Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Материалы к уроку "Тождественные преобразования логарифмических выражений" (10-11 класс)

Материалы к уроку "Тождественные преобразования логарифмических выражений" (10-11 класс)

Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy

  • Математика

Название документа Тождественные преобразования логарифмических выражений.ppt

Тождественные преобразования логарифмических выражений Понятие логарифма Свой...
Логарифмы открыты шотландским математиком Дж. Непером и швейцарским математик...
«Изобретение логарифмов, сокращая вычисления нескольких месяцев в труд нескол...
Для чего были придуманы логарифмы? для ускорения вычислений для упрощения выч...
Определение основное логарифмическое тождество
основное логарифмическое тождество Вычислите:
означает, что Вычислите:
Задание ЕГЭ
 - десятичный логарифм - натуральный логарифм
Свойства логарифмов
Задание ЕГЭ Упростите выражение
Свойства логарифмов Найдите значение логарифма: ,если
Задание ЕГЭ Найдите значение b по его логарифму
Свойства логарифмов
Задание ЕГЭ Вычислите , если
Выразить через логарифм с основанием 2. Свойства логарифмов
Задание ЕГЭ Вычислите:
 Свойства логарифмов
Задание ЕГЭ Упростите выражение:
Задание ЕГЭ Вычислите:
Тождественные преобразования логарифмических выражений
Вычислите: 1 способ: 2 способ: Найдите значение выражения:
Вычислите:
Найдите значение выражения:
Найдите значение выражения:
Представьте в виде разности логарифмов:
Тождественные преобразования логарифмических выражений
1 из 29

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Тождественные преобразования логарифмических выражений Понятие логарифма Свой
Описание слайда:

Тождественные преобразования логарифмических выражений Понятие логарифма Свойства логарифмов

№ слайда 2 Логарифмы открыты шотландским математиком Дж. Непером и швейцарским математик
Описание слайда:

Логарифмы открыты шотландским математиком Дж. Непером и швейцарским математиком Й. Бюрги в начале 17 в. logos - отношение, соотношение и arithmos - число

№ слайда 3 «Изобретение логарифмов, сокращая вычисления нескольких месяцев в труд нескол
Описание слайда:

«Изобретение логарифмов, сокращая вычисления нескольких месяцев в труд нескольких дней, словно удваивает жизнь астрономов». Лаплас

№ слайда 4 Для чего были придуманы логарифмы? для ускорения вычислений для упрощения выч
Описание слайда:

Для чего были придуманы логарифмы? для ускорения вычислений для упрощения вычислений для решения астрономических задач

№ слайда 5 Определение основное логарифмическое тождество
Описание слайда:

Определение основное логарифмическое тождество

№ слайда 6 основное логарифмическое тождество Вычислите:
Описание слайда:

основное логарифмическое тождество Вычислите:

№ слайда 7 означает, что Вычислите:
Описание слайда:

означает, что Вычислите:

№ слайда 8 Задание ЕГЭ
Описание слайда:

Задание ЕГЭ

№ слайда 9  - десятичный логарифм - натуральный логарифм
Описание слайда:

- десятичный логарифм - натуральный логарифм

№ слайда 10 Свойства логарифмов
Описание слайда:

Свойства логарифмов

№ слайда 11 Задание ЕГЭ Упростите выражение
Описание слайда:

Задание ЕГЭ Упростите выражение

№ слайда 12 Свойства логарифмов Найдите значение логарифма: ,если
Описание слайда:

Свойства логарифмов Найдите значение логарифма: ,если

№ слайда 13 Задание ЕГЭ Найдите значение b по его логарифму
Описание слайда:

Задание ЕГЭ Найдите значение b по его логарифму

№ слайда 14 Свойства логарифмов
Описание слайда:

Свойства логарифмов

№ слайда 15 Задание ЕГЭ Вычислите , если
Описание слайда:

Задание ЕГЭ Вычислите , если

№ слайда 16 Выразить через логарифм с основанием 2. Свойства логарифмов
Описание слайда:

Выразить через логарифм с основанием 2. Свойства логарифмов

№ слайда 17 Задание ЕГЭ Вычислите:
Описание слайда:

Задание ЕГЭ Вычислите:

№ слайда 18  Свойства логарифмов
Описание слайда:

Свойства логарифмов

№ слайда 19 Задание ЕГЭ Упростите выражение:
Описание слайда:

Задание ЕГЭ Упростите выражение:

№ слайда 20 Задание ЕГЭ Вычислите:
Описание слайда:

Задание ЕГЭ Вычислите:

№ слайда 21 Тождественные преобразования логарифмических выражений
Описание слайда:

Тождественные преобразования логарифмических выражений

№ слайда 22 Вычислите: 1 способ: 2 способ: Найдите значение выражения:
Описание слайда:

Вычислите: 1 способ: 2 способ: Найдите значение выражения:

№ слайда 23 Вычислите:
Описание слайда:

Вычислите:

№ слайда 24 Найдите значение выражения:
Описание слайда:

Найдите значение выражения:

№ слайда 25 Найдите значение выражения:
Описание слайда:

Найдите значение выражения:

№ слайда 26 Представьте в виде разности логарифмов:
Описание слайда:

Представьте в виде разности логарифмов:

№ слайда 27
Описание слайда:

№ слайда 28
Описание слайда:

№ слайда 29 Тождественные преобразования логарифмических выражений
Описание слайда:

Тождественные преобразования логарифмических выражений

Название документа план-конспект.doc

Поделитесь материалом с коллегами:




ЕГОРОВА ВИКТОРИЯ ВАЛЕРЬЕВНА

Учитель математики

высшей квалификационной категории


ТЕМА: «ТОЖДЕСТВЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ»

Знания и навыки, которыми должны овладеть учащиеся после изучения данного урока:

  • знать определение логарифма числа, основное логарифмическое тождество, свойства логарифмов;

  • уметь выполнять преобразования выражений, содержащих логарифмы, вычислять логарифмы.

Литература:

1. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. и др. Алгебра и начала анализа: учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2001.

2. Кочагин В.В., Кочагина М.В., Интенсивный курс подготовки к ЕГЭ. – М.:Эксмо, 2009.

3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С., Алгебраический тренажер: Пособие для школьников и абитуриентов. – М.:Илекса, 2005.

4. Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика: Справочные материалы: Книга для учащихся. – М.: Просвещение, 2001.

План урока:

  1. Немного истории.

  2. Определение логарифма и основное логарифмическое тождество. Решение примеров.

  3. Натуральный и десятичный логарифмы. Решение примеров.

  4. Формула логарифма произведения двух положительных чисел. Решение примеров.

  5. Формула логарифма частного двух положительных чисел. Решение примеров.

  6. Формула логарифма степени. Решение примеров.

  7. Формула перехода к новому основанию. Решение примеров.

  8. Формула hello_html_5b89d6f2.gif. Решение примеров.

  9. Решение более сложных примеров.

  10. Подведение итогов.

  11. Контрольное тестирование.

Ход урока:


1) Логарифм – это греческое слово, которое состоит из 2-х слов: “логос”- отношение, “аритмос”- число. Значит, логарифм есть число, измеряющее отношение. В публикации тысяча шестьсот четырнадцатого года сообщалось, что Непер изобрёл логарифмы. Позже им были составлены логарифмические таблицы, которые теперь известны нам как таблицы Брадиса. Менее чем за одно столетие таблицы распространились по всему миру и сделались незаменимым вычислительным средством. В дальнейшем они были, как бы встроены в удобное устройство, чрезвычайно ускоряющее процесс вычисления – логарифмическую линейку, которой пользовались до семидесятых годов двадцатого века.

Приложение 1.



2) Логарифмом положительного числа b по основанию a, причём а больше нуля и не равно единицы, называется показатель степени, в которую нужно возвести число a, чтобы получить число b.

Это равенство, выражающее определение логарифма, называется основным логарифмическим тождеством.

Цhello_html_36edd9ad.gif

Обратите внимание на основание степени и основание логарифма – они одинаковы.

ОР 1



Пhello_html_m4c400f0d.gif

Основание степени и основание логарифма семнадцать, значит по основному логарифмическому тождеству значение выражения равно трём.




оработаем устно:



Щhello_html_2d98927b.gifЕЛЧОК

hello_html_37a81170.gif

Одна вторая равна нуль целых пяти десятым, значит выражение равно арифметическому квадратному корню из пяти.








Пhello_html_m3f8e4182.gifhello_html_m1de6b06c.gifриложение 2.

Равенство означает, что

Из определения логарифма получаются следующие важные равенства:

hello_html_m1a3a7f80.gif

hello_html_m63337f5.gif


Например:

hello_html_515ca26.gif




Пhello_html_m1fab6bcf.gifриложение 3.

Перейдем к заданиям ЕГЭ:










Приложение 4.



3hello_html_630e2737.gif) Для логарифма по основанию десять существует специальное обозначение и название десятичный логарифм.

Лhello_html_62fad450.gifогарифм по основанию е называется натуральным логарифмом.

hello_html_m6ba77a52.gif

Нhello_html_m4952827.gifапример,

hello_html_m295be7ef.gifhello_html_m1a2b8ae0.gif





4) Из определения логарифма вытекают следующие его свойства. Все свойства формулируются и доказываются только для положительных значений переменных, содержащихся под знаками логарифмов.

Лhello_html_m7842fd66.gifогарифм произведения двух положительных чисел по основанию а равен сумме логарифмов этих чисел с тем же основанием.



ЦОР 2

Нhello_html_68381f41.gifапример,

Зhello_html_66776d73.gifадание 1.

Задание 2. Упростите выражение


Вhello_html_525fd05f.gifоспользуемся решением предыдущего примера. Заменим







Обратите внимание на то, что логарифм в квадрате, поэтому и сумму необходимо возвести в квадрат. Применяя формулу квадрата суммы, раскроем скобки. Приведём подобные слагаемые.



5hello_html_m5e837261.gif) Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя.



Цhello_html_36edd9ad.gif

Обратите внимание на основание степени и основание логарифма – они одинаковы.

ОР 3


Рhello_html_m6f677839.gifhello_html_4a792b8e.gifассмотрим применение этой формулы на примере:

Зhello_html_m25debe0f.gifадание 1. Найдите значение выражения , если


hello_html_m28f4cdf8.gif

hello_html_m7125769c.gif

hello_html_35129a6f.gif

Задание 2. Найдите значение b по его логарифму







6) Логарифм степени по основанию а, равен произведению показателя степени на логарифм по тому же основанию.

hello_html_15c36051.gif


ЦОР 4

Нhello_html_2a974864.gifапример,

hello_html_m24c347d2.gif


hello_html_m1b9a7154.gifhello_html_m71638514.gif

Зhello_html_m5e38c4b.gifадание 1. Вычислите , если

Упростим выражение



hello_html_m5b3d24af.gif

hello_html_m28f4cdf8.gifhello_html_2ab03c4a.gif



Фhello_html_49b9b58d.gifормула

называется формулой перехода к новому основанию.

Зhello_html_m728ee70.gifhello_html_m513c9706.gifадание 1. Выразить через логарифм с основанием 2.



Зhello_html_315231ab.gifhello_html_7359342c.gifадание 2. Вычислите



Цhello_html_1cbc888.gifОР 5

8)

hello_html_2c6d15bd.gifЦОР 6

Например,

Зhello_html_m58a5aa51.gifhello_html_3ca9890d.gifhello_html_154747d5.gifhello_html_13ac8431.gifhello_html_m28f4cdf8.gifhello_html_m28f4cdf8.gifадание 1. Вычислите





hello_html_m36a02365.gif


Зhello_html_710ebe6.gifадание 2. Вычислите





9) К логарифмическим преобразованиям можно приступать, только в том случаи, если вы запомнили все свойства логарифмов. Повторив их, рассмотрим задания на преобразования логарифмических выражений с другой стороны.

Для преобразования суммы или разности логарифмических выражений иногда достаточно использовать определение логарифма, а чаще всего свойства логарифма произведения или частного.

Зhello_html_59d665d8.gifадание 1. Вычислите

Решим двумя способами.

1hello_html_m1e544499.gif способ, используя определение логарифма:



2hello_html_7b7f30ee.gif способ, опираясь на свойство логарифма частного:

hello_html_m4dc05b45.gif

Задание 2. Найдите значение выражения

Пhello_html_m779f4c0b.gifрименим сначала формулу логарифма произведения, затем определение логарифма.



Основное логарифмическое тождество используется при преобразовании выражений, содержащих логарифм в показателе степени. Идея таких операций заключается в получении равных основания степени и основания логарифма.

Иногда необходимо преобразовывать выражение по свойствам логарифма и по свойствам степени, так же можно легко перейти от одного основания к другому, используя формулу перехода. В других случаях следует применять несколько свойств.

Зhello_html_167a1dd0.gifадание 3. Вычислите

hello_html_15fd9e37.gif

Зhello_html_m6ebe18a1.gifадание 4. Найдите значение выражения

hello_html_m38041db9.gif





Зhello_html_m39ae2a43.gifадание 5. Найдите значение выражения

hello_html_m26052c40.gif



Зhello_html_7b9b67f7.gifадание 6. Представьте в виде разности логарифмов

Нhello_html_m7c3139f7.gifаибольшую трудность представляют преобразования логарифмических выражений, находящихся под радикалом. В процессе преобразований приходится рассматривать модули логарифмических выражений, для раскрытия которых требуется сравнить иррациональные числа или рациональное и иррациональное число. Будем действовать последовательно. Рассмотрим выражение, стоящее под внутренним радикалом.






Подставим в исходное выражение.


hello_html_m743d3f90.gif







Рhello_html_m2e6ca461.gifhello_html_3fe36ae1.gifаскроем модуль, учитывая, что знаменатель положителен, а числитель отрицателен.

Мhello_html_34acb156.gifеняем знаки в числителе и упрощаем.




Пhello_html_m46f4ba79.gifолучим исходное выражение, равное разности логарифмов.



Такие и подобные примеры вам могут встретиться при решении заданий Единого Государственного экзамена.. Следует отметить, что с преобразованием логарифмических выражений можно встретиться и при решении уравнений и неравенств или исследовании функций, поэтому в неявном виде они могут присутствовать и в заданиях групп В и С.

10) Подведение итогов. Вопросы:

  1. Логарифм по основанию 10 называется

  • основным логарифмом

  • главным логарифмом

  • натуральным логарифмом

  • десятичным логарифмом

2) Какие значения может принимать x в выражении hello_html_mf77b6b3.gif

  • Строго положительные

  • Неотрицательные

  • Неположительные

  • Строго отрицательные

3) Чему равен hello_html_m39ae2a43.gif

  • a

  • 1

  • 0

  • Значение не определено

4) Чему равен hello_html_70e858b.gif

  • a

  • 1

  • 0

  • Значение не определено

5) Укажите соотношение, которое верно для всех x ≠ 0.

  • hello_html_m1da6a299.png

  • hello_html_afb2660.png

  • hello_html_129340a9.png

  • hello_html_m7ed9b199.png

6) Укажите верное соотношение для формулы перехода к новому основанию.

  • hello_html_m2b610e3d.png

  • hello_html_m5c646fed.png

  • hello_html_422d111e.png

  • hello_html_mb3dc7c1.png

7) Укажите верное равенство при hello_html_42b9a89e.gif

  • hello_html_7a4a1b99.png

  • hello_html_m5d311a8b.png

  • hello_html_m3d285949.png

  • hello_html_1a53585b.png


11) Контрольное тестирование.


Название документа тест.doc

Поделитесь материалом с коллегами:

ЕГОРОВА ВИКТОРИЯ ВАЛЕРЬЕВНА

Учитель математики

высшей квалификационной категории


ТЕМА: «ТОЖДЕСТВЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ»

АННОТАЦИЯ

Представленный тест содержит 15 заданий и может использоваться для объективного контроля знаний учащихся по свойствам логарифма. Задания теста соответствуют требованиям государственной программы по данной теме и примерам, взятым из КИМов предыдущих лет.

С другой стороны материал тестов выполняет и обучающую функцию, концентрируя внимание на наиболее значимых, ключевых вопросах, которые должны способствовать лучшему пониманию и усвоению необходимого объёма знаний по всем свойствам логарифма.

Безусловно, он рассчитан в первую очередь на тех учеников, которые планируют получить на ЕГЭ по математике хороший результат. Так же он предназначен десятиклассникам, закрепляющим пройденный материал темы под углом зрения ЕГЭ. Сложность тестов слегка возрастает от первого к последнему.

При оценке уровня своей подготовки по тестовым заданиям ученикам следует при самоконтроле исходить из следующих критериев:

14, 15 правильных ответов оцениваются на «отлично»

12, 13 правильных ответов оцениваются заданий на «хорошо»

10, 11 правильных ответов оцениваются на «удовлетворительно»

меньше 10 правильных ответов оцениваются на «неудовлетворительно».

КОНТРОЛЬНОЕ ТЕСТИРОВАНИЕ

1. Найдите значение выражения: hello_html_m71792d25.gif

1) 4/3

2) – 8

3) – 14

4) – 5/3

2. Найдите значение выражения: hello_html_7d4a63cc.gif

1) 10

2) 5

3) hello_html_m4c426fe1.gif

4) 20

3. Найдите значение выражения: hello_html_m382ae28.gif

1) – 4,91

2) – 4,7

3) – 4

4) – 3

4. Найдите значение выражения: hello_html_mf9fc298.gif

1) hello_html_me5dc0fe.gif

2) hello_html_mcdcd79f.gif

3) hello_html_2001747a.gif

4) hello_html_m2444681c.gif

5. Найдите значение выражения: hello_html_79b6b2cd.gif

1) 1

2) 9

3) – 7

4) hello_html_m1002d579.gif

6. Вычислите: hello_html_5aa075d5.gif

1) 1

2) 15

3) 5

4) 0

7. Вычислите: hello_html_17c1d2eb.gif

1) 1

2) 2

3) 3

4) 0

8. Найдите значение выражения: hello_html_m35902f7f.gif

1) – 6,5

2) – 0,5

3) – 10,5

4) – 67,5

9. Вычислите значение выражения: hello_html_mcb65184.gif

1) 27

2) 6

3) 3

4) 12

10. Вычислите: hello_html_5d5bfc77.gif

1) – hello_html_mcdcd79f.gif

2) – 6

3) 0,4

4) hello_html_m7f41ca69.gif

11. Вычислите: hello_html_m76368004.gif

1) 1

2) 2

3) 3

4) 0

12. Вычислите: hello_html_7a94da6b.gif

1) 1

2) 2

3) – 3

4) – 2

13. Найдите значение выражения: hello_html_85b9d73.gif

1) – 6

2) 4

3) 6

4) hello_html_29a7d7c1.gif

14. Вычислите значение выражения: hello_html_28c0a4d4.gif

1) 1

2) – 1

3) 2

4) 3

15. Вычислите: hello_html_7c1c279f.gif

1) 12

2) – 12

3) 10

4) – 8

Таблица ответов

задания

Вариант правильного ответа

2

2

4

4

1

4

2

2

3

3

1

4

1

3

1


Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Автор
Дата добавления 08.12.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров900
Номер материала ДВ-240416
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх