Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Майстер клас "Особливості викладання теми «Застосування метода інтервалів при розв`язуванні нерівностей».

Майстер клас "Особливості викладання теми «Застосування метода інтервалів при розв`язуванні нерівностей».



Осталось всего 4 дня приёма заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

hello_html_m23698e69.gifhello_html_m23698e69.gifhello_html_m23698e69.gifhello_html_m23698e69.gifhello_html_m5e808fc9.gifhello_html_6713afe1.gifhello_html_3fb1532d.gifhello_html_51de6a73.gifhello_html_m7a3292eb.gifhello_html_6060db92.gifhello_html_m4a937ace.gifhello_html_m23698e69.gifhello_html_m23698e69.gifhello_html_m8344d5f.gifhello_html_6a62c9c8.gifhello_html_58d53235.gifhello_html_m2f1272ec.gifhello_html_m23698e69.gifhello_html_4b9df929.gifhello_html_30000d6d.gifОсобливості викладання теми «Застосування метода інтервалів при розв`язуванні нерівностей».

Епіграф

Любіть Україну – вашу власну державу. Не на словах, а на ділі, роблячи все, аби вона була процвітаючою, міцною, багатою, незалежною, розумною і щасливою. О. Захаренко

Кошик очікувань.

Які асоціації у наших учнів та їх батьків виникають при словах ЗНО?

Зачитати анкети учнів.

Я вважаю що в цих анкетах учні висловлюють не тільки свою думку, а і й думку оточуючих іх дорослих. Як вчитель середньої освітньої школи я вважаю, що крім фундаментальних знань математики, я повинна ще дати учням впевненість у тому, що вони подолають труднощі перед складанням іспитів на отримання атестата про повну середню освіту.

Вже 7 років випускники українських шкіл мають можливість вступати до ВНЗ за допомогою тестів ЗНО з математики. На початку цього процесу йому передувало експериментальне тестування, яке не було обов`язковим. ЗНО, як експеримент почалось з 2001/2003 навчального року. Сьогодні учні і їх батьки вже впевнились у тому, що оцінювання за допомогою тестів дає можливість отримати вищу освіту згідно їх підготовки. Яка роль вчителя математики при підготовці учнів до ЗНО?

Сутність ЗНО полягає в втому, що рівень навчальних досягнень учня (абітурієнта) визначається поза межами школи та вищого навчального закладу,у Центрі тестових технологій та регіональних центрах. Під час ЗНО передбачено реалізацію трьох основних функцій;

- сертифікаційну ( встановлюється відповідність навчальних досягнень учнів державним освітнім стандартам або навчальним програмам);

- селективну (здійснюється відбір кращих випускників для продовження навчання у вищих навчальних закладах;

- діагностичну (вивчається рівень засвоєння учнями шкільного матеріалу з конкретного предмета).

В основу побудови змісту й організації процесу навчання математики покладено компетентнісний підхід, відповідно до якого кінцевим результатом навчання предмета є сформовані певні компетентності учнів. Їх сутнісний опис подано в програмі в розділі «Державні вимоги до рівня загальноосвітньої підготовки учнів».

Скажи мені - я забуду, покажи мені - я запам ’ятаю, залучи мене - я навчусь. Східна приказка

Як ви вважаєте, коли треба починати підготовку до ЗНО?

Я вважаю що готувати до тестування треба починати із початкової школи, але ми, викладачі математики, починаємо свою підготовку з 5 класу.

Знайомство з методом інтервалів учні починають ще на уроках алгебри в 9 класі.

Наприклад : х2 -5х + 6 <0

Розкладемо квадратичний тричлен на множники:

х2 - + 6 = - 2)(х - 3)

отримаємо квадратичну нерівність виду: -2)(х-3) < 0

отже розглянемо функцію

у = - 2)(х - 3)

Знайдемо Д(у): (-∞;+∞)

Нулі функції розбили Д(у) на проміжки знакосталості.

Визначимо знаки проміжків.

Отже : х є(2;3)

Взагалі, якщо функцію задано формулою виду:

f(x) = (x-xl)(x-x2)...(x-xn), де х - змінна, а хх2...хп- не рівні одне одному числа. Причому числа х12...хп є нулями функції,то на кожному із проміжків, на які область визначення розбивається нулями функції, знак зберігається, а при переході через нуль її знак змінюється. Ця властивість використовується для розв'язування нерівностей виду:

(х-х1)(х-х2)...(х-хп) <0,-х1)(х-х2)...(х-хп) >0, де хІ, х2...х„ не рівні між собою числа.

Ми сьогодні розв'язуємо нерівності другого степеню, але ця теорема дає можливість розв'язувати нерівності і більш високих степенів, і в майбутньому до способу розв'язування нерівностей методом інтервалів ми будемо повертатися неодноразово.

Отже: (x + 4)(x + 2) > 0

1. Введемо функцію.
у = (х + 4)(х+2)

Знайдемо її область визначення. Д(у): х є (-∞;+∞) .

Нулі функції: у=0, якщо їх=-4,х=-2.




Визначимо знак функції на крайньому правому проміжку він співпадає за знаком коефіцієнта старшого члена многочлена.
Використовуючи вивчену теорему, знаки функції на інших проміжках чередуемо.

Отже розв'язком нерівності є об'єднання проміжків.

Відповідь: х є (-∞;-4) hello_html_48d46fa3.gif (-2;+∞).

Але на цю тему відводиться дуже обмаль часу.

Більш фундаментально вивчається метод інтервалів у профільному 10 класі, та в 11 класі.

За теоремою Больцано-Коші , якщо функція f неперервна на відрізку hello_html_2894b5ce.gif і на кінцях цього проміжку набуває значень різних знаків, то існує така точка hello_html_72cace29.gif), що f(с)=0.

Наслідок. Якщо функція неперервна на проміжку I і немає нулів на деякому проміжку I ,то вона на цьому проміжку зберігає свій знак. Використовується для розв’язування нерівностей f(x)>0 f(x)<0, f(x)≥0, f(x)≤0. Метод ґрунтується на тому, що неперервна на проміжку функція може змінювати знак тільки в тих точках, де її значення дорівнює нулю (але може й не змінювати).

http://zno.academia.in.ua/pluginfile.php/5331/mod_book/chapter/763/l168.jpg

     Щоб розв’язати нерівність методом інтервалів, потрібно:

1. знайти область визначення функції y=f(x);

2. знайти значення х, при яких функція дорівнює нулю (знайти всі нулі функції): f(x)=0;

3. розбити область визначення на проміжки, у яких кожен із кінців є коренем рівняння f(x)=0 або кінцевою точкою проміжку визначення функції y=f(x);

4. визначити знак f(x) на кожному з утворених проміжків;

5. об’єднати проміжки, на яких функція f(x) задовольняє нерівність, у множину розв’язків.

Для усвідомлення цього матеріалу учням можна запропонувати такі завдання:

  Приклад 1. Розв’яжіть нерівність hello_html_242ae58d.gif

Розв’язання

     Розкладемо чисельник і знаменник дробу на множники й одержимо
hello_html_6994042b.gif

     Позначимо на чиловій прямій точки 3; -1; 1; -4, у яких чисельник або знаменник дробу перетворюється на нуль. Ці точки поділяють числову пряму на п’ять проміжків. При х>3 усі множники чисельника і знаменника дробу додатні, то дріб є додатним.

http://zno.academia.in.ua/pluginfile.php/5331/mod_book/chapter/763/l169.jpg

     При переході від одного проміжку до іншого дріб змінює знак, тому можна розставити знаки. Значення х=-1, х=3 задовольняють дану нерівність, а при х=1, х=-4 дріб не має змісту. Таким чином дана нерівність має розв’язок hello_html_m44088d64.gif.

     Відповідь: hello_html_m44088d64.gif.



Бліц опитування засвоєного матеріалу може виглядати у вигляді самостійної роботи.

Варіант 1.

1. Розв'язати методом інтервалів нерівність:

а) http://festival.1september.ru/articles/621803/Image12834.gifб) http://festival.1september.ru/articles/621803/Image12835.gif

2. Знайти область визначення функції: http://festival.1september.ru/articles/621803/Image12836.gif

Варіант 2.

1. Розв'язати методом інтервалів нерівність:

а) http://festival.1september.ru/articles/621803/Image12837.gifб) http://festival.1september.ru/articles/621803/Image12838.gif

2. Знайти область визначення функції: http://festival.1september.ru/articles/621803/Image12839.gif

Тепер я запропоную Вам типові приклади, які містять множники зі степенями.

Приклад . Розв'язати нерівність:

hello_html_6548e103.gif

По-перше, відмітимо, що якщо у розкладанні многочлена на множники міститься множник

http://festival.1september.ru/articles/621803/Image12841.gif, то кажуть, що http://festival.1september.ru/articles/621803/Image12842.gif- корінь многочлена кратности http://festival.1september.ru/articles/621803/Image12843.gif.

Данный многочлен має корні: http://festival.1september.ru/articles/621803/Image12844.gifкратності 6; http://festival.1september.ru/articles/621803/Image12845.gifкратності 3; http://festival.1september.ru/articles/621803/Image12846.gifкратності 1; http://festival.1september.ru/articles/621803/Image12847.gifкратності 2; http://festival.1september.ru/articles/621803/Image12848.gifкратності 5.

Нанесемо корені на числову пряму. Відмітимо корені парної кратності особливим способом, а корені непарної кратності – іншим способом

http://festival.1september.ru/articles/621803/Image12849.gif,

Визначимо знаки многочлена на кожному інтервалі і отримаємо діаграму знаків многочлена на всій числовій прямій:

http://festival.1september.ru/articles/621803/Image12850.gif

Тепер легко дати відповідь на питання задачі

http://festival.1september.ru/articles/621803/Image12851.gif

З малюнка бачимо, що.hello_html_7065b159.gif.

Проаналізуємо зміну знаків в коренях різної кратності.hello_html_11852162.gif

У коренях парної кратності зміна знаків не відбулась.

Подивіться, будь ласка, на діаграму знаків,що можна побачити?

Давайте подивимось, чи підтвердиться дане спостереження, при розв`язуванні інших нерівностей?

Приклад . Розв'язати нерівність:

1 варіант: http://festival.1september.ru/articles/621803/Image12853.gif

2 варіант: http://festival.1september.ru/articles/621803/Image12854.gif

Загальна схема спостереження:

Для розв`язку нерівностей важливо знати, чи є k парним, або непарним числом.

При парному k многочлен справа і зліва від hello_html_69b83015.gif має один і той же знак (тобто знак многочлена не змінюється).

При непарному k многочлен справа і зліва від hello_html_69b83015.gif має протилежні знаки (тобто знак многочлена змінюється).



Тепер розглянемо способи розв`язування раціональних нерівностей hello_html_m2e2342c5.gif методом інтервалів.

Відмітимо, щ раціональні нерівності легко можна звести до системи

hello_html_m46bbf36b.gif, якщо обидві частини нерівності помножити на многочленhello_html_75c89c84.gif , який буде додатній при всих допустимих значеннях х, тому що hello_html_m49fdd896.gif. Пригадаємо, що знак добутку і знак частки буде однаковим .

Приклад . Розв'язати нерівність: http://festival.1september.ru/articles/621803/Image12861.gif

Оскільки знаменник даного дробу не може дорівнювати нулю, http://festival.1september.ru/articles/621803/Image12862.gifзвідси: http://festival.1september.ru/articles/621803/Image12863.gif

Зведемо дану нерівність до алгебраїчної.

Отримаємо http://festival.1september.ru/articles/621803/Image12864.gif.

Розклавши квадратний тричлен на множники отримаємо : http://festival.1september.ru/articles/621803/Image12865.gif.

Знаходимо корені многочлена,визначаємо їх кратність:х =1 (парна кратність), інші корені корни 3, -1, 0, 5, -2 (непарна кратність).Відмічаємо корені на числовому промені,враховуючи область визначення нерівності і визначаємо знаки на проміжках із врахуванням кратності коренів.

http://festival.1september.ru/articles/621803/Image12866.gif

Відповідь: hello_html_49fc7707.gif.

Звернувши увагу на умови завдань ЗНО попередніх років,я пропоную учням завдання, в яких міститься у відповіді одне число.

Приклад . Знайти кількість цілих розв’язків нерівностіhello_html_m5cba583b.gif

Для виконання цього завдання требам розв'язати нерівність: hello_html_m70943bcb.gif,

hello_html_9b6f9a4.gif.

Відповідь:11.

У різних варіантах можна запропонувати учням найти найбільший або найменший розв’язок нерівності.

Приклади у навчанні - корисніші за правила. Исаак Ньютон.

Відпрацювати отримані навички можна на наступних прикладах дома самостійно.

а) http://festival.1september.ru/articles/621803/Image12868.gif

б) http://festival.1september.ru/articles/621803/Image12869.gif

в) http://festival.1september.ru/articles/621803/Image12870.gif

г) http://festival.1september.ru/articles/621803/Image12871.gif

д)http://festival.1september.ru/articles/621803/Image12873.gif

При розв’язуванні вправ за допомогою метода інтервалів слід нагадати учням, що нам постійно треба записувати функцію у вигляді добутку.

Теорема Вієта дуже добре допомагає у старшій школі зберегти час, відведений на написання тестів, особливо при розв’язуванні вправ на розкладання на множники і потім застосування методу інтервалів.

hello_html_m3556f62d.gifhello_html_m25eb2a6a.gif.

Достатньо потренувати абітурієнтів на чотирьох прикладах, а потім весь час спонукати учнів до застосування теореми при знаходженні цілих коренів зведеного квадратного рівняння. Хто швидший знайде корені за теоремою Вієта?



Застосування методу інтервалів дуже актуально, при дослідженні функції на монотонність та знаходження екстремумів функції.

Приклад 12.31 .Знайти точки мінімуму і максимуму функції

hello_html_18fa4e.gif.

Для знаходження критичних точок функції обчислимо

hello_html_m261c8cc.gif'(х)hello_html_5611c3d5.gif=

hello_html_2d36ccc2.gif=-hello_html_m9e27121.gif=0,

hello_html_23e80ca7.gif

2х=hello_html_m437cc5ad.gif ; х=hello_html_mbb5eb7.gif

Застосовуючи загальний метод інтервалів наносимо на числову пряму критичні точки функції , з`ясовуємо знак функції на кожному з інтервалів.



hello_html_m4c27e073.gif

max min max

hello_html_m261c8cc.gif'(х)hello_html_m7c48e444.gif-hello_html_731b0d42.gif

hello_html_m261c8cc.gif'(0)hello_html_m7c48e444.gif-hello_html_4c972b10.gif hello_html_m63c33baf.gif

hello_html_m261c8cc.gif'(hello_html_50661fa5.gif)hello_html_m7c48e444.gif-hello_html_1829ca5d.gif hello_html_m368c2ce2.gif

hello_html_m261c8cc.gif'(hello_html_6b2fd1c.gif )hello_html_m7c48e444.gif-hello_html_m5df19ab6.gif hello_html_m360d6129.gif.

Відповідь: hello_html_398a557d.gif.hello_html_11016cd6.gif hello_html_mdf4904b.gif,hello_html_m7ef6f90.gif

Тригонометричне коло. Заготовки та шляхи подачі матеріалу, пропедевтика розв`язування тригонометричних рівнянь та нерівностей. Вивчення радіанної міри кута.





hello_html_1de4dcf4.gif







hello_html_m1d6750ec.gif





hello_html_m7e2ae3e.gif



Приклад . 12.34 При яких значеннях параметра а точка hello_html_m7d3a4839.gif=1 є точкою мінімуму функції

hello_html_m439f073f.gif?

y'=hello_html_7c63931f.gif




hello_html_m6f840b88.gif hello_html_m4744a632.gif

max min

при hello_html_m7d3a4839.gif=1 ,a=1 .

Приклад 21.44. При яких значеннях параметра а рівняння

hello_html_m4ac55b15.gifмає єдиний розв`язок?

hello_html_m466b425c.gif=0 має розв’язок при hello_html_3f634cc4.gif хhello_html_4bebb7f4.gif, хhello_html_m583a0a2b.gif.

При хhello_html_ae3004c.gif.

hello_html_m1c7a9a4b.gif, hello_html_6975790e.gif ,hello_html_m369690f0.gif, і hello_html_m37ef1579.gif, тобто при всіх інших значеннях параметра а рівняння буде мати більше ніж один розв’язок.

Відповідь: hello_html_m1102e4c5.gif.

Приклад . Розв'язати нерівністьhello_html_6c916050.gif

hello_html_34b8d822.gif; hello_html_6a1a5758.gif ;hello_html_m6b555e5a.gif ; оскількиhello_html_m42d3441.gif

hello_html_2810e606.gif.

Відповідь: hello_html_m3c54254.gif.

Приклад .Знайдіть область визначення функції у=hello_html_m7271f778.gif.

hello_html_m1064c4d9.gif

Відповідь: hello_html_m2c752d7d.gif.

Перенесення знань на змінені ситуації.

Викладаючи економіку у старших класах я знову повертаюсь до вивченого метода вже при розв’язуванні задач економічного змісту Загальний (валовий) дохід (виторг) (total revenue, ТR) — сума грошей, яку отримало

підприємство від реалізації продукції за певний проміжок часу. Загальний дохід обчислюється заформулою: TR = P*Q ,

Функція сукупних витрат фірми дорівнює: Р = hello_html_m1dc37bff.gif -8Q + 7.

Ціна одиниці продукції Р=12 (фірма конкурента). При яких обсягах виробництва фірма буде мати економічний прибуток (ЕР > 0)?

Розв’язання:

ЕР - економічний прибуток , ЕР = ТР-РС, ТЯ - виторг

hello_html_7b7bb255.gif+8Q - 7 hello_html_m7c48e444.gif0. hello_html_m1dc37bff.gif – 8Q + 7 < О

Q =7 або Q=1

http://www.stattionline.org.ua/images/72/image003_3.jpg

1<Q<7

Фірма буде мати економічний прибуток, якщо обсяг виробництва буде в межах від 1 до 7.



Не можливо дати іншому те, чого не маєш сам. Так не може виховувати та навчати інших той, хто сам не є розвиненим і вихованим.  А.Дістервег. 




























57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)


Автор
Дата добавления 24.02.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров116
Номер материала ДВ-482761
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх