Методы решений заданий С5 (задачи с параметром)

• 1 слайд

  Методы решений заданий С5
  (задачи с параметром)
  Метод областей в решении задач
  

• 2 слайд

  («переход» метода интервалов с прямой на плоскость)
  Неравенства с
  одной переменной
  Неравенства с
  двумя переменными
  1. Область определения
  2. Граничные линии
  3. Координатная плоскость
  4. Знаки в областях
  5.Ответ по рисунку.
  1. Область определения
  2. Корни
  3. Ось
  4. Знаки на интервалах
  5. Ответ.
  
  Метод интервалов:
  Метод областей:
  Обобщённый метод областей
  

• 3 слайд

  Решение. На координатной плоскости нарисуем линии, определяемые равенствами
  х – у = 0 (у = х) и
  х у - 1= 0 (у = 1/х), которые
  разбивают плоскость на 6 областей.
  При х = 1, у = 0 левая часть неравенства равна -1(отрицательна)
  Ответ: заштрихованные области на рисунке удовлетворяют условию (х – у) (х у –1) ≥ 0
  х
  у
  0
  1
  - 1
  - 1
  1
  На координатной плоскости изобразите множество точек , координаты которых удовлетворяют неравенству(х – у) (х у –1) ≥ 0
  1
  2
  3
  4
  5
  6
  Следовательно, в 1 области, содержащей точку (1; 0), левая часть неравенства имеет знак минус, а в остальных областях её знаки чередуются.
  Пример для понимания «метода областей»
  

• 4 слайд

  Граничные линии:
  Они разбивают плоскость на 8 областей
  - 1
  - 1
  1
  1
  х
  у
  0
  +
  +
  +
  +
  На координатной плоскости изобразите множество точек, удовлетворяющих неравенству
  Ответ: заштрихованные области
  на рисунке.
  Область определения неравенства:
  Проводим граничные линии, с учётом области определения
  Определяем знаки на областях подстановкой в отдельных точках
  Пример для понимания «метода областей»
  

• 5 слайд

  Метод областей при решении задач с параметрами
  Ключ решения:
  Графический прием
  Свойства функций
  Параметр – «равноправная» переменная  отведем ему координатную ось т.е. задачу с параметром будем рассматривать как функцию a = f (x )
  Общие признаки задач подходящих
  под рассматриваемый метод
  
  В задаче дан один
  параметр а и одна
  переменная х
  
  
  Они образуют некоторые
  аналитические выражения
  F (x;a), G (x;a)
  
  Графики уравнений
  F(x;a)=0,G(x;a)=0
  строятся несложно
  1. Строим графический образ
  2. Пересекаем полученный график прямыми
  перпендикулярными параметрической оси
  3. «Считываем» нужную информацию
  Схема
  решения:
  

• 6 слайд

  Найти все значения параметра р, при каждом из которых
  множество решений неравенства (р – х 2 )(р + х – 2) < 0 не содержит ни одного решения неравенства х 2 ≤ 1
  .
  Применим обобщенный метод областей.
  2) Определим знаки в полученных пяти областях, и укажем решение данного неравенства.
  3) Осталось из полученного множества
  исключить решения неравенства х 2 ≤ 1
  По рисунку легко считываем ответ
  Ответ: р ≤ 0, р ≥ 3
  х
  р
  1) Построим граничные линии
  р = 3
  р = 0
  0
  2
  2
  -1
  1
  3
  1
  р = х 2 и р = 2 - х
  При р ≤ 0, р ≥ 3 в решениях исходного неравенства нет решений неравенства х 2 ≤ 1.
  1
  2
  3
  4
  5
  │x│≤ 1, - 1 < x < 1
  

• 7 слайд

  Сколько решений имеет система
  в зависимости от параметра а?
  x
  y
  2
  -2
  2
  -2
  1
  -1
  1
  Графиком второго уравнения является неподвижная окружность с центром в начале координат и радиусом 1
  Графиком первого уравнения является семейство квадратов с вершинами в точках
  4 решения при а = 1
  решений нет при
  8 решений при
  4 решения при
  решений нет при
  Ответ:
  решений нет, если
  8 решений, если
  4 решения, если
  0
  

• 8 слайд

  При каких положительных значениях параметра а, система уравнений имеет ровно четыре решения?
  Запишем систему в виде:
  Построим графики обоих уравнений.
  Шаги построения первого уравнения:
  Строим уголок затем
  и симметрично отображаем относительно оси абсцисс.
  Второе уравнение задает семейство окружностей с центром (2;0) и радиусом а.
  Ответ:
  х
  у
  2
  2
  -2
  решений нет при
  8 решений при
  4 решения при
  4 решения при
  при решений нет; при и система имеет 4 решения;
  система имеет 8 решений при
  Итак:
  0
  

• 9 слайд

  Решение. Рассмотрим сумму данных выражений
  t
  у
  0
  -4
  1
  2
  5
  12
  Сумма данного выражения равна 1, при пересечении параболы с горизонтальной прямой . По рисунку «считываем» ответ:
  Построим в прямоугольной системе координат график функции у (t) = t 2 + 4t, учитывая, что t  [1;2]
  
  и прямые у = а
  5 ≤ а ≤ 12
  Пусть сos 2 x + 1= t; t ϵ [1; 2];
  тогда уравнение примет вид
  При каких значениях параметра а сумма log a (cos 2 x + 1) и log a (cos 2 x + 5) равна 1 хотя бы при одном значении х?
  log a (cos 2 x + 1) + log a (cos 2 x + 5) = 1;
  заметим, 0 ≤ cos 2 x ≤ 1
  log a (t∙(t + 4)) = 1; откуда
  t 2 + 4t = a
  у = а
  у = а
  Ответ: при всех a  [5;12]
  

• 10 слайд

  Уравнение задает неподвижный угол с вершиной (1;5)
  Уравнение задаёт семейство окружностей с центром в начале координат и радиусом
  Построим эскизы этих линий и определим из рисунка количество их общих точек.
  х
  у
  1 решение при
  2 решения при
  3 решения при
  4 решения при
  3 решения при
  2 реш. при
  1 решение при
  нет решение при
  2
  -2
  3
  3
  1
  5
  А
  В
  С
  О
  Найдите все значения параметра а, при которых количество
  корней уравнения (5 - а) х 3 – 4 х 2 + х = 0 равно количеству
  общих точек линий х 2 + у 2 = а 2 и у = 5 - │х - 1│
  

• 11 слайд

  Запишем первое уравнение в виде х (5 - а) х 2 – 4 х + 1)= 0
  Заметим, что х = 0 – корень не зависимо от параметра а. Уравнение (5 - а) х 2 – 4 х + 1 = 0 может иметь 0, 1 или 2 решения в зависимости от параметра а и D = 4(a – 1).
  а = 5; а = 1
  три решения
  два решения
  одно решение
  совокупность линий
  первое уравнение
  Осталось заметить, что условие задачи выполняется только в трех точках при
  Ответ:
  

Краткое описание документа:

Решение. На координатной плоскости нарисуем линии, определяемые равенствами х – у = 0 (у = х) и х у - 1= 0 (у = 1/х), которые разбивают плоскость на 6 областей. При х = 1, у = 0 левая часть неравенства равна -1(отрицательна) Ответ: заштрихованные области на рисунке удовлетворяют условию (х – у) (х у –1) ≥ 0 х у 0 1 - 1 - 1 1 На координатной плоскости изобразите множество точек , координаты которых удовлетворяют неравенству(х – у) (х у –1) ≥ 0 1 2 3 4 5 6 Следовательно, в 1 области, содержащей точку (1; 0), левая часть неравенства имеет знак минус, а в остальных областях её знаки чередуются. Пример для понимания «метода областей»