Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Метод координат в задачах С2
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Метод координат в задачах С2

библиотека
материалов















Приведение метода координат

при решении задач С2 варианта ЕГЭ

по математике









Автор:


Научный руководитель:

Покрова Людмила Николаевна,

учитель математики

высшей категории

МАОУ СОШ № 21











Челябинск – 2013





Содержание

Введение………………………………………………………………………………………………………..…2

1.История метода координат…………………………………………………………………………..4

2.Система координат……………………………………………………………………………………..…5

3.Варианты расположения системы координат……………………………………………..6

4.Необходимые формулы………………………………………………………………………………..8

5.Алгоритмы решения задач на нахождение расстояний в пространстве……9

5.1 Расстояние между двумя точками…………………………………………………..9

5.2 Расстояние от точки до прямой……………………………………………………....9

5.3 Расстояние от точки до плоскости………………………………………………….10

5.4 Расстояние между скрещивающимися прямыми………………………….11

6.Алгоритмы решения задач на нахождение углов в пространстве…………….12

6.1 Угол между двумя прямыми…………………………………………………………..12

6.2 Угол между прямой и плоскостью………………………………………………..…13

6.3 Угол между двумя плоскостями………………………………………………….…..15

7.Заключение……………………………………………………………………………………………………18

8.Список литературы……………………………………………………………………………………..…19

Приложение



















Введение

Для учеников старших классов самой насущной проблемой является подготовка к Единому государственному экзамену. Причем не все ученики уверенно решают задания части С, а некоторые и не берутся за их решение. В аналитических материалах ЕГЭ по математике, представленных на сайте Министерства образования и науки Челябинской области, приведены результаты решения заданий С1- С6 за 2010-2012 годы (в %).[1]

Номер задания

Проверяемые требования

%выполнения

2010

2011

2012

С1

Уметь решать уравнения и неравенства

33,31

41,59

22,98

С2

Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами

11,49

15,66

3,47

С3

Уметь решать уравнения и неравенства

13,06

18,58

7,6

С4

Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами

10,06

7,44

1,89

С5

Уметь решать уравнения и неравенства

5,56

8,40

4,33

С6

Уметь строить и исследовать простейшие математические модели

5,48

8,83

5,89

Анализ таблицы показывает снижение уровня выполнения заданий части С, но особенно низкие показатели по решению заданий С2 и С4 в которых надо решить геометрическую задачу. При решении задания С2 ученику чаще всего необходимо найти либо расстояние (между прямыми, прямой и плоскостью, от точки до плоскости и т.д.), либо углы (между прямыми, прямой и плоскостью и между плоскостями).

Мы провели опрос среди учеников нашего класса. Каждый ответил на три вопроса:

1.Беретесь ли вы за решение задания С2?

2.Всегда ли вам удается решить его?

3.Что вызывает у вас затруднения?

Из 27 учащихся класса 17 берутся за выполнение задания, и только 7 всегда доходят до ответа. Остальные сталкиваются с различными проблемами: одни не видят отрезков и углов, другие не могут свести стереометрическую задачу к планиметрической, третьи делают ошибки при нахождении необходимых для решения элементов.

В курсе геометрии применяются различные способы решения задач – как универсальные (можно использовать не только в геометрии) - поэтапно-вычислительный, метод введения переменной, метод координат, графический и т.д., но и геометрические – метод треугольников, метод площадей, метод подобия, метод геометрических построений и т.д.

В школьном курсе геометрии большое внимание уделяют поэтапно–вычислительному методу, но его применение требует от учеников не только достаточного объема теоретических знаний и способов их применения, но и интуиции, догадок, дополнительных построений. При этом способ решения координально меняется в зависимости от вида многогранника, а также фигуры, лежащей в его основании. С помощью поэтапного вычисления решается много задач С2 , но встречаются и такие, которые вызывают затруднение. В таком случае метод координат наиболее выигрышный, так как при его применении решение задачи во многом алгоритмизировано, и при изменении многогранника меняются только значения координат, а алгоритм решения остается прежним. Поэтому в большинстве случаев упрощается поиск способа и само решение задачи.

Координатный метод решения задач позволяет решить задачи не только математики, но и физики, астрономии. Но в рамках школьной программы используется достаточно ограниченно и неполно.

Так как мы ученики 11 класса и для нас важны результаты ЕГЭ, то пытаемся изучить как можно больше методов решения, которые помогут нам при выполнении заданий части С и одним из них на наш взгляд, является метод координат.

Объект исследования:

Метод координат и его применение к решению задач геометрии.

Предмет исследования:

Применение метода координат к решению задач типа С2 ЕГЭ.

Цели и задачи:

  • изучить историю появления метода координат;

  • раскрыть содержание метода координат, обобщить основные формулы;

  • составить алгоритмы решения задач и показать их поэтапное применение;

  • подобрать задания, позволяющие отработать каждый из алгоритмов;

  • составить рекомендации для начинающих решать задачи методом координат.

Для решения поставленных перед собой задач изучим литературу по данной теме, осуществим поиск способов решения заданий на нахождение расстояний и углов в пространстве и составим алгоритмы их решения.







1. История метода координат

История возникновения координат и системы координат начинается очень давно, первоначально идея метода координат возникла еще в древнем мире в связи с потребностями астрономии, географии, живописи. Древнегреческого ученого Анаксимандра Милетского ( около 601- 546 до н.э ) считают составителем первой географической карты. Он четко описывал широту и долготу места, использую прямоугольные проекции.
Более чем за 100 лет до н.э греческие ученые Гиппарх предложил опоясать на карте земной шар параллелями и меридианами и ввести теперь хорошо известно географические координаты: широту и долготу и обозначить их числами.
Идея изображать числа в виде точек, а точкам числовые обозначения зародилось в далёкой древности. Первоначальное применение координат связанно с астрономией и географией, с потребностью определять положение святил на небе неопределенных пунктов на поверхности Земли, при составлении календаря, звездных и географических карт. Следы применения идей прямоугольных координат в виде квадратной сетки (палетки) изображены на стене одной из погребальных камер Древнего Египта.

Основная заслуга современного метода координат принадлежит Французскому математику Рене Декарту. До наших времен дошла такая история, которая подтолкнула его к открытию. Занимая в театре места согласно купленным билетам, мы даже не подозреваем, кто и когда предложил ставшим обычным в нашей жизни метод нумерации кресел по рядам и местам. Оказывается эта идея осенила знаменитого философа, математика и естествоиспытателя Рене Декарта (1596-1650)- того самого, чьим именем названы прямоугольные координаты. Посещая парижские театры, он не уставал удивляться путанице, перебранкам, а подчас и вызовом на дуэль, вызываемыми отсутствием элементарного порядка распределения публики в зрительном зале. Предложенная им система нумерации, которой каждое место получала номер ряда и порядковый номер от края, сразу сняла все поводы для раздоров и произвела настоящий фурор в Парижском высшем обществе.

Научное описание прямоугольной системы координат Рене Декарта впервые сделал в своей работе «Рассуждение о методе» в 1637 году. Поэтому прямоугольную систему координат называют также- Декартова система координат.

Вклад в развитие координатного метода внес также Пьер Ферма, однако его работы были впервые опубликованы уже после его смерти. Декарт и Ферма применяли координатные методы только на плоскости. Координатный метод трехмерного пространства впервые применил Леонард Эйлер уже в XVIII веке.





2. Система координат

Система координат – комплекс определений, реализующий метод координат, то есть способ определять положение точки или тела с помощью чисел или других символов. Совокупность чисел, определяющих положение конкретной точки, называется координатами этой точки. [2] Существует множество систем координат: аффинная, полярная, биполярная, параболическая, цилиндрическая, сферическая и др.

Но наиболее используемая – прямоугольная система координат(так же известная как декартова система). Ею и пользуются для решения задач.

Декартова прямоугольная система координат задается с помощью:

  • точки – начала координат,

  • трех взаимно перпендикулярных прямых называемых осями координат (Ох –ось абсцисс, Оу –ось ординат и Оzось аппликат) на каждой прямой выбрано направление положительных чисел,

  • единичного отрезка,

  • плоскостей хОу, хОz, уОz –координатных плоскостей.

Положение любой точки в пространстве определено с помощью трех чисел – величин проекций на координатные оси. Числа называют координатами точки.

http://www.exponenta.ru/educat/class/courses/an/theme4/images/Image910.gif





















3. Варианты расположения системы координат

По условиям задач С2 никаких координат нет. Для этого необходимо в зависимости от вида многогранника правильно ввести систему координат. Причем результат решения не зависит от того какую точку выбрать за начало координат. главное чтобы координаты точек просчитывались как можно проще.Предлагаем различные варианты введения системы координат.

Тело

Основание

Координаты

Кубhttp://le-savchen.ucoz.ru/test/C_2/Vek_1.png

C:\Users\апр\Desktop\Текучка\Метод координат\Метод координат ЖИ ЕСТЬ\proektishe\ffdfdfdfd.png

A(0;0;0) A1(0;0;a)

B(a;0;0) B1(a;0;a)

C(a;a;0) C1(a;a;a)

D(0;a;0) D1(0;a;a)

Прямоугольный параллелепипедC:\Users\Рустам\Pictures\Безымянный7.png


C:\Users\апр\Desktop\Текучка\Метод координат\Метод координат ЖИ ЕСТЬ\proektishe\длж.png

A(b;0;0) A1(b;0;c)

B(o;o;o) B1(0;0;c)

C(0;a;0) C1(0;a;c)

D(b;a;0)D1(b;a;c)

Правильная треугольная призмаC:\Users\Рустам\Pictures\Безымянный8.png


C:\Users\апр\Desktop\Текучка\Метод координат\Метод координат ЖИ ЕСТЬ\proektishe\pravilmaya treugolnaya piramida.png


A(
hello_html_m5eae66ed.gif;0;0) A1(hello_html_m5eae66ed.gif;0;c)

B(hello_html_m6b534371.gif;o;o)B1(hello_html_m6b534371.gif;0;c)

C(0;hello_html_7a9c909f.gif;0)C1(0;hello_html_7a9c909f.gif;c)

K(0;0;0) K1(0;0;c)

C:\Users\Рустам\Pictures\Безымянный9.png

C:\Users\апр\Desktop\Текучка\Метод координат\Метод координат ЖИ ЕСТЬ\proektishe\prizma.png

A(hello_html_m6b534371.gif;0;0)A1(hello_html_m6b534371.gif;0;c)

B(0;hello_html_7a9c909f.gif;0) B1(0;hello_html_7a9c909f.gif;c)

C1(hello_html_m5eae66ed.gif;0;c)K(0;0;0)

Правильная шестиугольная призмаC:\Users\Рустам\Pictures\Безымянный99.png


C:\Users\апр\Desktop\Текучка\Метод координат\Метод координат ЖИ ЕСТЬ\proektishe\6 ugolnaya prizma.png

A(hello_html_2769621.gif;0;0) A1(hello_html_2769621.gif;0;c)

B(hello_html_2769621.gif;a;0) B1(hello_html_2769621.gif;a;c)

C(hello_html_34c5cc8d.gif) C1(hello_html_646f9324.gif)

D(hello_html_17d772f6.gif) D1(hello_html_m3741c8fa.gif)

E(0;0;0) E1(0;0;c)

F(hello_html_33e40d87.gif)F1(hello_html_74519f93.gif)

Правильная треугольная пирамида

C:\Users\Рустам\Pictures\Безымянный98.png

C:\Users\апр\Desktop\Текучка\Метод координат\Метод координат ЖИ ЕСТЬ\proektishe\prizma.png

A(hello_html_61e37601.gif)

Bhello_html_3c66443c.gif

C(hello_html_m25eabd96.gif)

Shello_html_m5b755c7e.gif

Ohello_html_m2797710f.gif

K(0;0;0)

Правильная четырехугольная пирамида

C:\Users\Рустам\Pictures\Безымянный97.png

C:\Users\апр\Desktop\Текучка\Метод координат\Метод координат ЖИ ЕСТЬ\proektishe\pravilnaya 4 ugolnaya piramida.png

Ahello_html_m10cdb062.gif

Bhello_html_59833b4b.gif

Chello_html_m186bfb98.gif

Dhello_html_1ebd17e4.gif

Shello_html_m6baa9edb.gif

Ohello_html_m1748b3aa.gif

C:\Users\Рустам\Pictures\Безымянный96.png

C:\Users\апр\Desktop\Текучка\Метод координат\Метод координат ЖИ ЕСТЬ\proektishe\ffdfdfdfd.png

Ahello_html_m50080d4a.gif

Bhello_html_m1748b3aa.gif

Chello_html_7a1857ab.gif

Dhello_html_m3bf7e424.gif

Shello_html_57921ac3.gif

Ohello_html_2b7037b0.gif

Правильная шестиугольная пирамида

C:\Users\Рустам\Pictures\Безымянный85.png

C:\Users\апр\Desktop\Текучка\Метод координат\Метод координат ЖИ ЕСТЬ\proektishe\6 ugolnaya prizma.png

A(hello_html_2769621.gif;0;0)

B(hello_html_2769621.gif;a;0)

C(hello_html_m36adf999.gif)

D(0;a;0)

E(0;0;0)

F(hello_html_33e40d87.gif)

S(hello_html_43b7f610.gif)

O(hello_html_m1ac9f875.gif)











4. Необходимые формулы

Задача

Необходимые

данные

Формула

1

Нахождение координат вектора

Ahello_html_33c31b21.gif

Bhello_html_m35aeb688.gif

hello_html_acc0934.gif

2

Нахождение расстояния между точками

Ahello_html_33c31b21.gif

Bhello_html_m35aeb688.gif

Найдем координаты вектора

hello_html_acc0934.gif

hello_html_m23e94688.gif

3

Нахождение середины отрезка

Ahello_html_33c31b21.gif

Bhello_html_m35aeb688.gif

С – середина отрезка

Chello_html_540706ee.gif

4

Нахождение уравнения прямой проходящей через 2 точки

Ahello_html_33c31b21.gif

Bhello_html_m35aeb688.gif

hello_html_m17aecd4f.gif

5

Нахождения уравнения плоскости проходящей через 3 точки

Ahello_html_33c31b21.gif

Bhello_html_m35aeb688.gif

Chello_html_m21b288f8.gif


hello_html_3b7dacf6.gif

hello_html_3be4d7ab.gif

6

Нахождение угла между 2 векторами

hello_html_6f655744.gif

hello_html_46af923d.gif

hello_html_m12f440d3.gif

7

Нахождение угла между прямой и плоскостью

Ahello_html_33c31b21.gif

Bhello_html_m35aeb688.gif

hello_html_m73c70c58.gif

hello_html_m212d8d3b.gif

hello_html_m3855ef6.gif

hello_html_3b7dacf6.gif

hello_html_m4fc549d0.gif


8

Нахождение угла между двумя плоскостями

hello_html_mf0228c1.gif

hello_html_m38afe55b.gif

hello_html_449a7161.gif

9

Нахождение расстояния от точки до плоскости

Ahello_html_33c31b21.gif

hello_html_3b7dacf6.gif

hello_html_m2442db4d.gif

10

Нахождение координат точки, делящей отрезок в данном отношении

Ahello_html_33c31b21.gif

Bhello_html_m35aeb688.gif

E – точка, делящая отрезок в данном отношении

hello_html_m31ce4e15.gif

hello_html_58dfda91.gif

11

Площадь треугольника ABC на плоскости

hello_html_18056f42.gif

hello_html_m16a26398.gif

hello_html_3c6c5420.gif

12

Площадь треугольника ABC в пространстве

hello_html_5817daa1.gif

hello_html_11a48b62.gif

hello_html_27f6b6a.gif



5. Алгоритмы решения задач на нахождение расстояний в пространстве

5.1 Расстояние между двумя точками

Алгоритм вычисления расстояния между точками А и В

Пример:

В кубе ABCDA1B1C1D1 найти расстояние между точками P – серединой AD и Q – серединой CC1.

Задать систему координат

C:\Users\апр\Desktop\kubik.png

Ahello_html_33c31b21.gif Bhello_html_m35aeb688.gif

hello_html_m23e94688.gif

P(1;hello_html_6eec8aff.gif;0) Q(0;1;hello_html_6eec8aff.gif)

hello_html_18a38020.gif



5.2 Расстояние от точки до прямой

Как построить искомое расстояние от точки до прямой?

  • На прямой выбираем 2 точки;

  • Соединяем их с заданной точкой - образуется треугольник;

  • Расстояние от заданной точки до прямой- длина перпендикуляра, опущенного на прямую, а значит- высота треугольника;

  • В зависимости от вида треугольника (равнобедренный, прямоугольный, равносторонний, тупоугольный, остроугольный) проводим необходимую высоту.

Алгоритм вычисления расстояния от точки В до прямой MN

Пример:

В кубе ABCDA1B1C1D1 найти расстояние от точки D1 до прямой PQ, где P – середина AA1 и Q – серединой CD.

1)Задать систему координат






C:\Users\апр\Desktop\kubik.png

2)Найти координаты точек:

а)данной точки

б)точек задающих прямую

D1(1;1;1)

P(1;0;hello_html_6eec8aff.gif)

Q(hello_html_6eec8aff.gif;1;0)

3)Отметим точку B – проекцию A на MN




B(x;y;z)

4)B(x;y;z)

hello_html_1056862c.gif

hello_html_m28fa6506.gif

B(x;y;z)

hello_html_mf05ec39.gif

hello_html_39643ba3.gif

5)hello_html_7335dc90.gif => hello_html_4d656f72.gif

hello_html_mfb8c977.gif

Находим x, y, z

hello_html_29605aa7.gif=> hello_html_509baca1.gif

hello_html_51b5ebff.gif

X=hello_html_6e0b8d43.gif y=hello_html_m4f0befb5.gif z=hello_html_m1bcf515d.gif

6)hello_html_3966cd1d.gif

hello_html_m4d9a9459.gif

hello_html_da3ffc7.gif

hello_html_54770eb5.gif



5.3 Расстояние от точки до плоскости

Как построить искомое расстояние от точки до плоскости?

  • определить вид многоугольника, задающего плоскость по условию задачи;

  • соединить вершины многоугольника с заданной точкой. В результате образуется пирамида;

  • так как расстояние от точки до плоскости является длина перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость, то высота пирамиды, приведённая из данной точки к получившемуся многоугольнику и будет искомым расстоянием;

  • в зависимости от вида многоугольника и положения точки строим высоту пирамиды.

Алгоритм вычисления расстояния от точки А до плоскости MNK

Пример:

В кубе ABCDA1B1C1D1 найти расстояние от точки D1 до плоскости, проходящей через середины AA1, B1C1, CD

1) Зададим систему координат



C:\Users\апр\Desktop\kubik.png



2) Определим координаты точки А

A (xA; yA; zA)

hello_html_m696591b5.gif(1;1;1)

3) Определим координаты трех точек задающих (MNK)

Ax+By+Cz+ D = 0

вместо x,y,z поочередно подставим координаты точек.

M (xM ; yM ; zM), N (xN ; yN ; zN), K(xK ; yK ; zK)

hello_html_7adbce66.gif

Пусть D = 1

Найдем A,B,C

hello_html_m5a8c4342.gif(1;0;hello_html_6eec8aff.gif) – середина AA1

hello_html_29aa3f78.gif(0;hello_html_6eec8aff.gif;1) – середина B1C1

hello_html_m13878286.gif(hello_html_6eec8aff.gif;1;0) – середина CD

hello_html_71fe31e7.gifhello_html_m6b371a1d.gif

4) Найдем расстояние

hello_html_m1a77c7b8.gif

hello_html_a79fea1.gif

5.4 Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми

Как построить расстояние между скрещивающимся прямыми?

Пусть даны 2 скрещивающиеся прямые а и b. Чтобы построить расстояние между ними надо:

  • через одну из них провести плоскость, параллельную другой прямой;

  • проведём через прямую в плоскостью параллельную а;

  • из любой точки А прямой а опустить перпендикуляр АА1 на плоскость;

  • через основание перпендикуляра провести прямую а1, параллельную прямой а;

  • прямую а1b в точке B1;

  • через точку B1 провести прямую BB1 параллельную перпендикуляру AA1;

  • полученный отрезок BB1 и есть искомое расстояние между скрещивающимся прямыми.

Алгоритм вычисления расстояния между скрещивающимися прямыми АВ и СD

Пример:

В кубе ABCDA1B1C1D1 найти расстояние между прямыми CD1 и A1D

1) Зададим систему координат

C:\Users\апр\Desktop\kubik.png

2) Определим координаты 2-х точек задающих прямую АВ

А (xA ; yA ; zA) hello_html_m3a43dc8d.gif {xB-xA; yB-yA;zB-zA}

B(xB ; yB ; zB)

A1 (1 ; 0 ; 1)

D (1;1;0)

hello_html_60d7857b.gif{0;1;-1}

3) Определим координаты 2-х точек задающих прямую CD

С(xC ; yC ; zC) hello_html_7c9e6ffd.gif {xD-xC;yD-yC;zD-zC}

D(xD ; yD ; zD)

D1 (1 ; 1 ; 1)

C (0;1;0)

hello_html_1e5ab6ee.gif{-1;0;-1}

4) Пусть EF - общий перпендикуляр скрещивающихся прямых AB и CD, то есть

hello_html_m32076d4f.gif ˔ hello_html_m3a43dc8d.gif

hello_html_m32076d4f.gif˔ hello_html_7c9e6ffd.gif

E Є АВ, F Є hello_html_7c9e6ffd.gif




Пусть EF - общий перпендикуляр скрещивающихся прямых CD1 и A1D, то есть

hello_html_m32076d4f.gif˔ hello_html_60d7857b.gif

hello_html_m32076d4f.gif˔ hello_html_1e5ab6ee.gif


5) E Є АВ и делит hello_html_m3a43dc8d.gif в отношении K = hello_html_3675dc91.gif

Пусть А (xA ; yA ; zA) E (x1 : y1 : z1)

B(xB ; yB ; zB)

Ищем координаты точки Е по формулам

hello_html_66cf3f72.gifhello_html_398ba0b2.gifhello_html_67ebd1bf.gif

E Є hello_html_613e9a34.gif

k = hello_html_me22a007.gif

E (x1 : y1 : z1)

hello_html_7ef93edf.gif

6) F Є CD и делит hello_html_7c9e6ffd.gif в отношении p = hello_html_4cf981a4.gif

Пусть С (xс ; yс ; zс) F (x2: y2 : z2)

D(xD ; yD ; zD)

Ищем координаты точки F по формулам

hello_html_m5e520b08.gifhello_html_m2733dcbd.gifhello_html_m78850675.gif


F Є hello_html_186ea11c.gifD

p = hello_html_m3fc45a69.gif

F (x2: y2 : z2)

hello_html_23c03fba.gif

7) Найдем координаты вектора hello_html_m32076d4f.gif

hello_html_m32076d4f.gif {x2-x1;y2-y1;z2-z1}


hello_html_m32076d4f.gif{1hello_html_6bac19a5.gif;hello_html_m453fc27.gif1;hello_html_3fe7b7a9.gif}

8) Так как hello_html_m32076d4f.gif ˔hello_html_m3a43dc8d.gif и hello_html_m32076d4f.gif ˔ hello_html_7c9e6ffd.gif, то скалярное произведение векторов равно нулю.

Составим систему уравнений:

hello_html_6f041d.gif

hello_html_m24b31db2.gif

Решая получившуюся систему, найдем k и p

Подставляя k и p, найдем координаты вектора hello_html_m32076d4f.gif{x2-x1;y2-y1;z2-z1}

а затем длину вектора hello_html_m7f2a937a.gif

hello_html_m484fcb60.gif

hello_html_m1b8808f2.gif

p=2 hello_html_m2c5793e8.gif

hello_html_m32076d4f.gif{hello_html_7f8f9891.gif;hello_html_m586fcc3f.gif;hello_html_m586fcc3f.gif;}

hello_html_2420dd9f.gif



6. Алгоритмы решения задач на нахождение углов в пространстве

6.1 Угол между двумя прямыми

Как построить угол между двумя прямыми?

  • выделить на рисунке заданные прямые;

  • проверить, пересекаются ли прямые;

  • если прямые пересекаются, то показать угол;

  • если прямые не пересекаются, то находим прямую параллельную одной из них такую, чтобы получившиеся прямые пересекались и показываем угол между прямыми.

Часто для построения прямой параллельной данной приходится либо продолжать одну из граней многогранника, либо находить плоскость внутри многогранника и проводить прямую в этой плоскости.



















Алгоритм вычисления угла между прямыми АВ и СD

Пример:

В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямыми AA1 и CB1

1)Зададим систему координат

C:\Users\апр\Desktop\kubik.png

2)Найдем координаты двух точек направляющей вектора hello_html_m3a43dc8d.gif для первой прямой

Ahello_html_33c31b21.gif Bhello_html_m35aeb688.gif

Найдем координаты вектора АВ

hello_html_acc0934.gif

и обозначим их hello_html_m76274842.gif

C(0;1;0) B1(0;0;1)

hello_html_65bf4194.gif


3)Найдем длину вектора hello_html_m3a43dc8d.gif

hello_html_m18211a3c.gif

hello_html_m1649e128.gif

4)Найдем координаты двух точек направляющего вектора hello_html_7c9e6ffd.gif для второй прямой

Chello_html_m21b288f8.gif Dhello_html_m307b2999.gif

Найдем координаты вектора hello_html_7c9e6ffd.gif

hello_html_6b15ba2c.gif

и обозначим их hello_html_m1ff6448c.gif

A(1;0;0) A1(1;0;1)

hello_html_fdc13d1.gif

5)Найдем длину вектора hello_html_7c9e6ffd.gif

hello_html_64a97a5.gif

hello_html_m29c36e44.gif

6)Найдем угол между векторами



hello_html_m12f440d3.gif

hello_html_58274928.gif



6.2.1 Угол между прямой и плоскостью

Как построить угол между прямой и плоскостью?

  • выделить на рисунке заданные прямую и плоскость;

  • проверить пересекаются ли они;

  • если нет, то провести прямую параллельную данной такую, чтобы она пересекала плоскость;

  • на прямой, выбрать точку и опустить из неё перпендикуляр на плоскость;

  • соединить основания перпендикуляра с точкой пересечения прямой и плоскости;

  • угол между прямой и ее проекцией на плоскость и есть угол между прямой и плоскостью.

В каждом случае, при проведении перпендикуляра на плоскость приходится отвечать на вопрос – куда опустится перпендикуляр и где будет расположена точка, являющаяся основанием перпендикуляра. Для ответа на этот вопрос необходимо рассматривать многоугольники, задающие плоскость, определять их вид в зависимости от вида проводить перпендикуляр. Рассмотрим способ нахождения угла между прямой и плоскостью с помощью вектора нормали.

Алгоритм вычисления угла между прямой АВ и плоскостью MNK

Пример:

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD найдите угол между прямой DA и плоскостью SBC

1) Зададим систему координат










C:\Users\апр\Desktop\fdfdfdfdfd.png

2) Найдем координаты 2 точек направляющего вектора hello_html_m3a43dc8d.gif А (xA ; yA ; zA) hello_html_m3a43dc8d.gif{xB-xA; xB-xA; xB-xA}

B (xB ; yB ; zB)

Обозначим hello_html_m3a43dc8d.gif{a1 ; a2 ; a3}

вычислим длину hello_html_m3a43dc8d.gif

|hello_html_m3a43dc8d.gif| = hello_html_71323c65.gif

D (0;0;0) hello_html_7955a479.gif = {1;0;0}

A (1;0;0)

hello_html_69373c30.gif= hello_html_m4b89988d.gif = 1

3) Найдем координаты трех точек M, N, K принадлежащих плоскости.

M (xM ; yM ; zM), N (xN ; yN ; zN), K (xK ; yK ; zK)

S (0;0;1), B (1;1;0), C (0;1;0)

4) Найдем координаты 2-х векторов, выходящих из одной точки

hello_html_30ded3d7.gif{XN-XM; YN-YM; ZN-ZM}

hello_html_m218fa1a7.gif {XK-XM; YK-YM; ZK-ZM}

hello_html_m380e1f45.gif{1;1;-1}

hello_html_7b895fa4.gif{0;1;-1}

5) Найдем координаты вектора нормали

hello_html_69bf56cc.gif0 ; y0 ; Z0} перпендикулярного плоскости MNK.

Так как hello_html_69bf56cc.gif перпендикулярно (MNK), то

hello_html_m441a2ff.gif=>hello_html_2e28ef44.gif=>

hello_html_3d5017a0.gif

Выбираем одну из координат x0,y0,z0 равной 1, а остальные координаты просчитываем.

Получаем hello_html_69bf56cc.gif{x0 ; y0 ; z0}

Пусть hello_html_69bf56cc.gifhello_html_mee23517.gif} т.к. hello_html_69bf56cc.gifhello_html_11852162.gif˔ (SBC), то

hello_html_m4dd260fd.gif=> hello_html_m41622cf7.gif =>

hello_html_73b59b78.gif

hello_html_m15166332.gif

hello_html_69b83015.gif= 0 hello_html_7e672011.gif = 1 hello_html_m6ad25fa9.gif = 1

hello_html_69bf56cc.gif{0; 1 ; 1}

6) Найдем угол между вектором АВ и вектором нормали n

cos(hello_html_m1011baa3.gif) = hello_html_m7b5d325a.gif

cos(hello_html_3a9cc635.gif) = hello_html_25a8b9d8.gif = 0

7) Так как угол между прямой АВ и плоскостью MNK с углом между прямой АВ и вектором нормали n составляют в сумме 90о , то sinα = sin(90o-φ) = cosφ

Значит, если мы вычислим косинус угла между АВ и n , то синус угла между прямой АВ и плоскостью MNK принимает тоже значение sinα = |cosφ|

cosφ = 0 => sinα = 0





6.2.2 Угол между прямой и плоскостью

Покажем еще один способ нахождения угла между прямой и плоскостью с помощью уравнения плоскости.

Алгоритм вычисления угла между прямой АВ и плоскостью MNK

Пример:

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD найдите угол между прямой DA и плоскостью SBC

1) Зададим систему координат

C:\Users\апр\Desktop\fdfdfdfdfd.png

2) Найдем координаты точек задающих АВ

А (xA ; yA ; zA)

B(xB ; yB ; zB)

Найдем координаты вектора hello_html_m3a43dc8d.gif

hello_html_acc0934.gif

Пусть hello_html_mcfc9867.gif

D(0;0;0) hello_html_2829797c.gif

A(1;0;0)



m=1 n=0 k=0

3) Найдем координаты 3-х точек задающих плоскость

M (xM ; yM ; zM)

N (xN ; yN; zN)

K (xK ; yK ; zK)

S(0;0;1) B(1;1;0) O(0;1;0)

4) Составим уравнение плоскости:

Ax+By+Cz+ D = 0

Вместо x,y,z по очереди подставляем координаты точек M,N,K

hello_html_7adbce66.gif

Пусть D = 1. Решаем систему, находим А,В,С

Ax +By + Cz + D = 0

hello_html_6f2f559e.gif

A=0 B=-1 C=-1

5) Находим искомый угол

sinα = hello_html_m74d2c433.gif

sinα = hello_html_3e3186b7.gif



6.3.1 Угол между двумя плоскостями

Как построить угол между двумя плоскостями?

  • выделить на рисунке данные плоскости;

  • проверить, пересекаются ли они;

  • если нет, то провести плоскость параллельную одной из них, так чтобы плоскости пересекались;

  • выбрать общее ребро, по которому плоскости пересекаются;

  • определить вид многоугольника, задающего каждую плоскость, в зависимости от вида провести перпендикуляры в каждой плоскости к общему ребру так, чтобы они пересекались;

  • угол между двумя перпендикулярами и задаёт угол между плоскостями.

Иногда не удаётся провести оба перпендикуляра в одну точку. В этом случае проводим отрезок, параллельный одному из перпендикуляров, через основание другого перпендикуляра и выделяем угол.

Если сомневаемся – приходят ли перпендикуляры в одну точку, то достаточно вычислить длины отрезков на общем ребре для каждого многоугольника и сравнить результаты.

Покажем способ нахождения угла между двумя плоскостями с помощью нахождения векторов нормали.

Алгоритм вычисления угла между плоскостями АВС и MNK

Пример: (ЕГЭ 2012)

В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1стороны основания равны 1, а боковые рёбра равны 4. На ребре AA1отмечена точка E так, что hello_html_288c29e0.gif. Найти угол между плоскостями ABC и BED1

1) Зададим систему координат

C:\Users\Рустам\Pictures\Безымянный7.png

2) Найдем координаты точек M,N,K. Принадлежащих плоскости.

M(xM ; yM ; zM), N(xN ; yN ; zN), K(xK ; yK ; xK)

A(1;0;0) B(0;0;0) C(0;1;0)

3) Найдем координаты 2-х векторов, выходящих из одной точки hello_html_30ded3d7.gif{XN-XM; YN-YM; ZN-ZM}

hello_html_m218fa1a7.gif{XK-XM; YK-YM; ZK-ZM}

hello_html_m2e3137b.gif

hello_html_m5e9d9038.gif

4) Найдем координаты вектора нормали

hello_html_69bf56cc.gif0 ; y0 ; Z0} перпендикулярного плоскости MNK.

Так как hello_html_69bf56cc.gif перпендикулярно (MNK), то

hello_html_m441a2ff.gif=>hello_html_2e28ef44.gif=>

hello_html_3d5017a0.gif

Выбираем одну из координат x0, y0, z0 равной 1, а остальные координаты просчитываем.

Получаем hello_html_69bf56cc.gif{x0 ; y0 ; z0}

hello_html_3e14ae73.gif

hello_html_mbf8df83.gif



hello_html_m6a80e1df.gifhello_html_44c46af.gif

5) Аналогично рассмотрим плоскость АВС и найдем координаты вектора нормали hello_html_m7a7ae403.gif {x1; y1; z1} перпендикулярного плоскости (АВС)

hello_html_43ea2738.gif

6) Угол между двумя плоскостями равен углу между двумя векторами нормали hello_html_69bf56cc.gif и hello_html_m7a7ae403.gif

cos α = cos (hello_html_6214ee12.gif) = hello_html_m1dec1adc.gif

hello_html_5773c889.gif







6.3.2 Угол между двумя плоскостями

Покажем еще один способ нахождения угла между двумя плоскостями с помощью уравнения плоскости.



Алгоритм вычисления угла между плоскостями АВС и MNK

Пример: (ЕГЭ 2012)

В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1стороны основания равны 1, а боковые рёбра равны 4. На ребре AA1отмечена точка E так, что hello_html_288c29e0.gif. Найти угол между плоскостями ABC и BED1

1) Зададим систему координат

C:\Users\Рустам\Pictures\Безымянный7.png

2) Найдем координаты 3-х точек задающих ( АВС)

А (xA ; yA ; zA), B(xB ; yB ; zB), С(xс ; yс ; zс)

Составим уравнение плоскости:

A1x+B1y+C1z+ D = 0

вместо x,y,z поочередно подставляем координаты точек А, В, С

hello_html_4a9bccc4.gif

Пусть D = 1. Решим систему, найдем А111

A(1;0;0) B(0;0;0) C(0;1;0)



hello_html_m768c290.gif

Пусть С1=1, тогда A1=0B1=0

3) Найдем координаты 3-х точек задающих (MNK)

M (xM ; yM ; zM), N (xN ; yN ; zN), K (xK ; yK ; zK)

Составим уравнение плоскости:

A2x+B2y+C2z+ D = 0

вместо x,y,z поочередно подставляем координаты точек M,N,K

hello_html_3b50ced7.gif

Пусть D = 1

Решим систему, найдем А222

B(0;0;0) E(1;0;3) D1(1;1;4)



hello_html_198664ff.gif

Пусть C2=1, тогда A2=-3B2=-1

4) Найдем искомый угол
hello_html_4a379d13.gif

hello_html_45d20bce.gif











Заключение

В ходе выполнения исследовательской работы мы узнали много нового о методе координат: истории его возникновения; ученых, внесших свой вклад в его развитие; о существовании различных способов задания системы координат.


Нами были изучены различные источники: книги, учебники, справочники, в которых мы нашли формулы, необходимые при решении задач; рассмотрены разные подходы к их решению. Тем, кто заинтересовался данным методом решения задач, советуем обратиться к работам авторов, указанных в списке литературы, ведь именно благодаря их материалам работа, по нашему мнению, получилась столь насыщенной и понятной. Мы узнали, что с помощью метода координат можно вычислять, не только расстояния и углы, но и площади, объемы и многое другое.

Мы пришли к выводу, что использование метода координат требует от ученика внимательности, хороших вычислительных навыков.

Мы попытались систематизировать полученные нами данные в виде плана построения искомых расстояний и углов, а так же алгоритмов их вычисления. Результаты работы представлены в виде таблиц, дающих возможность научиться применять эти знания на конкретных примерах, взятых из вариантов ЕГЭ различных лет.

Нами подобраны задания, которые помогут отработать полученные навыки, и тем самым более качественно подготовиться к сдаче экзамена.

Мы надеемся, что изложенная в работе информация поможет выпускникам решить задание С2 и достичь более высоких результатов.



















Список литературы

  1. Единый государственный экзамен: Математика: сборник аналитических материалов/Под ред. В. В. Костромцовой, В. Н. Кеспикова; Составитель Е.В. Морозова - Челябинск, 2012. – 107с.

  2. ru.wikipedia.org – Система координат.

  3. Смирнова, И.М. C50 Геометрия. Расстояния и углы в пространстве: учебно-методическое пособие / И.М. Смирнова, В.А. Смирнов. – 2-е изд., перераб. И доп. – М.: Издательство «Экзамен», 2009. – 158, [2] с. (Серия «ЕГЭ. 100 баллов»)

  4. Севрюков, П.Ф. С28 Векторы и координаты в решении задач школьного курса стереометрии : учебное пособие / П.Ф. Севрюков, А.Н. Смоляков. – М.: Илекса ; НИИ Школьных технологий ; Ставрополь : Сервис школа, 2008. – 164 с. – (Серия «Изучение сложных тем школьного курса математики»).

  5. Литвиненко В.Н. Л64 Сборник задач по стереометрии с методами решений: Пособие для учащихся. – М.: Просвещение, 1998. – 255 с.: ил.

  6. Литвиненко В.Н. Л64 Геометрия. Готовимся к ЕГЭ. 11 класс: пособие для учащихся общеобразоват. учреждений / В.Н. Литвиненко.- М.: Просвещение, 2012. – 160 с.: ил. – (МГУ – школе). –

  7. Геометрия, 10 – 11 : Учеб. Для общеобразоват. учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – 13-е изд. – М.: Просвещение, 2004. – 206 с.: ил.

  8. И.М.Гельфанд Математика / И.М.Гельфанд, Е.Г.Глаголева, А.А.Кириллов – 6-е изд. исправленное и дополненное «Метод координат», Издательство «МЦНМО», Москва 2007 – 184 с.: ил.

  9. Корянов А.Г, Прокофьев А.А. Многогранники: виды задач и методы их решения. МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2013 (типовые задания С2) «Многогранники: виды задач и методы их решения» www.alexlarin.narod.ru

  10. Корянов А.Г, « Расстояния и углы в пространстве» МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2010 (типовые задания С2) www.alexlarin.narod.ru



28


Краткое описание документа:

В заданиях С2 вариантов ЕГЭ часто приходится решать задачи на нахождение углов между прямыми , прямой и плоскостью, двумя плоскостями или расстояний в пространстве.В школьном курсе геометрии мало внимания уделяется на рассмотрение этих вопросов. В данной работе я попыталась составить алгоритмы нахождения  нахождения углов или расстояний методом координат. А также показаны удобные расположения систем координат для каждого случая и набор формул. Данная работа поможет и выпускникам, при подготовке к ЕГЭ, и учителю при работе на уроке. В ходе отработки навыков применения метода координат, удобно пользоваться материалами, размещенными на сайте А.Ларина.

Автор
Дата добавления 29.11.2014
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров3152
Номер материала 161571
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх