Материалы по теме:"Преобразование рациональных выражений"

                  Преобразование рациональных выражений.

                    ( сложение и вычитание дробей )

                                     Алгоритм

1.    Разложить знаменатели каждой дроби на множители (если это возможно).

2.    Составить общий знаменатель:

а) знаменатель первой дроби выписать полностью

б)  из знаменателя второй дроби (и последующих) приписать такие множители, которых ещё не записали.

     3. Найти дополнительные множители к каждой дроби:

          а) сравнить общий знаменатель со  знаменателем каждой       

               дроби

          б) тот множитель, которым они отличаются – это   

               дополнительный множитель к дроби

4.    Составить общий числитель:

а) умножить дополнительный множитель какой-либо

      дроби на её числитель

б) записать алгебраическую сумму в общий числитель

     5. Упростить новый числитель:

          а) раскрыть скобки

          б) привести подобные слагаемые

      6. Сократить дробь ( если это возможно):

          а) разложить числитель на множители ( вынесение

               общего множителя за скобки; группировка; ФСУ)

      б) разделить числитель и знаменатель на одинаковый

           множитель

                      Разложить на множители

Выражение	Способ	Результат
15ay	Готовое произведение	15ay
5x + 15	Вынесение общего множителя за скобки	5(x + 3)
3x – 6y	Вынесение общего множителя за скобки	3(x – 2y)
ab - a²	Вынесение общего множителя за скобки	a(b – a)
10ay – 2a	Вынесение общего множителя за скобки	2a(5y – 1)
x² - 4	ФСУ: a²-b²=(a-b)(a+b)	(x – 2)(x +2)
16 - y²	ФСУ: a²-b²=(a-b)(a+b)	(4 – y)(4 + y)
25x² - 49y²	ФСУ: a²-b²=(a-b)(a+b)	(5x-7y)(5x+7y)
b²-4bc+4c²	ФСУ: (a-b)²= a²-2ab+b²	(b-2c)²
1-4c+4c²	ФСУ: (a-b)²= a²-2ab+b²	(1-2c)²
x²+8x+16	ФСУ: (a+b)²= a²+2ab+b²	(x+4)²
9c²+12c+4	ФСУ: (a+b)²= a²+2ab+b²	(3c+2)²

Cамостоятельно.  Разложи на множители.

15-5a;       3x+15;       10y-2a;      a²-3a;      10x²y – 5xy²;                      

x² +10x + 25;       x² - 81;      16x² - 24x + 9

                    Нахождение общего кратного.

Выражения	Общее кратное
3 и 6	6
12 и 18	36
3a и 6a	6a
12xy и 18x	36xy
a² + ab  и  ab + b² a(a+b)  и  b(a+b)	a(a+b)b
8x+y  и  8x-y	(8x+y)(8x-y)
a² - 7a  и  a – 7 a(a – 7)  и  a – 7	a(a – 7)
x – 9   и   1	x - 9

Самостоятельно. Найти общее кратное выражений.

ab  и  b;       a² -ab  и  a – b;        b – 3  и  1;      4b  и  b;

 6a+b  и  6a-b;      x+5  и  x² + 5x;      7m – n  и  7m + n;

 m²   и   mn

                Сложение и вычитание дробей.

                                   

Шаги алгоритма	Результат
Разложить знаменатели каждой дроби на множители (если это возможно).	Этого делать не надо, т.к. знаменатели уже представлены в виде произведения
Составить общий знаменатель	;
Найти дополнительные множители к каждой дроби	к первой дроби  ко второй дроби
Составить общий числитель
Упростить новый числитель	Нет необходимости
Сократить дробь	Невозможно

                    Сложение и вычитание дробей.

                            

Шаги алгоритма	Результат
Разложить знаменатели каждой дроби на множители (если это возможно).	;
Составить общий знаменатель
Найти дополнительные множители к каждой дроби	b  к первой дроби а  ко второй дроби
Составить общий числитель
Упростить новый числитель
Сократить дробь	Невозможно

Самостоятельно. Выполни действия с дробями.

1) ;  2) ;   3) ;  4) ;

5) ;  6) ;   7)

                           Сложение и вычитание дробей

                                 1)

1. Разложить знаменатель каждой дроби на множители
2. Составить общий знаменатель
3. Дополнительные множители к каждой дроби	3 – к первой дроби а² - ко второй дроби
4. Составить новый числитель
5. Упростить числитель
6. Сократить дробь	; нельзя

Оформление.

 

                             2)

1. Разложить знаменатель каждой дроби на множители
2. Составить общий знаменатель
3. Дополнительные множители к каждой дроби	Сравнивай общий знаменатель со знаменателем каждой дроби. х - к первой дроби 1 – ко второй дроби	х           1
4. Составить новый числитель
5. Упростить числитель	невозможно
6. Сократить дробь	Для этого разложи числитель на множители:

                3)

1. Разложить знаменатель каждой дроби на множители
2. Составить общий знаменатель 3. Дополнительные множители к каждой дроби
4. Составить новый числитель 5. Упростить числитель
6. Сократить дробь	1

Самостоятельно. Преобразуйте в дробь выражение.

1)                                            2)

3)                               4)

5)                                   6)

Ответы:  1)       2)      3)      4)   5)  1    6)  1

                   4)

1. Разложить знаменатель каждой дроби на множители	Знаменатель первой дроби  1 Знаменатель второй дроби  2у-1 Знаменатель третьей дроби  1 На множители их раскладывать не надо
2. Составить общий знаменатель 3. Дополнительные множители к каждой дроби 4. Составить новый числитель	1
5. Упростить числитель
6. Сократить дробь	невозможно

                   5)

1. Разложить знаменатель каждой дроби на множители
2. Составить общий знаменатель 3. Дополнительные множители к каждой дроби 4. Составить новый числитель 5. Упростить числитель	2
6. Сократить дробь	Для сокращения дроби разложим числитель дроби на множители

Самостоятельно. Преобразуйте в дробь выражения.

1)                              2)  

3)                         4)  

5)                       6)  

7)                           8)  

                                          Ответы:

1)                  2)               3)            4)  0

5)                 6)              7)               8) 

                   Умножение и деление дробей.

Правило умножения: 

                               

1.    Перемножь дроби (т.е. запиши общий числитель и знаменатель в виде произведения) * алгебраические суммы надо писать в скобках.
2.    Подготовь числитель и знаменатель к сокращению ( разложи их компоненты на множители, если возможно )
3. Сократи дробь

Правило деления: 

                                

1. Раздели дроби
2. Подготовь числитель и знаменатель к сокращению ( разложи их компоненты на множители, если возможно )
3. Сократи дробь

Самостоятельно. Представь в виде дроби.

1)                              2)    

3)             У целого выражении знаменатель 1

4)                                       5)   

6)                              7)  

8)             При разложении выражения

                                                       на множители, используй способ группировки.

9)         При разложении выражений

  и     на множители, используй способ группировки.

                                     Ответы:

                                     Ответы:

1)                 2)                 3)  

4)  1                      5)                             6)  

7)                     

8)   - 2       

9)        1

                          Задания из ГИА – 2015

         Упростить выражение и найти его значение

1)          при х = 25

2)          при х = 7

3)                      при а = 5,   в = 4

4)                     при а = 4,2      в = 2,8

5)                      при а = 0,8      в = -4

6)                       при а = 20,        в = 25

7)                      при   а =20,   в = 14

8)                        при а =0,1    в = 8

9)         при а = 900,    в = 1000

10)               при а = 0,8    в = 0,9

11)                   при а =1,4     в = 3,6      с = 4,8

12)              при а = 5,6     в = -3,4     с = 4

13)                 при  а = 0,07      в = 0,03

14)            при   а = 0,45      в = 0,05

                                 Ответы  

Упрощённое выражение	Числовое значение
1)	0,25
2)	- 4,5
3)	- 0,4
4)	0,84
5)	- 0,16
6)	0,8
7)	9,8
8)	- 0,25
9)	- 0,01
10)	- 0,85
11)	-6
12)	5,625
13)	0,25
14)	2,6

Упростить выражение и найти его значение

1)                  при  

2)                           при  

3)                     при  

4)                    при        

5)                 при    

6)               при       

7)                          при       

8)                   при      

9)             при    

10)       при    

Ответы

Упрощённое выражение	Числовое значение
1)	1,625
2)	0,005
3)	-0,5
4)	-2
5)	-22,5
6)	-16,5
7)	88
8)	2000
9)	-4
10)	48

Краткое описание документа:

 Тема: "Преобразование рациональных выражений" является, в некоторой степени, достаточно сложной для учащихся. Данные выражения находят своё применение на экзаменах в 9 классе. Изучение данной темы начинается по программе в 8 классе. Учитывая опыт своей работы, я создала справочный материал по этим вопросам.

  Структура данного материала такова: алгоритм работы с рациональными выражениями (сложение и вычитание); примеры преобразования выражений ( сложение, вычитание, умножение, деление ) поэтапно с пошаговым показом. Так же сделала подбор заданий, где применяются данные действия из ОГЭ 2015г.

  Данные материалы можно использовать в качествестве коррекционных.