Методы решения показательных уравнений

• 1 слайд

  Муниципальное общеобразовательное учреждение
  средняя общеобразовательная школа №32
  Методы решения показательных уравнений
  Учитель математики
  высшей категории
  Оршокдугова Р.М.
  г .Нальчик ,2010 г.
  

• 2 слайд

  «Мне приходится делить
  время между политикой и уравнениями. Однако уравнение, по-моему, гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут
  существовать вечно».
  
  А. Эйнштейн
  Альберт
  Эйнштейн
  1879 - 1955
  

• 3 слайд

  Девиз урока :
  «Дорогу осилит идущий , а математику – мыслящий»
  Т. Эдисон
  Цели
  а) образовательные:
  -закрепить решение простейших показательных уравнений;
  -показать дополнительные методы решения показательных уравнений;
  -обобщить и систематизировать методы решения показательных уравнений;
  б) развивающие: продолжить работу по развитию умений работать с дополнительной литературой;
  в) воспитательные:
  -организация совместных действий, ведущих к активизации учебного процесса;
  -стимулирование учеников к самооценке образовательной деятельности;
  -учащиеся работают над решением проблемы, поставленной учителем;
  Оборудование урока: проектор, компьютер, презентация к уроку.
  
  

• 4 слайд

  
  Устная работа
  Учебный элемент №1
  
  Г. Лессинга
  «Спорьте, заблуждайтесь, ошибайтесь, но, ради Бога, размышляйте, и, хотя криво – да сами».
  1) функцию какого вида называют показательной;
  2) какова область определения показательной функции;
  3) каково множество значений показательной функции;
  4)что можно сказать о монотонности показательной функции в зависимости от основания а;
  35
  

• 5 слайд

  1. На рисунке изображены графики показательных функций. Соотнесите график функции с формулой.
  1)
  2)
  3)
  4)
  

• 6 слайд

  
  
  
  
  
  
  Термин «показатель» для степени ввел в 1553 г. немецкий математик (сначала монах, а затем − профессор) Михаэль Штифель (1487-1567). По-немецки показатель − Exponent, от лат. exponere: «выставлять напоказ»; exponens, exponentis − «выставляющий напоказ», «показывающий». Штифель же ввел дробные и нулевой показатели степени. Само обозначение ax для натуральных показателей степени ввел Рене Декарт (1637 г.), а свободно обращаться с такими же дробными и отрицательными показателями стал с 1676 г. сэр Исаак Ньютон.
  Степени с произвольными действительными показателями, без всякого общего определения, рассматривали и Лейбниц, и Иоганн Бернулли; в 1679 г. Лейбниц ввел понятия экспоненциальной (т.е., по-русски, показательной) функции для зависимости и экспоненциальной кривой для графика этой функции. Краткое наименование «экспонента» отражено в одном из обозначений: . Через exp(x) обозначается конкретная экспонента − с показателем a = e = 2,71828... − встроенная во многие языки программирования функция.
  
  

• 7 слайд

  Учебный элемент № 2
  Работа у доски и в тетрадях
  Некоторые наиболее часто встречающиеся виды трансцендентных функций, прежде всего показательные, открывают доступ ко многим исследованиям.
  Л.Эйлер.
  
  37
  38
  39
  

• 8 слайд

  Учебный элемент № 3
  «Я слышу – я забываю,
  
  я вижу – я запоминаю,
  
  я делаю – я усваиваю».
  
  Китайская мудрость.
  39
  38
  

• 9 слайд

  Определение
  Показательным уравнением называется уравнение ,
  содержащее переменную в показателе степени.
  
  Показательные уравнения относятся к классу трансцендентных уравнений. Это труднопроизносимое название говорит о том, что такие уравнения, вообще говоря, не решаются в виде формул.
  
  Замечание
  

• 10 слайд

  Функционально-графический метод
  Метод введения новой переменной
  Вынесение общего
  множителя за скобки
  показательных уравнений
  
  
  Метод уравнивания показателей
  Метод подбора
  Основные методы и приемы решения
  Логарифмический
  метод
  

• 11 слайд

  
  
  Самостоятельная работа №1
  УчебныЙ элемент № 4
  Уж лучше совсем не помышлять об отыскании каких бы то ни было истин, чем делать это без всякого метода…
  Рене Декарт.
  38
  39
  

• 12 слайд

  Применение показательной функции
  
  Диагностика заболеваний. При диагностике почечных
  болезней часто определяют способность почек выводить из крови
  радиоактивные изотопы, причем их количество в крови падает по
  показательному закону.
  
  Барометрическая формула. При постоянной температуре
  давление воздуха убывает с убыванием высоты над уровнем моря по закону
  
  
  где p0 – давление на уровне моря (h =0), p – давление на высоте h, H -
  константа, зависящая от температуры воздуха.
  Формула разрядки конденсатора. Если начальное
  
  напряжение на конденсаторе равно U0, то конденсатор будет разряжаться по закону
  
  
  где t – время, в течение которого разряжается конденсатор, R – сопротивление, C – электроемкость конденсатора.
  

• 13 слайд

  Применение показательной функции
  
  Радиоактивный распад
  
  Количество распадающегося за единицу времени вещества всегда пропорционально имеющемуся количеству вещества.
  Промежуток времени, в течение которого распадается половина всех имеющихся атомов называется периодом полураспада данного вещества.
  Этот период различен для разных веществ.
  Например, за время равное лет при распаде урана-238 распадается половина от начального числа атомов, т.е. при увеличении времени на 4,5 миллиарда лет число атомов уменьшается в 2 раза.
  Задание. Сделать аналитическую запись формулы радиоактивного распада, обозначив начальную массу вещества М. Изобразить схематически график функции.
  Ответ.
  
  
  или
  у
  М
  х
  

• 14 слайд

  Закон радиоактивного распада
  Радиоактивный распад
  

• 15 слайд

  Применение показательной функции
  При передаче электроэнергии по подводному кабелю потери в силе
  тока за счет утечки в воду пропорциональны длине кабеля
  .
  Например, на каждом километре сила тока уменьшается на 0,5%.
  Тогда при увеличении расстояния от источника энергии на 1 км сила
  тока будет изменяться в отношении 1: 0,995
  
  Задание. Сделать аналитическую запись формулы,
  выражающей
  зависимость силы тока от расстояния. Изобразить
  схематически график функции.
  Ответ:
  1
  у
  х
  Потери силы тока.
  

• 16 слайд

  Применение показательной функции
  При искусственном выращивании каких-либо микроорганизмов размножение клеток идет так, что за некоторый определенный промежуток времени (длина митотического цикла) каждая клетка делится на две дочерние клетки.
  Поэтому, когда время увеличивается на длину митотического цикла, число клеток увеличивается в два раза
  Задание. Сделать аналитическую запись формулы размножения клеток. Изобразить схематически график функции.
  Ответ.
  Органический рост
  

• 17 слайд

  Применение показательной функции
  Если однолетнее растение дает 100 семян и из них прорастает половина, то за каждый год, т.е. при увеличении времени на единицу, число растений увеличивается в 50 раз.
  Задание. Сделать аналитическую запись формулы размножения растений. Изобразить схематически график функции.
  Ответ.
  
  
  у
  0
  х
  1
  Органический рост
  

• 18 слайд

  Применение показательной функции
  
  В XIV-XV веках в Западной Европе появляются банки – учреждения, которые
  давали деньги в рост князьям и купцам, финансировали за большие проценты
  дальние путешествия и завоевательные походы. Чтобы облегчить
  расчеты сложных процентов, взимаемых по займам, составили таблицы,
  по которым сразу можно было узнать, какую сумму надо было уплатить через п лет, если была взята взаймы сумма а по р% годовых.
  Эта сумма выражается формулой
  
  
  Пример. Банк выплачивает вкладчикам проценты по вкладам в размере
  4% в год, т.е. за каждый год вклад увеличивается в 1,04 раза.
  Задание. Сделать аналитическую запись формулы, выражающей зависимость
  величины вклада от времени. Изобразить схематически график функции.
  Рост вклада в банке
  0
  1
  у
  х
  

• 19 слайд

  
  Решение нестандартных показательных уравнений . Презентация решений, подготовленных учащимися.
  Учебный элемент № 5
  

• 20 слайд

• 21 слайд

• 22 слайд

  Ответ: .
  удовлетворяет второму уравнению.
  Пример 1. Решите уравнение
  Решение. Оценим обе части уравнения.
  При всех значениях х верны неравенства:
  Следовательно, данное уравнение равносильно системе:
  Полученная система не имеет решений, так как не
  Графическая иллюстрация
  

• 23 слайд

  Пример 2. Решить уравнение
  Решение: Оценим обе части уравнения.
  При всех значениях х верны неравенства
  Следовательно, данное уравнение равносильно системе:
  При х = 0 второе уравнение обращается в тождество, значит
  х = 0 корень уравнения.
  Ответ: х = 0.
  Графическая иллюстрация
  

• 24 слайд

  Пример 9. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
  имеет решения. Найдите эти решения.
  При всех значениях х выражение
  При всех значения х выражения
  Поэтому
  Следовательно, левая часть уравнения не меньше 4, а правая часть – не больше 4. Получаем систему:
  Ответ:
  при
  Решение. Перепишем уравнение в виде
  

• 25 слайд

  Может ли при каком-нибудь значении параметра а, уравнение
  
  Так как при замене х на –х данное уравнение не изменится, то множество его корней вместе с каждым корнем содержит противоположный корень. Следовательно, уравнение имеет четное число корней, отличных от нуля. Проверка показывает, что 0 – корень, значит, данное уравнение имеет нечетное число корней.
  иметь нечетное число корней?
  Решение.
  Ответ: да.
  Графическая иллюстрация
  ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЧЕТНОСТИ ФУНКЦИИ
  

• 26 слайд

  у
  х
  0
  2
  1
  а = 2
  а = 1
  а = -1
  а = 3
  а = -3
  а = -2
  

• 27 слайд

  
  
  Математика. ЕГЭ. Контрольные измерительные материалы. Методические указания при подготовке. Тестовые задания: Учебно – методическое пособие  Л.Д. Лаппо, А.В. Морозов, М.А. Попов. – М.: издательство «Экзамен», 2006, 2008, 2010
  
  2. Математика. ЕГЭ. Контрольные измерительные материалы. Варианты тестов. Министерство образования РФ. – М.: Центр тестирования Минобразования России, 2008.  Денищева Л.О. и др.
  
  3. Математика — абитуриенту. Автор: Ткачук В. В. Издательство: 2007. Год: МЦНМО. Страниц: 976
  Для создания шаблона презентации использовалась картинка http://www.box-m.info/uploads/posts/2009-05/1242475156_2.jpg
  Литература
  

• 28 слайд

  Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть – и в последствии подтвердить это, - что, следуя этому методу, мы достигнем цели
  Г. Лейбниц
  

• 29 слайд

  Для успешного решения показательных уравнений Вам необходимо:
  1.Безошибочно решать простейшие показательные уравнения.
  2.Активно знать все показательные тождества
  3.Четко, подробно и без ошибок проделывать математические
  преобразования уравнений.
  4.Знать методы решения задач. На каждом этапе Вам необходимо:
  а) определить тип уравнения;
  б) вспомнить соответствующий этому типу метод
  решения задачи.
  
  

• 30 слайд

  Молодцы, вы освоили решения уравнений второго уровня сложности.
  Если вы набрали 20-26 , то получаете оценку «5».
  Если вы набрали 14-19 , то получаете оценку «4».
  Если вы набрали 7-13 , то получаете оценку «3».
  Если вы набрали 0-6 , то получаете оценку «2».
  Молодцы !!!
  

• 31 слайд

  спасибо за внимание
  Домашнее задание : листы – вкладыши ЕГЭ
  «Показательные уравнения»
  

• 32 слайд

  Методы решения показательных уравнений
  Метод приведения степеней к одному основанию
  Вынесение общего множителя за скобки
  Метод замены переменной
  Метод почленного деления
  Метод группировки
  Графический метод
  

• 33 слайд