Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Презентации / Метод объемов и ортогональных проекций в решении задач ЕГЭ

Метод объемов и ортогональных проекций в решении задач ЕГЭ



Внимание! Сегодня последний день приёма заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)


  • Математика

Название документа Метод объёмов.ppt

Материал подготовила Кемаева Г.С. Учитель МОУ «Лицей№47» Гор.Саратова
Если объём пирамиды АВСМ равен VABCM , то расстояние от точки M до плоскости...
Задача 1. Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно а. Найти расстояние от точки C до пло...
Объём этой пирамиды равен С другой стороны, так как треугольник BDC1 равносто...
Получаем уравнение Из которого находим
Задача 2. В правильной треугольной пирамиде SABC точка S – вершина. Точка M –...
Так как середина отрезка SA точка M принадлежит плоскости СМK, то точки A и S...
Найдем объём пирамиды SKMC и площадь треугольника KMC. где SО – высота пирами...
Треугольник KMC равнобедренный KC = MC и KM = 2 (как средняя линия треугольни...
Тогда высота треугольника KMС, опущенная на KM из точки C, равна и площадь
Соответственно, искомое расстояние
В правильной четырехугольной призме    высота равна 1,   а сторона основания...
Приравняем выражения для объемов и выразим его: Найдем площадь равнобедренног...
Метод ортогональных проекций При применении этого метода угол ψ между плоскос...
Обычно рассматриваемый в этом пункте метод применяют при вычислении угла межд...
Пример 3. В кубе ABCDA1B1C1D1 найти угол между плоскостью грани AA1B1B и плос...
То из формулы получим: Отсюда
Пример 4. В кубе ABCDA1B1C1D1 найти угол между плоскостями ABC1 и АВС. Решени...
треугольник ABC1 равносторонний Отсюда имеем Следовательно,
Пример 5. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, стороны основ...
Так как BA, D1E1 и CF перпендикулярны плоскости AA1 E1 (они перпендикулярны A...
Трапеция BA1D1C - равнобедренная, с основаниями A1 D1 = 2 , BC=1 и боковыми с...
а площадь равна В прямоугольной трапеции AA1E1G основания равны а высота AA1...
Находим Значит, искомый угол равен
Пример 7. В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит ромб ABCD со стороной...
Опустим из точки F перпендикуляр на плоскость ABC Точка F1 – ортогональная пр...
Из подобия треугольников EBG1 и GCG1 получаем ( EB ||GC ), что CG1 = BC , так...
Из теоремы косинусов для треугольника EBF1 получаем
Тогда из прямоугольных треугольников EFF1 и F1FG1 получаем Из теоремы косинус...
Тогда, используя теорему косинусов для треугольника EFG1 , получаем Находим п...
Находим площадь треугольника EF1G 1 Окончательно находим косинус углаα между...
А1 C1 B1 D1 D С В А N Построим проекцию точки С1 на плоскость ВА1D1 Δ D1C1C –...
А1 C1 B1 D1 D С В А N Треугольник А1С1В - равносторонний Воспользуемся формул...
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найди...
SH -высота боковой грани Δ ASD-равнобедренный Воспользуемся отношением Н
Н  Ответ:
В правильной треугольной призме   стороны основания равны 1, боковые ребра ра...
Ответ:
Найти площадь полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды, если ее...
Стороны основания треугольной пирамиды равны 6 см, 10 см и 14 см. Каждый двуг...
Использованные материалы: ЕГЭ-2013. Решения заданий С2_Корянов А.Г, Прокофьев...
1 из 41

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Материал подготовила Кемаева Г.С. Учитель МОУ «Лицей№47» Гор.Саратова
Описание слайда:

Материал подготовила Кемаева Г.С. Учитель МОУ «Лицей№47» Гор.Саратова

№ слайда 2 Если объём пирамиды АВСМ равен VABCM , то расстояние от точки M до плоскости
Описание слайда:

Если объём пирамиды АВСМ равен VABCM , то расстояние от точки M до плоскости α, содержащей треугольник АВС, вычисляют по формуле В общем случае рассматривают равенство объёмов одной фигуры, выраженные двумя независимыми способами.

№ слайда 3 Задача 1. Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно а. Найти расстояние от точки C до пло
Описание слайда:

Задача 1. Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно а. Найти расстояние от точки C до плоскости BDC1 . Решение. Искомое расстояние x равно высоте CQ , опущенной в пирамиде BCDC1 из вершины C на основание BDC1

№ слайда 4 Объём этой пирамиды равен С другой стороны, так как треугольник BDC1 равносто
Описание слайда:

Объём этой пирамиды равен С другой стороны, так как треугольник BDC1 равносторонний со стороной а √2 , объём пирамиды равен

№ слайда 5 Получаем уравнение Из которого находим
Описание слайда:

Получаем уравнение Из которого находим

№ слайда 6 Задача 2. В правильной треугольной пирамиде SABC точка S – вершина. Точка M –
Описание слайда:

Задача 2. В правильной треугольной пирамиде SABC точка S – вершина. Точка M – середина ребра SA, точка K – середина ребра SB. Найти расстояние от вершины A до плоскости CMK, если SC = 6, AB = 4.

№ слайда 7 Так как середина отрезка SA точка M принадлежит плоскости СМK, то точки A и S
Описание слайда:

Так как середина отрезка SA точка M принадлежит плоскости СМK, то точки A и S равноудалены от этой плоскости (см. рис). Расстояние от точки S до плоскости СМK высоте пирамиды SKMC, опущенной на основание KMC.

№ слайда 8 Найдем объём пирамиды SKMC и площадь треугольника KMC. где SО – высота пирами
Описание слайда:

Найдем объём пирамиды SKMC и площадь треугольника KMC. где SО – высота пирамиды SABC, опущенной на основание ABC

№ слайда 9 Треугольник KMC равнобедренный KC = MC и KM = 2 (как средняя линия треугольни
Описание слайда:

Треугольник KMC равнобедренный KC = MC и KM = 2 (как средняя линия треугольника SAB). Найдем MC из треугольника ASC (как его медиану):

№ слайда 10 Тогда высота треугольника KMС, опущенная на KM из точки C, равна и площадь
Описание слайда:

Тогда высота треугольника KMС, опущенная на KM из точки C, равна и площадь

№ слайда 11 Соответственно, искомое расстояние
Описание слайда:

Соответственно, искомое расстояние

№ слайда 12 В правильной четырехугольной призме    высота равна 1,   а сторона основания
Описание слайда:

В правильной четырехугольной призме    высота равна 1,   а сторона основания равна    Точка  М  середина ребра АА1   Найдите расстояние от точки  М до плоскости  Рассмотрим треугольную пирамиду   Ее объем можно выразить двумя способами: где h- искомое расстояние.

№ слайда 13 Приравняем выражения для объемов и выразим его: Найдем площадь равнобедренног
Описание слайда:

Приравняем выражения для объемов и выразим его: Найдем площадь равнобедренного треугольника  Проведем в нем высоту  . . Следовательно, искомое расстояние  h

№ слайда 14 Метод ортогональных проекций При применении этого метода угол ψ между плоскос
Описание слайда:

Метод ортогональных проекций При применении этого метода угол ψ между плоскостями α и β можно вычислить, используя формулу где S – площадь многоугольника, лежащего в плоскости α , Sпр – площадь его ортогональной проекции на плоскость β .

№ слайда 15 Обычно рассматриваемый в этом пункте метод применяют при вычислении угла межд
Описание слайда:

Обычно рассматриваемый в этом пункте метод применяют при вычислении угла между плоскостью сечения и плоскостью какой-либо грани многогранника Метод ортогональной проекции

№ слайда 16 Пример 3. В кубе ABCDA1B1C1D1 найти угол между плоскостью грани AA1B1B и плос
Описание слайда:

Пример 3. В кубе ABCDA1B1C1D1 найти угол между плоскостью грани AA1B1B и плоскостью BC1D. Решение. Пусть ребро куба равно 1. Ортогональной проекцией треугольника BC1D на плоскость AA1B1 является треугольник AB1B, площадь которого равна 0,5. Поскольку BD = BC1 = C1 D =√ 2 (как диагонали граней куба),

№ слайда 17 То из формулы получим: Отсюда
Описание слайда:

То из формулы получим: Отсюда

№ слайда 18 Пример 4. В кубе ABCDA1B1C1D1 найти угол между плоскостями ABC1 и АВС. Решени
Описание слайда:

Пример 4. В кубе ABCDA1B1C1D1 найти угол между плоскостями ABC1 и АВС. Решение. Пусть α искомый угол. Используем соотношение Где

№ слайда 19 треугольник ABC1 равносторонний Отсюда имеем Следовательно,
Описание слайда:

треугольник ABC1 равносторонний Отсюда имеем Следовательно,

№ слайда 20 Пример 5. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, стороны основ
Описание слайда:

Пример 5. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, стороны основания которой равны 1, а боковые рёбра равны 2, найти угол между плоскостями BA1D1 и AA1E1 . Решение. Заметим, что четырехугольники BA1D1C и AA1E1E - сечения данной призмы плоскостями BA1D1 и AA1E1

№ слайда 21 Так как BA, D1E1 и CF перпендикулярны плоскости AA1 E1 (они перпендикулярны A
Описание слайда:

Так как BA, D1E1 и CF перпендикулярны плоскости AA1 E1 (они перпендикулярны AA1 и AE ), то трапеция AA1E1G , где G - середина отрезка AE , есть ортогональная проекция трапеции BA1D1C на плоскость сечения AA1E1E.

№ слайда 22 Трапеция BA1D1C - равнобедренная, с основаниями A1 D1 = 2 , BC=1 и боковыми с
Описание слайда:

Трапеция BA1D1C - равнобедренная, с основаниями A1 D1 = 2 , BC=1 и боковыми сторонами BA1 = CD1 = Ее высота h равна

№ слайда 23 а площадь равна В прямоугольной трапеции AA1E1G основания равны а высота AA1
Описание слайда:

а площадь равна В прямоугольной трапеции AA1E1G основания равны а высота AA1 = 2 . Её площадь равна

№ слайда 24 Находим Значит, искомый угол равен
Описание слайда:

Находим Значит, искомый угол равен

№ слайда 25 Пример 7. В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит ромб ABCD со стороной
Описание слайда:

Пример 7. В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит ромб ABCD со стороной √21 и углом А = 60° . На рёбрах AB, B1C1 и DC взяты соответственно точки E, F и G так, что AE = EB , B1F1 = FC и DG = 3GC . Найти косинус угла между плоскостями EFG и ABC , если высота призмы равна 4,5.

№ слайда 26 Опустим из точки F перпендикуляр на плоскость ABC Точка F1 – ортогональная пр
Описание слайда:

Опустим из точки F перпендикуляр на плоскость ABC Точка F1 – ортогональная проекция точки F на плоскость основания и BF1 = FC1, FF1 || BB1 Пусть G1 точка пересечения прямых EG и BC . F1 G1 Треугольник EF1G1 , лежащий в плоскости ABC – ортогональная проекция треугольника EFG1 , лежащего в плоскости EFG .

№ слайда 27 Из подобия треугольников EBG1 и GCG1 получаем ( EB ||GC ), что CG1 = BC , так
Описание слайда:

Из подобия треугольников EBG1 и GCG1 получаем ( EB ||GC ), что CG1 = BC , так как

№ слайда 28 Из теоремы косинусов для треугольника EBF1 получаем
Описание слайда:

Из теоремы косинусов для треугольника EBF1 получаем

№ слайда 29 Тогда из прямоугольных треугольников EFF1 и F1FG1 получаем Из теоремы косинус
Описание слайда:

Тогда из прямоугольных треугольников EFF1 и F1FG1 получаем Из теоремы косинусов для треугольника EBG1 получаем

№ слайда 30 Тогда, используя теорему косинусов для треугольника EFG1 , получаем Находим п
Описание слайда:

Тогда, используя теорему косинусов для треугольника EFG1 , получаем Находим площадь треугольника EFG1

№ слайда 31 Находим площадь треугольника EF1G 1 Окончательно находим косинус углаα между
Описание слайда:

Находим площадь треугольника EF1G 1 Окончательно находим косинус углаα между плоскостями EFG и ABC по формуле Ответ.: 1/√13 .

№ слайда 32 А1 C1 B1 D1 D С В А N Построим проекцию точки С1 на плоскость ВА1D1 Δ D1C1C –
Описание слайда:

А1 C1 B1 D1 D С В А N Построим проекцию точки С1 на плоскость ВА1D1 Δ D1C1C – равнобедренный С1N- высота и медиана. Δ А1NB – равнобедренный треугольник, который является проекцией Δ. ВА1С1 на плоскость ВА1D1 AD = высоте этого треугольника S А1NB

№ слайда 33 А1 C1 B1 D1 D С В А N Треугольник А1С1В - равносторонний Воспользуемся формул
Описание слайда:

А1 C1 B1 D1 D С В А N Треугольник А1С1В - равносторонний Воспользуемся формулой Получим Ответ:

№ слайда 34 В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найди
Описание слайда:

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите синус угла между плоскостью SAD и плоскостью, проходящей через точку A перпендикулярно прямой BD. треугольник АОS проекция треугольника ASD на плоскость АSС. S AOS = 1/2 AO · SO S AOS = 1/4

№ слайда 35 SH -высота боковой грани Δ ASD-равнобедренный Воспользуемся отношением Н
Описание слайда:

SH -высота боковой грани Δ ASD-равнобедренный Воспользуемся отношением Н

№ слайда 36 Н  Ответ:
Описание слайда:

Н  Ответ:

№ слайда 37 В правильной треугольной призме   стороны основания равны 1, боковые ребра ра
Описание слайда:

В правильной треугольной призме   стороны основания равны 1, боковые ребра равны 2, точка  D — середина ребра  CC1.  Найдите угол между плоскостями  ABC  и  ADB1. Δ АВС является проекцией Δ АВ1D Найдем площади этих треугольников. Δ АВ1D – равнобедренный DH – высота Δ АВ1D

№ слайда 38 Ответ:
Описание слайда:

Ответ:

№ слайда 39 Найти площадь полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды, если ее
Описание слайда:

Найти площадь полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды, если ее высота равна Н, а площадь боковой грани равна площади основания.

№ слайда 40 Стороны основания треугольной пирамиды равны 6 см, 10 см и 14 см. Каждый двуг
Описание слайда:

Стороны основания треугольной пирамиды равны 6 см, 10 см и 14 см. Каждый двугранный угол при ее основании равен 30°. Найти площадь боковой поверхности пирамиды.

№ слайда 41 Использованные материалы: ЕГЭ-2013. Решения заданий С2_Корянов А.Г, Прокофьев
Описание слайда:

Использованные материалы: ЕГЭ-2013. Решения заданий С2_Корянов А.Г, Прокофьев А.А_2013 -102с http://reshuege.ru/ ЕГЭ 2015. Математика. 50 вар. заданий_ред. Ященко_2015 -248с Анимационные рисунки сделаны Кемаевой Г.С.

Название документа метод объемов и ортог проекций.doc

Поделитесь материалом с коллегами:



hello_html_m7908f11.gif

hello_html_m35392f7f.gifhello_html_m25ada1b1.gif

hello_html_15ae8026.gif

hello_html_m56a12a67.gif

hello_html_6f683188.gif

hello_html_m6eb23735.gif

22. C 2 № 485966. (Гущин) В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной приз­ме hello_html_7899e29d.png вы­со­та равна hello_html_mc6cdc5.png а сто­ро­на ос­но­ва­ния равна hello_html_m4672325d.png Точка hello_html_m6f701d24.png — се­ре­ди­на ребра hello_html_75fbd2a9.png Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки hello_html_m6f701d24.png до плос­ко­сти hello_html_m2f37e97c.png

Ре­ше­ние.

hello_html_690969cf.png

Рас­смот­рим тре­уголь­ную пи­ра­ми­ду hello_html_5b8c8032.png Ее объем можно вы­ра­зить двумя спо­со­ба­ми:

1) hello_html_c3586b1.png

hello_html_m2673de4b.png.

2) hello_html_m7441835c.png, где hello_html_2a093b83.png ис­ко­мое рас­сто­я­ние.

При­рав­ня­ем вы­ра­же­ния для объ­е­мов и вы­ра­зим его:

hello_html_m6132ef63.png

Най­дем пло­щадь рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка hello_html_m2f37e97c.png Про­ве­дем в нем вы­со­ту hello_html_m34553c63.png

 

hello_html_m5f36e666.png

hello_html_1a5a34cb.png.

hello_html_m19699bee.png

hello_html_m214429df.png.

Сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мое рас­сто­я­ние hello_html_49902b30.png

Ответ: hello_html_m26a8b56c.png



C 2 № 504416. В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC бо­ко­вое ребро SA = 5, а сто­ро­на ос­но­ва­ния AB = 4. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через ребро AB пер­пен­ди­ку­ляр­но ребру SC .

Ре­ше­ние.

hello_html_m1aaf1edb.pngВ тре­уголь­ни­ке BCS про­ведём вы­со­ту BK , тогда ис­ко­мое се­че­ние — тре­уголь­ник ABK . Пусть Q — пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABK . Се­че­ние из усло­вия раз­би­ва­ет пи­ра­ми­ду на тет­ра­эд­ры CAKB и SAKB . Их сум­мар­ный объём

 

hello_html_3386fee3.png

 

равен объёму пи­ра­ми­ды.

 

Пусть — SO вы­со­та пи­ра­ми­ды. В тре­уголь­ни­кеSCO имеем:

 

hello_html_m72d306c0.png

hello_html_580824a2.png

 

Объём пи­ра­ми­ды SABC равен

 

hello_html_m11f5bad5.png

 

При­рав­ни­вая два най­ден­ных зна­че­ния для объёма, по­лу­ча­ем

 

hello_html_18d0b13a.png

 

Ответ: hello_html_1da740f1.png.

 C 2 № 504437. В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC бо­ко­вое ребро SA = 6, а сто­ро­на ос­но­ва­ния AB = 4. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через ребро AB пер­пен­ди­ку­ляр­но ребру SC .

Ре­ше­ние.

hello_html_m25f39b44.pngВ тре­уголь­ни­ке BCS про­ведём вы­со­ту BK, тогда ис­ко­мое се­че­ние — тре­уголь­ник ABK. Пусть Q — пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABK. Се­че­ние из усло­вия раз­би­ва­ет пи­ра­ми­ду на тет­ра­эд­ры CAKB и SAKB . Их сум­мар­ный объём

 

hello_html_737d3da5.png

 

равен объёму пи­ра­ми­ды.

 

Пусть — SO вы­со­та пи­ра­ми­ды. В тре­уголь­ни­кеSCO имеем:

 

hello_html_m72d306c0.png

 

hello_html_m55d3fc70.png

 

Объём пи­ра­ми­ды SABC равен

 

hello_html_m3cb21724.png

 

При­рав­ни­вая два най­ден­ных зна­че­ния для объёма, по­лу­ча­ем

 

hello_html_m22c7f9d5.png

 

Ответ:  hello_html_m20b89b1.png.




hello_html_m61c40b9.gif

hello_html_61072aba.gif

hello_html_md4a7639.gif

hello_html_1fd61791.gif

hello_html_m6a6e599f.gif

hello_html_m72cc315e.gif

hello_html_m9a05119.gif

hello_html_m213bb030.gif

hello_html_73bf9582.gifhello_html_m25f5a033.gif

hello_html_m1d9fc025.gifhello_html_a75bd08.gif

hello_html_7a3e2d87.gif

hello_html_m3a84abd8.gif

hello_html_68a40225.gif

hello_html_m562877d6.gifhello_html_m1067a3e3.gif

hello_html_m1b2b8ba2.gifhello_html_72a62d6c.gif

hello_html_m35c487d5.gif

hello_html_65efd2b3.gif

hello_html_55e2b0fc.gif

hello_html_m1e882569.gif

hello_html_2acb3a5b.gif

hello_html_124fd266.gif

hello_html_m2f8ad7a6.gif

hello_html_m4e0c633d.gifhello_html_m9720acc.gif

hello_html_m59660f4f.gif

ЕГЭ 2015. Математика. Тип. экзам. вар. 36 вар._

Ященко_2015 -272с



hello_html_m5ecdcef3.gif

hello_html_4b5a0cec.gif

2 способ (метод проекций)

hello_html_24004a82.gif

hello_html_m7de5c376.gif

C 2 (Гушин) № 484562. В кубе hello_html_7899e29d.png най­ди­те ко­си­нус угла между плос­ко­стя­ми hello_html_6a41376.png и hello_html_m36bfde3f.png

Ре­ше­ние.

Пусть точка hello_html_m36fa57aa.png — центр куба, а hello_html_m6f701d24.png — се­ре­ди­на hello_html_m2932e00f.png hello_html_1e1954ff.png а hello_html_66c2b1fa.png — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка hello_html_fb70097.png, по­это­му hello_html_mfc31a91.png Тре­уголь­ник hello_html_6a41376.png — рав­но­сто­рон­ний, hello_html_m62670b14.png сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мый угол равен углу hello_html_m22e8ad71.png

 

hello_html_m3d7fa323.png

При­мем длины ребер куба за hello_html_m9ca0d5f.png. Най­дем сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка hello_html_m22e8ad71.png Из тре­уголь­ни­ка hello_html_fb70097.png на­хо­дим hello_html_m3b6078f0.png из рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка hello_html_6a41376.png на­хо­дим

 

hello_html_4ac28919.png

по­сколь­ку hello_html_m36fa57aa.png — се­ре­ди­на диа­го­на­ли hello_html_5bcbf70e.png то hello_html_703553d5.png Те­перь при­ме­ним к тре­уголь­ни­ку hello_html_m46f508b.png тео­ре­му ко­си­ну­сов:

 

hello_html_1ace8dc6.png

Ответ: hello_html_m1039f6e5.png


 . C 2 № 484565. В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCD, все ребра ко­то­рой равны 1, най­ди­те синус угла между плос­ко­стью SAD и плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точку A пер­пен­ди­ку­ляр­но пря­мой BD.

Ре­ше­ние.

Пусть точка hello_html_m36fa57aa.png — центр ос­но­ва­ния, а hello_html_m6f701d24.png — се­ре­ди­на ребра hello_html_m7cdb8a7a.png По­сколь­ку hello_html_m5de60b1e.png и hello_html_54a96e07.pngплос­кость hello_html_1a930338.png пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой hello_html_m49d99713.png Это зна­чит, что плос­кость hello_html_1a930338.png и есть плос­кость, про­хо­дя­щая через точку hello_html_m72b00d28.png пер­пен­ди­ку­ляр­но hello_html_m49d99713.png

Про­ве­дем от­рез­ки hello_html_m454a2812.png и hello_html_m24f16fdf.png Так как тре­уголь­ник hello_html_4f025d38.png пра­виль­ный, hello_html_m72965e57.png Так как тре­уголь­ник hello_html_m4e42ee79.png — рав­но­бед­рен­ный, hello_html_m11c8c33c.png Сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мый угол равен углу hello_html_m62bc1450.png Най­дем сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка hello_html_425d63d1.png

 

hello_html_681d9265.png

 

hello_html_m317ff6cc.png

По тео­ре­ме ко­си­ну­сов:

 

hello_html_1c8fffe5.png

От­сю­да

hello_html_mbc5e44b.png

Ответ: hello_html_m1039f6e5.png

При­ме­ча­ние.

Ре­ше­ние су­ще­ствен­но упро­ща­ет­ся, если за­ме­тить, что тре­уголь­ник hello_html_58b615f6.png — пря­мо­уголь­ный: hello_html_m5f0bf84d.png


(2 способ )




треугольник АОS проекция треугольника ASD на плоскость АSС.

hello_html_ma703ed5.gif

hello_html_32f5f38e.gif

hello_html_m1a357e99.gif

hello_html_6eecf1cd.gif

S AOS = 1/2 AO · SO S AOS = 1/4


SH -высота боковой грани


hello_html_2a97ee53.gif

hello_html_100f0c94.gif

hello_html_740f0a9e.gif

hello_html_m51fb6dab.gif

hello_html_md740624.gif

hello_html_46369fc2.gif



Воспользуемся отношением hello_html_3efe6437.png


hello_html_m2c4a7dae.gif



hello_html_m623ab1f9.gif

hello_html_mcab2438.gif


 Ответ: hello_html_m6c85d3ed.gif


10. C 2 № 500347. В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме hello_html_madc9a8c.png сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны 1, бо­ко­вые ребра равны 2, точка hello_html_44d1c288.png — се­ре­ди­на ребра hello_html_4f769fe4.png Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми hello_html_m485e0c24.png и hello_html_3b6631fc.png

Ре­ше­ние.

hello_html_1dacdef2.pngПря­мая hello_html_65087e79.png пе­ре­се­ка­ет пря­мую hello_html_m6a8f3bbc.png в точке hello_html_3ccd46e7.png. Плос­ко­сти hello_html_m485e0c24.png и hello_html_5a58e1d6.png пе­ре­се­ка­ют­ся по пря­мой hello_html_5edec664.png. Из точки hello_html_44d1c288.png опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр hello_html_ad2036a.png на пря­мую hello_html_5edec664.png, тогда от­ре­зок hello_html_m26c21d9a.png (про­ек­цияhello_html_ad2036a.png) пер­пен­ди­ку­ля­рен пря­мой hello_html_5edec664.png. Угол hello_html_m18110627.pngяв­ля­ет­ся ли­ней­ным углом дву­гран­но­го угла, об­ра­зо­ван­но­го плос­ко­стя­ми hello_html_m485e0c24.png и hello_html_3b6631fc.png

 

Точка hello_html_44d1c288.png — се­ре­ди­на ребра hello_html_m583d36ff.png, по­это­му hello_html_52409cc1.png.

 

Из ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков hello_html_54736c91.png и hello_html_m4d43863d.pngпо­лу­ча­ем:

 

 

hello_html_m720e8018.png

В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке hello_html_7323c8ca.png угол hello_html_77faa71c.png равен hello_html_1496fac7.pnghello_html_m712212b.png вы­со­та hello_html_m26c21d9a.png яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой, от­ку­да

 

 

hello_html_3866028a.png.

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка hello_html_m74d04aa8.png с пря­мым углом hello_html_77faa71c.png по­лу­ча­ем:

 

 

hello_html_mc4ce39f.png, тогда hello_html_m5fbe6bdb.png.

Ответ может быть пред­став­лен и в дру­гой форме: hello_html_m12bc9e1.png hello_html_m48c56216.png

 

Ответ: hello_html_33ca190e.png



hello_html_17a3c046.gif

hello_html_3b317688.gif





C 2 № 500064. В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме hello_html_madc9a8c.png сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны 2, бо­ко­вые ребра равны 3, точка hello_html_44d1c288.png — се­ре­ди­на ребра hello_html_4f769fe4.png Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми hello_html_m485e0c24.png и hello_html_3b6631fc.png

Ре­ше­ние.

hello_html_m46d5140a.png

Пря­мая hello_html_65087e79.png пе­ре­се­ка­ет пря­мую hello_html_m6a8f3bbc.png в точке hello_html_m6c3344c7.pngПлос­ко­сти hello_html_m485e0c24.png и hello_html_5a58e1d6.png пе­ре­се­ка­ют­ся по пря­мой hello_html_m449e57ea.png Из точки hello_html_44d1c288.png опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр hello_html_ad2036a.png на пря­мую hello_html_m63b950e6.png тогда от­ре­зок hello_html_m26c21d9a.png (про­ек­ция hello_html_ad2036a.png), по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах, пер­пен­ди­ку­ля­рен пря­мой hello_html_m449e57ea.png Угол hello_html_m18110627.png яв­ля­ет­ся ли­ней­ным углом дву­гран­но­го угла, об­ра­зо­ван­но­го плос­ко­стя­ми hello_html_m485e0c24.png и hello_html_3b6631fc.png

Точка hello_html_44d1c288.png — се­ре­ди­на ребра hello_html_m7864af39.png по­это­му hello_html_m5a18395a.png

Из ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков hello_html_54736c91.png и hello_html_m4d43863d.png по­лу­ча­ем: hello_html_49abb02f.png

В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке hello_html_7323c8ca.png угол hello_html_77faa71c.pngравен hello_html_1496fac7.pnghello_html_5f81964c.png вы­со­та hello_html_m26c21d9a.png яв­ля­ет­ся вы­со­той и бис­сек­три­сой, от­ку­да hello_html_7d519ec6.png

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка hello_html_m74d04aa8.png с пря­мым углом hello_html_77faa71c.png по­лу­ча­ем:

 

hello_html_7fb62403.png, тогда hello_html_1fa9c5dd.png.

Ответ: hello_html_11681a7b.png

 

За­ме­ча­ние: Ответ может быть пред­став­лен и в дру­гой форме: hello_html_1a7485db.png hello_html_m765011c1.png


 hello_html_225c59df.gif


hello_html_m3dab4508.gif

hello_html_m34e48878.gif

hello_html_m800b8c9.gif

hello_html_20978524.gifhello_html_c9fe50a.gif

hello_html_71429e6.gif

hello_html_m717e4e8.gif

hello_html_m32466ef4.gif

hello_html_m1ab1ec16.gif

hello_html_3e64f822.gif

hello_html_5d7c21a7.gif





Использованные материалы:

ЕГЭ-2013. Решения заданий С2_Корянов А.Г, Прокофьев А.А_2013 -102с

http://reshuege.ru/

ЕГЭ 2015. Математика. 50 вар. заданий_ред. Ященко_2015 -248с

ЕГЭ 2015. Математика. Тип. экзам. вар. 36 вар._Ященко_2015 -272с









57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)


Краткое описание документа:

При подготовке учащихся к ЕГЭ я столкнулась с недостатком материала по данной теме. Я  проработала материалы и создала подборку задач, некоторые задачи у авторов решены другим способом, я попыталась показать как одни и те же задачи можно решить разными способами.

Использованные материалы:

 

ЕГЭ-2013. Решения заданий С2_Корянов А.Г, Прокофьев А.А_2013 -102с

http://reshuege.ru/

ЕГЭ 2015. Математика. 50 вар. заданий_ред. Ященко_2015 -248с

 

ЕГЭ 2015. Математика. Тип. экзам. вар. 36 вар._Ященко_2015 -272с

Материал содержит подробное решение задач методом объемов и ортогональных проекций, а также подборку задач для самостоятельного решения.

Материал может быть использован учителем на уроках или учащимися для самоподготовки к ЕГЭ.

Автор
Дата добавления 29.06.2015
Раздел Математика
Подраздел Презентации
Просмотров886
Номер материала 578476
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх