Карта самоконтроля ученика (цы) 10 класса__________________________________________

Вопросы:

1. Какая функция называется обратимой?

2. Какая функция называется обратной?

3. Как связаны между собой области определения и множества значений прямой и обратной функций?

4. Сформулируйте достаточное условие обратимости функции.

5. Функция обратная возрастающей является убывающей или возрастающей?

6. Как расположены графики взаимно обратных функций?

Предмет: алгебра         Класс: 10      Автор учебника Мордкович А.Г.        

Тема урока: Обратная функция

Тип урока: урок открытия новых знаний

Учитель: Лосинская Наталья Викторовна

всего часов на тему: 2          номер урока в теме: 1                   

Цель урока: организация условий достижения учащимися образовательных результатов по теме «Обратная функция»

Ø применение знаний и умений,

Ø приобретение учебной информации,

Ø контроль усвоения теории.

Задачи урока: освоение учащимися предметного (теоретического и практического) содержания по теме «Обратная функция»:

ü   знание  определений обратимой и обратных функций; теорем об обратимости монотонной функции, об одинаковой монотонности функции и обратной функции,

ü  умение применять знания теории к решению практических задач,

ü  сформировать способность к использованию свойств обратных функций к дальнейшему изучению  функциональной линии (пропедевтика, в частности к тригонометрическим функциям),

Методы обучения: активные методы обучения: фронтальная  беседа, работа в группе, в паре.

Необходимое оборудование: проектор, презентация, раздаточный материал

Ход урока.

1.      Организационный этап.

Приветствие учителя, проверка готовности обучающихся к уроку.

– Добрый день, ребята, я желаю вам успеха на уроке, пожелайте успеха друг другу, и начнём работать.

2.      Мотивация к учебной деятельности.

– С какой функцией мы работаем? (С числовой.)

– Дайте определение числовой функции?

– Что называется графиком функции?

– Какие задания, связанные с числовыми функциями мы умеем выполнять?  (исследовать функцию на монотонность; исследовать функцию на ограниченность; определять и доказывать четность функции; строить и читать график функции).

Для учащихся на интерактивной доске демонстрируется график функции (рис. 1). Учителем формулируется задание – рассмотреть график функции и перечислить изученные свойства функции. Учащиеся перечисляют свойства функции в соответствии со схемой исследования.

Свойства функции:

1. D(f) = [-4;), E(y) = [0;). 
2. Ни четная, ни нечетная, непериодическая, непрерывная, ограничена снизу.
3. y=0  при х=0.
4. y>0 при на [-4;0) и на (0;).
5. Возрастает на (-2;-1) и на (0;);
   убывает на (-4;-2) и на (-1;0).
6. y_наиб- не существует; y_наим=0 при х=0.

7.      x_max= -1 ,y_max = 2;   x_min = -2, y_min = 1;   x_min = 0, y_min = 0.                   

                            Рис. 1                           8. Выпукла вниз на (-4;-1), выпукла вверх на (1;+), невыпуклая на [-1;1].

Постановка цели перед учащимися:

– Сегодня на уроке мы продолжим работу с «Числовыми функциями»  и познакомимся еще с одним свойством функции – обратимостью. Для осмысленного изучения нового материала учитель предлагает ребятам познакомиться с основными вопросами, на которые учащиеся должны дать ответ по окончании урока. Вопросы  в виде раздаточного материала есть у каждого ученика (раздается до урока).

Вопросы:

1. Какая функция называется обратимой?

2. Какая функция называется обратной?

3. Как связаны между собой области определения и множества значений прямой и обратной функций?

4. Сформулируйте достаточное условие обратимости функции. 

5. Функция обратная возрастающей является убывающей или возрастающей?

6. Как расположены графики взаимно обратных функций?

Пример № 1. Представим себе такую ситуацию. Вы пытаетесь вспомнить, когда произошло какое-то событие. Вы не можете вспомнить, когда именно, в каком году оно произошло. Однако помните, что в это время вам задали выучить наизусть стихотворение Пушкина «Я помню чудное мгновение». Эта информация оказывается полезной: теперь вы можете вспомнить, как была устроена программа по литературе, когда вы проходили и учили эти стихи, а можете и заглянуть в учебник. Так, при помощи косвенного обстоятельства вы восстанавливаете дату интересующего вас события.

Что произошло в рассказанной истории с точки зрения функции? Вам была известна функция – литературное произведение в школьной программе в зависимости от времени обучения. Эту функцию вы знаете или, по крайней мере, можете восстановить с помощью учебника. Вы не знали, какое значение аргумента (момент времени) вам нужно, но знали значение функции (литературное произведение), соответствующее этому моменту. Итак, по значению функции мы восстановили её аргумент.

Такие действия мы производим в жизни часто, совершенно не думая о функциях. Как же описать то, что мы сделали, на языке функций, избавившись от лишних подробностей?

Итак, пусть функция f(x) в соответствие каждому элементу множества X (его называют областью определения) ставит элемент множества Y (его называют областью значений). Скажем, если речь идёт о телефонной книге, то X – множество людей, чьи телефоны там записаны, Y – множество телефонных номеров из этой книги. Мы же построили обратную функцию – функцию, которая по номеру телефона восстанавливает имя. Так, если мы говорим о телефонной книге в мобильном телефоне, если мы наберём номер, содержащийся в ней, то на экране высветится имя обладателя этого номера. Мы будем говорить, что g(y) обратная к f (x) функция, если g(y)=x тогда и только тогда, когда f(x)=y.

Для обратной функции обычно используют обозначение f ^-1(x). Не нужно путать это обозначение с возведением в степень!

Задача.

Рассмотрим ещё одну задачу.

Задача.

Давайте назовём первую задачу прямой, тогда вторая задача будет обратной к первой.

Давайте рассмотрим с вами ещё одну задачу.

Задача.

Назовём функцию v(t) обратимой функцией, а t(v) – обратной функцией.

Для дальнейшей работы нам нужно повторить некоторые моменты, выполнив задания.

3.      Актуализация знаний и фиксация  затруднения  в пробном действии.

Работа в группах:

1.    Найдите значение аргумента х, если значение функции   у= равно   а) 2;    б)  

2.    Найдите единственное значение аргумента х, если значение функции y= равно 4

4. Выявление места и причины затруднения.

- Какие  возникли проблемы?

- А в чем возникли сомнения? У любой ли функции существует обратная?

Уч-ся: Есть такие значения функции, которые функция принимает более чем в одной точке т.е. есть необратимые функции

5. Построение проекта выхода из затруднения.

- Расскажите, как вы пытались решить возникшую проблему?

- Какую гипотезу вы можете выдвинуть? (Учащиеся предлагают варианты: обратимая функция должна принимать свое значение только в одной точке)

Попробуем разобраться. Мы все знаем, что полиция часто ловит преступников по отпечаткам пальцев. Можно считать, что снимая отпечатки пальцев у людей, полиция находит функцию «отпечатки пальцев человека» - человеку ставятся в соответствие его отпечатки пальцев. Обнаружив на месте преступления чьи-то отпечатки пальцев, полицейские обращаются к каталогу, находят человека, которому принадлежат эти отпечатки, и вот он, подозреваемый! Можно сказать, что полиция использует обратную функцию к той, что построила, снимая отпечатки пальцев. Представим себе другую ситуацию. Совершено преступление. К счастью, у этого преступления есть свидетели, которые видели преступника. Опрос свидетелей приводит к выводу, что у преступника было две руки. Поможет ли эта информация установить, кто совершил преступление? Вряд ли. В чём разница с ситуацией с отпечатками пальцев? Отпечатки пальцев вещь уникальная, у разных людей разные отпечатки. Какую функцию мы попытались использовать в ситуации со свидетелями? Функцию «количество рук у человека», которая ставит в соответствие человеку количество имеющихся у него рук. По значению этой функции невозможно определить, что за аргумент у неё был, по улицам ходит очень много людей с двумя руками! Итак, для того, чтобы обратная функция существовала, нужно, чтобы каждое значение принималось только один раз. Зная отпечатки пальцев преступника, его поймать можно, зная только количество рук – нет.

На интерактивной доске учитель проводит сравнение графиков двух функций, у которых области определения и множества значений одинаковы, но одна из функций монотонна, а другая нет (рис.2). Таким образом, функция обладает свойством, не характерным для функции : какое бы число  из множества значения  функции f(x) ни взять, оно является значением функции только в одной точке ,   тем самым учитель подводит учащихся  к понятию обратимой функции.

                  Рис. 2

Учитель предлагает учащимся сформулировать определение обратимой функции и проводит доказательство теоремы об обратимой функции, используя график монотонной функции на интерактивной доске.

Определение 1. Функцию  называют обратимой, если любое свое значение она принимает только в одной точке множества X.

Теорема. Если функция  монотонна на множестве X, то она обратима.

Доказательство:

1. Пусть функция y=f(x) возрастает на множестве Х и пусть х₁≠х₂  –  две точки множества Х.
2. Для определенности пусть х₁< х₂. Тогда из того, что х₁ < х₂  в силу возрастания функции следует, что f(х₁) < f(х₂).
3. Таким образом, разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции, т.е. функция обратима.
4. Аналогично доказывается теорема в случае убывающей функции.

(По ходу доказательства теоремы учитель маркером делает все необходимые пояснения на чертеже)

Определение 2. Пусть обратимая функция y=f(x) определена на множестве Х и область ее значений Е(f)=Y. Поставим в соответствие каждому y из Y то единственное значение х, при котором f(x)=y. Тогда получим функцию, которая определена на Y, а Х – область значений функции. Эту функцию обозначают x=f ^-1(y),  и называют обратной по отношению к функции y=f(x),.

6. Реализация построенного проекта.

Обсуждение  и сравнение  (см. презентацию, слайд № 9). Посмотрим на знакомые нам функции, чтобы понять, какая из предложенных функций обратима, те. у каких из этих функций есть обратные, и как эти обратные функции устроены.

а)                              б) 

             Рис. 3                                                  Рис. 4                           

 в) y = 2x + 5;                                       г) y = -х² + 7.

Замечание. Монотонность функции, является достаточным условием существования обратной функции. Но оно не является необходимым условием.

Учитель предлагает привести  примеры различных ситуаций, когда функция не монотонна, но обратима, когда функция не монотонна и не обратима, когда монотонна и обратима.

Можно предложить задание в парах: составить план нахождения обратной функции

Алгоритм составления обратной функции для функции y=f(x), .

1. Убедиться, что функция  y=f(x) обратима на промежутке Х.
2. Выразить переменную х через у из уравнения y=f(x), учитывая при этом, что .
3. В полученном равенстве поменять местами х и у.  Вместо х=f ^-1(y) пишут y=f ^-1(x).

На конкретных примерах учитель показывает как использовать данный алгоритм.

Пример 1. Показать, что для функции y=2x-5 существует обратная функция, и найти ее аналитическое выражение.

Решение. Линейная функция y=2x-5 определена на R, возрастает на R и область ее значений есть  R. Значит, обратная функция существует на R. Чтобы найти ее аналитическое выражение, решим уравнение y=2x-5 относительно х; получим .  Переобозначим переменные, получим  искомую обратную функцию  . Она определена и возрастает на R.

Пример 2. Показать, что для функции y=x²,  существует обратная функция, найти ее аналитическое выражение и построить график обратной функции.

Решение. Функция непрерывна, монотонна в своей области определения, следовательно, она обратима. Проанализировав области определения и множества значений функции, делается соответствующий вывод об аналитическом выражении для обратной функции, которая имеет вид . Для этого выразим  x через y :  . Переобозначим    - обратная функция. Построим графики функций (рис. 5) и убедимся, что они симметричны относительно прямой y=x.

Рис. 5

Учащимся предлагается сделать вывод о связи между областью определения и множеством значений обратных функций.

Область определения исходной функции равна области значений обратной функции и наоборот, область значений исходной функции равна области определения обратной функции. Графики симметричны относительно прямой у=х.

Замечание: монотонность функции, является достаточным условием существования обратной функции. Но оно не является необходимым условием.

7. Физминутка

8. Первичное закрепление (с проговариванием во внешней речи).

Решаем № 10.1(а); 10.3 – устно проговариваем а), б), в), г), строим на доске (а), проговаривая решение; 10.13 (а) – решение у доски

Остальные комментируются аналогично.

№ 10.2(а); 10.3(г)– работа в парах по два примера с последующей самопроверкой по образцу.

9. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону.

- Можете ли вы теперь с уверенностью сказать, что научились находить обратную функцию?

Учащиеся выполняют самостоятельную работу, проверяют по эталону для самопроверки, определяют место, причину допущенных ошибок, исправляют их.

Раздаются карточки – эталоны каждому ученику.

10.  Рефлексия деятельности на уроке.

– Что нового вы узнали на уроке?

– Чем пользовались, чтобы вывести новое правило?

– Ваша оценка своей работы на уроке?

Домашнее задание № 10.1 (б); 10.8 (г); 10.9(г)

Творческое задание: Является ли монотонность функции необходимым условием для обратимости? Приведите примеры немонотонных, но обратимых функций.

Самостоятельная работа в парах

1. Отметьте график той функции, которая обратима в своей области определения.

Рис. 1                             Рис. 2                           Рис. 3                           Рис. 4                          Рис. 5

2. Найдите функцию, обратную данной:

а)  ;                    б)  .

3. Для функции, заданной графически укажите область  и выясните, имеет эта функция в своей области определения обратную функцию или нет; В случае положительного ответа постройте эскиз графика обратной функции.

Технологическая карта урока

Предмет: алгебра         Класс: 10      Автор учебника Мордкович А.Г.        

Тема урока: Обратная функция

Тип урока: урок открытия новых знаний

Учитель: Лосинская Наталья Викторовна

всего часов на тему: 2          номер урока в теме: 1                   

Цель урока: организация условий достижения учащимися образовательных результатов по теме «Обратная функция»

Ø применение знаний и умений,

Ø приобретение учебной информации,

Ø контроль усвоения теории.

Задачи урока: освоение учащимися предметного (теоретического и практического) содержания по теме «Обратная функция»:

ü   знание  определений обратимой и обратных функций; теорем об обратимости монотонной функции, об одинаковой монотонности функции и обратной функции,

ü  умение применять знания теории к решению практических задач,

ü  сформировать способность к использованию свойств обратных функций к дальнейшему изучению  функциональной линии (пропедевтика, в частности к тригонометрическим функциям),

Методы обучения: активные методы обучения: фронтальная  беседа, работа в группе, в паре.

Необходимое оборудование: проектор, презентация, раздаточный материал