954251
столько раз учителя, ученики и родители
посетили сайт «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
Добавить материал и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
V ЮБИЛЕЙНЫЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ КОНКУРС
ИнфоурокАлгебраДругие методич. материалыМатериалы к урокам (теория и практика) по теме "Делимость чисел. Сравнения." (8, 9, 10 класс).

Материалы к урокам (теория и практика) по теме "Делимость чисел. Сравнения." (8, 9, 10 класс).

библиотека
материалов

Сравнения.

Эту тему полезно рассмотреть после изучения делимости с остатком в классе с углубленным изучением математики. С помощью сравнений можно доказывать признаки делимости, делимость числовых выражений, находить остатки.

Определение.

Если два числа а и b имеют одинаковые остатки при делении на m, то говорят, что а и b сравнимы по модулю m, и пишут

ab (mod m).

Теорема 1. Сравнение a ≡ b (mod m) имеет место в том и только в том случае, если разность а- b делится на m.

Доказательство. Предположим, что а≡ b(mod m), т. е. числа а и b дают при делении на m один и тот же остаток r. Тогда



Вычитая одно равенство из другого, получаем:


Откуда и следует, что разность а-b делится на m.

Обратно, пусть a-b делится на m, т. е. a-b = km. Произведем деление (с остатком) числа b на m:

b = qm + r, где

Сложив равенства a-b = km и b = qm-r, получаем:


Причем по-прежнему 0<r<m. Отсюда видно, что число a имеет тот же остаток r при делении на m, что и число b т. е. ab (mod m).


Теорема 2. Сравнения можно почленно складывать и вычитать, т. е. если а≡b(mod m) и cd(mod m), то a+cb+d(mod m) и а-с≡b-d(mod m).

Доказательство.

Так как ab (mod m) и с≡d(mod m), то по теореме 1 числа а-b и c-d делятся на m т. е.

a-b=km, c-d=lm. Складывая эти два равенства, получаем:

a-b+c-d=km+lm, или (а+с)-(b+d)=(k+l)m

Таким образом, разность (а+с)-(b+d) делится на m, а потому по теореме 1

а+с≡b+d (mod m).

Сравнение a-cb-d (mod m) доказывается аналогично.


Теорема 3.Сравнения можно почленно умножать, т. е. если ab (mod m), cd (mod m), mo acbd (mod m).

Доказательство. Так как ab(mod m) и с≡d(mod m), то по теореме 1 a-b=km, c-d=lm. Поэтому ac-bd=(ас-ad)+(ad-bd)=a(c-d)+d(a-b)=alm+dkm=(al+dk)m, т. е. разность ac-bd делится на m. Следовательно, по теореме 1 ас≡bd (mod m).

Конечно, теоремы 2 и 3 верны для любого числа слагаемых или множителей.


Следствие 1. Сравнения можно возводить в степень, т. е. если ab(mod m), mo

anbn(mod m).

Следствие 2. Рассмотрим некоторый многочлен с целыми коэффициентами:

koxn + k1xn-1+ ... +kn-1x+kn.

Если ab(mod m), то значения, которые принимает этот многочлен при х=а и при x=b, также сравнимы между собой по модулю m, т. е.

koan+k1an-1+ ... kn-1a+kn≡kobn+k1bn-1+ ... kn-1b+kn (mod m).


Пример 1. Доказать, что при любом натуральном n число 122n+1 +11n+2 делится на 133.

Решение.

Мы имеем: 122n+1=122n∙12=12∙144n

Но 144≡11 (mod 133), и потому согласно следствию 1: 144n≡11n(mod 133).

Умножая на 12, получаем (по теореме 3): 12∙144n≡12∙11n (mod 133),

так что 122n+1≡ 12∙11n (mod 133).

Далее, 11n+2=11n121. А так как 121≡-12 (mod 133), то 121∙11n=-12∙11n (mod 133), т. е. 11n+2=-12∙11n (mod 133). Складывая сравнения (это можно делать по теореме 2), получаем:

122n+1 +11n+2≡12∙11n+(-12∙11n) (mod 133)≡0 (mod 133),

т. е. число 122n+1 +11n+2 делится на 133.

Пример 2. Докажите, что при любом целом n число n3+3n2+2n делится на 6.

Решение.

Всякое целое число n дает при делении на 6 один из остатков 0, 1, 2, 3, 4, 5, т. е. имеет место одно из сравнений:

n≡0 (mod 6), n≡1 (mod 6), n≡2 (mod 6), n≡3 (mod 6), n≡4 (mod 6), n≡5 (mod 6).

Если n≡0(mod 6), то по следствию 2:

n3+3n2+2n≡03 +3∙02 +2∙0(mod 6), т.е n3+3n2+2n≡0(mod 6).

Если n≡1 (mod 6), то (опять по следствию 2)

n3+3n2+2n=l3 +3∙12 +2∙1(mod6), т. е. n3+3n2+2n=6≡0(mod 6).

Если n≡2 (mod 6), то n3+3n2+2n=23 +3∙22+2∙2(mod6), т. е.n3+3n2+2n=24≡0(mod 6).

Аналогично рассматриваются три оставшихся случая.

Итак, в любом случае n3+3n2+2n0(mod 6), т. е. n3+3n2+2n делится на 6.



Упражнения.

  1. Докажите, что при любом целом n число n2 + n четно.

  2. При каких n число n2-1 делится на 3?

  3. Докажите, что если числа а и b не делятся на 3, но дают одинаковые остатки при делении на 3, то число ab-1 делится на 3. Обратно, если ab-1 делится на 3, то числа а и b не делятся на 3 и дают одинаковые остатки при делении на 3.

  4. Докажите, что если числа а и bне делятся на 3 и дают разные остатки при делении на 3, то число ab+1 делится на 3. Обратно, если ab+1 делится на 3, то числа а и b не делятся на 3 и дают разные остатки при делении на 3.

  5. Докажите, что, каковы бы ни были целые числа а и b, число ab(a2 -b2) всегда делится на 3.

  6. Докажите, что, каковы бы ни были целые числа а и b, число ab(а2 - b2) (4а2 - b2) всегда делится на 5.

  7. Докажите, что, каковы бы ни были целые числа а и b, число ab(a4 – b4) всегда делится на 5.

  8. Докажите, что при любом целом n число n2 (n2- 1) делится на 4.

  9. Докажите, что при любом целом n число n5 - n делится на 5.

  10. Докажите, что при любом целом n число n(n6- 1) делится на 7.

  11. Докажите, что если хотя бы одно из чисел а ,bне делится на 7, то и число а2+b2 не делится на 7.

  12. Докажите, что при любом целом n число n(2n+1)(7n+1) делится на 6.

  13. Число а дает остаток r1 при делении на m, а число b дает остаток r2 при делении на m. Можно ли утверждать, что число а+b дает остаток r1 + r2 при делении на m, а число ab дает остаток r1r2при делении на m? Как изменить формулировку, чтобы получилось верное утверждение?

  14. Докажите, что ни при каком натуральном n число 3n-1 не является точным квадратом.

  15. Докажите, что ни при каком натуральном n числа 5n+2 и 5n-2 не являются точными квадратами.

  16. Докажите, что ни при каком натуральном n числа 7n+3, 7n-1, 7n-2 не являются точными квадратами.

  17. Докажите, что при любом целом n≥0 число 52n+1 ∙2n+2 +3n+2∙22n+1 делится на 19.

  18. Дано натуральное число n. Докажите, что найдется число, записываемое только единицами и нулями, которое делится на n.

  19. Докажите, что для любых натуральных n и k число 12k-1 +22k-1 +…+(2n)2k-1 делится на 2n+1.

  20. Докажите, что число 100...001, в котором число нулей четное, делится на 11.



Ответы и указания.

  1. Всякое целое число n дает при делении на 2 один из остатков 0, 1, т. е. имеет место одно из сравнений:

n≡0 (mod 2), n≡1 (mod 2)

Если n≡0(mod 2), то по следствию 2:

n2 + n=02+0≡0(mod 2)

Если n≡1 (mod 2), то (опять по следствию 2):

n2 + n=12+1=2≡0(mod 2)

В обоих случаях остаток 0, следовательно, число n2 + n четно при любом целом n.

  1. Всякое целое число n дает при делении на 3 один из остатков 0,1,2,-1,-2 т.е. имеет место одно из сравнений:

n≡0 (mod 3), n≡1 (mod 3), n≡2 (mod 3).

Если n≡0(mod 3), то по следствию 2:

n2 -1=02-1≡-1(mod 3)

Если n≡1 (mod 3), то (опять по следствию 2):

n2 -1=12-1≡0(mod 3)

Если n≡2 (mod 3), то (опять по следствию 2):

n2 -1=22-1=3≡0(mod 3) в этом случае число делится на 3.

Число n2-1 делится на 3 в тех случаях, когда n при делении на 3 дает остаток 2.

  1. Всякое целое число n дает при делении на 3 один из остатков 0,1,2

Если a≡1 (mod 3), b≡1 (mod 3), то ab-1≡1∙1-1≡0(mod 3)

Если a≡2 (mod 3), b≡2 (mod 3), то ab-1≡2∙2-1=3≡0(mod 3)

Первое утверждение, верно, получили остатки 0.

Если ab-1≡0(mod 3), то ab≡1(mod 3), следовательно, ab (mod 3),т.к.

Если a≡1 (mod 3), b≡1 (mod 3), то ab≡1∙1≡1(mod 3)

a≡2 (mod 3), b≡2 (mod 3), то ab≡2∙2=4≡1(mod 3)

a≡2 (mod 3), b≡1 (mod 3), то ab≡2∙1=3≡0(mod 3)

a≡1 (mod 3), b≡2 (mod 3), то ab≡1∙2=3≡0 (mod 3)

a≡0 (mod 3), b≡2 (mod 3), то ab≡0∙2=0≡0(mod 3) такой же результат получим если остаток числа b будет 1, или если b будет делится на 3 , а a нет.

Получили , что a и b ,будут иметь одинаковые остатки при делении на 3.

5. ab(a2 -b2)=a3b-ab3

Всякое целое число n дает при делении на 3 один из остатков 0,1,2, т.е.

n≡0 (mod 3), n≡1 (mod 3), n≡2 (mod 3),

Тогда nn3(mod 3), a3b-ab3ab-ab(mod 3)≡0(mod 3),это означает что число ab(a2 -b2) делится на 3.

6. ab(а2-b2) (4а2-b2)=ab(4a4-a2b2-4a2b2+b4)=4a5b-5a3b3+ab5

Второе слагаемое -5a3b3 делится на 5, т.к. имеет такой множитель

Тогда nn5(mod 5), 4a5b+ab5≡4ab+ab(mod 5)≡5ab(mod 5)≡0(mod 5),это означает что число ab2-b2) (4а2-b2) делится на 5.

8. n2 (n2- 1) делится на 4.

Всякое целое число n дает при делении на 3 один из остатков 0,1,2, т.е. имеет место одно из сравнений:

n≡0 (mod 4), n≡1 (mod 4), n≡2 (mod 4), n≡3 (mod 4)

n2 (n2- 1)=n4- n2

Если n≡0 (mod 4), то n4- n2≡04-02(mod 4)≡0(mod 4).

Если n≡1 (mod 4), то n4- n2≡14-12(mod 4)≡0(mod 4).

Если n≡2 (mod 4), то n4- n2≡24-22(mod 4)≡12(mod 4)≡0(mod 4).

Если n≡3 (mod 4), то n4- n2≡34-32(mod 4)≡72(mod 4)≡0(mod 4).

это означает что число n2 (n2- 1) делится на 4.

hello_html_a135300.png

hello_html_m3027fc74.png

Периодичность остатков при возведении в степень.


Рассмотрим последовательные степени числа 2:

2, 22, 23 ,24 , 25, 26, 27, 28

и найдем, какие остатки дают эти числа при делении на 5. Для нескольких первых чисел эти остатки легко найти:

21=2≡0 (mod 5)

22=4≡0 (mod 5)

23=8≡3 (mod 5),

24=16=l (mod 5).

Чтобы находить остатки дальше, нужно было бы вычислить дальнейшие значения степеней двойки: 25, 26, 27 и т. д. Числа эти быстро возрастают, и считать становится труднее. Но можно находить остатки и не вычисляя степеней двойки. Для этого можно воспользоваться теоремой 3. Именно, умножая сравнение 24≡1 (mod 5) на 2 получаем:

25 ≡2∙1(mod 5).

Умножая полученное сравнение опять на 2, находим:

26 ≡4 (mod 5).

Еще раз умножив, получаем:

27 ≡8 (mod 5)≡3 (mod 5)

затем

28 ≡12 (mod 5)≡2 (mod 5) и т. д.

Таким способом можно быстро найти остатки от деления на 5 чисел вида 2n (не вычисляя самих степеней).

Запишем то, что получается, в две строки, подписывая

под каждой степенью ее остаток от деления на 5.

Сразу же видно, что остатки периодически повторяются: после четырех остатков 2, 4, 3, 1 снова повторяются в том же порядке эти остатки, затем снова и т. д.

Рассмотрим еще один пример: остатки от деления степеней тройки на 7. Мы имеем:

31 =3

32 =9≡2 (mod 7).

Умножая полученное сравнение 32 =9≡2 (mod 7)на 3, затем еще на 3 и т. д., получаем:

33≡6(mod 7),

34≡18(mod 7)≡4 (mod 7),

35=4∙3=5(mod 7) и т. д. Если мы продолжим эти вычисления, мы получим следующие две строки (где под каждым числом подписан его остаток от деления на 7):

И здесь наблюдается периодическое чередование остатков: после каждых шести остатков все повторяется сначала. Наконец, еще один пример: остатки от деления

степеней двойки на 48. Производя вычисления таким же образом, получаем следующие две строки (где под каждым числом подписан его остаток при делении на 48):

И здесь остатки повторяются, но только не с самого начала: первые три остатка не повторяются, а затем идет периодическое повторение: 16, 32, 16, 32, ... .

Естественно возникает предположение, что при любых натуральных а и m остатки от деления чисел а, а2, а3, а4, а5, ... на m периодически повторяются (возможно, не с самого начала). Докажем, что это действительно так.

Для этого возьмем первые m +1 степеней: а, а2, а3, ..., аm, am+1 и рассмотрим их остатки при делении на m. Так как при делении на m может быть только m остатков (0, 1, 2, ..., m-1), а чисел у нас m+1, то найдутся среди них два числа, имеющие одинаковые остатки при делении на m. Пусть, например, аkak+l (mod m) (где l>0). Умножая на an-k получаем: аn ≡ an+l(mod m) при nk. Но это означает, что, начиная с аk, остатки периодически повторяются (т. е. начиная с аk идут l остатков, которые снова и снова повторяются).

Проведенное рассуждение показывает, что периодичность остатков начинается с того места, где впервые обнаруживаются два одинаковых остатка. А для того чтобы обнаружить два одинаковых остатка при делении на m, достаточно (каким бы ни было основание а) взять m+1 первых степеней числа а. Особенно просто обнаружить периодическое повторение остатков, если найдется такой показатель l, что

аl≡1(mod m). Умножая это сравнение на аn, получаем:

аn+l≡аn (mod m) при любом натуральном n. Это означает, что с самого начала каждые l остатков периодически повторяются.

Итак, если найдется такой показатель l, что аl≡1 (mod m), то остатки от деления чисел а, а2, а3, а4, а5, ... на m периодически повторяются с периодом l.

Доказанные утверждения находят применение при решении ряда задач.

Пример 1. Найти остаток от деления числа 222555 на 7.

Решение.

Так как 222 =7∙31+5, то 222≡5 (mod 7), и потому 222555 ≡5555 (mod 7). Теперь посмотрим, как повторяются остатки степеней пятерки при делении на 7. Мы

находим: 52≡2∙5≡4(mod 7), 53≡4∙5≡6(mod 7), 54≡6∙5≡2(mod7), 55 ≡2∙5≡3(mod7), 56≡3∙5≡1(mod 7). Итак, 56≡1 (mod 7). Возводя в степень k, получаем: 56k≡1 (mod 7) при любом натуральном k. Но 555=6∙92+3. Поэтому 5555=56∙92+3=56∙92∙53≡6(mod 7).

Таким образом, число 222555 дает при делении на 7 остаток 6.

Пример 2. Делится ли число 222555 + 555222 на 7?

Решение.

Мы уже видели в примере 1, что 222555≡ 6(mod7).

Далее, 555=7∙79+2, т. е. 555≡2(mod7), и потому 555222≡2222 (mod 7).

Теперь посмотрим, как повторяются остатки степеней двойки при делении на 7:

21=2, 22=4, 23=8≡l(mod7).

Итак, 23≡l(mod7). Возводя в степень k, получаем: 23k≡1 (mod 7) при любом натуральном k.

Так как 222 делится на 3, то 2222≡1 (mod 7), и потому 555222≡1(mod 7).

Складывая полученные сравнения 222555≡6 (mod 7), 555222≡1(mod 7), получаем:

222555+555222≡6+1≡0(mod 7).

Таким образом, число 222555+555222 делится на 7.



Упражнения

  1. Найдите остаток от деления числа 7100+11100 на 13.

  2. Найдите остаток от деления числа 6592 на 11.

  3. Докажите, что число 1110-1 делится на 100.

  4. Какой цифрой оканчивается число 777777?

  5. Делится ли число на 10?

  6. Какой цифрой оканчивается число ?

  7. Докажите, что число делится на 101968.

  8. Найдите наименьшее натуральное число, начинающееся с цифры 7 и уменьшающееся впятеро от перестановки этой цифры в конец.

  9. Докажите, что число 22225555-55552222 делится на 7.


Ответы и указания.

hello_html_m600be61b.png











Литература.

Сикорский К. П. , Дополнительные главы по курсу математики. Учебное пособие по факультативному курсу для учащихся 7—8 классов. Сост. К. П. Сикорский, М., «Просвещение», 1974.

Курс профессиональной переподготовки
Учитель математики
Лабиринт
Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:
Краткое описание документа:

Данный материал полезно использовать после изучения делимости с остатком в классе с углубленным изучением математики. Разработка содержит теорию - теоремы и их доказательства, упражнения для работы в классе и самостоятельного решения. С помощью сравнений можно доказывать признаки делимости, делимость числовых выражений, находить остатки. Полезно при подготовке к ЕГЭ задача №19 (профильного уровня).

Общая информация
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону N273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» педагогическая деятельность требует от педагога наличия системы специальных знаний в области обучения и воспитания детей с ОВЗ. Поэтому для всех педагогов является актуальным повышение квалификации по этому направлению!

Дистанционный курс «Обучающиеся с ОВЗ: Особенности организации учебной деятельности в соответствии с ФГОС» от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (72 часа).

Подать заявку на курс

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.