Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Метод рационализации при решении неравенств
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Метод рационализации при решении неравенств

библиотека
материалов













Метод рационализации при решении неравенств







Рыбенкова М.П.,

МБОУ «Школа №140»

учитель математики.

г.Н.Новгород











Содержание

1. Введение 3

2. Метод рационализации при решении неравенств,

содержащих логарифмические функции. 4

3. Метод рационализации при решении неравенств,

содержащих иррациональные выражения. 17

4. .Метод рационализации при решении неравенств,

содержащих модули. 21

5. Метод рационализации при решении неравенств,

содержащих показательные функции. 27

6. Заключение. 31

7.Список литературы. 32

























Введение.

Самым легким способом решения неравенств является способ решения рациональных неравенств методом интервалов, но не все неравенства имеют структуру, которая позволяет решать их этим методом. Поэтому цель работы – предложить метод решения сложных неравенств (неравенства, содержащие логарифмические, показательные, иррациональные выражения и выражения с модулями) путем замены множителей. Идея этого метода заключается в том, что неравенства повышенной сложности сводятся к решению рациональных неравенств. Оказывается, достаточно широкий класс неравенств подобную попытку допускает. Решение неравенства – это объединение конечного числа непересекающихся промежутков. Их легко задать одним рациональным неравенством, что во многих ситуациях позволяет быстрее двигаться к ответу, а иногда получать более эффективные схемы решения типовых неравенств.





















Метод рационализации при решении неравенств, содержащих логарифмические функции.

Разность логарифмов по одному и тому же основанию всегда по знаку совпадает с произведением разности чисел этих логарифмов на отклонение от единицы. Другими словами выражение вида (logaflogag) имеет тот же знак (в области существования логарифмов) что и выражение (f-g)(α-1)

Выделим некоторые выражения и соответствующие рационализирующие выражения, позволяющие исключительно эффективно решать многие логарифмические неравенства, которые можно отнести к разряду повышенной сложности.



hello_html_m5ba50f6.gif

hello_html_248f8d2.gif

Примеры решения логарифмических неравенств методом рационализации.

Приведем сравнение решения неравенства традиционным методом и методом рационализации:

1. Решить неравенство:

hello_html_m3b4542dd.gif




(метод рационализации)

hello_html_m3b4542dd.gif

Решение:
hello_html_2e6bc6e9.gif



hello_html_m6c4a4360.gif



hello_html_86e32ff.gif

hello_html_1d7cf23b.gif

hello_html_6801b9df.gif

hello_html_m13758fcf.gif



hello_html_73765d6f.gif



Ответ:
hello_html_73765d6f.gif




( традиционный метод)

hello_html_189b429f.gif

Решение:

1) ОДЗ: hello_html_m5800df91.gif



hello_html_5c0df3b6.gif

hello_html_11852162.gif

hello_html_m49267448.gifилиhello_html_2ef97940.gif



hello_html_66b20dff.gif; hello_html_7490ae3.gif







hello_html_772e44bf.gif





  1. hello_html_6ca3c529.gif



hello_html_1f9631c0.gif



hello_html_m379a9250.gif



hello_html_66b20dff.gif



б)hello_html_m5295ca47.gif



hello_html_5a244bef.gifhello_html_m57adc438.gif



hello_html_7490ae3.gif

Ответ:hello_html_m29559928.gif





2. Решить неравенство:hello_html_m555453cd.gif

Решение: hello_html_m555453cd.gif

hello_html_m6b26ae8e.gif

hello_html_m32b3a24.gif

2hello_html_m3a51a835.gif

hello_html_m3422fd5c.gif2hello_html_m3a51a835.gif

3.Решить неравенство:hello_html_4fce17a9.gif

Решение: hello_html_4fce17a9.gif, hello_html_2398bd1.gif

hello_html_m6c99fe93.gifhello_html_2453bfa8.gif



hello_html_3984d6bf.gifhello_html_m2dd4df4f.gif

Ответ: (hello_html_5e11c274.gif

4. Решить неравенство hello_html_m5d3dbe5d.gif

Решение:

hello_html_m5d3dbe5d.gif,hello_html_6e140239.gif,

hello_html_m5367152b.gifhello_html_574247ee.gif



hello_html_1725612b.gifhello_html_6f66a734.gif



Ответ: (-1,5;-1)hello_html_39342225.gif(-1;0)hello_html_39342225.gif(0;3)

5. Решить неравенство hello_html_99fe524.gif

Решение:hello_html_700a3c91.gif

hello_html_1307118a.gif,

hello_html_m120d2de0.gif,

hello_html_m5459dde0.gif



hello_html_m48f7c39c.gifhello_html_648c2cc.gif

Ответ: (-0,5;hello_html_m256ff1a8.gif

6. Решить неравенство
hello_html_m74ca650a.gifРешение:

hello_html_m74ca650a.gifhello_html_m2f710641.gifhello_html_758a4a8b.gif

hello_html_1dc56f56.gifhello_html_7326b63f.gif

Ответ: (-1;0)hello_html_m1ffae1b7.gif

7. Решить неравенство :hello_html_m7ea90f11.gif.

Решение: hello_html_m7ea90f11.gif,hello_html_m3b2b3578.gif,

hello_html_551e0a4d.gifhello_html_m14080b38.gifhello_html_1fa7456f.gif

hello_html_3a735188.gifhello_html_71e59b71.gif



hello_html_m570fdfab.gif



hello_html_m7c383ba1.gif

hello_html_217ac642.gifhello_html_11c9c28.gif

hello_html_1573783.gif

Ответ: hello_html_1835c08f.gif

8. Решить неравенство hello_html_m45e8c94.gif

Решение:

hello_html_m45e8c94.gif,

hello_html_4b39d7e1.gif

hello_html_m2bd4c9b7.gifhello_html_m5490bc43.gif

hello_html_m12f006cb.gifhello_html_m248d899f.gifhello_html_47ddad88.gif

Ответ: hello_html_47ddad88.gif



9. Решить неравенство hello_html_395b241a.gif

Решение:
hello_html_m66ecbc06.gif

а)

hello_html_549b237d.gif

hello_html_m4db5374.gif

hello_html_m367aab77.gif

hello_html_m1d877885.gif



hello_html_m54fb7204.gif



hello_html_1d0d105a.gif



hello_html_m58398994.gif

hello_html_m56d0c289.png

0,5hello_html_m4d774bb7.gif, 1,6hello_html_m7915a61f.gif

Имеемhello_html_a296c5c.gif

следовательно hello_html_m6c31f1cc.gif;hello_html_mb086eb9.gif;hello_html_f87ca86.gif

б) если x-3=1, x=2- не является решением (при x=2 hello_html_m39186449.gif) .

Ответ:hello_html_m6c31f1cc.gif;hello_html_mb086eb9.gif;hello_html_f87ca86.gif

10. Решить неравенствоhello_html_528da0cf.gif

Решение:

hello_html_28cf712d.gif

hello_html_4ed8ef56.gif,

hello_html_6b2b0ea6.gif

hello_html_72d58c9a.gif

hello_html_48779fd5.gif



hello_html_22804f5d.gifhello_html_m103e8938.gif

hello_html_4500d92f.gifhello_html_27520c3a.gifhello_html_m95e75ea.gifhello_html_ada9700.gifhello_html_m14b55a82.gif

Ответ: hello_html_m14b55a82.gif

11. Решить неравенство hello_html_m79172fa5.gif

Решение:

hello_html_700b531f.gif
hello_html_459cf00d.gif hello_html_f083eb3.gif hello_html_79b55d0c.gif

hello_html_4e53ac2d.gifhello_html_7c8e3463.gif

hello_html_m40608b8c.gif1hello_html_m2299c847.gif

hello_html_24781a17.gif





Ответ: 1hello_html_m2299c847.gif

12. Решить неравенство hello_html_6470395d.gif

Решение:

hello_html_6470395d.gifhello_html_m45ff51aa.gif

hello_html_m4c568f4e.gif)hello_html_mabb22bc.gif hello_html_426df4fd.gif



hello_html_md381d89.gifhello_html_m6bcdea57.gif

hello_html_m37d32d86.gifhello_html_65de9bc5.gif

hello_html_m10cb19a8.gif





hello_html_ma3dea6.gif; 0hello_html_m2a6d6e1f.gif

Ответ:hello_html_ma3dea6.gif ; 0hello_html_m2a6d6e1f.gif

13. (Применение метода рационализации при решении неравенств с параметрами)

Решить неравенство.

hello_html_25caf3c2.gif

hello_html_3da2cdab.gif

hello_html_m38346454.gif

Рассмотрим два случая.

1)Пусть hello_html_1aec5927.gif. Тогда получим, что hello_html_mc05ee91.gif и hello_html_m5facae53.gif следовательно,

hello_html_248db65c.gifдля любых x, что не удовлетворяет условию задачи.

2) Пусть теперь hello_html_m8b83aa7.gif . В этом случае hello_html_mf0d1835.gif и, для того чтобы неравенство hello_html_e0072ef.gif было верно для любых x , необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие hello_html_1cbf766.gif.

Получим систему:
hello_html_m40e350d3.gif

Ответ: (hello_html_73f48130.gif)

















Метод рационализации при решении неравенств, содержащих иррациональные выражения.

При решении неравенств, содержащих иррациональные выражения, используем следующее правило hello_html_7c9e171b.gif-hello_html_m136b5af3.gif(на области определения)

1.Решите неравенство:
hello_html_60168225.gif

Решение.
hello_html_60168225.gif
hello_html_22d8c770.gif

hello_html_a652bd1.gif


hello_html_m635cb9e3.gif


-7hello_html_m29fb6913.gif



Ответ: -7hello_html_m3d48f594.gif1


2.Решите неравенство

hello_html_f9586d4.gif


Решение:
hello_html_f9586d4.gif

hello_html_33480885.gif

hello_html_m2be97a92.gif

hello_html_53deff85.gif
Ответ:

hello_html_53deff85.gif


№3Решите неравенство
hello_html_m64c3d08f.gif


Решение:

hello_html_16e0bfc7.gif


hello_html_3ca88593.gif

Ответ: 0hello_html_190561d.gif


4Решить неравенство:

hello_html_m511efa1b.gif
Решение:

hello_html_m511efa1b.gif



hello_html_3cbaf7a1.gif


hello_html_m2813bdb4.gif


hello_html_m32488f95.gif


hello_html_m5caf2f3.gif

Ответ:
hello_html_m5caf2f3.gif


5 Решить неравенство:


hello_html_23145d5f.gif

Решение:
hello_html_m4b2a68cd.gif


hello_html_5cc4ed0c.gif


hello_html_e856eeb.gif

hello_html_11852162.gif

hello_html_6140e34e.gif


Ответ:
hello_html_6140e34e.gif


№6.Решить неравенство:


hello_html_m55cdbe58.gif


Решение:


hello_html_m55cdbe58.gif


hello_html_m664033e3.gif


hello_html_m49043866.gif


hello_html_51c6a49f.gif


hello_html_m55e7a8f6.gif



hello_html_m2253654d.gif



hello_html_m3cff85e8.gif



Ответ:
hello_html_m3cff85e8.gif







hello_html_14f5ead5.gif

hello_html_14f5ead5.gif

hello_html_m54ea4251.gif









Метод рационализации при решении неравенств , содержащих модули.

Опорная информация, позволяющая указать удобные замены, заключается в двух основных свойствах модуля:

m2 = m2 и │m│≥0 для всех m,

а также в монотонном возрастании на множестве неотрицательных чисел функции y=t2.

Приведем типы замен:

hello_html_6552b71c.gif,

hello_html_m6f5aefd7.gif,

hello_html_776b4580.gif

hello_html_451d1fa8.gif

hello_html_3087e1a5.gif

hello_html_m3783fbac.gif

1.hello_html_1d0afbff.gif

hello_html_m2ab95932.gif: hello_html_m232fc385.gif

hello_html_mfecfc3c.gif


(
hello_html_m41ff2ceb.gif,

(10x+32)(2hello_html_m3e16d75b.gif(10x+32)2x(x+5)hello_html_m57af8f8c.gif ,

-5hello_html_30244ea2.gif hello_html_69dfc675.gif

Ответ: -5hello_html_m771ac070.gif

Для решения дробных неравенств, содержащих модули удобно использовать следующее правило:
hello_html_m4b47b23d.gif
hello_html_2e4f13bb.gif


hello_html_m74e71fc.gif

Решение:

hello_html_490f8002.gif

hello_html_51fa2bb0.gif

-6hello_html_m6128a0aa.gif

Ответ: -6hello_html_m6128a0aa.gif

3.Решить неравенство:
hello_html_744f9175.gif

Решение:
hello_html_744f9175.gif


hello_html_m2a893180.gif


hello_html_7ee50ec9.gif
hello_html_2bb41b20.gif

-9hello_html_54932104.gif

Ответ: -9hello_html_54932104.gif



4.Решить неравенство:
hello_html_14096c03.gif



Решение:

hello_html_14096c03.gif


hello_html_6b33a1fc.gif

hello_html_m3428fd3e.gif
hello_html_m7e8c1073.gif

xhello_html_6c4595a8.gif , 2hello_html_344e6a2f.gif 4hello_html_m6a3d7d61.gif

Ответ: xhello_html_6c4595a8.gif , 2hello_html_344e6a2f.gif 4hello_html_m6a3d7d61.gif

5.Решить неравенство:
hello_html_28e2ac42.gif

Решение:
hello_html_m372a97b3.gif

hello_html_16f536ed.gif
hello_html_71263989.gif

hello_html_m563b9d34.gif

hello_html_m37081e84.gifhello_html_6fec1ce8.gif

Ответ: xhello_html_m46421942.gif

6. Решить неравенство:

Решение:
hello_html_m597f2467.gif

hello_html_6a40b572.gif

hello_html_m3011104c.gif


hello_html_6c3c6392.gif

hello_html_56caf993.gifxhello_html_6d0ed073.gif, 3hello_html_m1ff5f46b.gif

Ответ: xhello_html_6d0ed073.gif, 3hello_html_m1ff5f46b.gif

7. Решить неравенство:



hello_html_m1a9f1b66.gif



hello_html_m7db9e274.gif



hello_html_m16e679b4.gif



hello_html_m1207f2ea.gif



hello_html_65ad27f5.gifhello_html_m589b04d1.gif

-13hello_html_5fa17cc3.gif

Ответ: -13hello_html_5fa17cc3.gif


hello_html_4bbef0ad.gifРешить неравенство:
hello_html_m3d75499a.gif



hello_html_mfe57099.gif



hello_html_m65dfc949.gif



hello_html_medb50a1.gif



hello_html_692571ff.gif



Ответ:
hello_html_692571ff.gif































Метод рационализации при решении неравенств, содержащих показательные функции



Можно установить, что разность степеней по одному и тому же основанию всегда по знаку совпадает с произведением разности показателей этих степеней на отклонение основания степени от единицы. Другими словами, выражение вида hello_html_30d2a128.gif имеет тот же знак, что и выражение

(fg)(а – 1) при а> 0 (если а=1, то выражения равны нулю)hello_html_m55f273f4.gif

hello_html_m40b2473.gif



1.Решить неравенство:



hello_html_31f186de.gif

Решение:

hello_html_3b627534.gif;

hello_html_m4f8f147a.gif

Ответ: hello_html_m2c5eb0bd.gif



2.Решить неравенство:



hello_html_m3c480768.gif

Решение:

hello_html_m2579f0fd.gif

hello_html_m48ec912d.gif

Ответ: hello_html_m492c5605.gif



3.Решить неравенство:

hello_html_m79a57ffe.gif

Решение:

hello_html_81bbc6a.gif

hello_html_m421b139e.gif

hello_html_m46800810.gif

Ответ: hello_html_52b60937.gif

4.Решить неравенство:


hello_html_637105fc.gif

Решение:

hello_html_637105fc.gif;

hello_html_m46d9433e.gif

hello_html_m11d11901.gif

hello_html_3d1448d3.gif

Ответ: hello_html_m7cc80640.gif

5.Решить неравенство:hello_html_m7aca58f6.gif


Решение:hello_html_m64590948.gif. На множестве hello_html_29cf958b.gif

исходное неравенство равносильно hello_html_1bbcf32d.gif

x(2x+1)(3x-7)hello_html_m57af8f8c.gif

Получим hello_html_me80fe82.gif

Ответ: hello_html_m6907f4d3.gif


6.Решить неравенство hello_html_39c0f822.gif


Решение: Область определения неравенства: hello_html_m40b3cdcd.gif

hello_html_67a7d0e4.gif

Применим метод рационализации неравенства:

hello_html_35c0ab8f.gif


hello_html_m1dd1585.gif

(x+1)x(x-1)hello_html_m57af8f8c.gif


hello_html_m3d343647.gif


Ответ:
hello_html_m3d343647.gif


7.Решить неравенство

hello_html_45702d96.gif

Решение:

Первый множитель в числителе заменяем на hello_html_78a3cd0a.gif, второй на hello_html_m4f3a936b.gif , третий наhello_html_cd78dba.gif, четвертый на

hello_html_92d36ba.gif, пятый на hello_html_1e0e340e.gif.

Первый множитель в знаменателе заменяем наhello_html_m5c9a677b.gif, а второй на hello_html_3a6e4286.gif.

Получаем в области допустимых значений рациональное неравенство, равносильное исходному:

hello_html_m4be83113.gif

Область существования всех множителей в исходном неравенстве представляет собой два промежутка: hello_html_5579397f.gif. В этой области множители hello_html_46d342af.gif знакопостоянны, и поэтому их знаменяем соотвестственно на (-1) и 1.

Знакопостоянны и трехчлены hello_html_163a9527.gif, поэтому их заменяем также, соответственно на (-1) и 1.

hello_html_m3e7299b5.gif

Решая последнее стандартное рациональное неравенство в указанной области существования всех множителей исходного неравенства, получаем ответ:

hello_html_m7059d2e6.gif.



















Заключение.

При написании работы были проанализированы сборники по подготовке к ЕГЭ по математике. Многие задания части hello_html_14092def.gif содержат неравенства, содержащие неизвестное в основании логарифма, решение которых требует громоздких выкладок и больших затрат времени. Метод рационализации. позволяет сократить время при решении такого типа неравенств. Этот способ распространяется и на решение других неравенств ( показательных, иррациональных и неравенств, содержащих модули). Были сделаны следующие выводы:

1) Основная идея метода рационализации состоит в замене любого множителя А на знакосовпадающий с ним и имеющий одни и те же корни(в области определения) множитель B.

2) Преобразованные таким образом неравенства всегда равносильно исходному в области определения последнего.

3) Указанная замена возможна только тогда, когда заменяемый множитель находится в числители или знаменателе дроби, которая сравнивается с нулем.

4) По внешнему виду неравенства легко определяется возможность применения метода рационализации.

Эта работа может быть использована при подготовке к ЕГЭ. Здесь собрано достаточное количество формул и решенных неравенств, которые помогут любому выпускнику изучить этот метод.









Список литературы.

1) В помощь абитуриентам/Составители В. И. Голубев, А. А. Егоров, В. А. Тихомирова.- М.: Бюро Квантум,2009( приложение к журналу КВАНТ)

2)Егэ-2013. Математика: типовые экзаменационные варианты:30 вариантов / под ред. А. Л. Семенова, И. В. Ященко. –М.: Издательство «Национальное образование»,2012.-192с.-(ЕГЭ-2013. ФИПИ – школе.)

3) Задачи вступительных экзаменов/ Составители А. А. Егоров, В. А. Тихомирова.- М.: Бюро Квантум,2008(приложение к журналу КВАНТ)

4) «Квант» 2006/№4, В.Голубев, «Метод замены множителей»

5)Математика. ЕГЭ: сборник заданий: методическое пособие для подготовки к экзамену / Ю. А. Глазков, Т. А. Корешкова, В. В. Мирошин, Н. В. Шевелева. – 3-е изд., испр.- М.: Издательство «Экзамен»,2010.-287с. ( Серия « ЕГЭ. Сборник заданий. »

6) Подготовка к ЕГЭ по математике в 2012 году. Методические указания/Ященко И. В., Шестаков. С. А., Трепалин А. Сю, Захаров П.И.-М.: МЦНМО,2012.

7)Самое полное издание типовых вариантов реальных заданий ЕГЭ:2010: Математика/ авт.-сост. И. Р. Высоцкий, Д. Д. Гущин, П. И. Захаров и др.; под ред. А. Л. Семенова, И.В. Ященко. – М,:АСТ: Астрель,2010.- 93с.-( Федеральный институт педагогических измерений.)

8)«Сборник задач по математике для поступающих в Вузы». Уч. Пособие / под ред. М. И. Сканави.- М.: Высшая шк.,1988.

9)«Эффективные пути Решения неравенств». Уч. Пособие / под ред. В. И. Голубева , В. А. Тарасова.1992.

10) www.alexlarin.narod.ru – Корянов А. Г., Прокофьев А. П. Метод решения неравенств с одной переменной.






38



Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Краткое описание документа:

Самым легким способом решения неравенств является способ решения рациональных неравенств методом интервалов, но не все неравенства имеют структуру, которая позволяет решать их этим методом. Поэтому цель работы – предложить метод решения сложных неравенств (неравенства, содержащие логарифмические, показательные, иррациональные выражения и выражения с модулями) путем замены множителей. Идея этого метода заключается в том, что неравенства повышенной сложности сводятся к решению рациональных неравенств.

Автор
Дата добавления 19.10.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров7593
Номер материала ДВ-079111
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх