Справочник по геометрии 7-9
ОГЛАВЛЕНИЕ
стр.
1. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ.
АКСИОМЫ ………………………………... 3
2. УГЛЫ. БИССЕКТРИСА
УГЛА ……………………………………………….... 4
3. ВИДЫ
ТРЕУГОЛЬНИКОВ. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ
И УГЛАМИ
ТРЕУГОЛЬНИКА …………………………………………………... 5
4. ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА. СВОЙСТВА РАВНОБЕДРЕННОГО
ТРЕУГОЛЬНИКА ……..………………………………………………………............ 6
5. ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ.
ПРИЗНАКИ ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ ……………………………………………………………………. 7
6. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ЛИНИИ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ ……………………………….. 8
7. ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ
ТРЕУГОЛЬНИК. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ……. 9
8. СВОЙСТВА ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА. ПРИЗНАКИ
РАВЕНСТВА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
…………………………. 10
9. ЗНАЧЕНИЯ СИНУСА, КОСИНУСА И ТАНГЕНСА
НЕКОТОРЫХ УГЛОВ. ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ ……………………….……………………………………... 11
10. СВОЙСТВА И
ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА ……………………… 12
11. ПРЯМОУГОЛЬНИК.
РОМБ. КВАДРАТ ……………………………………… 13
12. ТРАПЕЦИЯ
…………………………………………………………………….. 14
13. ОКРУЖНОСТЬ.
ВПИСАННЫЙ УГОЛ ………………………………………. 15
14. СВОЙСТВА
ОКРУЖНОСТИ И ЕЕ ЭЛЕМЕНТОВ ………………………….. 16
15. СВОЙСТВА КАСАТЕЛЬНЫХ
И СЕКУЩИХ ………………………………… 17
16. ВПИСАННАЯ И ОПИСАННАЯ
ОКРУЖНОСТЬ ……………………………. 18
17. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ
……………………………………….. 19
18. ПРЯМОУГОЛЬНАЯ
СИСТЕМА КООРДИНАТ. ВЕКТОРЫ. ……………….. 20
Справочник по геометрии
7-9
ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ
Прямые а и b
пересечены секущей с
1 и 2;3 и4 – накрест лежащие углы
и 8; 3 и 5 - соответственные углы
2 и 7; 4 и 6 - соответственные углы
1 и 3;2 и 4 - односторонние углы
Признаки параллельности прямых
1=2а║b
Если
при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые
параллельны.
1 =8 а║b
Если
при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые
параллельны.
1 +3=а║b
Если
при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180º, то
прямые параллельны.
а║b, а║сс║b а
с║b
|
Свойства углов при параллельных прямых
а║b 1 =2
Если
две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.
а║b 1 = 8
Если
две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.
а║b 1 + 3=
Если
две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов
равна .
|
НЕКОТОРЫЕ
АКСИОМЫ ПЛАНИМЕТРИИ
Через
любые две различные точки проходит прямая, и притом только одна.
А
а В а
|
Через точку, не лежащую
на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
а║b А а
|
УГЛЫ
Острый
угол
меньше прямого угла
CDA<
|
Тупой
угол
больше прямого угла
ab <
|
Прямой
угол
hk =
|
Развернутый
угол
AOM =
|
Смежные
углы
|
Сумма
смежных углов рав.
|
Вертикальные
углы
|
Вертикальные
углы равны.
|
БИССЕКТРИСА
УГЛА
|
с – биссектриса ab
aс = сb
Луч
с делит уголab пополам
|
|
Свойство биссектрисы
АМ
= ВМ
Каждая точка биссектрисы
неразвернутого
угла равноудалена от сторон угла.
|
ВИДЫ
ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Треугольник
|
Разносторонний
|
Равнобедренный
|
Равносторонний
|
Остроугольный
(все
углы острые)
|
все
стороны разной длины
|
две
стороны равны
|
все
стороны равны
|
Прямоугольный
(один из
углов – прямой)
|
|
|
∠ А= В==60
Р = 3а, где
а - сторона,
Р- периметр
|
Тупоугольный
(один из
углов – тупой)
|
|
|
СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА
|
Сумма углов треугольника
равна 180 ̊.
∠ А+ В+=180 ̊
Свойство внешнего угла: ∠ АСК = ∠ А + В
|
Неравенство треугольника
а < b+с b <
а+с с < а+b
Каждая
сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
а > b - с, где b>с
|
Теорема о соотношениях между сторонами и углами
треугольника
b > с В >С и В >С b >
с
В
треугольнике против большей стороны лежит больший угол.
Против
большего угла лежит большая сторона.
|
Теорема синусов
где адиус описанной окружности.
Стороны
треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
|
Теорема косинусов
с² = а² + b² ― 2аb
а² = с² + b² ― 2 bс
b² = с²
+ а²― 2 ас
Квадрат
стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное
произведение этих сторон на косинус угла между ними.
|
ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА
Площадь
треугольника равна половине произведения его стороны на высоту к этой
стороне:
S =ah
|
Другие
формулы:
S = ab = aс = сb
S = ,
где
- полупериметр
S = r ,
где
r- радиус
вписанной в треугольник окружности
S = ,
где
R –
радиус описанной окружности
|
СВОЙСТВА РАВНОБЕДРЕНННОГО ТРЕУГОЛЬНИКА
В равнобедренном
треугольнике углы при основании равны
А = С
АС
– основание
АВ
и ВС – боковые стороны
|
Биссектриса, проведенная к основанию,
является медианой и высотой
|
|
|
|
|
|
|
|
ВК
–биссектриса ВК – медиана ВК –высота
|
|
|
ВК – биссектриса
ВК – медиана
ВК - высота
|
РАВНЫЕ И ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ
ПРИЗНАКИ
РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ
|
ПРИЗНАКИ
ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
|
По двум сторонам
и углу между ними
АВ
= СВ = В =
=
Если две
стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум
сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
|
По
двум углам
А = В =
Если два
угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого
треугольника, то такие треугольники подобны.
|
По стороне и двум прилежащим углам
АС= А = С =
=
Если
сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны
стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие
треугольники равны.
|
По двум сходственным
сторонам и углу между ними
= А =
Если две
стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого
треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие
треугольники подобны.
|
По
трем сторонам
АВ
= СВ = АС=
=
Если три
стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого
треугольника, то такие треугольники равны.
|
По трем сходственным сторонам
= =
Если три
стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого
треугольника, то такие треугольники подобны.
|
ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ
ЛИНИИ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ
|
АМ
– медиана АВС
точка
М – середина ВС
|
|
Свойство медиан
СО:ОР = АО:ОМ = ВО:ОК = 2:1
Медианы
треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в
отношении 2:1.
АМ = m
формула
для вычисления медианы
|
|
АН
– высота
АН
- перпендикуляр, опущенный из
точки
А на прямую ВС
Свойство высот
Высоты
треугольника пересекаются в одной точке треугольника.
|
.
|
АЕ
– биссектриса
2 (САЕ = ВАЕ)
Свойства
биссектрисы треугольника
Биссектрисы
треугольника пересекаются в одной точке (центре вписанной окружности).
Биссектриса
треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим
сторонам треугольника.
=
|
|
Прямая а
– серединный перпендикуляр
О а ОС = ОВ а ВС
Свойство
серединных перпендикуляров
Серединные
перпендикуляры пересекаются в одной точке (центре описанной окружности)
|
|
MN –
средняя линия
точка
М - середина АВ, N –
середина ВС
Свойство средней линии треугольника
MN АС; MN = АС
Средняя
линия параллельна одной из сторон и равна её половине.
|
ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ
ТРЕУГОЛЬНИК
Основные
соотношения в прямоугольном треугольнике
|
|
Теорема Пифагора
c²=а² + b²
Квадрат
гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
|
Пропорциональные
отрезки
h² =
а² =
b² =
h
|
С = 900 А = α
с = АВ –
гипотенуза
а = ВС – катет,
противолежащий к α
b
= АС – катет, прилежащий к углу α
|
СИНУС
Отношение
противолежащего катета к гипотенузе
|
|
КОСИНУС
Отношение
прилежащего катета к гипотенузе
|
|
ТАНГЕНС
Отношение
противолежащего катета к прилежащему
|
=
|
КОТАНГЕНС
Отношение
прилежащего катета к противолежащему
|
|
Свойства
прямоугольного треугольника
|
А+ В = 90 ̊
Сумма
острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90 ̊
|
А = а = с
Катет
прямоугольного треугольника, лежащий против угла в равен половине гипотенузы
|
а = с А =
Если
катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета,
равен
3
|
m = c
= R
Медиана,
проведенная к гипотенузе, равна её половине и является радиусом описанной
окружности
|
Признаки
равенства прямоугольных треугольников
|
По
гипотенузе и катету
а = с =
|
По катету
и прилежащему острому углу
А =А1 b =b1
|
По
катету и противолежащему острому углу
А =А1 а = а1
|
По
гипотенузе и острому углу
А =А1 c = c1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМИ
ФУНКЦИЯМИ
|
+ =1
– основное тригонометрическое тождество
(90 ̊– α) =
cos(90 ̊ – α) =
(180 ̊– α) =
cos(180 ̊– α) = –
|
ЗНАЧЕНИЯ
СИНУСА, КОСИНУСА И ТАНГЕНСА НЕКОТОРЫХ УГЛОВ
ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ
АВСD - четырехугольник
А +В +С +D = 360°
|
S =
АС,
ВD -
диагонали
|
ПАРАЛЛЕЛОГРАММ
|
ABCD-
параллелограмм
AB CD
BC AD
Параллелограммом
называется четырехугольник, у которого стороны попарно параллельны.
|
СВОЙСТВА
И ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА
Свойства
параллелограмма
|
Признаки
параллелограмма
|
1) AB=CD; BC=AD
A=C; B=D
В
параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны
2)
ACBD = O, AO = OC, BO = OD
Диагонали
параллелограмма делятся точкой пересечения пополам.
3)
А + В = 1800
В
параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 1800
4)
² +² = a² + b² + c² + d²
где
= AC; = BD –
диагонали;
a = AD; b = AB; c = BC;
d = CD –
стороны
5) P =
2(a + b) –
периметр параллелограмма,
где
a = AD; b = AB
|
1) (ABCD; AB = CD)(ABCD-параллелограмм)
Если в
четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник –
параллелограмм.
2) (AB = CD; BC = AD)(ABCD-параллелограмм)
Если в
четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот
четырехугольник – параллелограмм
3) (AO = OC; BO = OD,
где O = ACBD)(ABCD-параллелограмм)
Если в
четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам,
то этот четырехугольник – параллелограмм
|
ПЛОЩАДЬ
ПАРАЛЛЕЛОГРАММА
S = ah,
где
a = AD –
основание
h = BH –
высота
|
S
= ab,
где а = AD, b =
AB,
a =BAD
|
S
=
|
S= 4
|
ЧАСТНЫЕ
СЛУЧАИ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА
Вид
|
Свойства
|
Формулы
|
ABCD – прямоугольник
– это параллелограмм, у которого все углы прямые
A =B =C=D = 90°
|
=
Диагонали
прямоугольника равны.
|
S
=
S = – площадь
P = 2(a + b)
- периметр
d1²
= a²+b²
где
d1, d2 – диагонали,
а, b – стороны
прямоугольника
|
ABCD – ромб
– это параллелограмм,
у
которого все стороны равны
AB = BC = CD = AD
|
1=2, 3=4,
Диагонали
ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам
|
S =
S = - площадь
Р = 4а – периметр
² +² = 4a²
где
d1, d2 -
диагонали,
а – сторона ромба,
– угол ромба
|
ABCD –
квадрат - это прямоугольник,
у
которого все стороны равны
AB = BC = CD = AD
|
=
Диагонали
квадрата равны,
взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы
квадрата пополам.
A=B=C=D =90°
|
S
= a²– площадь
S
=
S=
,
где
r –
радиус вписанной окружности
Р = 4а - периметр
= а
где
d1, d2 -
диагонали, а – сторона квадрата
|
ТРАПЕЦИЯ
|
ABCD -
трапеция
AD = a, BC = b – основания
AB, CD –
боковые стороны
BH = h -
высота
ADBC;
S=
MN –
средняя линия трапеции,
где
М – середина АВ
N –
середина СD
MN
BC; MN AD; MN=
Средняя
линия трапеции параллельна
основаниям
и равна их полусумме.
|
|
Трапеция
прямоугольная,
если
один из углов прямой
|
|
Трапеция
равнобедренная,
если
ее боковые стороны равны
|
|
В
равнобедренной трапеции:
1)
диагонали
равны;
2)
углы
при основании равны;
3) середины
сторон являются вершинами ромба.
|
|
Биссектрисы
углов, прилежащих к боковой стороне, перпендикулярны
|
ОКРУЖНОСТЬ
Окр. (О;
r)
т. О –
центр окружности
OK = OB = OA = r – радиус
AB = d –
диаметр
b –
касательная
AC –
хорда
MN -
секущая
- дуга окружности
d = 2r
- длина
окружности
L - длина дуги
|
|
- дуга окружности
АОВ - центральный угол
АОВ =
Градусная
мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается.
АСВ – вписанный угол
АСВ =
Вписанный
угол измеряется половиной дуги, на которую опирается.
АСВ = , если меньше полуокружности
|
|
Вписанные
углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
|
Вписанный
угол, опирающийся на полуокружность – прямой.
|
ПЛОЩАДЬ
Площадь
круга
|
Площадь сектора
|
S
=
|
S
=
|
СВОЙСТВА
ОКРУЖНОСТИ И ЕЁ ЭЛЕМЕНТОВ
Свойство хорд
AB; CD – хорды
AB CD = M
AM · MB = CM · MD
Если
две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно
произведению отрезков другой хорды.
|
|
Свойство касательной
ОМ
– радиус
а
– касательная
М
– точка касания
ОМ
а
Касательная
к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.
|
|
АТ
– касательная
АВ;
АХ – секущие
АТ²
= АХ · АY
АТ²
= АВ · АС
|
|
AM, AN –
касательные
M, N – точки
касания
AM = AN
1 = 2; 3 = 4
Отрезки
касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют
равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
|
|
ВПИСАННАЯ
ОКРУЖНОСТЬ
|
В любой
треугольник можно вписать окружность.
Её
центр – точка пересечения биссектрис треугольника.
r = - радиус вписанной
окружности
a, b, c – стороны
треугольника
S –
площадь треугольника
|
|
В
выпуклый четырехугольник можно вписать окружность, только если:
a + c = b + d,
где a, b,c, d-
стороны четырехугольника
|
ОПИСАННАЯ
ОКРУЖНОСТЬ
|
Около
любого треугольника можно описать окружность.
Её центр
– точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
R = - радиус описанной окружности
a, b, c – стороны
треугольника
S –
площадь треугольника
|
|
Около
выпуклого четырехугольника можно описать окружность, только если:
A+ С = В + D = 180°
|
ПРАВИЛЬНЫЕ
МНОГОУГОЛЬНИКИ
Правильным многоугольником
называется выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны
равны.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.