Метод Рационализации для решения логарифмических уравнений и неравенств

«Решение логарифмических неравенств

с помощью метода рационализации»

МКОУ СОШ №5 г. Майского

Учитель математики:

Пивоварова Татьяна Юрьевна

2015г.

 Ключевыми являются два утверждения :

1) Если функция  строго возрастает, то для любых двух значений  знак выражения  совпадает со знаком выражения

1) Если функция  строго убывает, то для любых двух значений  знак выражения  совпадает со знаком выражения

Суть метода рационализации  для решения логарифмических неравенств  (метода замены множителя) состоит в том, что в ходе решения осуществляется  переход от неравенства, содержащего логарифмические выражения, к равносильному рациональному неравенству (или равносильной системе рациональных  неравенств).

Рассмотрим неравенства:

 и   , где - число 

  где - функция

Для неравенств со знаками «< », «≥», «≤» –  рассуждения аналогичные, поэтому ограничимся рассмотрением только данных неравенств

1)   

         Если , имеем:

 значит

 (знак «сохраняется»)

         Если , то , имеем:

значит

Сформулируем формулу:

Пример1

Решим неравенство:

   

Ответ:

2)   

1)Если

2)Если 0 < a <1,то пропотенцировав неравенство 

имеем , при условии , что . Тогда

а из условия 0 < a <1 получим .

Так как обе функции отрицательны , то их произведение положительно

Получим формулу

3)   ,    

Если , то , тогда

Если , то  , тогда

Имеем

Пример 2

Решить неравенство

решение

   

Ответ:

4)

Если , то ,    тогда    

Если , то , тогда

Имеем

Пример 3

Решить неравенство:

ОДЗ:

     

 Решая методом интервалов:

Ответ:

Задания для закрепления

        Дополнительно для самостоятельного решения:

1)      .   Ответ.    .

2)      .     Ответ.    ,   .

3)      .    Ответ.  

4)      .   Ответ.   .

5)      .    Ответ.    .

6)      .     Ответ.    .

7)      .   Ответ.    .

8)      .      Ответ.    .

9)      .   Ответ.    .

10)  .

Ответ.    .