Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методы решения геометрических задач
  • Математика

Методы решения геометрических задач

библиотека
материалов


ОГЛАВЛЕНИЕ


1.1. Алгебраический метод5Вводные замечания

4



I. Общие методы решения геометрических задач5


1.2. Векторный метод

8



1.3. Координатный метод

17



1.4. Векторно-координатный метод

22



1.5. Метод геометрических преобразований

27


II. Решение задач различными методами

31


III. Задачи для самостоятельного решения

41



3.1. Векторный метод

41



3.2. Координатный метод

43



3.3. Векторно-координатный метод

44



3.4. Метод геометрических преобразований

46

Библиография

49

Приложение

50


Вводные замечания



Решение задач по геометрии имеет большое общеобразовательное и воспитательное значение, является важным средством развития логического мышления, строгости суждений и математической культуры. Говоря о методах решения геометрических задач, следует отметить их специфические особенности: большое разнообразие, взаимозаменяемость, трудность формального описания, отсутствие четких границ области применения, комбинирование нескольких методов и приемов. В процессе их решения обычно используются три основных метода:

  • геометрический (требуемое утверждение выводится с помощью логических утверждений из ряда геометрических теорем);

  • алгебраический (доказательство утверждения или необходимые искомые величины получаются прямым счетом на основании различных зависимостей между геометрическими величинами или с помощью составления уравнений, систем уравнений);

  • комбинированный (на некоторых этапах решение ведется геометрическим методом, на других – алгебраическим).

Подробная классификация методов решения геометрических задач представлена схемой (Приложение). Содержание работы строится на основании этой схемы.

При составлении рекомендаций были использованы задачи из разных книг, журналов, пособий.

Данная работа окажет существенную методическую помощь для организации занятий по элементарной математике студентов ФМФ. Она является справочной базой для уже используемых в учебном процессе методических рекомендаций по решению планиметрических и стереометрических задач [5, 6].


I. Общие методы решения

ГЕОМЕТРических задач

1.1. Алгебраический метод

Говоря об алгебраическом методе решения геометрических задач, выделим две его разновидности:

а) метод поэтапного решения;

б) метод составления уравнений, систем уравнений.

Сущность поэтапного решения состоит в следующем. Величины, заданные в условии задачи и те, которые нужно найти, связываются цепочкой промежуточных величин, каждая из которых последовательно определяется через предыдущие.

Наиболее распространённым путём получения уравнения является выражение какой-либо величины двумя независимыми способами. Такую величину называют опорным элементом, а алгебраический метод – методом опорного элемента. В качестве опорного элемента могут быть использованы длина отрезка (или квадрат длины отрезка, или сумма отрезков), площадь фигуры, объём фигуры. Если опорным элементом является площадь, то говорят, что применяется метод площадей.

Метод опорного элемента

Задача 1 (метод площадей). Доказать свойство биссектрисы внутреннего угла треугольника.

Дhello_html_3cff97c5.gifано: ∆АВС,

BD – биссектриса.

Доказать: hello_html_cebc003.gif.

Доказательство: hello_html_m6a6caeaa.gifhello_html_5e89c826.gif.

Зhello_html_1a59c549.gifадача 2 (метод площадей).

Около окружности радиуса 5 описан треугольник. Найти его площадь, если одна из его сторон точкой касания делится на отрезки 12 и 7,5.


АМ = 12; МВ = 7,5;

ОK = ОМ = ON = r = 5.

hello_html_m78f9b670.gif

Схема решения:

  1. АМ = АK = 12; МВ = NB = 7,5; CK = CN = x.

  2. р = 12 + 7,5 + x = 19,5 + x – полупериметр ∆АВС.

  3. hello_html_m503cfb6.gif= (19,5 + x)ּ5.

  4. MOB: hello_html_5cf63c5e.gifhello_html_4911dc19.gif.

  5. hello_html_m49eaeb6e.gif.

  6. hello_html_mfd54bf9.gif

=hello_html_m30bbae43.gif

  1. Из 3) и 6) получаем уравнениеhello_html_624132c4.gif.

Решая его, получим: hello_html_m55bdf1ef.gif.

8) hello_html_m37225526.gif (19,5 + 7,5)ּ5 = 27ּ5 = 135.

Ответ: 135.

Задача 3 (Метод опорного элемента «h»). Перпендикуляр, опущенный из вершины параллелограмма на диагональ, делит диагональ на отрезки 6 и 15. Найти стороны и диагонали параллелограмма, если разность сторон равна 7.

АН = 6, НС = 15, АD – АВ = 7. AD, АВ, АС, BD – ?

Сhello_html_m1d4d5b77.gifхема решения:

1) hello_html_10afd555.gif = АН + НС =>

hello_html_10afd555.gif= АС = 6 + 15 = 21,

hello_html_10afd555.gif=21.

2) AD = a, AB = b => a – b = 7.

3) ∆ABH:

hello_html_m7a5317f4.gif= b2 - 62,

CBH:

BH2 = BC2 – HC2 = a2 - 152,

b2 - 62 = a2 - 152.

  1. Получаем систему:

hello_html_m290e7b5a.gif


  1. hello_html_m1c0a1c9f.gif

Ответ: 17; 10; 21; hello_html_m2ba4a6a4.gif.


Зhello_html_96ab2c5.gifадача 4 (Метод опорного элемента «V»).

В прямой призме АВСDА1В1С1D1 в основании лежит прямоугольник АВСD со сторонами АВ = а, ВС = 2а. Высота призмы равна b. Найти расстояние от точки С до плоскости, проходящей через диагональ ВD и середины рёбер В1С1 и С1D1.

Схема решения:

1)hello_html_m2df268b6.gif, т.е. hello_html_m5fea0023.gif.

2) hello_html_m5d4d02e.gif, т.е. hello_html_4dd1964d.gif.

3) CHвысота ∆BCD, следовательно, BDhello_html_501fa71c.gifSH (по теореме о трёх перпендикулярах).

SBDC = a2.

SBCD = hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m2807838f.gif, отсюда получаем:hello_html_m40424469.gif.

4) ∆SHC:hello_html_m6d070408.gif; hello_html_m5b1f15a3.gif.

5) hello_html_42e4bc0b.gif,

где d – искомое расстояние.

6) С другой стороны, hello_html_m1bea41bf.gif, т.е. hello_html_74e00133.gif.

7) Из 5), 6) получаем: hello_html_m49536bcc.gif, hello_html_m7d1b967e.gif.

Ответ: hello_html_m7d1b967e.gif.


1.2. Векторный метод


Аппарат векторной алгебры позволил создать особый метод решения геометрических задач. Сущность векторного метода заключается в следующем. Сначала геометрическую задачу переводят на векторный язык, затем решают задачу, используя операции над векторами, опорные задачи векторного метода. Далее полученный результат в векторной форме переводят обратно на геометрический язык.

Основные определения и теоремы векторной алгебры

Вектором называется направленный отрезок.

У нулевого вектора начало совпадает с его концом, т.е. любая точка плоскости является вектором.

Длиной вектора hello_html_722e100e.gif называется длина отрезка АВ.

Обозначается: hello_html_m578f0cd0.gif.

Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых.


Два коллинеарных вектора могут быть одинаково направленными, т.е. сонаправленными, либо противоположно направленными.


Любой вектор можно разложить по двум неколлинеарным векторам: hello_html_5be7338f.gif, где х, у – коэффициенты, определяющиеся единственным образом.


Векторы называют компланарными, если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости.


Любой вектор можно разложить по трем некомпланарным векторам:

hello_html_m5cb3145e.gif, где х, у, z – коэффициенты разложения, определяющиеся единственным образом.


Сложение векторов


1) Правило треугольника

Для любых трех точек А, В, С справедливо равенство: hello_html_m73a05f79.gif.

hello_html_7c0d534c.gif


2) Правило параллелограмма

Если АВСD – параллелограмм, то hello_html_4d54f0e2.gif.

hello_html_b5dbbb4.gif

3) Правило многоугольника

hello_html_57300a48.gif.

hello_html_m143e7def.gif

4) Правило параллелепипеда

hello_html_cc426fe.gif

hello_html_712d92cd.gif

Умножение вектора на число


Произведением вектора hello_html_m3a2f1326.gif на число k, называется такой вектор hello_html_m15ceb669.gif, длина которого равна hello_html_m7b9f8e81.gif, причем hello_html_m3a2f1326.gif и hello_html_m15ceb669.gif сонаправлены, если hello_html_2f8d1357.gif и противоположно направлены, если hello_html_37899b82.gif. Обозначается hello_html_m757b1d57.gif.



Свойства умножения вектора на число



1. hello_html_717ad4a8.gif.

2. hello_html_5d394090.gif.

3. hello_html_49719e48.gif.



Угол между ненулевыми векторами



Углом между векторами hello_html_m3a2f1326.gifи hello_html_m15ceb669.gifназывается наименьший угол hello_html_1c1e3a1b.gif, на который нужно повернуть один из векторов до его совпадения со вторым после приведения этих векторов к общему началу.


Скалярное произведение векторов



Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.

hello_html_m20d4080b.gif



Замечания:

  1. Если hello_html_m2c9af248.gif, то hello_html_m4505dc4.gif. В частности, hello_html_m7a35d1d6.gif.

Скалярное произведение hello_html_m7805375d.gifназывается скалярным квадратом hello_html_m3a2f1326.gif и обозначается hello_html_5699544f.gif. Таким образом, имеем:

hello_html_5b95046a.gif.

2. Если hello_html_m146d5a0c.gif, то hello_html_m2324907a.gif.


Свойства скалярного произведения


10. hello_html_1c39a43e.gif, причем hello_html_33ab957a.gif тогда и только тогда, когда hello_html_m7c5c38bf.gif.

20. hello_html_113e528f.gif = hello_html_2ab25a29.gif.

30. hello_html_m1bbdda13.gif Это свойство имеет место для любого числа слагаемых.

40. hello_html_m48b5c.gif.

В следующей таблице приводятся примеры использования векторного языка для формулировки и доказательства некоторых геометрических утверждений или вычисления геометрических величин.


Что требуется

доказать

(на геометрическом языке)


Что достаточно доказать

(на векторном языке)

1) hello_html_24ab42f5.gif

hello_html_179320de.gif, где отрезки АВ и СD принадлежат соответственно прямым а и b, kчисло. В зависимости от выбора АВ и СD возникают различные векторные соотношения, среди которых выбираются подходящие.

2) Точки А, В и С принадлежат

прямой а.

а) Установить справедливость одного из следующих равенств: hello_html_1b42df93.gif, или hello_html_m7aee2dc1.gif, или hello_html_m41c4dfcd.gif.

б) Доказать равенство hello_html_m59d54bef.gif,

где hello_html_m6ca999e0.gif и Qпроизвольная точка.

в) Доказать равенство hello_html_m5a88a225.gif,

где hello_html_c4f87c7.gif и Qпроизвольная точка.

3) Точка С принадлежит отрезку АВ, где hello_html_m64b5d53c.gif (деление отрезка в данном отношении).

hello_html_m268ca0dc.gifили hello_html_d370d08.gif

для некоторой точки Q.

4) hello_html_m9dc2ce9.gif

hello_html_22181037.gif, где точки А и В принадлежат прямой а, точки С и D – прямой b.

5) Вычислить

длину отрезка

а) Выбрать два неколлинеарных базисных вектора (или три некомпланарных), у которых известны длины и угол между ними.

б) Разложить по ним вектор, длина которого вычисляется.

в) Найти скалярный квадрат этого вектора, используя формулу hello_html_m691cc3ec.gif.

6) Вычислить

величину угла

а) Выбрать два неколлинеарных базисных вектора, для которых известны отношение длин и углы между ними.

б) Выбрать векторы, задающие искомый угол, и разложить их по базисным векторам.

в) Вычислить hello_html_m3eca66f6.gifhello_html_12435046.gif.


Задача 1. Найти скалярное произведение векторов hello_html_603c7110.gif и hello_html_m6b7de104.gif, если высота МО правильной четырёхугольной пирамиды МАВСD равна 7, а боковое ребро равно 14.

Схема решения:

1) Из ∆МОС:

ОМС = φ; hello_html_9515dee.gif = hello_html_3d00d0e.gif => hello_html_9515dee.gif = hello_html_5e1b961b.gif.


hello_html_3b80cfe.gif

2) hello_html_74912430.gif,

hello_html_m552796f4.gif.

Ответ: 49.


Задача 2. На окружности с центром в точке О взяты точки А, В, С. Найти угол АОВ, если известно, что hello_html_1aac93d1.gif.

hello_html_2cf84e19.gif

Схема решения:

1 способ. Точки А, В, С принадлежат окружности, следовательно, hello_html_2e9b10ab.gif = R, где R - радиус окружности.

hello_html_b825575.gif.


Если сложить векторы hello_html_4e115398.gif по правилу треугольника, то в этом треугольнике для сторон справедливо соотношение, обратное теореме Пифагора, следовательно, hello_html_7707454f.gifАОВ = 90.

2 способ. Найдём скалярный квадрат (hello_html_m737133a7.gif)2 =

=hello_html_m39d8bc6f.gif2 + hello_html_m533005a0.gif2 + hello_html_m51132080.gif= |hello_html_m39d8bc6f.gif|2 + |hello_html_m533005a0.gif|2 + 2|hello_html_m39d8bc6f.gif| |hello_html_m533005a0.gif| hello_html_m32380147.gif =

=R2 + R2 + 2R2hello_html_m32380147.gif = 2R2 + 2R2hello_html_m32380147.gif.

С другой стороны,

(hello_html_m737133a7.gif)2 = (hello_html_m25aab660.gif)2 = 2|hello_html_m79cf72db.gif|2 = 2R2.

Имеем:

2R2 + 2R2hello_html_m32380147.gif = 2R2,

2R2hello_html_m32380147.gif = 0, но R0, следовательно, hello_html_m32380147.gif = 0, т.е. φ = 90,

АОВ = 90.

Ответ: hello_html_7707454f.gifАОВ = 90.

Задача 3. На окружности с центром в точке О взяты точки А,В,С. Найти косинус половины угла ОАВ, если известно, что hello_html_23b72c12.gif = 0,8hello_html_m79cf72db.gif.

hello_html_30ec244b.gif

Схема решения:

Сумму векторов hello_html_m39d8bc6f.gif и hello_html_m533005a0.gifнайдём по правилу параллелограмма, получаем вектор hello_html_3709eee9.gif.

|hello_html_m61092ab.gif| = |hello_html_7222574b.gif| = |hello_html_m3895d147.gif| = R, где R – радиус окружности.

Следовательно, ОАDВ – ромб, диагонали которого перпендикулярны. Так как |hello_html_3709eee9.gif| = |hello_html_162d3a22.gif| = | 0,8hello_html_m3895d147.gif| = 0,8R, то

|hello_html_mcad391a.gif| = hello_html_21ca2ab8.gif |hello_html_3709eee9.gif| = 0,4R. Из ∆ОАЕ: hello_html_m32380147.gif = hello_html_m4e78813b.gif= hello_html_26c58064.gif= 0,4.

Ответ: 0,4.


Задача 4. Все рёбра тетраэдра SABC равны между собой. Точки P и Q – середины рёбер SB и SC соответственно. Найти угол между прямыми AP и BQ.

Сhello_html_4d273568.gifхема решения:

hello_html_m672085da.gif,

hello_html_53103e61.gif,

hello_html_m18d03ab.gif

Обозначим длину ребра тетраэдра через а, тогда

AP = hello_html_m405e5f0d.gif, как высота равностороннего треугольника. Используя формулу для скалярного произведения векторов, имеем:

hello_html_me48e184.gifhello_html_47a5be60.gifhello_html_m32380147.gif= hello_html_m873266b.gifhello_html_e323869.gif120+ hello_html_m6dace544.gifhello_html_e323869.gif120 + hello_html_1dcc529c.gifhello_html_e323869.gif60;

hello_html_4c228d0e.gifhello_html_m32380147.gif=hello_html_m7b343721.gif;

hello_html_m274e23f.gifhello_html_m32380147.gif= hello_html_3b7d7032.gif => hello_html_m32380147.gif = hello_html_m692556f4.gif.

Ответ: hello_html_429be09c.gif = arccos hello_html_7d7e0b04.gif.

Задача 5. DАВС – тетраэдр. Медианы ∆DBC пересекаются в точке Р, K – середина АВ. Выразить РK через hello_html_m32db81e3.gif.

Сhello_html_7eb55580.gifхема решения:

hello_html_73e9d5e8.gif

Найдём векторы hello_html_1374c38c.gif.

1) hello_html_1ac239aa.gif

2) hello_html_479be143.gif

3) hello_html_3aa5fa7d.gif

4) hello_html_m28f866d2.gif.

5) hello_html_37261bec.gif.


1.3. Координатный метод



Сущность метода координат состоит в следующем. Задавая фигуры уравнениями (неравенствами) и выражая в координатах различные геометрические соотношения, мы применяем алгебру и анализ к решению геометрических задач, к доказательству теорем. С этой целью нужно ввести прямоугольную систему координат на плоскости или в пространстве и записать условие задачи в координатах.

После этого решение задачи проводится с помощью алгебраических вычислений.

Приведем основные теоретические сведения, используемые при решении задач координатным методом.


Требуется найти

На плоскости

В пространстве

1.

Расстояние

между

двумя

точками

hello_html_287671ad.gif

hello_html_m5141577c.gif

hello_html_49857151.gif

2.

Координаты точки,

делящей отрезок

в данном отношении






hello_html_4433efbe.gif

Точка hello_html_m59862f7b.gif делит

в отношении п отрезок АВ

hello_html_24bfab0b.gif

hello_html_m5141577c.gif

и hello_html_2fffeec5.gif делит в отношении п отрезок АВ

hello_html_m69ff8704.gif

3.

Координаты середины отрезка АВ

hello_html_7855fcb5.gif

С – середина отрезка АВ

hello_html_6ece1756.gif

hello_html_m5141577c.gifС – середина отрезка АВ

hello_html_4550954f.gif

4.

Координаты

точки

пересечения медиан

треугольника АВС

hello_html_7855fcb5.gif; hello_html_m68de123e.gif

М – точка пересечения

медиан треугольника АВС

hello_html_743a88e6.gif

hello_html_m5141577c.gif

hello_html_84cc585.gif

М – точка пересечения

медиан треугольника АВС

hello_html_m2fab4759.gif


1. Прямая на плоскости.

Уравнение прямой

в общем виде

hello_html_m501a82e4.gif,

где hello_html_66356429.gif – координаты вектора, перпендикулярного прямой

Уравнение прямой

с угловым коэффициентом

hello_html_5b1e1ce1.gif

Условие параллельности

прямых

hello_html_13724596.gifи hello_html_m15a1607e.gif

hello_html_6f6413d5.gif

Условие перпендикулярности

прямых

hello_html_29a4bcb7.gifи hello_html_m30735f6e.gif

hello_html_m324fedf4.gif

Уравнение прямой

по двум точкам

hello_html_132b4e23.gifи hello_html_6c026a80.gif

hello_html_m42a1a887.gif

2. Уравнения прямой

в пространстве,

проходящей через точку

hello_html_62cb5083.gifи имеющей

направляющий вектор hello_html_m7c38d536.gif



hello_html_31de050c.gif

3. Уравнение плоскости

hello_html_m53bf351d.gif,

hello_html_4c10ba4c.gifкоординаты вектора,

перпендикулярного плоскости

4. Уравнение окружности

(hello_html_6ccb129d.gif – центр окружности)

Уравнение окружности

с центром в начале координат

hello_html_3e294bc9.gif


hello_html_343c27e1.gif

5. Уравнение сферы

(hello_html_aa03c1.gif – центр сферы)

Уравнение сферы

с центром в начале координат

hello_html_2195a59d.gif


hello_html_m7930a061.gif



Задача 1. Найти периметр треугольника с вершинами А(1; 1; 0), В(1; 2; 2) и С(3; 2; 0).

Схема решения:

АВ =hello_html_m1067f120.gif,

ВС = hello_html_m430de96e.gif,

АС = hello_html_62ad9418.gif,

Р = АВ + ВС + АС = hello_html_2576833.gif.

Ответ: hello_html_3627dafd.gif.

Задача 2. В равнобедренном треугольнике с вершинами в точках А(4; 3; -1), В(6; 4; 1) и С(2; 4; 1) найти длину высоты, опущенной на основание.

Схема решения:

1) Найдём длины сторон треугольника по формуле длины отрезка

hello_html_540f49df.gif, hello_html_m743b7cf5.gif,

АВ = hello_html_2e4b0700.gif. Имеем:

АВ =hello_html_73dd6102.gif;

ВС =hello_html_m795792b.gif;

АС = hello_html_c784f68.gif;

АВ = АС, ВС – основание равнобедренного треугольника.

2) Найдём координаты точки М – середины ВС. М(4; 4; 1).

3) АМ – высота, опущенная на основание, т.е.

hello_html_18e32a1e.gif.

Ответ:hello_html_7d2d075.gif.

Задача 3. Внутри куба hello_html_m63d4260f.gif с ребром 4 взята точка М на одинаковым расстоянии, равном 1, от граней трёхгранного угла с вершиной hello_html_m7dd5b372.gif. Найти расстояние от точки М до середины ребра DC.

Схема решения:

Пусть точка K – середина ребра DC. Введём в пространстве прямоугольную систему координат с началом в точке hello_html_m7dd5b372.gif. Найдём координаты точек М и K: – М(1; 1; 1), K(4; 2; 4). Применим формулу для вычисления расстояния между двумя точками:

МK = hello_html_m18eecee2.gif.

Ответ: МK =hello_html_ma649544.gif.


Задача 4. Сфера проходит через точки А, hello_html_m29cca2b1.gif, М, N куба hello_html_m63d4260f.gif, где точка М – середина hello_html_m12419a8d.gif, N – середина hello_html_13a81055.gif. Найти радиус сферы, если ребро куба равно а.



Схема решения:

Введём прямоугольную систему координат Axyz.

Найдём координаты точек:

hello_html_m69b4a4a8.gif.

Пусть центром сферы является точка О(x; y; z).

Так как сфера проходит через точки А, hello_html_m455b3d72.gif, М, N, следовательно, ОА, ОС1, ОМ, ОN являются радиусами сферы.

Найдём расстояние:

ОА = hello_html_49beca20.gif,

hello_html_571f4af5.gif= hello_html_1358a47f.gif,

OM = hello_html_m70b84d41.gif,

ON = hello_html_28dfad1a.gif.

Из условия следует: hello_html_m3839034b.gif,

hello_html_47d3f005.gif

то есть имеем систему уравнений:

xhello_html_2ba0dda1.gif2 + y2 + z2 = (a - x)2 + (a - y)2 + (a - z)2,

x2 + y2 + z2 = x2 + y2 + hello_html_m4da01acf.gif,

x2 + y2 + z2 = (a - x)2 + y2 +hello_html_m4da01acf.gif.


Решив её, получаем:

hello_html_m62e0f54a.gif


hello_html_m7d968eaa.gif.

Ответ: R =hello_html_5e44a9b2.gif.


1.4. Векторно-координатный метод



Естественным продолжением векторного и координатного методов является векторно-координатный метод. Он основан на понятиях вектора и координат и сочетает основные подходы этих двух методов. Приведем основные сведения, используемые при решении задач этим методом.


Требуется

найти

На плоскости

В пространстве

1. Координаты

вектора

hello_html_m7e3f8f2e.gif

hello_html_m1dfb6770.gifhello_html_m5df91f27.gif

2. Сумму

и разность

векторов

hello_html_m3a990ad8.gifhello_html_5ded1fa8.gifhello_html_660dc687.gif

hello_html_m77e1f0ed.gifhello_html_da5ae76.gifhello_html_55d7129a.gif

3. Произведение вектора на

число

hello_html_47d051c0.gif,

hello_html_m1b19f12d.gif.

hello_html_m35d7de9c.gif,

hello_html_4a129b82.gif.

4. Скалярное

произведение векторов

hello_html_7f397221.gif

hello_html_m5ec04e7e.gif

hello_html_5e23364a.gifhello_html_275dc53a.gif.

5. Длину

вектора

hello_html_47d051c0.gif,

hello_html_m7b2ab43a.gif

hello_html_m35d7de9c.gif,

hello_html_m2c1afc29.gif

6. Угол между векторами

hello_html_m34b6d88.gif,

hello_html_159cbf7f.gif

hello_html_mc78f4ee.gif

hello_html_m2537bec0.gif

7. Угол

между

прямыми


hello_html_m34a20447.gifнаправляющие векторы

прямых;

hello_html_429be09c.gifугол между прямыми.

hello_html_38917d8b.gif

8. Угол

между

прямой и

плоскостью


hello_html_m33919ba8.gifнаправляющий вектор прямой,

hello_html_m61a7b7cc.gifвектор,

перпендикулярный к плоскости,

hello_html_429be09c.gifугол между прямой и

плоскостью.

hello_html_m7a26af52.gif




Задача 1. Дан куб АВСDА1В1С1D1с ребром 1. Найти градусную меру угла между прямыми АС1 и СВ1.

hello_html_356ec716.gif

Схема решения:

АС1 и СВ1

скрещивающиеся прямые.

Введём прямоугольную систему координат Axyz, так, как показано на рисунке.


Имеем:

  1. А(0; 0; 0), С1(1; 1; 1), тогда hello_html_f1abe1.gif(1; 1; 1);

  2. С(1; 1; 0), В1(1; 0; 1), тогда hello_html_m50dd8faf.gif (0; -1; 1).

  3. Обозначим угол между скрещивающимися прямыми через hello_html_429be09c.gif и вычислим его, как угол между векторами hello_html_f1abe1.gif и hello_html_m50dd8faf.gif.:

hello_html_m1b6ea8c6.gif,


hello_html_m4c4a4828.gifhello_html_512060e9.gif

hello_html_m4c4a4828.gif0, следовательно, hello_html_m7107c7e5.gif.

Ответ: 90.

Задача 2. Основанием прямоугольного параллелепипеда

hello_html_m63d4260f.gifявляется прямоугольник АВСD со сторонами АВ = 6, ВС = 4. Боковые рёбра hello_html_33941e37.gif имеют длину 3. На отрезке hello_html_m1d9b3507.gif выбрана точка Р так, что угол между векторами hello_html_722e100e.gif и hello_html_m5d3be297.gif равен hello_html_m6ffd1351.gif. Найти отношение DР : hello_html_1ea55714.gif.

hello_html_m4aeb0463.gif



Схема решения:

Введём прямоугольную систему координат Axyz так, как показано на рисунке.

Найдём координаты векторов: hello_html_m5191e318.gif, hello_html_570371f7.gif. Так как hello_html_3e5f5de0.gif, то hello_html_73281641.gif. hello_html_35965802.gif, следовательно, hello_html_m49b2de18.gif.

hello_html_22c09a3f.gif

Отсюда получаем hello_html_m76c5c798.gif.


hello_html_670dfbf1.gif, hello_html_45ebf4dd.gif.

Следовательно, hello_html_45961644.gif.

Ответ: DP : РС1 = 2 : 1.


Задача 3. В прямоугольном параллелепипеде hello_html_m63d4260f.gif отношение рёбер АВ : АD = 1 : 2, а угол между прямыми В1D и СD1 равен 90. На ребре В1С1 взята точка М – такая, что В1М : МС1 = 1 : 3. Найти угол, который образуют прямые АС и ВМ.

hello_html_m1fc6997c.gif

Схема решения:

Введём прямоугольную

систему координат Вxyz так, как показано на рисунке. Найдём координаты точек.



А(0; 1; 0), В(0; 0; 0), С(2; 0; 0), D(2; 1; 0),

А1(0; 1; z), В1(0; 0; z), С1(2; 0; z), D1(2; 1; z),
Мhello_html_5f634b66.gif.
Так как В1D hello_html_m3369453f.gifСD1, то hello_html_m26dcbb3c.gif.

hello_html_7e46c13f.gif, hello_html_b000e13.gif.

hello_html_3f94cee8.gif; z = + 1; z = 1.

hello_html_m5a7a86fc.gif

hello_html_m277971df.gif.

hello_html_m4044919b.gif.

Ответ: hello_html_1a4f58df.gif.


Задача 4. В трапеции АВСD с основаниями ВС и АD заданы hello_html_447b21fc.gif, hello_html_232328a5.gif,

М и N – середины отрезков АВ и СD соответственно.

Найти сумму координат вектора hello_html_m595dc9fa.gif.

hello_html_3bd8769f.gif



Схема решения:

1) Так как hello_html_4d76079d.gif, то hello_html_m39705bf8.gif.

hello_html_6fcb9877.gif.

2) hello_html_4f2d0c5.gif,

hello_html_m314aa1cf.gif.

3) 15 + (-3) + (-9) = 15 – 12 = 3.

Ответ: 3.


1.5. Метод геометрических преобразований


Необходимость в использовании геометрических преобразований возникает, как правило, при решении достаточно сложных геометрических задач (здесь речь идет, во-первых, о задачах, в условии которых геометрические преобразования не фигурируют, и, во-вторых, о задачах, которые трудно решить без использования геометрических преобразований). Проиллюстрируем применение этих методов.

Зhello_html_416d36d1.gifадача 1 (поворот). Два равнобедренных прямоугольных треугольника АВМ и CDM с гипотенузами АВ и СD расположены так, что ABCD – четырёхугольник. Одна диагональ этого четырёхугольника равна d. Найти его площадь.

Схема решения:

Повернём ∆АМС вокруг точки М на 90 в соответствующем направлении (по часовой стрелке). При этом точка А перейдёт в точку В, точка С в точку D, т.е. АС перейдёт в BD.

  1. В четырёхугольнике ABCD диагонали АС и BD равны и перпендикулярны.

  2. Используя формулу для вычисления площади четырёхугольника через диагонали, имеем hello_html_m7ce4f247.gif.

Задача 2 (осевая симметрия). В треугольнике АВС биссектриса ВЕ и медиана АD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 4. Найти стороны треугольника АВС.

hello_html_4c42cff9.gif

Схема решения:

1) Точки А и D симметричны относительно биссектрисы ВЕ. (так как ∆АВD – равнобедренный, то АО = ОD = 2, АВ = ВD).

  1. Построим точку F, симметричную точке С относительно прямой ВЕ.

  2. BF = BC, так как симметрия является движением.

  3. Следовательно, ВН является медианой ∆FBC (точка Н является точкой пересечения FC и ВЕ).

  4. Точка Е является точкой пересечения медиан ∆FBC. Следовательно hello_html_m4a2c568.gif

  5. Так как AD – средняя линия ∆FBC, то hello_html_m4dff8a7c.gif. Из ∆OBD находим hello_html_m7340c05c.gif. Следовательно, АВ = BD = hello_html_7d52cb0c.gif, ВС = 2ВD = 2hello_html_7d52cb0c.gif.

  6. Из ∆АОЕ находим АЕ = hello_html_m27cd7ac6.gif. По свойству медиан, имеем: АС = 3АЕ = 3hello_html_7d2d075.gif.

Ответ: АВ = hello_html_7d52cb0c.gif; ВС = 2hello_html_7d52cb0c.gif; АС = 3hello_html_m22b14009.gif.


Задача 3 (подобие). Трапеция разделена на три трапеции прямыми, параллельными основаниям. Известно, что в каждую из трёх получившhello_html_m54ec708a.gifихся трапеций можно вписать окружность. Найти радиус окружности, вписанной в среднюю трапецию, если радиусы окружностей, вписанных в две оставшиеся, равны R и r.

Схема решения:

Пусть радиус средней окружности равен х.

1) ∆AKD LKP. Паре окружностей с радиусами R и x в ∆AKD соответствует пара окружностей с радиусами х и r в ∆LKP.

2) hello_html_m7798b8bf.gif => hello_html_m4b923ee5.gif.


Задача 4 (параллельный перенос). Основания трапеции равны 4 см и 9 см, а диагонали равны 5 и 12 см. Найти площадь трапеции и угол между ее диагоналями.

Схема решения:

Перенесем диагональ ВD на вектор hello_html_m2fb3152b.gif в положение hello_html_41641b9b.gif.


hello_html_162b25c8.gif

Рассмотрим треугольник hello_html_1785fd76.gif. Так как hello_html_m474f7081.gif – параллелограмм, то

hello_html_m3e5e1757.gifсм, hello_html_m76fcb927.gif см.

Известны три стороны треугольника hello_html_m6dce9e1d.gif, значит, можно найти его высоту, а затем и площадь трапеции. Если не заметить, что площадь трапеции равна площади треугольника hello_html_m6dce9e1d.gif (доказать), то решение задачи можно еще упростить.

Так как hello_html_m3f6b8f95.gif, то треугольник hello_html_m6dce9e1d.gif прямоугольный. Следовательно, площадь трапеции равна 30 см2. Угол между диагоналями трапеции равен углу hello_html_m1653fe40.gif, значит, диагонали перпендикулярны.

Задача 5 (гомотетия). В трапеции АВСD проведены диагонали

AC и BD, пересекающиеся в точке M (AB и CD – основания трапеции). Доказать, что площади треугольников ABM и CDM, равные соответственно S2 и S1,и площадь S трапеции связаны соотношением hello_html_m1bdd4835.gif.

Сhello_html_m47dc4360.gifхема решения:

Пусть точка N – точка пересечения прямой АВ и прямой, проходящей через точку C параллельно DB. Площадь треугольника ACN равна площади S данной трапеции. Проведем BF параллельно АС. Площадь треугольника BFN равна площади S1 треугольника DMC. Треугольники AMB и BFN гомотетичны треугольнику ACN с коэффициентами k1 и k2, причем k1 + k2 = 1. Но k1 = hello_html_15884f06.gif и k2 = hello_html_780c63f7.gif, следовательно, hello_html_m1bdd4835.gif.


Задача 6 (гомотетия).

В треугольник АВС вписана окружность, касающаяся прямой АВ в точке М. Пусть точка М1 диаметрально противолежит точке М на вписанной окружности. Доказать, что прямая СМ1 пересекает прямую АВ в такой точке С1 ,что АС+ АС1=ВС+ ВС1.

Схема решения:

Пhello_html_m6c2b9cd8.gifостроим касательную к окружности в точке М1, пересекающую АС в точке А1 и ВС в В1. Тогда ясно, что СА1 + А1М1 = СВ1 + В1М1.

Далее воспользуемся тем, что треугольники АВС и А1В1С1 гомотетичны, так как прямые АВ и А1В1 перпендикулярны диаметру ММ1 и поэтому АВ параллельна А1В1.






II. Решение задач различными методами

Каждая из рассмотренных нами задач, как правило, сопровождалась лишь одним решением, иллюстрирующим тот или иной прием, тот или иной метод решения. Бесспорно, изучение методов решения геометрических задач будет более эффективным, если рассматривать на примере одной задачи возможности использования различных геометрических и алгебраических методов.

Задача №1. В окружность радиуса 1 вписан равносторонний треугольник ABC, и на этой окружности взята произвольно точка D. Найти AD2+BD2+CD2.


Координатный метод


hello_html_m30888d45.gif

Схема решения:

Введем на плоскости прямоугольную систему координат с началом в точке О (центре правильного треугольника ABC).

Тогда А(0; 1); Вhello_html_6bb7d9e.gif; Сhello_html_76bb7b19.gif.

Пусть D(x; y), тогда AD2 + BD2 + CD2 =

hello_html_79244d2.gif

Так как точка D(x; y) лежит на окружности, следовательно, её координаты удовлетворяют уравнению hello_html_m64cfbdc3.gif. Используя этот факт, имеем AD2+BD2+CD2 = 3(1+1) = 6.


Векторный метод


hello_html_m58bcf446.gif

Используя, что hello_html_7017da19.gif, а hello_html_22dac9b4.gif

получим AD2 + BD2 + CD2 = 6.

Задача №2. В прямоугольном треугольнике с катетами 18 и 24 найти расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей.


Координатный метод


Дhello_html_5f72d2b2.gifано: ∆ABC, hello_html_7707454f.gifC = 90o,

AC = 24,

CB = 18,

O1 – центр описанной окружности,

O2 – центр вписанной окружности.

Найти: O1O2.

Схема решения:

Введем прямоугольную систему координат с началом в точке C, тогда С (0; 0); A(0; 24);

B(18; 0).

Точка O1 – середина гипотенузы, следовательно, O1 (9; 12).

R – радиус вписанной окружности, следовательно, O2 (r; r).

Радиус вписанной окружности найдем по формуле:

hello_html_10f6afd1.gifИмеем hello_html_m48155829.gif

Таким образом, O2 (6; 6).

Вычислим расстояние hello_html_m2e8b861d.gif.

Поэтапный метод

Схема решения:

1hello_html_m4dd74ee9.gif. AB = 30;

K, M, N – точки касания вписанной окружности.

2. KO2 = NO2 = MO2 = r; r = 6

(см. координатный метод).

3. NB = 18 – 6 = 12; NB = BM (отрезки касательных к окружности из одной точки).

4. O1M = O1BBM = 15 – 12 = 3.

Так как O1 – середина AB, то O1B = 15.

5. Из ∆O1O2M O1O2=hello_html_m3f8efa9f.gif=hello_html_355d4dd0.gif.


Задача №3. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 все плоские углы при вершине A равны 60, AB = AA1 = AD = 1. Вычислить длины AC1 и BD1.

Векторный метод

hello_html_4e61edcf.gif



Схема решения:

1. hello_html_m3cc459d4.gif

2. hello_html_6048e7a4.gif =

= hello_html_707b7431.gif

Учитывая, что hello_html_30d2acd2.gif и

hello_html_m240c7759.gif= 1,

имеем, что hello_html_4bccbad1.gif = hello_html_m5c2a836a.gif = hello_html_bf8cd8c.gif.

Аналогично рассуждая и используя, что

hello_html_3dd4476c.gif, имеем:

hello_html_2410dda9.gif.

Так как углы между векторами BB1 и C1D1, B1C1 и C1D1 равны 120 , следовательно,

hello_html_13937b54.gif.

Тогда hello_html_19b6870c.gif.



Геометрический метод



Рhello_html_41d3fa6a.gifассмотрим правильный тетраэдр A1ABD (доказать).

Проведем высоту A1H, H лежит на AC, Hцентр правильного треугольника ABD, следовательно,

hello_html_1009943.gif

Из ∆AA1H найдем

сos A1AH = hello_html_2bd02ff1.gif.

Из ∆ AC1C по теореме косинусов имеем:

hello_html_m5dc9db6e.gif

BD1 найдем как диагональ квадрата BB1D1D (доказать) со стороной BD = 1.

Следовательно, BD1 = hello_html_1caef8ee.gif.

Задача №4. Дан равнобедренный прямоугольный треугольник ABC. Прямая, проведенная через вершину прямого угла C перпендикулярно медиане BD, пересекает гипотенузу в точке M. Найти отношение hello_html_m3699a3d4.gif.


Координатный метод



Вhello_html_4fdb884a.gifведем прямоугольную систему координат с началом в точке C, то есть C(0; 0). Единичный отрезок равен катету AC. Тогда A(1; 0), B(0; 1), Dhello_html_72c67b7d.gif.

Угловой коэффициент прямой BD равен –2.

Угловой коэффициент прямой СМ, перпендикулярной прямой BD, равен hello_html_m3d4efe4.gif.

Запишем уравнения прямых CM и AB.

CM: y = hello_html_m3d4efe4.gifx; AB: y = –x + 1.

Найдем координаты точки M:

hello_html_m8464e99.gifx = –x + 1, hello_html_147fa1b6.gifx = 1, x = hello_html_3773fc45.gif; y = hello_html_m72b9c5e1.gif.

Следовательно, Mhello_html_2b853355.gif. Если Nhello_html_m6a38f52e.gif – проекция точки M на прямую AC; то hello_html_413ff173.gif. Используя обобщенную теорему Фалеса, получаем: hello_html_m3ffec61d.gif.

Векторный метод


Обозначим hello_html_58defc54.gif, hello_html_4307dea3.gif – единичные векторы.

По формуле деления отрезка в данном отношении выразим вектор hello_html_m2febdb40.gif через hello_html_3b9d8d35.gif и hello_html_m58e16661.gif.Получим hello_html_md93cf0c.gif.

Согласно правилу вычитания векторов, имеем hello_html_3dac35e.gif.

Так как hello_html_m7c9d221.gif, следовательно, hello_html_m14da5444.gif или

hello_html_m7c4f8dcb.gif= 0.

hello_html_2e2a5d7e.gif, учитывая, что hello_html_m263b48b2.gif и hello_html_267e7720.gif, получаем, что

n = hello_html_m22262573.gif.


Метод геометрических

преобразований


hello_html_m2f4f2f5f.gifРассмотрим поворот вокруг точки C на 90, при котором точка B переходит в точку A. Точка D перейдет в точку D1, лежащую на продолжении стороны BC, а треугольник BCD в треугольник ACD1. По свойству поворота hello_html_7214adc8.gif, а так как hello_html_m2d69b854.gif (по условию), следовательно, CM || AD1. Учитывая, что CD1 = hello_html_c6fb8fe.gif и используя обобщенную теорему Фалеса, делаем вывод, что hello_html_m602e010f.gif.


Метод тригонометрических соотношений


Обозначим hello_html_22d37668.gif. Применим теорему синусов к треугольникам ACM и BCM. Получим:

hello_html_m265daf38.gif.

Отсюда hello_html_m10cdf530.gif.

Из условия задачи следует, что углы ACM и CBD равны.

Тогда из ∆BCD имеем hello_html_m4f7488d6.gif. Значит, hello_html_m62576c88.gif.


Геометрический метод



Проведем перпендикуляр MN к стороне AC.

Так как hello_html_m3cde5ce.gif, то прямоугольные треугольники CMN и BCD подобны.

Следовательно, hello_html_m62abd2b5.gif.

Но MN = AN, значит, hello_html_m27e2ef90.gif. Поскольку MN || BC, то hello_html_70b6503.gif.


Задача 5. В треугольнике АВС биссектриса ВЕ и медиана АD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 4. Найти стороны треугольника АВС.


Приступая к решению задачи, замечаем, что прямоугольные треугольники АВО и DВО равны (точка О – точка пересечения биссектрисы ВЕ и медианы АD).

hello_html_452c0a3b.gif

Следовательно, hello_html_2b2f326f.gif и hello_html_me661f9d.gif, то есть hello_html_m79e8b562.gif.

Применяя свойство биссектрисы, имеем:

hello_html_m6f72c157.gif, то есть hello_html_m1dba7acd.gif.



Координатный метод



Рассмотрим прямоугольную систему координат с началом в точке О и единичным отрезком равным hello_html_m39dcaa4.gif.

Тогда: А(–2; 0), D(2; 0), В(0; b).

hello_html_50b9e6fe.gif

Используя формулу для нахождения координат середины отрезка ВС, найдем координаты точки С(х; у):

hello_html_m52b38d2a.gif.

Следовательно, С(4; b).


Запишем уравнение прямой АС по двум точкам:

hello_html_m6d71671d.gif.

Координаты точки Еhello_html_m6f0fb56b.gifудовлетворяют этому уравнению, так как она принадлежит прямой АС. Имеем:

hello_html_m1e359ebc.gif.

Следовательно, hello_html_3cf29b2.gif и hello_html_591fcdde.gif.

Применяя условие, получим: hello_html_m92e5bea.gif или hello_html_mccb5220.gif.

Итак, hello_html_3efb47b7.gif.

Найдем стороны треугольника АВС, используя формулу расстояния между двумя точками:

hello_html_4262ff4d.gif.


Векторный метод


Обозначим hello_html_38a60710.gif. Выразим hello_html_m33844b1f.gif и hello_html_m2aaef42e.gif через hello_html_3b9d8d35.gif и hello_html_208b8030.gif.

Используя, что hello_html_91f57a2.gif, применим формулу деления отрезка в данном отношении:

hello_html_21448e16.gif.

Согласно правилу вычитания векторов:

hello_html_3c992a37.gif.

Пусть hello_html_m69bb288.gif, тогда hello_html_22360044.gif. Вычислив скалярные квадраты векторов hello_html_78e9500f.gif и hello_html_m2aaef42e.gif, получим уравнения:

hello_html_m35b0119e.gif

Отсюда, hello_html_735d3a36.gif и hello_html_707152cd.gif Значит, hello_html_m1550f0a4.gif, hello_html_m2ab49303.gif.

Так как hello_html_538f45a2.gif, найдем скалярный квадрат hello_html_199f4e7d.gif:

hello_html_m653427eb.gif, то есть hello_html_7fce278.gif.






Алгебраический метод



Пусть hello_html_79088065.gif, АЕ = у, тогда hello_html_m37b62ebc.gif.

Выразим АD и ВЕ через длины сторон треугольника АВС по известным формулам для медианы и биссектрисы.

hello_html_m5569016.gif

где hello_html_44041b24.gif.

Получим систему уравнений:

hello_html_7b1809b.gif

Отсюда hello_html_m33f84259.gif.

Значит, hello_html_781bdde2.gif.


Метод тригонометрических соотношений



Обозначим hello_html_4b9a6d80.gif и hello_html_4bb6b365.gif.

Применим теорему косинусов к треугольникам ABE и BCE, получим:

hello_html_m66570b6e.gif

Учитывая, что hello_html_313a567.gif или hello_html_m481c107c.gif, получаем, что hello_html_312b2605.gif. Но hello_html_1d8c7905.gif из треугольника АВО, то есть ВО = 3 и ОЕ= 1.

Далее, используя теорему Пифагора для треугольников АОВ и АОЕ, находим АВ и АЕ, а затем стороны hello_html_cd3c748.gif.


Геометрический метод



Проведем среднюю линию DK в треугольнике ВСЕ. Отсюда hello_html_m665847d1.gif.

hello_html_m1e7f860d.gif

В треугольнике АDK ОЕ является средней линией, так как DK||ВЕ и АО = ОD.

Отсюда hello_html_67509d51.gif. Следовательно, hello_html_549c0a88.gif. Значит, hello_html_m35aa1d3d.gif.

Далее, применяя теорему Пифагора, из треугольников АОВ и АОЕ находим АВ и АЕ, а затем и стороны треугольника АВС.


Решение этой задачи с использованием метода геометрических преобразований было рассмотрено в задаче 2(п. 1.5).


III. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

3.1. Векторный метод



1. Диагонали параллелограмма АВСD пересекаются в точке О. Найти площадь параллелограмма, если АВ = а, ВС b и hello_html_576c55c0.gif.

(Ответ: hello_html_1711d8e0.gif)

2. На стороне АВ треугольника АВС взята точка М, такая, чтоhello_html_24082d65.gif. Найти длину СМ, если hello_html_m4a6ed0c3.gif и АСВ=120.

(Ответ: hello_html_m4472a532.gif)

3. Ребро правильного тетраэдра АВСD равно 4. Найти скалярное произведение hello_html_m638a1e25.gif, где М – середина СD.

(Ответ: 4)

4. Площадь полной поверхности правильной треугольной призмы hello_html_4f9925bc.gif в 2 раза больше ее боковой поверхности. Найти угол между прямымиhello_html_m21f7f6a8.gif и hello_html_m3cc77b62.gif.

(Ответ: hello_html_m448cd455.gif)

5. Найдите длину медианы СD треугольника АВС, зная, что hello_html_m7216fb22.gif и hello_html_713b8e70.gif.

(Ответ: hello_html_m7c979031.gif)


6. Определить, при каком значении х верно векторное равенство hello_html_529eabb8.gif = hello_html_3ec44e5b.gif, если АK и СМ – медианы треугольника АВС.

(Ответ: х = -2)

7. Определить hello_html_m52c9398a.gif, если hello_html_m344c4b24.gif, а угол между векторами hello_html_4ded7a87.gif и hello_html_m4a1f7b04.gif равен 210.

(Ответ: hello_html_m980c3de.gif)

8. Доказать, что сумма квадратов всех сторон параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей.


9. Найти х, при котором выполняется векторное равенство hello_html_m392c121a.gif = hello_html_2007cda3.gif, где точки hello_html_m3c31036f.gif расположены на одной прямой так, что hello_html_30f87d24.gif, а точка А не лежит на этой прямой.

(Ответ: х = hello_html_m51ce4be7.gif)

10. Найти угол между векторами hello_html_4ded7a87.gif и hello_html_m4a1f7b04.gif, если известно, что векторы hello_html_m7e487612.gif и hello_html_m6b4cb167.gif взаимно перпендикулярны.

(Ответ: 60)


3.2. Координатный метод


1. В треугольнике с вершинами А(1;2;4), В(4;5;2) и С(2;3;4) найти длину медианы АD.

(Ответ: 3)

2. В ромб АВСD, сторона которого равна 2 и угол А равен 60, вписана окружность. Докажите, что для любой точки Р окружности hello_html_267f275d.gif.


3. Найти стороны параллелограмма АВСD, если известны координаты двух его противоположных вершин А(–2; 1), С(6; –1) и точка

М(2; –2), являющаяся серединой стороны АВ.

(Ответ: 10; 4)

4. Доказать, что сумма квадратов всех сторон параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей.


5. Медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника равна 160, а основание треугольника равно 80. Найти две другие медианы.

(Ответ: 100; 100)

6. Высота треугольника, равная 10, делит основание на два отрезка, равные 10 и 4. Найти медиану, проведенную к меньшей из двух других сторон.

(Ответ: 13)

7. Известны координаты вершин треугольника АВС:

а) А(1; 2), В(2; 3), С(2,5; 2,5);

б) А(1; 1), В(2; 4), С(8; 3);

в) А(2; 1), В(–1, 3), С(2; 5).

Является ли этот треугольник остроугольным, прямоугольным, тупоугольным?

(Ответ: а) прямоугольный, б) тупоугольный, с) остроугольный)

8. Шар проходит через вершины А и С куба hello_html_5ceb30a9.gif, ребро которого равно а и через точки Р и Q середины ребер hello_html_79bf3664.gif и hello_html_46d9d09e.gif. Найти радиус шара.

(Ответ: hello_html_13d91073.gif)

9. Дан куб hello_html_mfd08b6d.gif с ребром 1. Найти радиус сферы, проходящей через вершину А, середины ребер DС и hello_html_297d7796.gif и центр грани hello_html_9ac7ab8.gif.

(Ответ: hello_html_24a66536.gif)

10. В основании правильной треугольной призмы hello_html_mfbd5296.gif лежит треугольник АВС со стороной, равной а. Боковое ребро призмы равно 2а. На ребре hello_html_297d7796.gif взята точка Р так, что hello_html_m600e9529.gif, а на стороне ВС взята точка Q так, что hello_html_m810576a.gif. Через точки hello_html_383b3f00.gif и Q проведена плоскость hello_html_m3afaf818.gif. Найти радиус шара с центром в точке В, касающегося плоскости hello_html_m3afaf818.gif.

(Ответ: hello_html_m3966036.gif)

3.3. Векторно-координатный метод



1. В кубе hello_html_135f5810.gif с длиной ребра, равной hello_html_bf8cd8c.gif, через диагональ куба hello_html_m21e5764a.gif параллельно диагонали основания BD проведена плоскость. Найти тангенс угла наклона ребра AD к этой плоскости и расстояние ребра hello_html_m6fc1c473.gif до этой плоскости.

(Ответ: hello_html_m501c4093.gif; 1,5)

2. Основанием прямоугольного параллелепипеда hello_html_4f5341b1.gif является прямоугольник АВСD со сторонами hello_html_m268a074.gif. Боковые ребра имеют длину 2. На отрезке hello_html_m3dc54184.gif выбрана точка Р так, что угол между векторами hello_html_m606b8bef.gif и АР равен hello_html_m43beaea1.gif. Найти отношение hello_html_48b33c4.gif.

(Ответ: 1)

3. Основанием прямоугольного параллелепипеда hello_html_495bd949.gif служит прямоугольник АВСD со сторонами hello_html_52312d34.gif, боковые ребра имеют длину 3. На отрезке hello_html_79b52569.gif выбрана точка Р так, что угол между векторами hello_html_722e100e.gif и hello_html_m5d3be297.gif равен hello_html_57642bd5.gif. Найти отношение hello_html_m129e590c.gif.

(Ответ: 2:1)

4. Высота прямой призмы hello_html_1d9e20e.gif равна hello_html_m77d16203.gif, угол С основания АВС равен 90, ВС = 4, АС = 3. Найти градусную меру угла между прямыми KМ и ВС, если точки K и М – середины ребер hello_html_m15d2ac5b.gif и АВ.

(Ответ: 60)

5. Дан куб hello_html_m70c3cec1.gif с ребром 1. Найти градусную меру угла между прямыми hello_html_m75aff8f0.gif и hello_html_m6dc97d0f.gif.

(Ответ: 90)

6. Площадь полной поверхности правильной треугольной призмы в два раза больше ее боковой поверхности. Найти угол между прямыми hello_html_m75aff8f0.gif и hello_html_a5ac9da.gif.

(Ответ: hello_html_m1688e4fd.gif)

7. АВСD и EFKL – два взаимно перпендикулярных осевых сечения цилиндра, причем АD и EL – диаметры одного основания. М – середина образующей АВ. hello_html_m3d87e9c2.gif. Площадь осевого сечения равна 4. Найти площадь поверхности цилиндра.

(Ответ: 6hello_html_1bfc1af9.gif)

8. В правильной четырехугольной пирамиде МАВСD сторона основания равна 2, а высота 1. Найти угол между АМ и плоскостью DМС.

(Ответ: hello_html_541c4982.gif)

9. В кубе hello_html_4f5341b1.gif найти угол между hello_html_m62c9ec2f.gif, где F – середина DС, а Е – середина hello_html_4ccdd2d1.gif и плоскостью hello_html_m56105449.gif.

(Ответ: hello_html_3870008a.gif)

10. Основанием пирамиды МАВСD служит прямоугольник АВСD, где АВ = 2 и АD = 1. Грань АМВ – равнобедренный треугольник, плоскость которого перпендикулярна основанию пирамиды. Высота пирамиды равна 1. Найти угол между AF и DЕ, где F – середина МD, а Е – середина МС.

(Ответ: hello_html_m2cb4886f.gif)

3.4. Метод геометрических преобразований

Осевая симметрия



1. В треугольнике АВС проведена биссектриса АK. Найдите сторону АС, углы В и С, если С В = 45, СK = 1 и ВK = hello_html_2e4d7561.gif.

(Ответ: В = 45, С = 90, hello_html_2bfb44ae.gif)

2. В треугольнике АВС проведена биссектриса СD. Найдите стороны АС и ВС, если hello_html_3b88d6c7.gif и hello_html_m42703a53.gif.

(Ответ: hello_html_m356ee7f0.gif)

3. Дан четырехугольник ABCD, диагональ АС которого делит угол А пополам. Известно, что hello_html_m10f2c930.gif и AD = 4. Найдите угол А четырехугольника и диагональ АС.

(Ответ: А=60;hello_html_dfc8c35.gif)

4. Найдите высоту СН треугольника АВС, если ВС = а, АС = b и разность углов А и В равна 90.

(Ответ: hello_html_m611d6384.gif)

5. Дан прямоугольник АВСD. На его сторонах АВ, ВС, CD и DA взяты точки А1 В1 С1 и D1. Какое наименьшее значение может иметь периметр четырехугольника А1В1С1D1, если диагональ прямоугольника равна d?

(Ответ: 2d)


Параллельный перенос



1. Основания трапеции равны 1 и 3. Углы при большем основании равны 30 и 60. Найдите длины боковых сторон трапеции.

(Ответ: 1 и hello_html_93b6d1d.gif)

2. Основания трапеции равны 2 и 7, боковые стороны равны 3 и 4. Найдите длину отрезка, соединяющего середины оснований.

(Ответ: 2,5)

3. Диагонали трапеции равны 13 см и 20 см, а сумма длин оснований равна 21 см. Вычислите площадь трапеции.

(Ответ: 126 см2)

4. Диагонали трапеции равны 15 см и 20 см, высота равна 12 см. Вычислите площадь трапеции.

(Ответ: 150 см2)

5. Диагонали трапеции равны 13 см и 15 см, средняя линия равна 7 см. Найдите высоту трапеции.

(Ответ: 12 см)


Центральная симметрия


1. Вычислите площадь треугольника АВС, если стороны АС и ВС равны соответственно 11 см и 13 см, а медиана СD равна 10 см.

(Ответ: 66 см2)

2. Найдите высоту СН треугольника АВС, если АС = 6, ВС = 8 и

СD = 5, где СD – медиана треугольника АВС.

(Ответ: 4,8)

3. В треугольнике АВС проведена медиана СD. Найдите стороны АС и ВС треугольника, если АСD = 90, ВСD = 30и hello_html_m7310e82b.gif.

(Ответ: АС = 2; ВС = 4)


Поворот


1. На сторонах АС и ВС треугольника АВС вне его построены равносторонние треугольники hello_html_m3f5e187e.gif и hello_html_6a6357d1.gif. Докажите, что отрезки hello_html_m15d2ac5b.gif и hello_html_m279500e2.gif равны. Найдите величину угла между прямыми hello_html_m15d2ac5b.gif и hello_html_m62106c88.gif.

(Ответ: 60)

2. Внутри равностороннего треугольника АВС дана точка М. Известно, что АМ = 1, ВМ = hello_html_2e4d7561.gif и АМВ = 105. Найдите СМ и ВМС.

(Ответ: СМ =1, ВМС = 105)

3. Дан ромб АВСD, угол А которого равен 120. Внутри ромба взята точка М, такая, что АМ = 1, СМ = 2 и ВМ = 3. Найдите DМ и АВ.

(Ответ: DМ =hello_html_93b6d1d.gif, hello_html_7526462a.gif)

4. На сторонах ВС и СD квадрата АВСD взяты точки М и N. Найдите угол hello_html_54fbe7.gif, если площадь hello_html_48c565ee.gif равна сумме площадей треугольников АВМ и АDN.

(Ответ: 45)






Подобие


1. В треугольнике АВС угол С равен 60, АВ = с. Найдите длину отрезка hello_html_m6fc1c473.gif, соединяющего основания высот hello_html_50c28697.gif и hello_html_6cf81bf0.gif треугольника АВС.

(Ответ: hello_html_m6a61002c.gif)

2. Дана трапеция АВСD с основанием АВ. Окружность, проходящая через вершины А, D и С, касается прямой ВС. Найдите АС, если hello_html_391879c0.gif и hello_html_189cb402.gif.

(Ответ: hello_html_6f725413.gif)

3. Дана трапеция АВСD (АВ и СD – основания), в которой hello_html_5c9d872a.gif, hello_html_70655c4d.gif. Найдите ВС и hello_html_64f33fc4.gif.

(Ответ: hello_html_m5bae489c.gif)


БИБЛИОГРАФИЯ

  1. Александров А.Д. и др. Геометрия для 10-11 классов: Учеб. пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики – М.: Просвещение, 1992. – 464с.

  2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия: Учеб. для 10-11 кл. ср. шк. – М.: Просвещение, 1993 – 207с.

  3. Болтянский В.Г., Яглом И.М. Преобразования. Векторы. – М.: Просвещение, 1964. – 303с.

  4. Борзенко Е.К., Корнева И.Г. Решение стереометрических задач: Методические рекомендации. – Бийск: РИО БПГУ им. В.М. Шукшина, 2005. – 60с.

  5. Готман Э.Г. Задачи по планиметрии и методы их решения: Пособие для учащихся. – М.: Просвещение, 1996. – 240с.

  6. Гусев В.А., Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г. Практикум по элементарной математике: Геометрия: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов и учителей – М.: Просвещение, 1992. – 352с.

  7. Единый государственный экзамен: Математика: Cб. заданий. – М.: Просвещение, 2005. – 224с.

  8. Зив Б.Г. Задачи к урокам геометрии, 7-11 классы. – СПб., 1998. – 624с.

  9. Зив Б.Г. и др. Задачи по геометрии для 7-11 классов. – М.: Просвещение, 1991. – 171с.

  10. Корнева И.Г., Пономарева Г.Д. Решение планиметрических задач. Методические рекомендации. – Бийск: НИЦ БПГУ им. В.М. Шукшина, 2004. – 42с.

  11. Погорелов А.В. Геометрия: Учеб. для 7-11 кл. сред. шк., 4-е изд. – М.: Просвещение, 1993. – 383с.

  12. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач: Учеб. пособие для 10 кл. ср. шк. – М.: Просвещение, 1989. – 252с.

  13. Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учеб. пособие для 11 кл. сред. шк. – М.: Просвещение, 1991. – 384с.




























Приложение

hello_html_m4dca0d7e.gif





56


Автор
Дата добавления 17.12.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров1726
Номер материала ДВ-265655
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх