Скачивание материала началось

Предлагаем Вам установить расширение «Инфоурок» для удобного поиска материалов:

ПЕРЕЙТИ К УСТАНОВКЕ

Новый курс повышения квалификации!

Цифровая грамотность педагога. Дистанционные технологии обучения

Разработан летом 2020 специально для учителей

Успеть записаться

-50% До конца лета

Каждую неделю мы делим 100 000 ₽ среди активных педагогов. Добавьте свои разработки в библиотеку “Инфоурок”
Добавить авторскую разработку
и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок Алгебра Другие методич. материалыМатериалы к уроку "Тождественные преобразования логарифмических выражений" (10-11 класс)

Материалы к уроку "Тождественные преобразования логарифмических выражений" (10-11 класс)

Выбранный для просмотра документ Тождественные преобразования логарифмических выражений.ppt

библиотека
материалов
Тождественные преобразования логарифмических выражений Понятие логарифма Свой...

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд Тождественные преобразования логарифмических выражений Понятие логарифма Свой
Описание слайда:

Тождественные преобразования логарифмических выражений Понятие логарифма Свойства логарифмов

2 слайд Логарифмы открыты шотландским математиком Дж. Непером и швейцарским математик
Описание слайда:

Логарифмы открыты шотландским математиком Дж. Непером и швейцарским математиком Й. Бюрги в начале 17 в. logos - отношение, соотношение и arithmos - число

3 слайд «Изобретение логарифмов, сокращая вычисления нескольких месяцев в труд нескол
Описание слайда:

«Изобретение логарифмов, сокращая вычисления нескольких месяцев в труд нескольких дней, словно удваивает жизнь астрономов». Лаплас

4 слайд Для чего были придуманы логарифмы? для ускорения вычислений для упрощения выч
Описание слайда:

Для чего были придуманы логарифмы? для ускорения вычислений для упрощения вычислений для решения астрономических задач

5 слайд Определение основное логарифмическое тождество
Описание слайда:

Определение основное логарифмическое тождество

6 слайд основное логарифмическое тождество Вычислите:
Описание слайда:

основное логарифмическое тождество Вычислите:

7 слайд означает, что Вычислите:
Описание слайда:

означает, что Вычислите:

8 слайд Задание ЕГЭ
Описание слайда:

Задание ЕГЭ

9 слайд  - десятичный логарифм - натуральный логарифм
Описание слайда:

- десятичный логарифм - натуральный логарифм

10 слайд Свойства логарифмов
Описание слайда:

Свойства логарифмов

11 слайд Задание ЕГЭ Упростите выражение
Описание слайда:

Задание ЕГЭ Упростите выражение

12 слайд Свойства логарифмов Найдите значение логарифма: ,если
Описание слайда:

Свойства логарифмов Найдите значение логарифма: ,если

13 слайд Задание ЕГЭ Найдите значение b по его логарифму
Описание слайда:

Задание ЕГЭ Найдите значение b по его логарифму

14 слайд Свойства логарифмов
Описание слайда:

Свойства логарифмов

15 слайд Задание ЕГЭ Вычислите , если
Описание слайда:

Задание ЕГЭ Вычислите , если

16 слайд Выразить через логарифм с основанием 2. Свойства логарифмов
Описание слайда:

Выразить через логарифм с основанием 2. Свойства логарифмов

17 слайд Задание ЕГЭ Вычислите:
Описание слайда:

Задание ЕГЭ Вычислите:

18 слайд  Свойства логарифмов
Описание слайда:

Свойства логарифмов

19 слайд Задание ЕГЭ Упростите выражение:
Описание слайда:

Задание ЕГЭ Упростите выражение:

20 слайд Задание ЕГЭ Вычислите:
Описание слайда:

Задание ЕГЭ Вычислите:

21 слайд Тождественные преобразования логарифмических выражений
Описание слайда:

Тождественные преобразования логарифмических выражений

22 слайд Вычислите: 1 способ: 2 способ: Найдите значение выражения:
Описание слайда:

Вычислите: 1 способ: 2 способ: Найдите значение выражения:

23 слайд Вычислите:
Описание слайда:

Вычислите:

24 слайд Найдите значение выражения:
Описание слайда:

Найдите значение выражения:

25 слайд Найдите значение выражения:
Описание слайда:

Найдите значение выражения:

26 слайд Представьте в виде разности логарифмов:
Описание слайда:

Представьте в виде разности логарифмов:

27 слайд
Описание слайда:

28 слайд
Описание слайда:

29 слайд Тождественные преобразования логарифмических выражений
Описание слайда:

Тождественные преобразования логарифмических выражений

Выбранный для просмотра документ план-конспект.doc

библиотека
материалов




ЕГОРОВА ВИКТОРИЯ ВАЛЕРЬЕВНА

Учитель математики

высшей квалификационной категории


ТЕМА: «ТОЖДЕСТВЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ»

Знания и навыки, которыми должны овладеть учащиеся после изучения данного урока:

  • знать определение логарифма числа, основное логарифмическое тождество, свойства логарифмов;

  • уметь выполнять преобразования выражений, содержащих логарифмы, вычислять логарифмы.

Литература:

1. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. и др. Алгебра и начала анализа: учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2001.

2. Кочагин В.В., Кочагина М.В., Интенсивный курс подготовки к ЕГЭ. – М.:Эксмо, 2009.

3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С., Алгебраический тренажер: Пособие для школьников и абитуриентов. – М.:Илекса, 2005.

4. Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика: Справочные материалы: Книга для учащихся. – М.: Просвещение, 2001.

План урока:

  1. Немного истории.

  2. Определение логарифма и основное логарифмическое тождество. Решение примеров.

  3. Натуральный и десятичный логарифмы. Решение примеров.

  4. Формула логарифма произведения двух положительных чисел. Решение примеров.

  5. Формула логарифма частного двух положительных чисел. Решение примеров.

  6. Формула логарифма степени. Решение примеров.

  7. Формула перехода к новому основанию. Решение примеров.

  8. Формула hello_html_5b89d6f2.gif. Решение примеров.

  9. Решение более сложных примеров.

  10. Подведение итогов.

  11. Контрольное тестирование.

Ход урока:


1) Логарифм – это греческое слово, которое состоит из 2-х слов: “логос”- отношение, “аритмос”- число. Значит, логарифм есть число, измеряющее отношение. В публикации тысяча шестьсот четырнадцатого года сообщалось, что Непер изобрёл логарифмы. Позже им были составлены логарифмические таблицы, которые теперь известны нам как таблицы Брадиса. Менее чем за одно столетие таблицы распространились по всему миру и сделались незаменимым вычислительным средством. В дальнейшем они были, как бы встроены в удобное устройство, чрезвычайно ускоряющее процесс вычисления – логарифмическую линейку, которой пользовались до семидесятых годов двадцатого века.

Приложение 1.



2) Логарифмом положительного числа b по основанию a, причём а больше нуля и не равно единицы, называется показатель степени, в которую нужно возвести число a, чтобы получить число b.

Это равенство, выражающее определение логарифма, называется основным логарифмическим тождеством.

Цhello_html_36edd9ad.gif

Обратите внимание на основание степени и основание логарифма – они одинаковы.

ОР 1



Пhello_html_m4c400f0d.gif

Основание степени и основание логарифма семнадцать, значит по основному логарифмическому тождеству значение выражения равно трём.




оработаем устно:



Щhello_html_2d98927b.gifЕЛЧОК

hello_html_37a81170.gif

Одна вторая равна нуль целых пяти десятым, значит выражение равно арифметическому квадратному корню из пяти.








Пhello_html_m3f8e4182.gifhello_html_m1de6b06c.gifриложение 2.

Равенство означает, что

Из определения логарифма получаются следующие важные равенства:

hello_html_m1a3a7f80.gif

hello_html_m63337f5.gif


Например:

hello_html_515ca26.gif




Пhello_html_m1fab6bcf.gifриложение 3.

Перейдем к заданиям ЕГЭ:










Приложение 4.



3hello_html_630e2737.gif) Для логарифма по основанию десять существует специальное обозначение и название десятичный логарифм.

Лhello_html_62fad450.gifогарифм по основанию е называется натуральным логарифмом.

hello_html_m6ba77a52.gif

Нhello_html_m4952827.gifапример,

hello_html_m295be7ef.gifhello_html_m1a2b8ae0.gif





4) Из определения логарифма вытекают следующие его свойства. Все свойства формулируются и доказываются только для положительных значений переменных, содержащихся под знаками логарифмов.

Лhello_html_m7842fd66.gifогарифм произведения двух положительных чисел по основанию а равен сумме логарифмов этих чисел с тем же основанием.



ЦОР 2

Нhello_html_68381f41.gifапример,

Зhello_html_66776d73.gifадание 1.

Задание 2. Упростите выражение


Вhello_html_525fd05f.gifоспользуемся решением предыдущего примера. Заменим







Обратите внимание на то, что логарифм в квадрате, поэтому и сумму необходимо возвести в квадрат. Применяя формулу квадрата суммы, раскроем скобки. Приведём подобные слагаемые.



5hello_html_m5e837261.gif) Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя.



Цhello_html_36edd9ad.gif

Обратите внимание на основание степени и основание логарифма – они одинаковы.

ОР 3


Рhello_html_m6f677839.gifhello_html_4a792b8e.gifассмотрим применение этой формулы на примере:

Зhello_html_m25debe0f.gifадание 1. Найдите значение выражения , если


hello_html_m28f4cdf8.gif

hello_html_m7125769c.gif

hello_html_35129a6f.gif

Задание 2. Найдите значение b по его логарифму







6) Логарифм степени по основанию а, равен произведению показателя степени на логарифм по тому же основанию.

hello_html_15c36051.gif


ЦОР 4

Нhello_html_2a974864.gifапример,

hello_html_m24c347d2.gif


hello_html_m1b9a7154.gifhello_html_m71638514.gif

Зhello_html_m5e38c4b.gifадание 1. Вычислите , если

Упростим выражение



hello_html_m5b3d24af.gif

hello_html_m28f4cdf8.gifhello_html_2ab03c4a.gif



Фhello_html_49b9b58d.gifормула

называется формулой перехода к новому основанию.

Зhello_html_m728ee70.gifhello_html_m513c9706.gifадание 1. Выразить через логарифм с основанием 2.



Зhello_html_315231ab.gifhello_html_7359342c.gifадание 2. Вычислите



Цhello_html_1cbc888.gifОР 5

8)

hello_html_2c6d15bd.gifЦОР 6

Например,

Зhello_html_m58a5aa51.gifhello_html_3ca9890d.gifhello_html_154747d5.gifhello_html_13ac8431.gifhello_html_m28f4cdf8.gifhello_html_m28f4cdf8.gifадание 1. Вычислите





hello_html_m36a02365.gif


Зhello_html_710ebe6.gifадание 2. Вычислите





9) К логарифмическим преобразованиям можно приступать, только в том случаи, если вы запомнили все свойства логарифмов. Повторив их, рассмотрим задания на преобразования логарифмических выражений с другой стороны.

Для преобразования суммы или разности логарифмических выражений иногда достаточно использовать определение логарифма, а чаще всего свойства логарифма произведения или частного.

Зhello_html_59d665d8.gifадание 1. Вычислите

Решим двумя способами.

1hello_html_m1e544499.gif способ, используя определение логарифма:



2hello_html_7b7f30ee.gif способ, опираясь на свойство логарифма частного:

hello_html_m4dc05b45.gif

Задание 2. Найдите значение выражения

Пhello_html_m779f4c0b.gifрименим сначала формулу логарифма произведения, затем определение логарифма.



Основное логарифмическое тождество используется при преобразовании выражений, содержащих логарифм в показателе степени. Идея таких операций заключается в получении равных основания степени и основания логарифма.

Иногда необходимо преобразовывать выражение по свойствам логарифма и по свойствам степени, так же можно легко перейти от одного основания к другому, используя формулу перехода. В других случаях следует применять несколько свойств.

Зhello_html_167a1dd0.gifадание 3. Вычислите

hello_html_15fd9e37.gif

Зhello_html_m6ebe18a1.gifадание 4. Найдите значение выражения

hello_html_m38041db9.gif





Зhello_html_m39ae2a43.gifадание 5. Найдите значение выражения

hello_html_m26052c40.gif



Зhello_html_7b9b67f7.gifадание 6. Представьте в виде разности логарифмов

Нhello_html_m7c3139f7.gifаибольшую трудность представляют преобразования логарифмических выражений, находящихся под радикалом. В процессе преобразований приходится рассматривать модули логарифмических выражений, для раскрытия которых требуется сравнить иррациональные числа или рациональное и иррациональное число. Будем действовать последовательно. Рассмотрим выражение, стоящее под внутренним радикалом.






Подставим в исходное выражение.


hello_html_m743d3f90.gif







Рhello_html_m2e6ca461.gifhello_html_3fe36ae1.gifаскроем модуль, учитывая, что знаменатель положителен, а числитель отрицателен.

Мhello_html_34acb156.gifеняем знаки в числителе и упрощаем.




Пhello_html_m46f4ba79.gifолучим исходное выражение, равное разности логарифмов.



Такие и подобные примеры вам могут встретиться при решении заданий Единого Государственного экзамена.. Следует отметить, что с преобразованием логарифмических выражений можно встретиться и при решении уравнений и неравенств или исследовании функций, поэтому в неявном виде они могут присутствовать и в заданиях групп В и С.

10) Подведение итогов. Вопросы:

  1. Логарифм по основанию 10 называется

  • основным логарифмом

  • главным логарифмом

  • натуральным логарифмом

  • десятичным логарифмом

2) Какие значения может принимать x в выражении hello_html_mf77b6b3.gif

  • Строго положительные

  • Неотрицательные

  • Неположительные

  • Строго отрицательные

3) Чему равен hello_html_m39ae2a43.gif

  • a

  • 1

  • 0

  • Значение не определено

4) Чему равен hello_html_70e858b.gif

  • a

  • 1

  • 0

  • Значение не определено

5) Укажите соотношение, которое верно для всех x ≠ 0.

  • hello_html_m1da6a299.png

  • hello_html_afb2660.png

  • hello_html_129340a9.png

  • hello_html_m7ed9b199.png

6) Укажите верное соотношение для формулы перехода к новому основанию.

  • hello_html_m2b610e3d.png

  • hello_html_m5c646fed.png

  • hello_html_422d111e.png

  • hello_html_mb3dc7c1.png

7) Укажите верное равенство при hello_html_42b9a89e.gif

  • hello_html_7a4a1b99.png

  • hello_html_m5d311a8b.png

  • hello_html_m3d285949.png

  • hello_html_1a53585b.png


11) Контрольное тестирование.


Выбранный для просмотра документ тест.doc

библиотека
материалов

ЕГОРОВА ВИКТОРИЯ ВАЛЕРЬЕВНА

Учитель математики

высшей квалификационной категории


ТЕМА: «ТОЖДЕСТВЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ»

АННОТАЦИЯ

Представленный тест содержит 15 заданий и может использоваться для объективного контроля знаний учащихся по свойствам логарифма. Задания теста соответствуют требованиям государственной программы по данной теме и примерам, взятым из КИМов предыдущих лет.

С другой стороны материал тестов выполняет и обучающую функцию, концентрируя внимание на наиболее значимых, ключевых вопросах, которые должны способствовать лучшему пониманию и усвоению необходимого объёма знаний по всем свойствам логарифма.

Безусловно, он рассчитан в первую очередь на тех учеников, которые планируют получить на ЕГЭ по математике хороший результат. Так же он предназначен десятиклассникам, закрепляющим пройденный материал темы под углом зрения ЕГЭ. Сложность тестов слегка возрастает от первого к последнему.

При оценке уровня своей подготовки по тестовым заданиям ученикам следует при самоконтроле исходить из следующих критериев:

14, 15 правильных ответов оцениваются на «отлично»

12, 13 правильных ответов оцениваются заданий на «хорошо»

10, 11 правильных ответов оцениваются на «удовлетворительно»

меньше 10 правильных ответов оцениваются на «неудовлетворительно».

КОНТРОЛЬНОЕ ТЕСТИРОВАНИЕ

1. Найдите значение выражения: hello_html_m71792d25.gif

1) 4/3

2) – 8

3) – 14

4) – 5/3

2. Найдите значение выражения: hello_html_7d4a63cc.gif

1) 10

2) 5

3) hello_html_m4c426fe1.gif

4) 20

3. Найдите значение выражения: hello_html_m382ae28.gif

1) – 4,91

2) – 4,7

3) – 4

4) – 3

4. Найдите значение выражения: hello_html_mf9fc298.gif

1) hello_html_me5dc0fe.gif

2) hello_html_mcdcd79f.gif

3) hello_html_2001747a.gif

4) hello_html_m2444681c.gif

5. Найдите значение выражения: hello_html_79b6b2cd.gif

1) 1

2) 9

3) – 7

4) hello_html_m1002d579.gif

6. Вычислите: hello_html_5aa075d5.gif

1) 1

2) 15

3) 5

4) 0

7. Вычислите: hello_html_17c1d2eb.gif

1) 1

2) 2

3) 3

4) 0

8. Найдите значение выражения: hello_html_m35902f7f.gif

1) – 6,5

2) – 0,5

3) – 10,5

4) – 67,5

9. Вычислите значение выражения: hello_html_mcb65184.gif

1) 27

2) 6

3) 3

4) 12

10. Вычислите: hello_html_5d5bfc77.gif

1) – hello_html_mcdcd79f.gif

2) – 6

3) 0,4

4) hello_html_m7f41ca69.gif

11. Вычислите: hello_html_m76368004.gif

1) 1

2) 2

3) 3

4) 0

12. Вычислите: hello_html_7a94da6b.gif

1) 1

2) 2

3) – 3

4) – 2

13. Найдите значение выражения: hello_html_85b9d73.gif

1) – 6

2) 4

3) 6

4) hello_html_29a7d7c1.gif

14. Вычислите значение выражения: hello_html_28c0a4d4.gif

1) 1

2) – 1

3) 2

4) 3

15. Вычислите: hello_html_7c1c279f.gif

1) 12

2) – 12

3) 10

4) – 8

Таблица ответов

задания

Вариант правильного ответа

2

2

4

4

1

4

2

2

3

3

1

4

1

3

1


Курс профессиональной переподготовки
Учитель математики и информатики
Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.