Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / КЕРІ ТРИГОНОМЕТРИЯЛЫҚ ФУНКЦИЯ ЖӘНЕ ИНТЕГРАЛ

КЕРІ ТРИГОНОМЕТРИЯЛЫҚ ФУНКЦИЯ ЖӘНЕ ИНТЕГРАЛ

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов


КЕРІ ТРИГОНОМЕТРИЯЛЫҚ ФУНКЦИЯ ЖӘНЕ ИНТЕГРАЛ


Кері тригонометриялық hello_html_m2e5179a.gif функцияларды hello_html_274370e9.gif -шектерінің бірі айнымалы анықталған (меншіксіз) интеграл арқылы енгізіп, ол функциялардың барлық қасиеттерін, негізгі тепе-теңдікті тек қана интегралдың қасиеттерінен толық шығарып алуға болатындығы белгілі [1]. Осы тақырыпты ары қарай жалғастырып hello_html_m6abf82eb.gif функцияларында сол тұрғыдан енгізіп, негізгі қасиеттерінің дәлелдеулерін келтіріп, соңында кері тригонометриялық функциялармен байланысты бірнеше есептердің шешімдерін береміз. Жалпы айта кету керек, ондай есептер әдетте оқушыларға жеткілікті дәрежеде қиындықтар туғызады. Себебі, негізгі оқулықтар мен оқу құралдарында кері тригонометриялық функциялармен байланысты есептерге жеткілікті түрде көңіл бөлмейді, тура тригонометриялық функцияларға кері ретінде енгізіп, бірнеше қарапайым мысалдар мен араларындағы қатынастарды келтірумен шектеледі.

Айта кетейік, біз келтірген әдіс кері тригонометриялық функцияларды енгізудің бір нұсқасы, бұрыннан белгілі тәсілдердің бірі болып, функциялардың табиғатын тереңірек түсінуге жол салатыны анық.

hello_html_44fa90c7.gif

hello_html_738e1867.gifболғанда hello_html_1b230b43.gif (анықтамалардың геометриялық мағынасы 1суретте көрсетілген).

X



Келтірілген анықтамалармен hello_html_m478e4a80.gif теңдігінен hello_html_44bf24b3.gif негізгі қатынастардың бірі шығатынын көреміз. Бұдан тек қана hello_html_f939575.gif функциясын зерттесек жеткілікті болатынын көреміз.hello_html_m38794557.png

  1. hello_html_30a36c6a.gifинтегралының бар болуынан hello_html_f939575.gif функциясының анықталу облысы болып [-1;1] сегменті табылатынын көреміз.

  2. Үзіліссіздігі. Анықталу облысының ішкі нүктелерінде қисық сызықты трапецияның ауданының үзіліссіз болатындығынан , ал ұштарында интегралдың бар болуынан шығады.

  3. Тақ, жұптығы. Егер жұп функцияның графигі координаталар бас нүктесінен өтетін болса, оның алғашқы функциясы тақ екендігі жалпы теориядан белгілі. Біздің жағдайда екі шарт та орындалып тұр, сондықтан hello_html_6dd47644.gif тақ функция.

  4. Монотондылығы. hello_html_m7cbd6323.gif немесе (0,1) аралықта геометриялық мағынасы аудан болғандықтан, аргумент hello_html_m4f3a936b.gif- өскенде ол да өскендіктен hello_html_6dd47644.gifөспелі функция, ал hello_html_4f0a22ae.gif өсетіндігіhello_html_6dd47644.gif тақ екендігінен, тұтас [-1;1] анықталу облысында монотондылығы hello_html_6dd47644.gifтің үзіліссіздігінен шығады.

  5. Функцияның нөлі. hello_html_6f34565d.gif болса hello_html_mcce578b.gif интегралдың қасиетінен, ал қатаң монотондылығынан hello_html_6dd47644.gifтің басқа нөлдерінің болмайтынын көреміз.

  6. Функцияның таңбалары. hello_html_738e1867.gif болса hello_html_m40114185.gif тек оң, ал hello_html_55344ece.gifтек теріс мәндерге ие болатындығы 4-5 қасиеттерден шығады.

  7. Дөңес, ойыстығы. hello_html_m7a0b732d.gif болғандықтан hello_html_3f8c4bb0.gif => [0;1] аралықта hello_html_6dd47644.gifойыс, ал hello_html_7086eec3.gif hello_html_4ff853a4.gif => [-1;0] сегментінде дөңес, олай болса hello_html_6f34565d.gif - hello_html_f939575.gif функциясының графигінің иілу нүктесі болып табылатынын көреміз.

[-1;1] кесіндісінде функцияның үзіліссіздігі мен монотондылығынан hello_html_6dd47644.gifтің мәндерінің жиыны hello_html_44c78790.gif кесіндісі болып табылады.

Ал hello_html_39b6f98e.gif функциясын төмендегідей анықтауға болады. Синустың негізгі тармағы деп hello_html_f939575.gif кері функцияны атаймызда, пайда болған қисықты hello_html_m4c501e25.gif түзуіне қарағанда симметриялы бейнелейміз де, бүкіл hello_html_md4ef87f.gif сан осіне hello_html_a3063db.gifпериодты жалғастырамыз. Осыған ұқсас hello_html_m5cca13d6.gif функциясыда енгізіледі, тек ғана негізгі тармақты Оу осіне қарағанда симметриялы бейнелеп hello_html_a3063db.gifпериодты жалғастырсақ (созсақ) жеткілікті.

Тригонометрия курсындағы негізгі қатынас hello_html_m972a4d3.gif бірлік шеңбердің координаталары hello_html_ma360d6c.gif екенін ескерсек hello_html_6abde384.gif теңдеуінен бірден шығатынын көреміз.

Енді hello_html_m6abf82eb.gif функцияларымен байланысты мысалдарға тоқталайық.

1 мысал. hello_html_79c0a1d.gif

Шешуі.
hello_html_73329035.gif

дәлелдеген қатынастан I тамаша шек hello_html_66765ce7.gif шығатыны көрініп тұр.

Кері тригонометриялық функциялар арқылы пайда болған теңдеулерді шешкенде негізгі тәсілдердің бірі – қатынастың екі жағынан қандай да бір тригонометриялық функцияларды табу болып табылады( функциялар монотондық аралықта жатса болғаны).


2 мысал. hello_html_md715e3.gif

Шешуі:hello_html_m28d4acce.gif деп жазып, келтіру формуласын ескеріп екі жағынан синусты тапсақ hello_html_m4a27bb9.gif болғандықтан hello_html_me78a463.gif сол себепті hello_html_m2ee02e71.gifяғни hello_html_3e78ab3b.gif

Пайда болған түбірлердің әрқайсысын жеке-жеке зерттейміз:

hello_html_m16618348.gif. hello_html_mf2766d1.gif

hello_html_2cdc5627.gif.hello_html_m3b07b4e7.gif

Нәтижесінде тек ғана біріншісі шешім болатынын көреміз.

Жауабы: х=0.

3 мысал. hello_html_4824daf.gif

Шешуі: Кері тригонометриялық функцияның анықтамасынан hello_html_1e619c56.gif енді

hello_html_166818bf.gifанықтайық, басқаша айтқанда, егер hello_html_m3e9130f3.gif болса, hello_html_m349f4e00.gif неге тең?

hello_html_m62fe8cd5.gifhello_html_3184e1ae.gif. Пайда болған x- тің екі мәнінен hello_html_7086eec3.gif болғандықтан hello_html_2b92f0a8.gif түбір бола алмайтынын көреміз.

Жауабы: hello_html_6aca497a.gif.

4 мысал. Параметр а- ның қандай мәндерінде hello_html_m1fcc0431.gif теңдеуінің шешімінің бар болатынын анықтайық.

Шешуі: Берілген теңдеуден hello_html_m7311455d.gif, ал hello_html_38b006e8.gif болғандықтан hello_html_m1c03028d.gif, яғни hello_html_5bb2b04d.gif болатыны шығады. Ал екінші жағынан, hello_html_m7611a56d.gifтың анықтамасынан hello_html_m61574308.gif, сол себепті теңдеу <=> орынды, егер hello_html_d789f52.gif немесе hello_html_m3e379f29.gif, олай болса берілген теңдеуден hello_html_m4ed716e5.gif, яғни hello_html_m1c7b9ae5.gif болатынын, ең соңында hello_html_m46c9b318.gif аламыз.

Жауабы: параметр hello_html_m1946d7eb.gif болған жағдайда ғана берілген теңдеудің шешімі бар.

Енді стандартты емес әдіс арқылы шығатын бір теңдеуге тоқталайық.

5-мысал. hello_html_541c269.gif

Шешуі: Берілген теңдеуді hello_html_6ff3a04e.gifтүрінде жазып алып, екі жағынан да косинусын табайық. Екі бөлігіндегі бұрыштар hello_html_332e820d.gif–де жататындықтан (косинустың қатаң монотондық аралығы болғандықтан), косинусты алғаннан бөгде түбірлер пайда болмайды, сонымен, hello_html_57d94e41.gif. Осы теңдеуді шешу үшін hello_html_512a924a.gif тригонометриялық ауыстырманы қолданамыз. hello_html_m6aa09659.gif

hello_html_5b416991.gifнемесе hello_html_26402856.gif hello_html_m90f7673.gif Бұлардың ішінде hello_html_44c78790.gif сегментінде тек қана hello_html_317b6f70.gif немесе hello_html_51fcb08.gif шешімдері жатады. Енді берілген теңдеуге қойып, тексеру жүргізейік.

  1. hello_html_m7ec637c9.gif

  2. hello_html_2d9b91ff.gif

  3. hello_html_m3301143c.gif+hello_html_f91363.gif

hello_html_570f113e.gifмен hello_html_m449eec04.gif берілген теңдеуді қанағаттандыратынын көрдік.

Жауабы: hello_html_7fc4c34d.gif; hello_html_d19374c.gif.

Сонымен, кері тригонометриялық hello_html_m6abf82eb.gif мектеп курсынан өзгеше жолмен енгізіп, барлық қасиеттерін аналитикалық жолмен толық шығарып алатын тәсілдің бар екенін көрдік, әдебиеттер тізімінде көрсетілген [1] мақалада басқа да әдістердің бар екеніне тоқталғанбыз (жинақты дәрежелік қатардың қосындысы, функционалдық теңдеулердің үзіліссіз функциялар класындағы шешімі т.с.с ). Кері тригонометриялық функциялармен байланысты теңсіздіктерге өзіндік ерекшеліктері бар болғандықтан келешекте жеке-дара тоқталамыз.


Әдебиеттер.


  1. Серікболқызы Н, Апышев О.Д. Интеграл және тригонометриялық функциялар. «Ғылым мен бизнестің кооперациясы: мәселелері мен болашағы» атты жас ғалымдар мен студенттердің ІІІ Республикалық ғылыми-тәжірибелік конференция. 2013, 3-5 сәуір. Өскемен. С. Аманжолов атындағы ШҚМУ баспасы, 1 бөлім, 105-109 б.

  2. Черкасов О.Ю, Якушев А.Г, Математика М. Изд.МГУ им М.В.Ломоносова, 1994, 253с.

  3. Васильева В.А и др.Методическое пособие математике для поступающих в вузы. М.Изд. МАИ, 1992, 304c.




Общая информация

Номер материала: ДВ-241027

Похожие материалы