1165148
столько раз учителя, ученики и родители
посетили сайт «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
+Добавить материал
и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
Дистанционные курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации для педагогов

Дистанционные курсы для педагогов - курсы профессиональной переподготовки от 1.410 руб.;
- курсы повышения квалификации от 430 руб.
Московские документы для аттестации

ВЫБРАТЬ КУРС СО СКИДКОЙ ДО 90%

ВНИМАНИЕ: Скидка действует ТОЛЬКО до конца апреля!

(Лицензия на осуществление образовательной деятельности №038767 выдана ООО "Столичный учебный центр", г.Москва)

ИнфоурокМатематикаДругие методич. материалыМетоды решения задач из раздела "Теория чисел"

Методы решения задач из раздела "Теория чисел"

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов
Скачать материал целиком можно бесплатно по ссылке внизу страницы.

Типология и методология решения задач по теории чисел (разбор заданий)

Как понятно из названия моего выступления, речь пойдет о задачах, связанных со свойствами делимости целых чисел и логическим перебором.

Для решения задач такого типа не требуется никаких специальных знаний, выходящих за рамки стандарта математического образования, необходимо умение строить и исследовать математические модели.

При анализе работ участников ЕГЭ видно, что решений данного задания оцененных максимальным баллом примерно 1 на 500. Положительный результат отличный от максимального (не менее одного балла за решение) одно на 15. Стоит отметить, что большая часть участников экзамена даже не приступает к решению данного задания.

Основные проблемы:

Понимание логики задачи;

Анализ условия;

Неумение использовать свойства целых чисел;

Неумение делать необходимые выводы и обоснования.

И так, приступим к рассмотрению задач

Деление с остатком

После деления двузначного числа на сумму его цифр в частном получается 7, а в остатке 6. После деления этого же числа на произведение его цифр в частном получается 3, а в остатке 11. Найдите это число.

Решение. Пусть задуманное число имеет вид , тогда используя условия получаем систему уравнений:




посторонний корень, так как принимать только значения из множества .

.

Ответ: задуманное число 83.

Ученик перемножил два данных натуральных числа и допустил ошибку, увеличив произведение на 372. Поделив для проверки полученный результат на меньшее из данных чисел, ученик правильно получил в частном 90 и в остатке 29. Найдите данные числа.

Решение. Пусть - данные натуральные числа, причем . Тогда из условия получим уравнение:

.


Ответ: данные числа 7 и 41 или 49 и 83.

Текстовые задачи с перебором

На факультет подано от не медалистов на 600 заявлений больше, чем от медалистов. Девушек среди не медалистов больше, чем среди медалистов, в 5 раз, а юношей среди не медалистов больше, чем среди медалистов, в n раз, где n – натуральное число и . Найдите общее число заявлений, если среди медалистов юношей на 20 больше, чем девушек.

Решение. Пусть x – число девушек медалисток, тогда девушек не медалисток - 5х, юношей медалистов - (х+20), юношей не медалистов - n(x+20). Так как не медалисты подали на 600 заявлений больше, чем медалисты, то составим и решим уравнение.


.

Число целое, если 20.

20.

при .

Значит, девушек медалисток – 48, юношей медалистов – 68, девушек не медалистов – 240, юношей не медалистов – 476. Всего подано заявлений 832.

Ответ: всего подано 832 заявления.

Решение систем уравнений в целых числах

Найдите все целочисленные решения системы


Ответ:

Решение уравнений

Решите в натуральных числах уравнение

Левая часть уравнения при любых натуральных числах m и n при делении на 3 даёт остаток 1, следовательно, такой же остаток при делении на 3 должен быть и у 5z, откуда следует, что z - чётное. Пусть z = 2r, r N.

  Правая часть уравнения при любом натуральном k при делении на 4 даёт остаток 1, следовательно, такой же остаток при делении на 4 должен быть и у 3x, откуда следует, что m - чётное. Пусть x = 2s, s N.

  Перепишем исходное уравнение в виде

32s + 4y = 52r,

или в виде

22y = (5r − 3s)(5r + 3s).

  Тогда 5r − 3s = 2q и 5r + 3s = 2l, где q и l - целые неотрицательные числа и q + l = 2y.

  Таким образом,

  Число 3s - нечётное, значит, 2l - 1 - 2q - 1 нечётно, поэтому q = 1 и 3s = 2l - 1 − 1.

  Следовательно, число l − 1 чётно, l − 1 = 2p (иначе левая часть не делится на 3). Тогда 3s = (2p − 1)(2p + 1) - произведение двух множителей, отличающихся на 2 и являющихся степенями тройки. Ясно, что эти множители 1 и 3, тогда p = 1, s = 1, m = 2s = 2. Далее последовательно получаем:

l = 2p + 1 = 3,

5r = (2q + 2l)/2 = 5,

r = 1,

k = 2r = 2,

q + l = 2n = 4.

  Итак, m = n = k = 2.

  Ответ: m = 2, n = 2, k = 2

Свойства простых чисел, признаки делимости

Ваня задумал простое трехзначное число, все цифры которого различны. На какую цифру оно может оканчиваться, если его последняя цифра равна сумме первых двух.

Решение. Так как число простое, то:

  • оно не может оканчиваться на четную цифру, иначе оно делится на 2.

  • Оно не может оканчиваться на 5, иначе делится на 5.

  • Не может оканчиваться на 3, так как сумма цифр тогда равна 6, то есть оно делится на 3.

  • Не может оканчиваться на 9, так как сумма цифр тогда равна 18, то есть оно делится на 9 и на 3.

  • Не может оканчиваться на 1, так как в этом случае не выполняется условие, что все цифры различны.

Таким образом число может оканчиваться, только на 7.

Ответ: 7.

Все рассмотренные мной задания, взяты из открытой базы. Из представленных примеров можно сделать вывод, что задачи такого типа можно вводить начиная с 8-го класса с нарастающей сложностью. Введение задач в программу способствовало бы увеличению положительных результатов на экзаменах.

Общая информация

Номер материала: ДБ-173686

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»

Благодарность за вклад в развитие крупнейшей онлайн-библиотеки методических разработок для учителей

Опубликуйте минимум 3 материала, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную благодарность

Сертификат о создании сайта

Добавьте минимум пять материалов, чтобы получить сертификат о создании сайта

Грамота за использование ИКТ в работе педагога

Опубликуйте минимум 10 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Свидетельство о представлении обобщённого педагогического опыта на Всероссийском уровне

Опубликуйте минимум 15 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данное cвидетельство

Грамота за высокий профессионализм, проявленный в процессе создания и развития собственного учительского сайта в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 20 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Грамота за активное участие в работе над повышением качества образования совместно с проектом "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 25 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Почётная грамота за научно-просветительскую и образовательную деятельность в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 40 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную почётную грамоту

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.