Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методы вычисления площадей на сетке (исследовательская работа)
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Методы вычисления площадей на сетке (исследовательская работа)

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ задачи на сетке.pptx

библиотека
материалов
Автор проекта: Шеенкова Дарья, 5а класс Руководитель проекта: Смирнова С.Н. З...
 №195 №197 Сравнить площади закрашенных фигур Найти площадь фигуры
№598 Закрасить 3/8 фигуры Сравните периметры и площади закрашенных фигур
http://mathege.ru/or/ege/ShowProblems?offset=6&posMask=4
Вывод: уметь решать задачи на клетчатой бумаге (в т.ч. на нахождение площадей...
Цель исследования: Поиск, классификация, сравнение разных способов решения з...
Гипотеза: Существуют простые способы решения задач на нахождение площадей мн...
Методы исследования: Изучение литературных и Интернет-ресурсов Анализ, сравне...
1. Способ подсчета клеток Площадь многоугольника равна сумме единичных квадра...
2. Применение формул площадей известных фигур S1 = a b = 7*3=21 кв.ед.; S2=1/...
2. Применение формул площадей известных фигур S1 = a b = ?*?=? кв.ед.; S2=1/2...
3. Разбиение на части S= SΔ +S + SΔ + S + SΔ SΔ= 1/2*2*7=7 кв.ед. SΔ=1/2*2*...
S= S - SΔ - SΔ - SΔ SΔ= 1/2*2*7=7 кв.ед. SΔ=1/2*2*3=3 кв.ед. SΔ=1/2*2*1=1кв...
5. По формуле Пика S= В+ Г/2 – 1 В – количество внутренних узлов, Г – количес...
На решение задачи этим способом ушло 5 минут 20 секунд. На решение задачи эти...
Результаты работы: Использование результатов: Перспективы: 1. Сравнительная т...
Спасибо за внимание!
23 1

Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Автор проекта: Шеенкова Дарья, 5а класс Руководитель проекта: Смирнова С.Н. З
Описание слайда:

Автор проекта: Шеенкова Дарья, 5а класс Руководитель проекта: Смирнова С.Н. Задачи на клетчатой бумаге (нахождение площадей многоугольников)

№ слайда 2
Описание слайда:

№ слайда 3  №195 №197 Сравнить площади закрашенных фигур Найти площадь фигуры
Описание слайда:

№195 №197 Сравнить площади закрашенных фигур Найти площадь фигуры

№ слайда 4 №598 Закрасить 3/8 фигуры Сравните периметры и площади закрашенных фигур
Описание слайда:

№598 Закрасить 3/8 фигуры Сравните периметры и площади закрашенных фигур

№ слайда 5
Описание слайда:

№ слайда 6
Описание слайда:

№ слайда 7 http://mathege.ru/or/ege/ShowProblems?offset=6&posMask=4
Описание слайда:

http://mathege.ru/or/ege/ShowProblems?offset=6&posMask=4

№ слайда 8
Описание слайда:

№ слайда 9 Вывод: уметь решать задачи на клетчатой бумаге (в т.ч. на нахождение площадей
Описание слайда:

Вывод: уметь решать задачи на клетчатой бумаге (в т.ч. на нахождение площадей) разными способами нужно уметь каждому школьнику.

№ слайда 10 Цель исследования: Поиск, классификация, сравнение разных способов решения з
Описание слайда:

Цель исследования: Поиск, классификация, сравнение разных способов решения задач на нахождение площадей многоугольников на клетчатой бумаге (сетке). Задачи исследования: Отобрать материал для исследования, выбрать главную, интересную, понятную информацию; Проанализировать и систематизировать различные методы и приёмы решения задач на нахождение площадей многоугольников на сетке; Подобрать наиболее интересные, наглядные примеры; Создать электронную презентацию работы для представления собранного материала одноклассникам; Разработать сравнительную таблицу и тренажер для отработки способа решения; Сделать выводы по результатам работы.

№ слайда 11 Гипотеза: Существуют простые способы решения задач на нахождение площадей мн
Описание слайда:

Гипотеза: Существуют простые способы решения задач на нахождение площадей многоугольников на клетчатой бумаге, которые позволят легко справится с заданиями ОГЭ и ЕГЭ по этой теме даже пятикласснику.

№ слайда 12 Методы исследования: Изучение литературных и Интернет-ресурсов Анализ, сравне
Описание слайда:

Методы исследования: Изучение литературных и Интернет-ресурсов Анализ, сравнение, обобщение и классификация Эксперимент (решение задач на время разными способами) Конструирование

№ слайда 13 1. Способ подсчета клеток Площадь многоугольника равна сумме единичных квадра
Описание слайда:

1. Способ подсчета клеток Площадь многоугольника равна сумме единичных квадратов На рисунке: S1 =10 кв.ед.; S2=10 кв.ед.; S3= 7 кв.ед.; S4=8 кв.ед.; S5=12 кв.ед.; S6=4 кв.ед.; S7=8 кв.ед.; S8=12 кв.ед. Способ подсчета клеток Применяется: Многоугольник «составлен» из целых клеток или половинок клеток Алгоритм: Посчитать клетки (2 половинки=1 целой клетке) 2. Записать ответ Преимущества: простой Недостатки: Ограниченв применении

№ слайда 14 2. Применение формул площадей известных фигур S1 = a b = 7*3=21 кв.ед.; S2=1/
Описание слайда:

2. Применение формул площадей известных фигур S1 = a b = 7*3=21 кв.ед.; S2=1/2 (ab)= ½ (2*5)=5 кв.ед.; S2=1/2 (ah)= ½ (4*5)=10 кв.ед.; a b a a h b Способ применения формул Применяется: Длянахождения площадеймногоугольников с вершинами в узлах решетки по известным формулам в случае, если необходимые величины явно видны Алгоритм: Определить длины необходимых величин; Подставить в известную формулу; Записать ответ Преимущества: простой Недостатки: Ограниченв применении (формулы известны не для всех фигур; длины необходимых в формулах величин сложно посчитать)

№ слайда 15 2. Применение формул площадей известных фигур S1 = a b = ?*?=? кв.ед.; S2=1/2
Описание слайда:

2. Применение формул площадей известных фигур S1 = a b = ?*?=? кв.ед.; S2=1/2 (ab)= ½ (?*?)=? кв.ед.; S2= ? a b a b Способ применения формул Применяется: Длянахождения площадей многоугольников с вершинами в узлах решетки по известным формулам в случае, если необходимые величины явно видны Алгоритм: Определить длины необходимых величин; Подставить в известную формулу; Записать ответ Преимущества: простой Недостатки: Ограниченв применении (формулы известны не для всех фигур; длины необходимых в формулах величин сложно посчитать)

№ слайда 16 3. Разбиение на части S= SΔ +S + SΔ + S + SΔ SΔ= 1/2*2*7=7 кв.ед. SΔ=1/2*2*
Описание слайда:

3. Разбиение на части S= SΔ +S + SΔ + S + SΔ SΔ= 1/2*2*7=7 кв.ед. SΔ=1/2*2*3=3 кв.ед. SΔ=1/2*2*1=1 кв.ед. S =2*7=14 кв.ед. S =2*3=6 кв.ед. S=7+14+3+6+1=31 Способ разбиения на части Применяется: Длянахождения площадей многоугольников с вершинами в узлах решетки, у которых неизвестны формулы нахождения площади Алгоритм: Разбить многоугольник на известные фигуры; Найти площадькаждой части (способ №1 или №2); Найти сумму площадей Записать ответ Преимущества: Подходит для произвольного многоугольника Недостатки: Трудоемкий

№ слайда 17 S= S - SΔ - SΔ - SΔ SΔ= 1/2*2*7=7 кв.ед. SΔ=1/2*2*3=3 кв.ед. SΔ=1/2*2*1=1кв
Описание слайда:

S= S - SΔ - SΔ - SΔ SΔ= 1/2*2*7=7 кв.ед. SΔ=1/2*2*3=3 кв.ед. SΔ=1/2*2*1=1кв.ед. S=42-7-3-1=31 S = 6*7=42 кв.ед. 4. Достраивание до прямоугольника (метод вычитания) Способ достраивания до прямоугольника Применяется: Длянахождения площадей многоугольников с вершинами в узлах решетки, у которых неизвестны формулы нахождения площади Алгоритм: Достроить фигуру до прямоугольника; Найти площадьдополняющих фигур(способ №1 или №2); Найти площадь прямоугольника Вычесть из площади прямоугольника площади дополняющих фигур Записать ответ Преимущест-ва: Подходит для произвольного многоугольника Недостатки: Трудоемкий

№ слайда 18 5. По формуле Пика S= В+ Г/2 – 1 В – количество внутренних узлов, Г – количес
Описание слайда:

5. По формуле Пика S= В+ Г/2 – 1 В – количество внутренних узлов, Г – количество граничных узлов. S= 26+ 12/2 – 1 = 31 кв.ед. По формуле Пика Применяется: Длянахождения площадей многоугольников с вершинами в узлах решетки Алгоритм: Посчитать количество внутренних узлов (В); Посчитать количество граничных узлов (Г); Посчитатьплощадь фигуры по формуле Пика Записать ответ Преимущества: Универсальный Недостатки: -

№ слайда 19 На решение задачи этим способом ушло 5 минут 20 секунд. На решение задачи эти
Описание слайда:

На решение задачи этим способом ушло 5 минут 20 секунд. На решение задачи этим способом ушло 1 минута 42 секунды. ЭКСПЕРИМЕНТ Метод вычитания S1=(4*5)/2=10 S2=2*3=6 S3=(2*1)/2=1 S4=(9*3)/2=13,5 S5=(6*4)/2=12 Sпрямоугольника=9*7=63 S=63-(10+6+1+13,5+12)=20,5 Формула Пика Г=7 В=18 S=В+Г/2-1=18+3,5-1=20,5

№ слайда 20
Описание слайда:

№ слайда 21
Описание слайда:

№ слайда 22 Результаты работы: Использование результатов: Перспективы: 1. Сравнительная т
Описание слайда:

Результаты работы: Использование результатов: Перспективы: 1. Сравнительная таблица методов нахождения площадей многоугольников на сетке; 2. Тренажер для нахождения площадей по формуле Пика. 1. На уроках математики; 2. В решении олимпиадных задач; 3. При подготовке к ОГЭ и ЕГЭ. Создание электронного тренажера по применению формулы Пика

№ слайда 23 Спасибо за внимание!
Описание слайда:

Спасибо за внимание!

Выбранный для просмотра документ текст работы 2.docx

библиотека
материалов

ОТДЕЛ ОБРАЗОВАНИЯ ЛЕЖНЕВСКОГО МУНИЦИПАЛЬНОГО РАЙОНА

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

Лежневская средняя общеобразовательная школа №10











НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА ПО ТЕМЕ:





«ЗАДАЧИ НА КЛЕТЧАТОЙ БУМАГЕ (нахождение площадей многоугольников)














Выполнена ученицей

5а класса МБОУ Лежневской СОШ №10 Шеенковой Дарьей


Руководитель

учитель математики

Смирнова Светлана Николаевна









п.Лежнево

2016 г.




ОГЛАВЛЕНИЕ




  1. Введение - 2 стр.

  2. Методы нахождения площади многоугольника – 3 стр.

  3. Заключение - 6 стр.

  4. Список литературы – 7 стр.














































Введение

Математика – один из моих любимых школьных предметов. А самое сложное и одновременно самое интересное - решение задач. Задачи в учебнике и сборниках попадаются самые разные и способов решения каждой задачи можно придумать несколько. Но один вид задач, как мне кажется, не похож на другие. Это задачи на клетчатой бумаге. Они кажутся необычными, более занимательными. Может быть потому, что на клетчатой бумаге действительно придумано много игр?

Позволительно ли относиться к задачам на клетчатой бумаге несерьезно?

Я просмотрела учебник математики 5 класса и нашла несколько разных задач на сетке. Большинство из них – на нахождение и сравнение площадей многоугольников1.

А встречаются ли такие задачи старшеклассникам? Моя учительница математики С.Н.Смирнова посоветовала мне посмотреть открытый банк заданий ОГЭ и ЕГЭ по математике, посетить сайты по подготовке выпускников 9 и 11 классов к экзаменам. Оказалось, что задачи на нахождение площадей многоугольников на клетчатой бумаге достаются на экзаменах почти каждому выпускнику2.

Вывод прост: уметь решать задачи на сетке (в т.ч. на нахождение площадей) разными способами нужно уметь каждому школьнику. В этом я вижу актуальность моей работы, а ее новизну в том, что один из рассматриваемых способов решения не разбирается в школьных учебниках математики.

Целью работы является поиск, изучение и сравнение разных способов решения задач на нахождение площадей многоугольников на клетчатой бумаге (сетке).

Задачи исследования:

  • Отобрать материал для исследования, выбрать главную, интересную, понятную информацию;

  • Проанализировать и систематизировать различные методы и приёмы решения задач на нахождение площадей многоугольников на сетке;

  • Подобрать наиболее интересные, наглядные примеры;

  • Создать электронную презентацию работы для представления собранного материала одноклассникам;

  • Разработать сравнительную таблицу способов решения и тренажер для их отработки;

  • Сделать выводы по результатам работы.

Объект исследования

Многоугольники, построенные на клетчатой бумаге с вершинами в узлах клеток.

Предмет исследования:

Процесс вычисления площадей многоугольников различными методами.


Гипотеза: Существуют простые способы решения задач на нахождение площадей многоугольников на клетчатой бумаге, которые позволят легко справиться с заданиями ОГЭ и ЕГЭ по этой теме даже пятикласснику.

Методы исследования

  • Изучение литературных и Интернет-ресурсов

  • Анализ, сравнение, обобщение и классификация

  • Эксперимент (решение задачи на время разными способами)

  • Конструирование

План исследования:

  • изучение литературных и Интернет-ресурсов;

  • разработка сравнительной таблицы способов решения;

  • создание и апробация тренажера;

  • подготовка презентации проекта.

Методы нахождения площади многоугольника.

Решая задачи на уроках в классе и изучив литературу и Интернет-источники по теме, можно выделить несколько методов нахождения площади многоугольника, построенного на клетчатой бумаге так, что все его вершины находятся в узлах пересечения клеток. Проблема заключается в том, чтобы в каждом случае выбрать наиболее подходящий, т.е. менее трудоемкий и более быстрый способ. Так появилась идея сравнить найденные способы по ряду критериев и создать сравнительную таблицу.

1. Метод подсчета единичных клеток:

Он основан на свойстве, что площадь фигуры равна сумме площадей ее частей. Такой метод доступен даже первокласснику. Но он подходит только для фигур, построенных из целых клеток или их половинок (2 половинки = 1 целая клетка). hello_html_m2252b09c.jpg

Для многоугольников, стороны которых не проходят по клеткам, этот способ применить вряд ли получится.

Рис.1hello_html_m719a76a4.png


2. Метод применения формул площадей.

В пятом классе нам знакомы формулы нахождения площади следующих многоугольников: квадрата, прямоугольника и треугольника. Если заданный многоугольник является одним из изученных, то нахождение площади сводится к нахождению нужных длин по клеточкам и выполнению расчетов по готовой формуле (рис.2):

S1 = a b = 7*3=21 кв.ед.;

S2=1/2 (ab)= ½ (2*5)=5 кв.ед.;

S2=1/2 (ah)= ½ (4*5)=10 кв.ед.;

Рис.3

Способ очень удобный, но он не всегда применим. На самом деле, даже для прямоугольника найти площадь будет сложно, если невозможно определить длины нужных отрезков или данный многоугольник незнаком (рис.3) и формул площади не знаешь или забыл.hello_html_m79675e17.png



3. Метод разбиения на части.

Рис.4.hello_html_6ead17bf.png


Фигура разбивается с помощью вертикальных и горизонтальных отрезков так, чтобы многоугольник полностью (без отверстий и наложений) заполняли получившиеся при разбиении прямоугольники и прямоугольные треугольники (Рис.4.). Сумма всех площадей фигур, полученных в результате такого разбиения равна площади данного многоугольника.

Рис.5.

Способ подходит для любых многоугольников, но он достаточно трудоемкий, и при работе нужно быть внимательным и не допускать вычислительных ошибок.hello_html_m49700f88.png

4. Метод достраивания до прямоугольника

Вокруг данного многоугольника строится прямоугольник (Рис.5). Чтобы решить задачу, нужно из площади этого прямоугольника вычесть сумму площадей всех дополнительных фигур и получается площадь заданного многоугольника. Как и способ разбиения на части этот метод подходит для любого многоугольника, но он трудоемкий.

5. Формула Пика

Оказывается, площади многоугольников, вершины которых расположены в узлах сетки, можно вычислять гораздо проще: есть формула, связывающая их площадь с количеством узлов, лежащих внутри и на границе многоугольника. Эта замечательная и простая формула называется формулой Пика3. Так как про этот метод ничего не написано в учебнике, нужно рассмотреть его поподробнее.hello_html_m34b4c176.jpg

Рис.6

Формула Пика:


Г=20 (точки на границе), В=27 (точки внутри)

S=В+Г/2-1=27+10-1=36


Попробуем посчитать площадь одного и того же многоугольника двумя разными способами, отмечая при этом затраченное на решение время:


Метод вычитанияhello_html_m6221b12f.jpg


S1=(4*5)/2=10

S2=2*3=6

S3=(2*1)/2=1

S4=(9*3)/2=13,5

S5=(6*4)/2=12

Sпрямоугольника=9*7=63

S=63-(10+6+1+13,5+12)=20,5



Формула Пикаhello_html_m767e6851.jpg


Г=7

В=18

S=В+Г/2-1=18+3,5-1=20,5







Вот такие методы решения задач на нахождение площадей многоугольников на сетке удалось найти. Они все несложные, но при решении конкретной задачи важно выбрать наиболее подходящий. Все пять способов были сравнены по следующим параметрам:

когда удобно применить,

каков алгоритм действий,

недостатки и преимущества метода.

Результаты помещены в сравнительную таблицу4 и дополнительно в нее включены иллюстрации.

Поскольку формула Пика в учебниках не рассматривается, попрактиковаться в ее применении можно на разработанном тренажере5, на котором можно при помощи сетки найти площади предлагаемых многоугольников и проверить правильность решения.

Заключение


Нахождение площади многоугольника может стать очень интересным и познавательным занятием, совсем не сложным и трудоемким, как кажется на первый взгляд.

Поработав с материалом и подготовив его к применению на практике, я сделала следующие выводы:

  1. Существуют различные методы нахождения площади многоугольника.

  2. Обычный лист бумаги в клетку может выполнять роль инструмента для вычисления площади многоугольника, если этот многоугольник на нем изображен.

  3. Формула Пика - самый универсальный метод решения задач данного типа. С помощью формулы Пика можно найти площадь любого многоугольника, построенного на клетчатой бумаге с вершинами в узлах клеток.

  4. Проведенная работа и полученные в результате ее выполнения сравнительная таблица4 и тренажер по отработке способа решения задач по формуле Пика дадут школьникам возможность решения задач на нахождение площадей на сетке наиболее простым способом. Эти знания можно применить на уроках математики, для выполнения олимпиадных заданий. А еще эти материалы могут пригодиться выпускникам девятых и одиннадцатых классов при подготовке к экзаменам.







Список литературы:



  1. Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика 5 класс. М., МНЕМОЗИНА, 2013

  2. Смирнов В.А, Смирнова И.М. Геометрия на клетчатой бумаге. М., МЦНМО, 2009




Список интернет-ресурсов:


  1. http://hijos.ru/2011/09/14/formula-pika/ сайт «Математика, которая мне нравится»

  2. http://ru.wikipedia.org/wiki/%D4%EE%F0%EC%F3%EB%E0_%CF%E8%EA%E0 свободная энциклопедия «Википедия»












8


Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 20.05.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров504
Номер материала ДБ-091885
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх