Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015

Опубликуйте свой материал в официальном Печатном сборнике методических разработок проекта «Инфоурок»

(с присвоением ISBN)

Выберите любой материал на Вашем учительском сайте или загрузите новый

Оформите заявку на публикацию в сборник(займет не более 3 минут)

+

Получите свой экземпляр сборника и свидетельство о публикации в нем

Инфоурок / Математика / Конспекты / Метод координат в задачах типа С2.
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Метод координат в задачах типа С2.

библиотека
материалов

13


1. Система координат в пространстве.



Выберем начало координат. Проведем три взаимно перпендикулярные оси х, y и z . Выберем масштаб.

hello_html_m5636d2f6.png


Получилась система координат в трехмерном пространстве.

Каждая точка характеризуется тремя числами - координатами по x, y и z. Запись M(1; 3; 2) означает, что координата точки M по x (абсцисса) равна 1, координата по y (ордината) равна 3, а координата по z (аппликата) равна 2.



Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости.

Это направленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z:




ﺂ؟hello_html_m668d56fb.gif(xa; ya; za)

Чтобы найти координаты вектора, так же, как и на плоскости, из координаты конца надо вычесть координату начала.


1.hello_html_5d992088.gif hello_html_m75ce0092.gif


2.hello_html_5d992088.gif hello_html_533633b8.gif

Если точка M – середина отрезка AB, то ее координаты находятся по формуле:

3. hello_html_5268987f.gif hello_html_m3b927961.gif hello_html_2e1c7b1a.gif

4. hello_html_5d992088.gifhello_html_m1807ad9b.gif– сумма векторов.


5. hello_html_m447561f1.gif– разность векторов.



6. hello_html_5923968d.gif – произведение вектора на число.




7. hello_html_4d4df44e.gif- скалярное произведение векторов



8. hello_html_36fa7cb1.gif – косинус угла между векторами.

2. Введение системы координат.


Метод координат – это, конечно, очень хорошо, но в настоящих задачах C2 никаких координат и векторов нет, поэтому их надо вводить.


Самое замечательное свойство заключается в том, что не имеет никакого значения как именно вводить систему координат. Если все вычисления будут правильными, то и ответ будет правильным.


Куб в системе координат

2.1 Координаты куба.

Система координат вводится очень просто:

  1. Начало координат – в точке A

  2. Если ребро куба не указано, то принимаем его за единичный отрезок;

  3. Ось x направляем по ребру АВ, у – по ребру АD, а ось z – по ребру AA1 .

Теперь у каждой вершины куба есть координаты:


A (0; 0; 0), B (1; 0; 0), C (1; 1; 0), D (0; 1; 0),

A1 (0; 0;1) B (1; 0; 1) C1 (1; 1; 1), D1 (0; 1; 1).



2.2 Координаты правильной треугольной призмы



hello_html_m71ca9705.png



hello_html_42024dc2.png









A (1; 0; 0), Bhello_html_m18824183.gif, C (0; 0; 0), A1 (1; 0; 1), B1 hello_html_m3707d68f.gif, C1 (0; 0; 1).


2.3 Координаты правильной шестиугольной призмы


hello_html_79e41d04.pnghello_html_mb3c03e7.png

hello_html_m19986de2.gifhello_html_m1b246cae.gifhello_html_5a726dde.gifhello_html_m21970459.gifhello_html_224e1236.gifhello_html_7cfc0f98.gifhello_html_533489dd.gif

, , , , , , ,

hello_html_3d0a1aad.gifhello_html_7771ce69.gifhello_html_m34e2d2c2.gifhello_html_4e843cfb.gifhello_html_688c1a8b.gif

, , , , .


2.4 Координаты правильной четырехугольной пирамиды

Четырехугольная пирамида SABCD в системе координат OXYZ


Введем систему координат с началом в точке А

A (0; 0; 0), B (1; 0; 0), C (1; 1; 0), D (0; 1; 0), H (0,5; 0,5; 0).


Найдем координаты точки S. Рассмотрим треугольники ASH и ABH


  1. AS = AB = 1 по условию;

  2. Угол AHS = AHB = 90°, поскольку SH — высота, а AH  HB как диагонали квадрата;

  3. Сторона AH — общая.

Следовательно, прямоугольные треугольники ASH и ABH равны по одному катету и гипотенузе. Значит, SH = BH = 0,5 · BD. Но BD — диагональ квадрата со стороной 1. Поэтому имеем:

BD - половина диагонали квадрата

Итак, координаты точки S:

hello_html_4746709a.png

Рассмотрим случай, если боковые ребра пирамиды не равны ребрам основания. В этом случае рассмотрим треугольник AHS:Пирамида SABCD и прямоугольный треугольник AHS


Треугольник AHS — прямоугольный, причем гипотенуза AS — это одновременно и боковое ребро исходной пирамиды SABCD. Катет: AH = 0,5 · AC. Оставшийся катет SH найдем по теореме Пифагора. Это и будет координата z для точки S.

3. Матрицы и определители второго и третьего порядка.

Определение: Таблица, составленная из четырёх чисел hello_html_21f1ac48.gifназывается квадратной матрицей второго порядка. Числа hello_html_21f1ac48.gifназывают элементами матрицы.

Определение: Число называется определителем или детерминантом матрицы.

=hello_html_m33d3651.gif

Определитель третьего порядка можно вычислить так:


hello_html_13b53557.png

4. Метод координат в пространстве

4.1 Угол между прямыми.

Вычисление направляющих векторов для прямых.

В задаче С2 прямые всегда задаются парой точек. Если ввести систему координат и рассмотреть вектор с началом и концом в этих точках, получим направляющий вектор для прямой.

Направляющие векторы для прямых hello_html_453a3ff5.gif

α-угол между прямыми

3.1 Угол между двумя прямыми – это угол между их направляющими векторами.

Задача 1.hello_html_3318aa1c.png

В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямыми AE и BF, где E – середина ребра A1B1, где Е – середина ребра А1В1 а F – середина ребра B1C1.

Решение (1 способ)

K- середина A1D1 AKBF угол KAE = φ

По теореме Пифагора

hello_html_612f7bc1.gif

hello_html_51fe9b60.gifhello_html_4f52702b.gifhello_html_m39524d4b.gif



По теореме косинусов для ∆ AKE


KE² = AE² + AK² - 2 * AE *AK * cos φ


cos φ=0,8 φ=arccos0.8


Решение (2 способ)

hello_html_m6135fd5a.gifhello_html_m28b06d5a.gifhello_html_m685eb87c.gif

hello_html_m4e0154a6.gifhello_html_m31b8bdab.gif

hello_html_m58ed7100.gif



С помощью векторов и координат легко найти угол между прямыми.

hello_html_75b71f36.gif






А если требуется найти угол между плоскостями или между прямой и плоскостью, то для этого нам понадобится уравнение плоскости в пространстве.




4.2 Плоскость в пространстве задается уравнением.


Ax+By+Cz+D=0,

где A, B и С – координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости. Его называют нормалью к плоскости.

Чтобы написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.

Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 0; 1), N(2; -2; 0) и К (4; 1; 2)

Уравнение плоскости выглядит так:

Ax+By+Cz+D=0


Получим систему из трех уравнений:


hello_html_3557de7a.gif

В ней четыре неизвестных: A, B, С и D. Поэтому одну из них мы выберем сами, а другие выразим через нее. Правило – простое вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю.

Решив систему, получим:


A=-hello_html_m4bb2ff3c.gif B=-hello_html_m188012e.gif C=hello_html_48905cc6.gif

Уравнение плоскости MNK имеет вид:


hello_html_5dceb94b.gif

Умножим обе части уравнения на -3. Тогда коэффициенты станут целыми:


x+4y+7z+6-0

Вектор hello_html_m20b32414.gif(1; 4; -7) – это нормаль к плоскости MNK.

Если плоскость проходит через начало координат, то D=0 (так как D≠0 не позволит получить верное числовое равенство).

Уравнение плоскости, проходящей, через заданную точку hello_html_6ca869ff.gifимеет вид:

hello_html_m2996b74d.gif

Уравнение плоскости можно составить и с помощью определителя третьего порядка :

Пусть имеем точки

hello_html_m17377bc1.gifhello_html_6f9dbd85.gifhello_html_m950768a.gif,

Тогда уравнение плоскости, проходящей через эти три точки ,будет иметь вид:

hello_html_m6935dd22.gif=0



4.3 Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:


cos φ= hello_html_m7f8296c.gif

При пересечении двух плоскостей образуется четыре угла . Мы берем меньший из них. Поэтому в формуле стоит модуль скалярного произведения – чтобы косинус угла был неотрицателен.


Задача 2


В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и F с середины ребер соответственно A1B1 и

A1D1. Найдите косинус угла между плоскостями AEF и BDD1.

2012-12-29_160346

Видно, что плоскости AEF и BDD1 пересекаются где-то вне куба. В классическом решении пришлось бы строить пересечения. Но координатный метод значительно всё упрощает. Достаточно отметить координаты нужных точек и найти угол между нормалями к плоскостям AEF и BDD1.

A(0; 0; 0), C(1; 1; 0)

Сначала – нормаль к плоскости BDD1. Мы можем подставить координаты точек B, D и D1 в уравнение плоскости и найти координаты вектора нормали. А можно увидеть нужную нормаль на чертеже. Ведь плоскость BDD1 – это диагональное сечение куба. Вектор hello_html_m7e0ae109.gif перпендикулярен этой плоскости.


Итак, первый вектор нормали у нас уже есть: hello_html_3ef8fb2b.gif

Напишем уравнение плоскости AEF.

Ahello_html_m18e5e09f.gif Ehello_html_m6a2beb11.gif Fhello_html_m5ca4baa1.gif

Составим уравнение плоскости:

hello_html_m5d3c694e.pnghello_html_4b06e53f.png



hello_html_5d992088.gif

Уравнение плоскости AEF: 2x+2y-z=0


Нормаль к плоскости AEF: hello_html_m505fe929.gif(2; 2; -1)


Найдем угол между плоскостями: hello_html_70bf9969.gif


4.4 Угол между прямой и плоскостью2012-12-30_221921.png


hello_html_77d03e3.gifhello_html_7ec4dee.gif

hello_html_49b81fea.gif

Задача 3.

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой DE, где E-середина апофемы SF грани ASB грани и плоскостью ASC

Безымянный.PNG

hello_html_91138f3.gifhello_html_12ac8984.gifhello_html_m7ab007ad.gif

hello_html_12814f76.gifhello_html_5d992088.gifhello_html_m2bb77902.gifhello_html_md8d334f.gif

hello_html_m67ffba55.gif


OB - вектор нормали плоскости ASC

DE - направляющий вектор прямой

OB - hello_html_631c4a9f.gif - вектор нормали плоскости ASC


DE - hello_html_631c4a9f.gif - вектор направляющей вектор прямой DE

hello_html_306b1ca4.gif







hello_html_4ed2f4f2.gifhello_html_2bfac77f.gifОтвет:




4.5 Расстояние от точки до плоскости


hello_html_7e8a5f95.pnghello_html_m14411c2f.png


Задача 4


В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 , все рёбра которой равны 1, найдите расстояние от точки E до прямой B1C1.

Описание: C:\Users\Отец.Дом-ПК\Desktop\27057.jpg

Решение (1 способ)


1) Рассмотрим ΔCDE:

по теореме косинусов:

СЕ2 = 2СD2 - 2CD2 cos120° = 2 + 2*1/2 = 3 =>

CE = hello_html_5909bbae.gif

2) Рассмотрим ΔС1СЕ: он прямоугольный, т.к. С1С перпендикулярна плоскости нижнего основания => CC1 перпендикулярна СЕ.

По теореме Пифагора:

С1Е2 = (hello_html_5909bbae.gif)2 + 12 = 4, С1Е = 2

3) Рассмотрим ΔBCE: он прямоугольный , т.к. 120° - 60°:2 = 90° (из ΔCDE)

ВЕ2 = (hello_html_5909bbae.gif)2 + 12 = 4, ВЕ = 2

4) Рассмотрим ΔВВ1Е: он прямоугольный, т.к. ВВ1 перпендикулярна ВЕ,

по теореме Пифагора:

В1Е2 = В1В2 + ВЕ2 = 4 + 1 = 5, ВЕ = hello_html_1e398b2a.gif

5) Рассмотрим ΔВ1С1Е:

С1Е = 2, С1В1 = 1, В1Е = hello_html_1e398b2a.gif, т.е. 22 + 12 = (hello_html_1e398b2a.gif)2. Таким образом, по теореме обратной теореме Пифагора, ΔВ1С1Е – прямоугольный, угол В1С1Е = 90°

6) Искомое расстояние от точки Е до прямой В1С1 – это длина С1Е = 2hello_html_431c2a15.png



2 способ

1) Поместим призму в прямоугольную систему координат, расположив координатные оси, как показано на рисунке. СС1, СВ и СЕ попарно перпендикулярны, поэтому можно направить вдоль них координатные оси. Получаем координаты:

С1 (0;0;1), Е (hello_html_5909bbae.gif;0;0), В1 (0;1;1)

2) Найдем координаты векторов С1В1 и С1Е:

С1В1 (0;1;0), С1Е (hello_html_5909bbae.gif;0;-1).

3) Найдем косинус угла между С1В1 и С1Е, используя скалярное произведение векторов С1В1 и С1Е:

cosβ = hello_html_m3fd87859.gif = 0 => β = 90° => C1E – искомое расстояние.

4) С1Е = hello_html_m7f098c86.gif =2


4.6 Расстояние между скрещивающимися прямыми

 

в пространстве — это длина их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр скрещивающихся прямых — отрезок с концами на этих прямых, перпендикулярный обеим этим прямым.

Если прямые в пространстве пересекаются, расстояние между ними считается равным 0.

Пусть есть не пересекающиеся в пространстве прямые a и b.

Построим плоскости α и β так, чтобы эти плоскости были параллельны, плоскость α содержала в себе прямую a, плоскость β содержала в себе прямую b.

Расстоянием между прямыми a и b будет расстояние между плоскостями α и β.


hello_html_m4605bc60.png

hello_html_m2fbb26d1.png





Литература:

  1. Александров А.Д. и др

. Геометрия для 10-11 классов: Учеб. пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики . Просвещение, 1992.

2. Ю.М.Нейман, Т.М. Королева, Е.Г. Маркарян .

Математика: ЕГЭ: Учебно-справочные материалы «Просвещение», 2011.

3 . Погорелов А.В.

Геометрия: Учеб. для 7-11 кл. сред. шк., 4-е изд. – М.: Просвещение, 1993.

4. Смирнов В. А.

ЕГЭ 2011. Математика. Задача С2. Геометрия. Стереометрия

. Под ред. А. Л. Семенова и И.В.Ященко. МЦНМО, 2011.

5. Холева, О. В.

Нахождение углов между прямыми и плоскостями (координатно-векторный метод) . Математика в школе. - 2011. - №4.



 














Краткое описание документа:

             Стереометрические задачи на нахождение углов и расстояний традиционно вызывают затруднения, а именно проблематичным является построение на чертеже искомого угла и доказательство того, что именно этот угол искомый. Избежать подобных трудностей помогает метод координат.

Метод заключается во введении декартовой системы координат, а затем –«исчислении» образующихся векторов (их длин и углов между ними).

. Метод координат – это универсальный метод. Он обеспечивает тесную связь между алгеброй и геометрией. В некоторых случаях  метод координат дает возможность решать  задачи более рационально, красиво, чем   геометрический способ. Его главным преимуществом является то, что построение искомого угла  как раз не требуется.

Но наряду с преимуществами, данный метод имеет и недостатки:

1)    Иногда приходится много считать, и чем сложнее многогранник, тем больше объем вычислений.

2)    Во многих задачах получаются векторы, координаты которых содержат корни и дроби.

 От них можно избавиться, если помнить правило: при умножении вектора на число  а≠0 угол между  векторами   не меняется

Автор
Дата добавления 15.01.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров1510
Номер материала 305542
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх