Методы и приемы решений тригонометрических уравнений

• 1 слайд

  Методы и приемы решений тригонометрических уравнений
  Учитель математики: Бекмурзова С. Т.
  10 класс
  МБОУ «СОШ им. Героя Советского Союза А. М. Селютина с. Михайловское»
  

• 2 слайд

  Содержание.
  Определение тригонометрии как науки.
  Основные понятия для введения в раздел.
  Виды тригонометрических уравнений
  Методы решения
  
  

• 3 слайд

  ЦЕЛЬ:
  Повторить решение тригонометрических
  уравнений.
  1. Знать формулы для решения простейших тригонометрических уравнений.
  2. Различать типы тригонометрических уравнений и знать способы их решений.
  3. Уметь решать тригонометрические уравнения любых типов.
  
  Выделение основных проблем при решении
  этих уравнений:
  Потеря корней.
  Посторонние корни.
  Отбор корней.
  

• 4 слайд

  Тригономе́трия (от греч. τρίγονο (треугольник) и греч. μετρειν (измерять),
  то есть измерение треугольников) — раздел математики,
  в котором изучаются тригонометрические функции и их приложения к геометрии.
  Данный термин впервые появился в 1595 г. как название книги немецкого математика Бартоломеуса Питискуса (Bartholomäus Pitiscus, 1561—1613),
  а сама наука ещё в глубокой древности использовалась для расчётов в астрономии, геодезии и архитектуре.
  

• 5 слайд

  Развитие тригонометрии началось с этих великих ученых!
  Архимед
  Фалес
  Жозеф Луи
  Лагранж
  

• 6 слайд

  В XVIII веке Леонард Эйлер дал современные, более общие определения, расширив область определения этих функций на всю числовую ось.
  

• 7 слайд

  Рассмотрим в прямоугольной системе координат окружность единичного радиуса и отложим от горизонтальной оси угол
  (если величина угла положительна, то откладываем против часовой стрелки, иначе по часовой стрелке). Точку пересечения построенной стороны угла с окружностью обозначим Р.
  

• 8 слайд

• 9 слайд

  х
  у
  

• 10 слайд

  Повторим значения синуса и косинуса
  у π/2 90°
  1
  120° 2π/3 π/3 60°
  
  135° 3π/4 π/4 45°
  
  150° 5π/6 1/2 π/6 30°
  
  
  
  180° π -1 0 1 0 0° x
  -1/2 ½ 2π 360 (cost)
  
  
  210° 7π/6 -1/2 11π/6 330° [-π/6]
  
  225° 5π/4 7π/4 315° [-π/4]
  
  240° 4π/3 5π/3 300° [-π/3]
  
  -1
  270° 3π/2 [-π/2]
  (sint)
  

• 11 слайд

  Арккосинус
  у
  х
  π/2
  0
  π
  1
  -1
  -а
  а
  arccos а = t
  
  arccos(-а)
  Арккосинусом числа а называется
  такое число (угол) t из [0;π], что
  cos t = а.
  Причём, | а |≤ 1.
  arccos(- а) = π- arccos а
  Примеры:
  1)arccos(-1)
  = π
  2)arccos( )
  

• 12 слайд

  Арксинус
  
  
  
  
  
  
  
  
  Примеры:
  у
  х
  π/2
  -π/2
  
  -1
  1
  а
  arcsin а =t
  - а
  arcsin(- а)= - arcsin а
  arcsin(- а)
  Арксинусом числа а называется
  такое число (угол) t из [-π/2;π/2],
  что sin t = а.
  Причём, | а |≤ 1.
  

• 13 слайд

  Арктангенс
  у
  π/2
  -π/2
  х
  0
  а
  arctgа = t
  Арктангенсом числа а называется
  такое число (угол) t из (-π/2;π/2),
  что tg t = а .
  Причём, а Є R.
  arctg(-а) = - arctg а
  -а
  arctg(-а )
  Примеры:
  1) arctg√3/3 =
  π/6
  2) arctg(-1) =
  -π/4
  

• 14 слайд

  Арккотангенс
  у
  х
  0
  π
  а
  arcctg а = t
  Арккотангенсом числа а называется
  такое число (угол) t из (0;π),
  что ctg t = а.
  Причём, а ЄR .
  arcctg(- а) = π – arcctg а
  - а
  arcctg(- а)
  1) arcctg(-1) =
  Примеры:
  3π/4
  2) arcctg√3 =
  π/6
  

• 15 слайд

  Формулы корней простейших тригонометрических уравнений
  1.cost = а , где |а| ≤ 1
  или
  Частные случаи
  1) cost=0
  t = π/2+πk‚ kЄZ
  2) cost=1
  t = 2πk‚ kЄZ
  3) cost = -1
  t = π+2πk‚ kЄZ
  

• 16 слайд

  Формулы корней простейших тригонометрических уравнений
  2. sint = а, где | а |≤ 1
  или
  Частные случаи
  1) sint=0
  t = πk‚ kЄZ
  2) sint=1
  t = π/2+2πk‚ kЄZ
  3) sint = - 1
  t = - π/2+2πk‚ kЄZ
  

• 17 слайд

  Формулы корней простейших тригонометрических уравнений
  3. tgt = а, аЄR
  t = arctg а + πk‚ k ЄZ
  4. ctgt = а, а ЄR
  t = arcctg а + πk‚ kЄZ
  

• 18 слайд

  При каких значениях х имеет смысл выражение:
  1.arcsin(2x+1)
  2.arccos(5-2x)
  3.arccos(x²-1)
  4.arcsin(4x²-3x)
  1) -1≤ 2х+1 ≤1
  -2≤ 2х ≤0
  -1≤ х ≤0
  Ответ: [-1;0]
  2) -1≤ 5-2х ≤1
  -6≤ -2х ≤ -4
  2≤ х ≤3
  Ответ: [2;3]
  -1≤ х²-1 ≤ 1
  0 ≤ х² ≤2
  Ответ:
  
  
  -1≤4х²-3х≤1
  4х²-3х ≥ -1
  4х²-3х ≤ 1
  4х²-3х-1 ≤ 0
  Ответ:
  
  
  

• 19 слайд

  Виды тригонометрических уравнений
  1.Сводимые к квадратным
  Решаются методом введения новой переменной
  a∙sin²x + b∙sinx + c=0
  Пусть sinx = p, где |p| ≤1, тогда a∙p² + b∙p + c = 0
  Найти корни, вернуться к замене и решить простые уравнения.
  

• 20 слайд

  2.Однородные
  1)Первой степени:
  Решаются делением на cos х (или sinx) и методом введения новой переменной.
  a∙sinx + b∙cosx = 0
  Т.к. sinx и cosx одновременно не равны нулю, то разделим обе части уравнения на cosx (или на sinx). Получим: простое уравнение
  a∙tgx + b = 0 или tgx = m
  Виды тригонометрических уравнений
  Пример. Решите уравнение sinx + 2cosx = 0.
  Решение: Разделим обе части уравнения на cosx.
  
  Получим
  
  
  
  
  
  
  
  
  Ответ:
  
  

• 21 слайд

  2) Однородные уравнения второй степени:
  Решаются делением на cos² х (или sin²x) и методом введения новой переменной.
  a∙sin²x + b∙sinx∙cosx + c∙cos²x = 0
  Разделим обе части на cos²x. Получим квадратное уравнение:
  a∙tg²x + b∙tgx + c = 0.
  Виды тригонометрических уравнений
  П р и м е р .   Решить уравнение:  3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.
   
     Р е ш е н и е .  3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,
   
                               sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,
   
                               tg2 x + 4 tg x + 3 = 0 ,  отсюда  y 2 + 4y +3 = 0 ,
   
                               корни этого уравнения:  y1 = -1,  y2 = -3,  отсюда
                             1)   tg x = –1,  2)   tg x = –3,
  
  Ответ:
  

• 22 слайд

  Виды тригонометрических уравнений
  3. Уравнение вида:
  А sinx + B cosx = C. А, В, С  0
    sin x + cos x = 1 .
      Р е ш е н и е .   Перенесём все члены уравнения
  влево: 
                        sin x + cos x – 1 = 0 ,
  

• 23 слайд

  Виды тригонометрических уравнений
  4. Решение тригонометрических уравнений с помощью универсальной
  тригонометрической подстановки
  
  Решаются с помощью введения вспомогательного аргумента.
  
  
  А sinx + B cosx = C
  При переходе от уравнения (1) к уравнению (2), могла произойти потеря корней, значит необходимо проверить, являются ли корни уравнения  корнями данного уровнения.
  Проверка
  Если ,
  
  - не верно, значит
  , не является корнями исходного уравнения
  
  Ответ:
  

• 24 слайд

  Формулы.
  
  
  a cosx +b sinx заменим на C sin(x+), где
  sin =
  cos =
   - вспомогательный аргумент.
  Универсальная подстановка.
  х   + 2n; Проверка обязательна!
  Понижение степени.
  = (1 + cos2x ) : 2
  = (1 – cos 2x) : 2
  Метод вспомогательного аргумента.
  

• 25 слайд

  Решение простейших уравнений
  tg2x = -1
  
  2x = arctg (-1) + πk, kЄZ
  2x = -π/4 + πk, kЄZ
  x = -π/8 + πk/2, kЄZ
  
  Ответ: -π/8 + πk/2, kЄZ.
  2) cos(x+π/3) = ½
  
  x+π/3 = ±arccos1/2 + 2πk, kЄZ
  x+π/3 = ±π/3 + 2πk, kЄZ
  x = -π/3 ± π/3 + 2πk, kЄZ
  
  Ответ: -π/3 ± π/3 + 2πk, kЄZ
  3) sin(π – x/3) = 0
  упростим по формулам приведения
  sin(x/3) = 0
  частный случай
  x/3 = πk, kЄZ
  x = 3πk, kЄZ.
  Ответ: 3πk, kЄZ.
  

• 26 слайд

  Эти правила помогут при решении!
  Увидел квадрат – понижай степень.
  
  Увидел произведение – делай сумму.
  
  Увидел сумму – делай произведение.
  

• 27 слайд

  1.Потеря корней:
  
  делим на g(х).
  опасные формулы (универсальная подстановка).
  
  Этими операциями мы сужаем область определения.
  
  2. Лишние корни:
  
  возводим в четную степень.
  умножаем на g(х) (избавляемся от знаменателя).
  
  Этими операциями мы расширяем область определения.
  
  Потеря корней, лишние корни.
  

• 28 слайд

  Спасибо
  за
  внимание!