Материалы по теме "Симметрия "для занятия математического кружка

Симметрия

Материалы для занятия математического кружка

6 класс

Содержание

1. Введение. 3

2. Виды симметрии. 4

2.1 Центральная симметрия. 4

2.2 Симметрия вращения. 4

2.3 Зеркальная симметрия. 5

4. Симметрия в литературе. 6

5. Симметрия в природе. 7

6. Симметрия в технике. 8

7. Симметрия в архитектуре. 9

8. Симметрия в анимации. 10

Заключение. 11

Литература. 12

О симметрия! Гимн тебе пою!
Тебя повсюду в мире узнаю.
Ты в Эйфелевой башне, в малой мошке,
Ты в елочке, что у лесной дорожки.
С тобою в дружбе и тюльпан, и роза,
И снежный рой – творение мороза!

 

1. Введение.

Вам хорошо знакомо слово симметрия. Наверное, когда вы его произносите, то вспоминаете бабочку или клиновый лист, в которых мысленно можно провести прямую ось и части, которые будут расположены по разные стороны от этой прямой, будут практически одинаковыми.

Слово симметрия – греческого происхождения (< сим> – с,  <метрон> – мера) и буквально означает <соразмерность>. В архитектуре и искусстве оно применяется также в смысле гармоничности, равновесия, красоты.

  Издавна человека, познававшего в ходе трудовой деятельности явления природы, поражала форма некоторых предметов и существ: очертания листьев на деревьях, расположение лепестков на цветах, виды плодов и бабочек, спирали раковин, строение многогранных кристаллов и т.п. Строение человека также симметрично.

  Зачатки учения о симметрии относятся к глубокой древности, о чём свидетельствуют разнообразные геометрические орнаменты, сохранившиеся от той эпохи на каменных и гранитных плитах и сосудах. Многовековые наблюдения человека над симметричными фигурами среди минералов, растений и животных, его долголетний опыт применения симметрии в строительстве и искусстве привели к созданию учения о симметрии. О ней писал в своём трактате < об архитектуре >  римский инженер Витрувий (1в.),  её изучали и применяли архитекторы и художники эпохи Возрождения, в том числе выдающиеся итальянские живописцы Леонардо да Винчи и Рафаэль; ею занимались учёные нового времени – Луи Пастер ( 1822 – 1895), Пьер и Жак Кюри и др. В геометрию элементы учения о симметрии ввёл французский математик А.М.Лежандр (1752 – 1833).

  В настоящее время учение о симметрии лежит в основе кристаллографии  и находит широкое применение в науке, технике и промышленности.

2. Виды симметрии.

Определение симметрии в геометрии следующее: соразмерность, одинаковость в расположении частей чего-либо по противоположным сторонам от точки, прямой или плоскости. Поэтому основные виды симметрии определяются именно отношением к этим фигурам: симметрия относительно прямой называют осевой симметрией (симметрией вращения), симметрия относительно плоскости  - плоскостной или зеркальной, симметрия относительно точки – центральной.

2.1 Центральная симметрия

Геометрическая фигура ( или тело ) называется симметричной относительно центра C ( рис.1 ), если для каждой точки A этой фигуры может быть найдена точка E этой же фигуры, так что отрезок AE проходит через центр C и делится в этой точке пополам ( AC = CE ). Точка C называется центром симметрии.

2.2 Симметрия вращения

Тело ( фигура ) обладает симметрией вращения ( рис.2 ), если при повороте на угол 360°/n    ( здесь n – целое число ) вокруг некоторой прямой AB ( оси симметрии ) оно полностью совпадает со своим начальным положением. При n = 2 мы имеем  осевую симметрию. Треугольники ( рис.1 ) имеют также осевую симметрию.

                             

                                

Рис 2.

2.3 Зеркальная симметрия

Геометрическая фигура называется симметричной относительно плоскости S ( рис.3 ), если для каждой точки E этой фигуры может быть найдена точка E’ этой же фигуры, так что отрезок EE’ перпендикулярен плоскости S и делится этой плоскостью пополам ( EA = AE’ ). Плоскость S называется плоскостью симметрии. Симметричные фигуры, предметы и тела не равны друг другу в узком смысле слова ( например, левая перчатка не подходит для правой руки и наоборот ). Они называются зеркально равными.

               Рис 3.

4. Симметрия в литературе

Замечательным примером использования симметрии является человеческая деятельность, а именно - творческая - это прослеживается в литературе.

Если внимательно посмотреть на алфавит, то уже можно заметить, что некоторые буквы обладают несколькими видами симметрий:  А, В, С, О, Ф и т.д.. Поэтому если поставить перед собой на столе зеркало и положить перед ним бумагу со словами «кофе» и «чай», то в зеркале мы увидим странную картину: слово кофе сохранило  в зеркале свое очертание, а буквы второго слова перевернулись «вверх ногами» (рис 4).

Рис 4

        Симметрией обладают целые слова и даже предложения. Это проявление симметрии в литературе называют палиандромом.

Примеры палиндромических слов:

                топот,

                казак,

                шалаш.

Примеры палиндромических фраз:

"Я иду с мечом судия" (Т. Державин),

"А роза упала на лапу Азора" (А. Фет);

"Аргентина манит негра" (Булгаков).

« Я ел мясо лося млея “

“ Рвал Эол алоэ, лавр “

5. Симметрия в природе

      Рассматривая общий план строения какого-либо животного, можно заметить известную правильность в расположении частей тела или органов, которые повторяются вокруг некоторой оси или занимают одно и то же положение по отношению к некоторой плоскости. Эту правильность называют симметрией тела.

Явления симметрии столь широко распространены в животном мире, что весьма трудно указать группу, в которой никакой симметрии тела подметить нельзя (рис.5).

 

		Рис.5

 

6. Симметрия в технике

Вспомните технические объекты - самолеты, мосты, автомашины, ракеты, молотки, гайки - практически все они от мала до велика обладают той или иной симметрией. Случайно ли это? В технике красота, соразмерность механизмов часто бывает связана с их надежностью, устойчивостью в работе. Симметричная форма дирижабля, самолета, подводной лодки, автомобиля и т.д. обеспечивает хорошую обтекаемость воздухом или водой, а значит, и минимальное сопротивление движению (рис 6).

В черчении линии, выявляющие симметрию изображаемого предмета, называются осевыми или центровыми. По ГОСТ осевые и центровые линии принято наносить тонкими штрихпунктирными линиями

 В технике существует своего рода постулат: наиболее целесообразные и функционально совершенные изделия являются наиболее красивыми. В подтверждение этого постулата приведем слова генерального авиаконструктора О.К. Антонова: "Мы прекрасно знаем, что красивый самолет летает хорошо, а некрасивый плохо, а то и вообще не будет летать. Это не суеверие, а совершенно материалистическое положение... конструктор может идти часто от красоты к технике, от решений эстетических к решениям техническим".

 

7. Симметрия в архитектуре

Архитектурные сооружения, созданные человеком, в большей своей части симметричны. Они приятны для глаза, их люди считают красивыми. Симметрия использовалась при сооружении культовых и бытовых сооружений в Древнем Египте.

 Большинство зданий зеркально симметричны. Общие планы построек, фасады, орнаменты, карнизы, колонны обнаруживают соразмерность, гармонию.

Украшения этих сооружений тоже представляют образцы использования симметрии. Но наиболее ярко симметрия проявляется в античных сооружениях Древней Греции, предметах роскоши и орнаментов, украшавших их. Много примеров использования симметрии дает старая русская архитектура: колокольни, сторожевые башни, внутренние опорные столбы.

Кроме симметрии в архитектуре можно рассматривать антисимметрию и диссимметрию. Антисимметрия это противоположность симметрии, ее отсутствие. Примером антисимметрии в архитектуре является Собор Василия Блаженного в Москве, где симметрия отсутствует полностью в сооружении в целом. Однако, удивительно, что отдельные части этого собора симметричны и это создает его гармонию. Попробуйте привести еще примеры антисимметричных архитектурных сооружений. Диссимметрия – это частичное отсутствие симметрии, расстройство симметрии, выраженное в наличии одних симметричных свойств и отсутствии других. Примером диссимметрии в архитектурном сооружении может служить Екатерининский дворец в Царском селе под Санкт-Петербургом.

 

8. Симметрия в анимации

Симметрия очень широко используется в анимации. Наиболее простые и наглядные случаи – это различные вращения фигур и тел.

В большинстве сценарных эффектов симметрия также используется  в  том или ином виде. Имеется большое количество программ, позволяющих реализовать эти эффекты – наиболее популярны и них следующие – GifCreater, Flash и 3DMax.

Из большого количества сложных эффектов анимации (например, работа с фракталами - зеркальное воспроизведение одного процесса на всех уровнях или частицами – построение больших эффектов из множества мелких идентичных эффектов) особого внимания заслуживает эффект листания страниц.

В основу эффекта заложена концепция изменения позиции оси симметрии (рис 8) – сначала она располагается под углов 45 градусов в правом нижнем углу, а затем перемещается в левый верхний угол той же страницы по углом 90 градусов (т.е принимает вертикальное положение)  .

 

 

Рис 8

Сам эффект основан на перемещении двух клипов (прямоугольников) вокруг оси симметрии относительно текущей симметрии (рис 9).

 

Рис 9

Заключение.

Литература.

1.      Математика. Энциклопедия для детей. М.: Аванта+,2004.

2.      Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика / Авт. сост. А.П. Савин М.: ООО «Издательство АСТ», 2002