Методы решения систем линейных уравнений (методы: Гаусса, Крамера, обратной матрицы) для студентов нематических специальностей ВУЗов)

• 1 слайд

  Этот метод заключается в последовательном исключении переменных из системы уравнений.
  РЕШЕНИЕ СИСТЕМ
  ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
  1. МЕТОД ГАУССА
  

• 2 слайд

  Дана система из трех уравнений:
  Матрица системы будет иметь вид:
  Если включить в нее столбец свободных членов, то она будет называться расширенной:
  

• 3 слайд

  Исключим переменную x1 из всех уравнений, кроме первого. Это эквивалентно получению нулей во 2-й и 3-ей строке первого столбца.
  Для этого умножим первое уравнение на (-2) и (-3) и сложим соответственно, со 2-м и 3-м уравнением:
  

• 4 слайд

  Теперь исключим переменную x2 из третьего уравнения (получим ноль в 3-ей строке 2-го столбца).
  Для этого умножим 2-е уравнение на (-5) и сложим его с третьим:
  

• 5 слайд

  Запишем полученную систему уравнений:
  Последовательно находим:
  Ответ:
  

• 6 слайд

  2. МЕТОД КРАМЕРА
  Пусть дана система (1). Рассмотрим частный случай, когда число неизвестных равно числу уравнений.
  Найдем определитель матрицы системы:
  

• 7 слайд

  Пусть ΔJ – определитель матрицы, полученной из матрицы А заменой j–го столбца столбцом свободных членов:
  Тогда, если определитель матрицы системы не равен 0, то система уравнений (1) имеет единственное решение, которое определяется по формулам:
  

• 8 слайд

  формулы Крамера
  

• 9 слайд

  Решим систему из предыдущего примера.
  Матрица системы имеет вид:
  Находим ее определитель:
  

• 10 слайд

  Найдем определители Δ1 , Δ2 , Δ3 :
  

• 11 слайд

  Используем формулы Крамера:
  Ответ:
  

• 12 слайд

  Замечание:
  Если Δ=0 при том, что хотя бы один
  из определителей ΔJ не равен нулю,
  то система (1) несовместна.
  Если Δ=0 и все ΔJ тоже равны нулю,
  то система неопределенная, так как
  она имеет бесконечное множество
  решений.
  
  

• 13 слайд

  3. МЕТОД ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ
  Пусть дана система (1). Снова рассмотрим случай, когда число неизвестных равно числу уравнений.
  В матричной форме система имеет вид:
  Пусть существует обратная матрица А-1 к матрице системы А.
  

• 14 слайд

  Тогда решением матричного уравнения будет матрица-столбец Х:
  Проверяем:
  

• 15 слайд

  Решим систему
  Матрица системы и столбец свободных членов имеют вид:
  Найдем обратную матрицу А-1 :
  Ранее был найден определитель матрицы А:
  

• 16 слайд

  Находим алгебраические дополнения для каждого элемента матрицы А :
  

• 17 слайд

• 18 слайд

  Составляем матрицу из найденных алгебраических дополнений:
  Транспонируем ее и делим на определитель. Получаем обратную матрицу:
  

• 19 слайд

  Находим решение системы уравнений:
  Ответ: