png. Найдите угол https://oge.sdamgia.ru/formula/90/902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932p.png, если угол https://oge.sdamgia.ru/formula/bc/bcf30d7f4abd7593b752cacd38ff491cp.png равен 44°. Ответ дайте в градусах.

 

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=10171

 

19. На окружности с центром в точке https://oge.sdamgia.ru/formula/f1/f186217753c37b9b9f958d906208506ep.png отмечены точки https://oge.sdamgia.ru/formula/7f/7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29p.png и https://oge.sdamgia.ru/formula/9d/9d5ed678fe57bcca610140957afab571p.png так, что https://oge.sdamgia.ru/formula/56/56628f13db42c9901e2e647f3d472639p.png. Длина меньшей дуги https://oge.sdamgia.ru/formula/b8/b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9p.png равна 61. Найдите длину большей дуги https://oge.sdamgia.ru/formula/b8/b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9p.png.

 

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=6087

20.  В угол C ве­ли­чи­ной 71° впи­са­на окруж­ность, ко­то­рая ка­са­ет­ся сто­рон угла в точ­ках A и B, точка O - центр окружности. Най­ди­те угол AOB. Ответ дайте в гра­ду­сах.

 

 

 

 

Модуль

«Реальная математика»

 

https://fs00.infourok.ru/images/doc/119/139706/img19.jpg

 

 

Тема 11. Анализ диаграмм, таблиц, графиков

Задания для самостоятельного выполнения

 

Диаграммы

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=22181.   Фонд школь­ной библиотеки, со­сто­я­щей из учеб­ной и ху­до­же­ствен­ной литературы рос­сий­ских и за­ру­беж­ных авторов, пред­став­лен в виде диаграммы. Сколь­ко примерно книг учеб­ной литературы в библиотеке, если всего в биб­лио­теч­ном фонде 800 книг?

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

 

1) 400

2) 570

3) 300

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=58264) 600

2. Завуч школы под­вел итоги по вы­бо­ру предметов для сдачи ЕГЭ уча­щи­ми­ся 11-х классов. Ре­зуль­та­ты представлены на диаграмме. Сколь­ко примерно уча­щих­ся выбрали для сдачи ЕГЭ физику?

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

 

1) 16

2) 12

3) 14

4) 8

 

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=5827

3. На диа­грам­ме показано ко­ли­че­ство посаженных де­ре­вьев и ку­стар­ни­ков в г. Сочи за пе­ри­од с 2009 по 2012 гг. Определите, сколь­ко всего было по­са­же­но зелёных на­саж­де­ний за 2011 г. и 2012 г.?

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

 

1) 10 000

2) 4 000

3) 12 000

4) 8 000

 

 

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=58284. На диа­грам­ме показано ко­ли­че­ство школьников, по­се­тив­ших театры г. Крас­но­да­ра за 2010 г. Определите, сколь­ко примерно зри­те­лей посетили за этот пе­ри­од Филармонию, если во всех этих те­ат­рах школьников было 2000 человек.

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

 

1) 150

2) 240

3) 350

4) 500

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=5829

5. Учитель ма­те­ма­ти­ки под­вел итоги кон­троль­ной ра­бо­ты по ал­геб­ре среди уча­щих­ся 9-х классов. Ре­зуль­та­ты пред­став­ле­ны на диаграмме. Сколь­ко при­мер­но уча­щих­ся по­лу­чи­ли от­мет­ку «4» и «5», если всего в этих клас­сах учат­ся 200 учащихся?

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

 

1) 120

2) 50

3) 60

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=58304) 140

6.  Учащимся со­чин­ских школ был задан вопрос: «По ка­ко­му виду спор­та вы хо­те­ли бы по­се­тить соревнования на Зим­ней олимпиаде в Сочи?». Их от­ве­ты можно уви­деть на диаграмме. Сколь­ко примерно уча­щих­ся хотели бы по­се­тить соревнования и по хоккею, и по сан­но­му спорту, если всего в опро­се приняли уча­стие 400 школьников?

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

 

1) 180

2) 240

3) 120

4) 200

 

Анализ таблиц

1. В таб­ли­це при­ве­де­ны ре­зуль­та­ты двух по­лу­фи­наль­ных за­бе­гов на ди­стан­цию 60 м. В фи­наль­ном за­бе­ге 6 участников. Из каж­до­го по­лу­фи­на­ла в финал вы­хо­дят два спортсмена, по­ка­зав­ших пер­вый и вто­рой результаты. К ним до­бав­ля­ют еще двух спортсменов, по­ка­зав­ших луч­шее время среди всех осталь­ных участ­ни­ков полуфиналов.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=2384

Запишите в ответ но­ме­ра спортсменов, не по­пав­ших в финал.

 

 2. Платеж за по­треб­ле­ние электроэнергии осу­ществ­ля­ет­ся по двух тарифному счетчику. Тариф за­ви­сит от вре­ме­ни суток. Общая сумма пла­те­жа складывается из сумм по каж­до­му из двух тарифов. Кви­тан­ция на опла­ту содержит сле­ду­ю­щую таблицу.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=2391Вычислите общую сумму пла­те­жа за ука­зан­ный в таб­ли­це расход электроэнергии.

 

3. В таб­ли­це даны ре­зуль­та­ты за­бе­га маль­чи­ков 8-го клас­са на ди­стан­цию 60 м.

 

Номер дорожки

1

2

3

4

Время (с)

10,3

10,7

11,0

9,1

 

Зачёт вы­став­ля­ет­ся, если по­ка­за­но время не хуже 10,5 с. Вы­пи­ши­те но­ме­ра до­ро­жек, по ко­то­рым бе­жа­ли маль­чи­ки, по­лу­чив­шие зачёт. Если утвер­жде­ний несколько, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке возрастания.

 

4. В таб­ли­це даны ре­ко­мен­ду­е­мые су­точ­ные нормы по­треб­ле­ния (в г/сутки) жиров, бел­ков и уг­ле­во­дов детьми от 1 года до 14 лет и взрос­лы­ми.

 

Вещество

Дети от 1 года

до 14 лет

Мужчины

Женщины

Жиры

40—97

70—154

60—102

Белки

36—87

65—117

58—87

Углеводы

170—420

257—586

 Какой вывод о су­точ­ном по­треб­ле­нии жиров, бел­ков и уг­ле­во­дов 7-лет­ней де­воч­кой можно сде­лать, если по подсчётам ди­е­то­ло­га в сред­нем за сутки она по­треб­ля­ет 42 г жиров, 35 г бел­ков и 190 г уг­ле­во­дов? В от­ве­те ука­жи­те но­ме­ра вер­ных утвер­жде­ний.

 

1) По­треб­ле­ние жиров в норме.

2) По­треб­ле­ние бел­ков в норме.

3) По­треб­ле­ние уг­ле­во­дов в норме.

 Если утвер­жде­ний несколько, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке возрастания.

 

5. Ва­си­лий из­ме­рял в те­че­ние не­де­ли время, ко­то­рое он тра­тил на до­ро­гу до школы, а ре­зуль­та­ты за­пи­сы­вал в таб­ли­цу.

 День недели

Пн

Вт

Ср

Чт

Пт

Сб

Время (мин.)

28

38

27

37

25

25

 Сколь­ко минут в сред­нем за­ни­ма­ет у Ва­си­лия до­ро­га до школы?

 

6. В таб­ли­це приведена сто­и­мость работ по по­крас­ке потолков.

 

Цвет по­тол­ка

Цена в руб­лях за 1 м2 (в за­ви­си­мо­сти от пло­ща­ди по­ме­ще­ния)

до 10 м2

от 11 до 30 м2

от 31 до 60 м2

свыше 60 м2

белый

105

85

70

60

цвет­ной

120

100

90

85

 

Пользуясь данными, пред­став­лен­ны­ми в таблице, определите, ка­ко­ва будет сто­и­мость работ, если пло­щадь потолка 40 м2, по­то­лок цветной и дей­ству­ет сезонная скид­ка в 10%. Ответ ука­жи­те в рублях.

Определение величины по графику

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=111. На гра­фи­ке изображена за­ви­си­мость атмосферного дав­ле­ния (в мил­ли­мет­рах ртутного столба) от вы­со­ты над уров­нем моря (в километрах). На какой вы­со­те (в км) летит воз­душ­ный шар, если барометр, на­хо­дя­щий­ся в кор­зи­не шара, по­ка­зы­ва­ет давление 540 мил­ли­мет­ров ртутного столба?

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=3392

 

2. Когда са­мо­лет на­хо­дит­ся в го­ри­зон­таль­ном полете, подъ­ем­ная сила, дей­ству­ю­щая на крылья, за­ви­сит толь­ко от скорости. На ри­сун­ке изоб­ра­же­на эта за­ви­си­мость для не­ко­то­ро­го самолета. На оси абс­цисс от­кла­ды­ва­ет­ся ско­рость (в ки­ло­мет­рах в час), на оси ор­ди­нат – сила (в тон­нах силы). Опре­де­ли­те по рисунку, чему равна подъ­ем­ная сила (в тон­нах силы) при ско­ро­сти 200 км/ч?

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=3393

3. В аэро­пор­ту чемоданы пас­са­жи­ров поднимают в зал вы­да­чи багажа по транс­пор­тер­ной ленте. При про­ек­ти­ро­ва­нии транспортера не­об­хо­ди­мо учитывать до­пу­сти­мую силу на­тя­же­ния ленты транспортера. На ри­сун­ке изображена за­ви­си­мость натяжения ленты от угла на­кло­на транспортера к го­ри­зон­ту при рас­чет­ной нагрузке. На оси абс­цисс откладывается угол подъ­ема в градусах, на оси ор­ди­нат – сила на­тя­же­ния транспортерной ленты (в ки­ло­грам­мах силы). При каком угле на­кло­на сила на­тя­же­ния достигает 150 кгс? Ответ дайте в градусах.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=2230

 

4. На ри­сун­ке изображен гра­фик изменения силы тока при под­клю­че­нии цепи, со­дер­жа­щей реостат, к ис­точ­ни­ку тока. По вер­ти­каль­ной оси от­кла­ды­ва­ет­ся сила тока https://oge.sdamgia.ru/formula/dd/dd7536794b63bf90eccfd37f9b147d7fp.png (в A), по горизонтальной — время https://oge.sdamgia.ru/formula/e3/e358efa489f58062f10dd7316b65649ep.png (в сек). По ри­сун­ку определите силу тока через 6 се­кунд с мо­мен­та подключения дан­ной цепи.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=2235

 

5. На ри­сун­ке изображен гра­фик зависимости ам­пли­ту­ды вынужденных ко­ле­ба­ний от ча­сто­ты колебаний. По вер­ти­каль­ной оси от­кла­ды­ва­ет­ся амплитуда (в м), по горизонтальной — ча­сто­та колебаний (в Гц). По ри­сун­ку определите ча­сто­ту колебаний, если ам­пли­ту­да была равна 1 м.

 

 

 

 

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=22436. На ри­сун­ке изображен гра­фик полета тела, бро­шен­но­го под углом к горизонту. По вер­ти­каль­ной оси от­кла­ды­ва­ет­ся расстояние от земли (в м), по го­ри­зон­таль­ной оси — прой­ден­ный путь (в м). По ри­сун­ку определите, на какой вы­со­те будет на­хо­дить­ся тело в мо­мент времени, когда оно про­ле­тит 60 метров.

 

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=2270

 

 

7. На гра­фи­ке показан про­цесс разогрева дви­га­те­ля легкового автомобиля. На оси абс­цисс откладывается время в минутах, про­шед­шее от за­пус­ка двигателя, на оси ор­ди­нат — тем­пе­ра­ту­ра двигателя в гра­ду­сах Цельсия. Опре­де­ли­те по графику, сколь­ко минут дви­га­тель нагревался до тем­пе­ра­ту­ры 50 °C с мо­мен­та запуска двигателя.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=23658. На гра­фи­ке изображена за­ви­си­мость атмосферного дав­ле­ния (в мил­ли­мет­рах ртутного столба) от вы­со­ты над уров­нем моря (в километрах).На сколь­ко миллиметров ртут­но­го столбы от­ли­ча­ет­ся давление на вы­со­те 2 км от дав­ле­ния на вы­со­те 8 км?

 

 

 

 

 

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=23679. На гра­фи­ке представлена ди­на­ми­ка изменения курса дол­ла­ра США в рублю за пе­ри­од с 19 но­яб­ря по 19 декабря. По го­ри­зон­таль­ной оси от­ло­же­ны даты, по вертикальной — зна­че­ния доллара США. Шаг по вер­ти­каль­ной оси равен 0,0372 руб. Опре­де­ли­те по графику, каким был курс дол­ла­ра США к рублю 21 ноября.

 

 

 

 

 

10. На ри­сун­ке показано, как из­ме­ня­лась тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха на про­тя­же­нии одних суток. По го­ри­зон­та­ли ука­за­но время суток, по вер­ти­ка­ли — зна­че­ние тем­пе­ра­ту­ры в гра­ду­сах Цельсия. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние температуры. Ответ дайте в гра­ду­сах Цельсия.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=3447

 

 

 

11. На ри­сун­ке показано, как из­ме­ня­лась тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха на про­тя­же­нии одних суток. По го­ри­зон­та­ли ука­за­но время суток, по вер­ти­ка­ли — зна­че­ние тем­пе­ра­ту­ры в гра­ду­сах Цельсия. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние температуры. Ответ дайте в гра­ду­сах Цельсия.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=3531

 

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=586812. На гра­фи­ке изоб­ра­же­на за­ви­си­мость ат­мо­сфер­но­го дав­ле­ния (в мил­ли­мет­рах ртут­но­го стол­ба) от вы­со­ты мест­но­сти над уров­нем моря (в ки­ло­мет­рах). На сколь­ко мил­ли­мет­ров ртут­но­го стол­ба ат­мо­сфер­ное дав­ле­ние на вы­со­те Эве­ре­ста ниже ат­мо­сфер­но­го дав­ле­ния на вы­со­те Боль­шо­го Ше­ло­ма?

 

 

 

 

 

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=586913. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик из­ме­не­ния ат­мо­сфер­но­го дав­ле­ния в го­ро­де Энске за три дня. По го­ри­зон­та­ли ука­за­ны дни не­де­ли, по вер­ти­ка­ли — зна­че­ния ат­мо­сфер­но­го дав­ле­ния в мил­ли­мет­рах ртут­но­го стол­ба. Ука­жи­те наи­мень­шее зна­че­ние ат­мо­сфер­но­го дав­ле­ния во втор­ник.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=4389 

 

 

 

14. Ком­па­ния пред­ла­га­ет на выбор два раз­ных та­ри­фа для опла­ты те­ле­фон­ных раз­го­во­ров: тариф А и тариф В. Для каж­до­го та­ри­фа за­ви­си­мость сто­и­мо­сти раз­го­во­ра от его про­дол­жи­тель­но­сти изоб­ра­же­на гра­фи­че­ски. На сколь­ко минут хва­тит 550 р., если ис­поль­зу­ет­ся тариф В?

 

 

 

 

 

 

https://math-oge.sdamgia.ru/docs/DE0E276E497AB3784C3FC4CC20248DC0/questions/G.MA.2014.15.04.05/xs3qstsrc5179F33D0477940D431E6DCBA8B799A8_1_1395477752.gif15. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик из­ме­не­ния ат­мо­сфер­но­го дав­ле­ния в го­ро­де Энске за три дня. По го­ри­зон­та­ли ука­за­ны дни не­де­ли и время, по вер­ти­ка­ли — зна­че­ния ат­мо­сфер­но­го дав­ле­ния в мил­ли­мет­рах ртут­но­го стол­ба. Ука­жи­те зна­че­ние ат­мо­сфер­но­го дав­ле­ния (в мм рт. ст.) во втор­ник в 12 часов дня.

 

 

https://math-oge.sdamgia.ru/docs/DE0E276E497AB3784C3FC4CC20248DC0/questions/G.MA.2014.15.08.05/xs3qstsrc92EF60F72B6E9634475CFE5712218C27_1_1395478289.gif16. При рез­ком тор­мо­же­нии рас­сто­я­ние, прой­ден­ное ав­то­мо­би­лем до пол­ной оста­нов­ки (тор­моз­ной путь), за­ви­сит от ско­ро­сти, с ко­то­рой ав­то­мо­биль дви­гал­ся. На ри­сун­ке по­ка­зан гра­фик этой за­ви­си­мо­сти. По го­ри­зон­таль­ной оси от­кла­ды­ва­ет­ся ско­рость (в км/ч), по вер­ти­каль­ной – тор­моз­ной путь (в мет­рах). Опре­де­ли­те по гра­фи­ку, каким будет тор­моз­ной путь ав­то­мо­би­ля, ко­то­рый дви­га­ет­ся со ско­ро­стью 70 км/ч. Ответ дайте в мет­рах.

 

https://math-oge.sdamgia.ru/docs/DE0E276E497AB3784C3FC4CC20248DC0/questions/G.MA.2014.15.09.04/innerimg0.png

 

 

17. На гра­фи­ке изоб­ра­же­на за­ви­си­мость ат­мо­сфер­но­го дав­ле­ния (в мил­ли­мет­рах ртут­но­го стол­ба) от вы­со­ты над уров­нем моря (в ки­ло­мет­рах). Опре­де­ли­те по гра­фи­ку, на какой вы­со­те ат­мо­сфер­ное дав­ле­ние равно 660 мм рт. ст. Ответ дайте в ки­ло­мет­рах.

 

 

 

 

 

https://math-oge.sdamgia.ru/docs/DE0E276E497AB3784C3FC4CC20248DC0/questions/G.MA.2014.15.09.05/innerimg0.png18. На гра­фи­ке изоб­ра­же­на за­ви­си­мость ат­мо­сфер­но­го дав­ле­ния (в мил­ли­мет­рах ртут­но­го стол­ба) от вы­со­ты над уров­нем моря (в ки­ло­мет­рах). Най­ди­те, чему равно ат­мо­сфер­ное дав­ле­ние на вы­со­те 6 км. Ответ дайте в мил­ли­мет­рах ртут­но­го стол­ба.

 

 

 

 

https://math-oge.sdamgia.ru/docs/DE0E276E497AB3784C3FC4CC20248DC0/questions/GIA.MATH.2012.demo.18/xs3qstsrc5AB33C805AEE8A33481EAC6B0A6931B7_1_1395477997.png

19. При рез­ком тор­мо­же­нии рас­сто­я­ние, прой­ден­ное ав­то­мо­би­лем до пол­ной оста­нов­ки (тор­моз­ной путь), за­ви­сит от ско­ро­сти, с ко­то­рой ав­то­мо­биль дви­гал­ся. На ри­сун­ке по­ка­зан гра­фик этой за­ви­си­мо­сти (для сухой ас­фаль­то­вой до­ро­ги). По го­ри­зон­таль­ной оси от­кла­ды­ва­ет­ся ско­рость (в км/ч), по вер­ти­каль­ной – тор­моз­ной путь (в мет­рах). Опре­де­ли­те по гра­фи­ку, с какой ско­ро­стью дви­гал­ся ав­то­мо­биль, если его тор­моз­ной путь со­ста­вил 50 мет­ров. Ответ дайте в ки­ло­мет­рах в час.

 

https://math-oge.sdamgia.ru/docs/DE0E276E497AB3784C3FC4CC20248DC0/questions/G.MA.2014.15.14.01/innerimg0.png20. На ри­сун­ке по­ка­за­но, как из­ме­ня­лась тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха на про­тя­же­нии одних суток. По го­ри­зон­та­ли ука­за­но время суток, по вер­ти­ка­ли — зна­че­ние тем­пе­ра­ту­ры в гра­ду­сах Цель­сия. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние тем­пе­ра­ту­ры. Ответ дайте в гра­ду­сах Цель­сия.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

https://math-oge.sdamgia.ru/docs/DE0E276E497AB3784C3FC4CC20248DC0/questions/G.MA.2014.15.14.06/innerimg0.png21. На ри­сун­ке по­ка­за­но, как из­ме­ня­лась тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха на про­тя­же­нии одних суток. По го­ри­зон­та­ли ука­за­но время суток, по вер­ти­ка­ли — зна­че­ние тем­пе­ра­ту­ры в гра­ду­сах Цель­сия. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние тем­пе­ра­ту­ры. Ответ дайте в гра­ду­сах Цель­сия.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

https://math-oge.sdamgia.ru/docs/DE0E276E497AB3784C3FC4CC20248DC0/questions/G.MA.2014.15.16.01/innerimg0.png22. На ри­сун­ке по­ка­за­но, как из­ме­ня­лась тем­пе­ра­ту­ра на про­тя­же­нии одних суток. По го­ри­зон­та­ли ука­за­но время суток, по вер­ти­ка­ли — зна­че­ние тем­пе­ра­ту­ры в гра­ду­сах Цель­сия. Сколь­ко часов во вто­рой по­ло­ви­не дня тем­пе­ра­ту­ра пре­вы­ша­ла 10 °C?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

https://math-oge.sdamgia.ru/docs/DE0E276E497AB3784C3FC4CC20248DC0/questions/G.MA.2014.15.16.03/innerimg0.png23. На ри­сун­ке по­ка­за­но, как из­ме­ня­лась тем­пе­ра­ту­ра на про­тя­же­нии одних суток. По го­ри­зон­та­ли ука­за­но время суток, по вер­ти­ка­ли — зна­че­ние тем­пе­ра­ту­ры в гра­ду­сах Цель­сия. Сколь­ко часов в пер­вой по­ло­ви­не дня тем­пе­ра­ту­ра пре­вы­ша­ла 25 °C?

 

 

 

 

 

 

 

 

https://math-oge.sdamgia.ru/docs/DE0E276E497AB3784C3FC4CC20248DC0/questions/G.MA.2014.15.16.16/xs3qstsrc0955E405BF748F804AF348466CBF7866_1_1395653200.gif24. На ри­сун­ке по­ка­за­но, как из­ме­ня­лась тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха на про­тя­же­нии одних суток. По го­ри­зон­та­ли ука­за­но время суток, по вер­ти­ка­ли — зна­че­ние тем­пе­ра­ту­ры в гра­ду­сах Цель­сия. Сколь­ко часов в пер­вой по­ло­ви­не дня тем­пе­ра­ту­ра не пре­вы­ша­ла 0° C?

 

 

 

 

 

 

 

 

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=625725. На ри­сун­ке показано, как из­ме­ня­лась температура на про­тя­же­нии одних суток. По го­ри­зон­та­ли указано время суток, по вер­ти­ка­ли — зна­че­ние температуры в гра­ду­сах Цельсия. Сколь­ко часов после 12:00 тем­пе­ра­ту­ра превышала 29°C?

 

 

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=9870

 

 

26. На графике показано изменение температуры в процессе разогрева двигателя легкового автомобиля. На горизонтальной оси отмечено время в минутах, прошедшее с момента запуска двигателя, на вертикальной оси — температура двигателя в градусах Цельсия. Определите по графику, за сколько минут двигатель нагреется с 40 °​C до 90 °​C.

 

Столбчатые диаграммы, графики

1. На диа­грам­ме пред­став­ле­ны семь круп­ней­ших по пло­ща­ди тер­ри­то­рии (в млн км2) стран мира. Какое из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний неверно?

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=65

 

1) Пло­щадь тер­ри­то­рии Индии со­став­ля­ет https://oge.sdamgia.ru/formula/4f/4f033f3948c2edb9d547991c8d6141e2p.png

2) Пло­щадь Китая боль­ше пло­ща­ди Австралии.

3) Рос­сия — круп­ней­шая по пло­ща­ди тер­ри­то­рии стра­на мира.

4) пло­щадь Ка­на­ды боль­ше пло­ща­ди США на https://oge.sdamgia.ru/formula/1d/1d03796cb6188637362599a282ebd25cp.png

 

В ответ за­пи­ши­те номер вы­бран­но­го утверждения.

2. 156 уча­щим­ся вось­мых клас­сов не­ко­то­рой школы была пред­ло­же­на кон­троль­ная ра­бо­та по ал­геб­ре из 5 заданий. По ре­зуль­та­там со­ста­ви­ли таблицу, в ко­то­рой ука­за­ли число учащихся, вы­пол­нив­ших одно, два три и т.д. заданий:

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=2224

Сколько че­ло­век по­лу­чи­ли оцен­ку выше «3», если кри­те­рии вы­став­ле­ния оце­нок опре­де­ля­лись по таблице?

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=2225

3. На диа­грам­ме по­ка­за­но ко­ли­че­ство SMS, при­слан­ных слу­ша­те­ля­ми за каж­дый час четырёхчасового эфира про­грам­мы по за­яв­кам на радио. Определите, на сколь­ко боль­ше со­об­ще­ний было при­сла­но за по­след­ние два часа про­грам­мы по срав­не­нию с пер­вы­ми двумя ча­са­ми этой программы.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=3522

4. На ри­сун­ке изоб­ра­же­на за­ви­си­мость тем­пе­ра­ту­ры (в гра­ду­сах Цельсия) от вы­со­ты (в метрах) над уров­нем моря.

 

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=3568

 

Определите по графику, на сколь­ко гра­ду­сов тем­пе­ра­ту­ра на вы­со­те 200 мет­ров выше, чем на вы­со­те 650 метров.

5. На диа­грам­ме пред­став­ле­ны семь круп­ней­ших по пло­ща­ди тер­ри­то­рии (в млн км2) стран мира.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=5890

Какое из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верно?

 1) Ка­зах­стан вхо­дит в семёрку круп­ней­ших по пло­ща­ди тер­ри­то­рии стран мира.

2) Пло­щадь тер­ри­то­рии Бра­зи­лии со­став­ля­ет 8,5 млн км2.

3) Пло­щадь Ав­стра­лии боль­ше пло­ща­ди Китая.

4) Пло­щадь Бра­зи­лии боль­ше пло­ща­ди Индии более чем в три раза.

 

6. На диа­грам­ме пред­став­ле­ны не­ко­то­рые из круп­ней­ших по чис­лен­но­сти на­се­ле­ния стран мира. Чис­лен­ность на­се­ле­ния ка­ко­го го­су­дар­ства при­мер­но в 6 раз мень­ше чис­лен­но­сти на­се­ле­ния Индии? В от­ве­те напишите чис­лен­ность населения этой стра­ны в млн чел.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=4628

7. На диа­грам­ме пред­став­ле­ны не­ко­то­рые из круп­ней­ших по пло­ща­ди тер­ри­то­рии стран мира. Во сколь­ко при­мер­но раз пло­щадь Рос­сии боль­ше пло­ща­ди США? (Ответ округ­ли­те до целых.)

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=5903

8. Рок-магазин продаёт знач­ки с сим­во­ли­кой рок-групп. В про­да­же име­ют­ся знач­ки пяти цветов: чёрные, синие, зелёные, серые и белые. Дан­ные о про­дан­ных знач­ках пред­став­ле­ны на столб­ча­той диаграмме.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=4103

 Определите по диаграмме, знач­ков ка­ко­го цвета было про­да­но мень­ше всего. Сколь­ко при­мер­но про­цен­тов от об­ще­го числа знач­ков со­став­ля­ют знач­ки этого цвета?

1) 5

2) 10

3) 15

4) 20

 

9. На диа­грам­ме по­ка­за­но ко­ли­че­ство SMS, при­слан­ных слу­ша­те­ля­ми за каж­дый час четырёхча­со­во­го эфира про­грам­мы по за­яв­кам на радио. Опре­де­ли­те, на сколь­ко боль­ше со­об­ще­ний было при­сла­но за пер­вые два часа про­грам­мы по срав­не­нию с по­след­ни­ми двумя ча­са­ми этой про­грам­мы.

https://math-oge.sdamgia.ru/docs/DE0E276E497AB3784C3FC4CC20248DC0/questions/G.MA.2014.15.03.01/xs3qstsrc1E29C4318F53A0BF4B3C01CA31B51989_1_1392816304.gif

 

10. На диа­грам­ме показано ко­ли­че­ство SMS, при­слан­ных слушателями за каж­дый час четырёхчасового эфира про­грам­мы по за­яв­кам на радио. Определите, на сколь­ко больше со­об­ще­ний было при­сла­но за по­след­ние два часа про­грам­мы по срав­не­нию с пер­вы­ми двумя ча­са­ми этой программы. 

https://math-oge.sdamgia.ru/docs/DE0E276E497AB3784C3FC4CC20248DC0/questions/G.MA.2014.15.03.07/innerimg0.png

 

Круговые диаграммы

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=65671. На диа­грам­ме по­ка­за­но рас­пре­де­ле­ния зе­мель Уральского, Приволжского, Юж­но­го и Даль­не­во­сточ­но­го Фе­де­раль­ных окру­гов по категориям. Опре­де­ли­те по диаграмме, в каком окру­ге доля зе­мель лес­но­го фонда пре­вы­ша­ет 70%.

 *прочее — это земли поселений; земли про­мыш­лен­но­сти и иного спе­ци­аль­но­го назначения; и земли особо охра­ня­е­мых тер­ри­то­рий и объектов.

      1) Ураль­ский ФО

2) При­волж­ский ФО

3) Южный ФО

4) Даль­не­во­сточ­ный ФО

 

 

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=34482. На диа­грам­ме по­ка­за­но со­дер­жа­ние пи­та­тель­ных ве­ществ в какао, мо­лоч­ном шоколаде, фа­со­ли и сушёных белых грибах. Опре­де­ли­те по диаграмме, в каком про­дук­те со­дер­жа­ние бел­ков пре­вы­ша­ет 30%.

 

*К про­че­му от­но­сят­ся вода, ви­та­ми­ны и ми­не­раль­ные вещества.

 

1) какао

2) шо­ко­лад

 3) фа­соль

4) грибы

 

 

 

 

3. В ма­те­ма­ти­че­ские круж­ки го­ро­да ходят школь­ни­ки 5–8 классов. Рас­пре­де­ле­ние участ­ни­ков ма­те­ма­ти­че­ских круж­ков пред­став­ле­но в кру­го­вой диаграмме.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=3514

Какое утвер­жде­ние от­но­си­тель­но участ­ни­ков круж­ков верно, если всего их по­се­ща­ют 354 школьника?

1) в круж­ки не ходят пятиклассники

2) вось­ми­класс­ни­ков ходит больше, чем семиклассников

3) боль­ше по­ло­ви­ны участ­ни­ков круж­ков учат­ся не в седь­мом классе

4) ше­сти­класс­ни­ков мень­ше 88 человек

 

 

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=58834. На диа­грам­ме пред­став­ле­но рас­пре­де­ле­ние ко­ли­че­ства поль­зо­ва­те­лей не­ко­то­рой со­ци­аль­ной сети по стра­нам мира. Всего в этой со­ци­аль­ной сети 12 млн поль­зо­ва­те­лей.

Какое из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний не­вер­но?

 

1) Поль­зо­ва­те­лей из Укра­и­ны боль­ше, чем поль­зо­ва­те­лей из Ка­зах­ста­на.

2) Поль­зо­ва­те­лей из Рос­сии вдвое боль­ше, чем поль­зо­ва­те­лей из Укра­и­ны.

3) При­мер­но треть поль­зо­ва­те­лей — не из Рос­сии.

4) Поль­зо­ва­те­лей из Укра­и­ны и Бе­ла­ру­си более 3 млн че­ло­век.

 

 

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=5895

5. На диа­грам­ме пред­став­ле­ны семь круп­ней­ших по пло­ща­ди тер­ри­то­рии (в млн км2) стран мира. Какое из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний не­вер­но?

 

1) Рос­сия — круп­ней­шая по пло­ща­ди тер­ри­то­рии стра­на мира.

2) Пло­щадь тер­ри­то­рии Индии со­став­ля­ет 3,3 млн км2.

3) Пло­щадь Китая боль­ше пло­ща­ди Ав­стра­лии.

4) Пло­щадь Ка­на­ды боль­ше пло­ща­ди США на 1,5 млн км2.

 

В от­ве­те за­пи­ши­те номер вы­бран­но­го утвер­жде­ния.

 

 

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=58986На диа­грам­ме пред­став­ле­ны семь круп­ней­ших по пло­ща­ди тер­ри­то­рии (в млн км2) стран мира. Какое из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний не­вер­но?

 

1) По пло­ща­ди тер­ри­то­рии вто­рое место в мире за­ни­ма­ет Ка­на­да.

2) Пло­щадь тер­ри­то­рии Ав­стра­лии со­став­ля­ет 7,7 млн км2.

3) Пло­щадь Китая боль­ше пло­ща­ди Ка­на­ды.

4) Пло­щадь США боль­ше пло­ща­ди Бра­зи­лии на 1 млн км2.

 

 

 

 

 

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=40737. На диа­грам­ме по­ка­за­но со­дер­жа­ние пи­та­тель­ных ве­ществ в какао, мо­лоч­ном шоколаде, фа­со­ли и сушёных белых грибах. Опре­де­ли­те по диаграмме, в каком про­дук­те со­дер­жа­ние жиров на­хо­дит­ся в пре­де­лах от 15% до 25%.

  

*К про­че­му от­но­сят­ся вода, ви­та­ми­ны и ми­не­раль­ные вещества.

 

1) какао

2) шоколад

3) фа­соль

4) грибы

 

 

 

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=60578. На диа­грам­ме по­ка­за­но со­дер­жа­ние пи­та­тель­ных ве­ществ в мо­лоч­ном шо­ко­ла­де. Опре­де­ли­те по диа­грам­ме, со­дер­жа­ние каких ве­ществ пре­об­ла­да­ет.

*-к про­че­му от­но­сят­ся вода, ви­та­ми­ны и ми­не­раль­ные ве­ще­ства.

 

1) жиры

2) белки

3) уг­ле­во­ды

4) про­чее

 

В от­ве­те за­пи­ши­те номер вы­бран­но­го утверждения.

 

 

 

 

 

https://math-oge.sdamgia.ru/docs/DE0E276E497AB3784C3FC4CC20248DC0/questions/G.MA.2014.18.11.03/innerimg0.png9. В го­ро­де из учеб­ных за­ве­де­ний име­ют­ся школы, кол­ле­джи, учи­ли­ща и ин­сти­ту­ты. Дан­ные пред­став­ле­ны на кру­го­вой диа­грам­ме.

Какое из утвер­жде­ний от­но­си­тель­но ко­ли­че­ства учеб­ных за­ве­де­ний раз­ных видов верно, если всего в го­ро­де 45 учеб­ных за­ве­де­ний?

1) В го­ро­де более 30 школ.

2) В го­ро­де более трети всех учеб­ных за­ве­де­ний — ин­сти­ту­ты.

3) В го­ро­де школ, кол­ле­джей и учи­лищ более  всех учеб­ных за­ве­де­ний.

4) В го­ро­де при­мер­но чет­верть всех учеб­ных за­ве­де­ний — учи­ли­ща.

 

 

https://math-oge.sdamgia.ru/docs/DE0E276E497AB3784C3FC4CC20248DC0/questions/G.MA.2014.18.11.08/innerimg0.png10. Участ­ни­ков кон­фе­рен­ции раз­ме­сти­ли в го­сти­ни­це в од­но­мест­ных но­ме­рах, рас­по­ло­жен­ных на эта­жах со вто­ро­го по пятый. Ко­ли­че­ство но­ме­ров на эта­жах пред­став­ле­но на кру­го­вой диа­грам­ме.

Какое из утвер­жде­ний от­но­си­тель­но рас­се­ле­ния участ­ни­ков кон­фе­рен­ции не­вер­но, если в го­сти­ни­це раз­ме­сти­лись 80 участ­ни­ков кон­фе­рен­ции?

 

1) Более 20 участ­ни­ков кон­фе­рен­ции раз­ме­сти­лись на вто­ром этаже.

2) На 2, 4 и 5 эта­жах раз­ме­сти­лись мень­ше по­ло­ви­ны участ­ни­ков кон­фе­рен­ции.

3) На эта­жах выше тре­тье­го раз­ме­сти­лись не более чет­вер­ти всех участ­ни­ков кон­фе­рен­ции.

4) На вто­ром и тре­тьем этаже раз­ме­сти­лись не менее 75% всех участ­ни­ков кон­фе­рен­ции.

https://math-oge.sdamgia.ru/docs/DE0E276E497AB3784C3FC4CC20248DC0/questions/G.MA.2014.18.11.11/innerimg0.png11. В доме рас­по­ла­га­ют­ся од­но­ком­нат­ные, двух­ком­нат­ные, трёхком­нат­ные и четырёхком­нат­ные квар­ти­ры. Дан­ные о ко­ли­че­стве квар­тир пред­став­ле­ны на кру­го­вой диа­грам­ме.

Какие из утверждений относительно квартир в этом доме неверны, если всего в доме 180 квартир?

 

1) Боль­ше по­ло­ви­ны квар­тир двух­ком­нат­ные.

2) Од­но­ком­нат­ных квар­тир менее чет­вер­ти.

3) Чет­верть всех квар­тир — трёхком­нат­ные.

4) Од­но­ком­нат­ных, двух­ком­нат­ных и трёхком­нат­ных квар­тир всего более 165.

 

В ответе запишите номера выбранных утверждений.

https://math-oge.sdamgia.ru/docs/DE0E276E497AB3784C3FC4CC20248DC0/questions/G.MA.2014.18.11.16/innerimg0.png12. В ма­те­ма­ти­че­ский кру­жок ходят школь­ни­ки 5−8 клас­сов. Дан­ные о ко­ли­че­стве школь­ни­ков, по­се­ща­ю­щих кру­жок, пред­став­ле­ны на кру­го­вой диа­грам­ме. Какое утвер­жде­ние от­но­си­тель­но участ­ни­ков круж­ка ­вер­но, если всего его по­се­ща­ют 60 школь­ни­ков?

1) Боль­ше трети школь­ни­ков вось­ми­класс­ни­ки.

2) Пя­ти­класс­ни­ков мень­ше, чем се­ми­класс­ни­ков.

3) Се­ми­класс­ни­ков боль­ше 7 че­ло­век.

4) Ше­сти­класс­ни­ков боль­ше 50% всех школь­ни­ков.

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=607313. На диа­грам­ме по­ка­за­но со­дер­жа­ние пи­та­тель­ных ве­ществ в какао-по­рош­ке. Опре­де­ли­те по диа­грам­ме, со­дер­жа­ние каких ве­ществ наи­мень­шее.

*-к про­че­му от­но­сят­ся вода, ви­та­ми­ны и ми­не­раль­ные ве­ще­ства.

 

1) жиры

2) белки

3) уг­ле­во­ды

4) про­чее

 

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=605914. На диа­грам­ме по­ка­за­но со­дер­жа­ние пи­та­тель­ных ве­ществ в мо­лоч­ном шо­ко­ла­де. Опре­де­ли­те по диа­грам­ме, со­дер­жа­ние каких ве­ществ пре­вос­хо­дит 50%.

      1) жиры

2) белки

3) уг­ле­во­ды

4) про­чее

 

 

 

 

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=606115. На диа­грам­ме по­ка­за­но со­дер­жа­ние пи­та­тель­ных ве­ществ в какао, мо­лоч­ном шо­ко­ла­де, фа­со­ли и сли­воч­ных су­ха­рях. Опре­де­ли­те по диа­грам­ме, в каком про­дук­те со­дер­жа­ние уг­ле­во­дов наи­боль­шее.

 

1) какао

2) шо­ко­лад

3) фа­соль

4) су­ха­ри

 

 

 

 

 

 

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=606216. На диа­грам­ме по­ка­за­но со­дер­жа­ние пи­та­тель­ных ве­ществ в какао, мо­лоч­ном шо­ко­ла­де, фа­со­ли и сли­воч­ных су­ха­рях. Опре­де­ли­те по диа­грам­ме, в каком про­дук­те со­дер­жа­ние уг­ле­во­дов наи­мень­шее.

  

1) какао

2) шо­ко­лад

3) фа­соль

4) су­ха­ри

 

 

 

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=6063

17. На диа­грам­ме по­ка­за­ны ре­ли­ги­оз­ные со­ста­вы на­се­ле­ния Гер­ма­нии, США, Ав­стрии и Ве­ли­ко­бри­та­нии. Опре­де­ли­те по диа­грам­ме, в какой стра­не доля ка­то­ли­ков пре­вы­ша­ет 50%.

  

1) Гер­ма­ния

2) США

3) Ав­стрия

4) Ве­ли­ко­бри­та­ния

 

 

 

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=6064

 

18. На диа­грам­ме по­ка­за­но со­дер­жа­ние пи­та­тель­ных ве­ществ в сли­воч­ных су­ха­рях. Опре­де­ли­те по диа­грам­ме, в каких пре­де­лах на­хо­дит­ся со­дер­жа­ние уг­ле­во­дов.

  

1) 45-55%

2) 55-65%

3) 65-75%

4) 75-80%

 

 

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=6067

 

19. На диа­грам­ме по­ка­зан воз­раст­ной со­став на­се­ле­ния Китая.

Сколь­ко при­мер­но людей млад­ше 14 лет про­жи­ва­ет в Китае, если на­се­ле­ние Китая со­став­ля­ет 1,3 млрд людей?

1) около 100 млн

2) около 260 млн

3) около 325 млн

4) около 150 млн

 

20. Какая из сле­ду­ю­щих кру­го­вых диа­грамм по­ка­зы­ва­ет рас­пре­де­ле­ние пло­ща­дей оке­а­нов в Ми­ро­вом Оке­а­не, если Тихий Океан за­ни­ма­ет около 48% всего Ми­ро­во­го Оке­а­на, Ат­лан­ти­че­ский — 26%, Ин­дий­ский — 21% и Се­вер­ный Ле­до­ви­тый — 5%?

 

https://math-oge.sdamgia.ru/get_file?id=6071

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Информационные источники:

 

1.                  http://www.mathematics-repetition.com – Математика - повторение

2.                  https://examer.ru – Все для самостоятельной подготовки к ЕГЭ

3.                  http://www.algebraclass.ru – Справочная информация по алгебре

4.                  http://www.yaklass.ru – Образовательный проект Сколково

5.                  http://www.egesdam.ru – ЕГЭ? Сдам!

6.                  https://math-oge.sdamgia.ru – Решу ОГЭ. Образовательный портал для подготовки к экзаменам

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Материалы для самостоятельной работы учащихся на повторение курса математики 7 – 8 классов"

Методические разработки к Вашему уроку:

Получите новую специальность за 3 месяца

Культуролог-аниматор

Получите профессию

HR-менеджер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 625 453 материала в базе

Скачать материал

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 17.05.2017 5733
    • DOCX 4.3 мбайт
    • 97 скачиваний
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Данилова Наталия Ивановна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    Данилова Наталия Ивановна
    Данилова Наталия Ивановна
    • На сайте: 9 лет и 2 месяца
    • Подписчики: 0
    • Всего просмотров: 13910
    • Всего материалов: 6

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой

Курс профессиональной переподготовки

Копирайтер

Копирайтер

500/1000 ч.

Подать заявку О курсе

Курс повышения квалификации

Методические и практические аспекты развития пространственного мышления школьников на уроках математики

36 ч. — 144 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 47 человек из 27 регионов

Курс повышения квалификации

Методика преподавания математики в среднем профессиональном образовании в условиях реализации ФГОС СПО

36 ч. — 144 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 65 человек из 38 регионов

Курс повышения квалификации

Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста

72 ч. — 180 ч.

от 2200 руб. от 1100 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 180 человек из 45 регионов

Мини-курс

Басня как педагогическая технология

5 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Управление коммуникациями в кризисных ситуациях

6 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Политическое проектирование и международные отношения"

4 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе