Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Метод рационализации при решении показательных и логарифмических неравенств
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Метод рационализации при решении показательных и логарифмических неравенств

библиотека
материалов

hello_html_69023375.gifhello_html_69afb644.gifhello_html_m7276e7bb.gifhello_html_5d649d0b.gifhello_html_10af562e.gifhello_html_5d649d0b.gifhello_html_69023375.gifhello_html_m6c90ccd.gifhello_html_m7276e7bb.gifhello_html_5d649d0b.gifhello_html_10af562e.gifhello_html_5d649d0b.gifhello_html_m4344428e.gifhello_html_m452e37b6.gifhello_html_m23c57159.gifhello_html_26bd5a33.gifhello_html_633e3c20.gifhello_html_462c22d3.gifhello_html_m771771f.gifhello_html_26bd5a33.gifhello_html_m37e58567.gifhello_html_763d2a82.gifhello_html_69afb644.gifhello_html_763d2a82.gifhello_html_m5b41fb2d.gifhello_html_3ff68cb4.gifhello_html_751ab4f5.gifhello_html_4de6e3fa.gifhello_html_m22a465cd.gifhello_html_681ddc69.gifhello_html_m6b649796.gifhello_html_m59113c8f.gifhello_html_753e0aea.gifhello_html_51b708b1.gifhello_html_65754f8c.gifhello_html_29c830e1.gifhello_html_7d553ebb.gifhello_html_m6086798e.gifhello_html_m38d950a7.gifhello_html_m1b824b34.gifhello_html_m34af0b2e.gifhello_html_7d3ca3ec.gifhello_html_6a633c8e.gifhello_html_m1c535910.gifhello_html_mbc52cc4.gifМетод рационализации при решении показательных и логарифмических неравенств





Рассмотрим примеры сведения логарифмических и показательных неравенств, у которых основание, выражение под знаком логарифма, степень – многочлены. Оказывается, такие неравенства эффективно сводятся к дробно-рациональным или рациональным, причем (что важно, например, на ЕГЭ) полученные решения будут более компактными по сравнению с традиционными.

Сведение логарифмического неравенства к системе рациональных неравенств

Рассмотрим логарифмическое неравенство вида

, (1)

где - некоторые функции . Стандартный метод решения такого неравенства предполагает разбор двух случаев на области допустимых значений неравенства.

В первом случае, когда основания логарифмов удовлетворяют условию

, знак неравенства обращается: .

Во втором случае, когда основание удовлетворяет условию , знак неравенства сохраняется: .

На первый взгляд – все логично, рассмотрим два случая и потом объединим ответы. Правда, при рассмотрении второго случая возникает определенный дискомфорт – приходится на 90 процентов повторять выкладки из первого случая (преобразовывать, находить корни вспомогательных уравнений, определять промежутки монотонности знака). Возникает естественный вопрос – можно ли все это как-нибудь объединить?

Ответ на этот вопрос содержится в следующей теореме.

Теорема 1. Логарифмическое неравенство



равносильно следующей системе неравенств:

(2)

Доказательство. Начнем с того, что первые четыре неравенства системы (2) задают множество допустимых значений исходного логарифмического неравенства. Обратим теперь внимание на пятое неравенство. Если , то первый множитель этого неравенства будет отрицателен. При сокращении на него придется изменить знак неравенства на противоположный, тогда получится неравенство . Если же , то первый множитель пятого неравенства положителен, сокращаем его без изменения знака неравенства, получаем неравенство . Таким образом, пятое неравенство системы включает в себя оба случая предыдущего метода. Терема доказана.

Пример. Решить неравенство

.

Решение. Воспользуемся теоремой 1. получим следующую систему неравенств:



Решая первые четыре неравенства, практически находим ОДЗ исходного неравенства:



Откуда: .

Решим теперь пятое неравенство системы. После элементарных преобразований получим неравенство

.

Умножим второй сомножитель на -1 и поменяем знак неравенства:

.

Нетрудно заметить, что корнями второго множителя в этом неравенстве являются числа 1 и -2. Поэтому, раскладывая второй множитель на одночлены первого порядка, получаем:

.

Это неравенство легко решить методом интервалов: .

С учетом найденного ранее ОДЗ, получаем окончательный ответ.

Ответ: .

Замечание. Обращаем внимание тех, кто собирается применять метод рационализации на ЕГЭ на следующее: критерии проверки таковы, что при ошибочном решении, но правильно найденном ОДЗ (при дополнительных условиях) можно получить балл. Поэтому рекомендуется сначала отдельно найти ОДЗ, а затем перейти к решению основного (пятого) неравенства.

Сведение показательного неравенства к системе рациональных неравенств

Теперь рассмотрим показательное неравенство вида

(3)

Так же, как в предыдущем пункте, - некоторые функции.

И снова вспомним, что традиционное решение такого неравенства приводит к двум случаям. В первом основание степени положительно, но меньше единицы (знак неравенства обращается), во втором случае основание степени больше единицы (знак неравенства сохраняется).

Как и в случае с логарифмическим неравенством, имеется возможность значительно укоротить решение задачи, используя метод рационализации. Этот метод основан на следующей теореме.



Теорема 2. Показательное неравенство



равносильно следующей системе неравенств:

(4)

Нетрудно заметить, что система (4) аналогична системе (2) из теоремы 1 (правда, в ней нет требования положительности степеней). Доказательство теоремы 2 легко получить теми же рассуждениями, что и в теореме 1.

Пример. Решить неравенство

.

Решение. Составим систему неравенств, аналогичную системе (4) из теоремы 2:



Решив два первых неравенства, найдем ОДЗ исходного показательного неравенства:



Откуда ОДЗ: .

Далее рассмотрим основное неравенство , которое упрощается к виду: .

Корни первого множителя этого неравенства мы нашли ранее: . Корни второго множителя равны: , , .

Теперь перед нами встала нетривиальная задача упорядочения корней. Так как , то . Применив метод интервалов, получим следующее решение основного неравенства: .

Учитывая найденную ранее ОДЗ, получаем окончательный ответ:

.
























Решите следующие неравенства


hello_html_m57cf295a.gifhello_html_m571c6627.gif

ответ:

hello_html_534d145a.gifhello_html_m15f35850.gif

ответ:

hello_html_mcebe8ac.gifhello_html_m307eb7da.gif

ответ:

hello_html_4ce6c9a0.gifответ:hello_html_m57ed03e8.gif

hello_html_m5f2d0e4.gifhello_html_m591ae727.gif

ответ:

hello_html_4f0ece18.gif

hello_html_2a9ed8ff.gifответ:



hello_html_m3348594b.gifhello_html_a76f147.gif

ответ:



hello_html_7a84f9b9.gifhello_html_m6e5bebfe.gifответ:



hello_html_132ced4a.gifhello_html_40d38943.gifответ:

Краткое описание документа:

Рассмотрим примеры сведения логарифмических и показательных неравенств, у которых основание, выражение под знаком логарифма, степень – многочлены. Оказывается, такие неравенства эффективно сводятся к дробно-рациональным или рациональным, причем (что важно, например, на ЕГЭ) полученные решения будут более компактными по сравнению с традиционными.

Сведение логарифмического неравенства к системе рациональных неравенств

            Рассмотрим логарифмическое неравенство вида

,     (1)

где  - некоторые функции . Стандартный метод решения такого неравенства предполагает разбор двух случаев на области допустимых значений неравенства.

            В первом случае, когда основания логарифмов удовлетворяют условию

, знак неравенства обращается: .

 

Во втором случае, когда основание удовлетворяет условию , знак неравенства сохраняется: .

Автор
Дата добавления 25.02.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров1086
Номер материала 410802
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх