Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методическая копилка учителя математики"Справочник по геометрии"

Методическая копилка учителя математики"Справочник по геометрии"



57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)


  • Математика

Документы в архиве:

Название документа spravochnik-geometriya.doc

Поделитесь материалом с коллегами:











Справочник по геометрии 7-9





































ОГЛАВЛЕНИЕ

стр.

1. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ. АКСИОМЫ ………………………………... 3

2. УГЛЫ. БИССЕКТРИСА УГЛА ……………………………………………….... 4

3. ВИДЫ ТРЕУГОЛЬНИКОВ. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ

И УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА …………………………………………………... 5

4. ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА. СВОЙСТВА РАВНОБЕДРЕННОГО ТРЕУГОЛЬНИКА ……..………………………………………………………............ 6

5. ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ. ПРИЗНАКИ ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ ……………………………………………………………………. 7 6. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ЛИНИИ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ ……………………………….. 8

7. ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ……. 9

8. СВОЙСТВА ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА. ПРИЗНАКИ

РАВЕНСТВА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ …………………………. 10

9. ЗНАЧЕНИЯ СИНУСА, КОСИНУСА И ТАНГЕНСА НЕКОТОРЫХ УГЛОВ. ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ ……………………….……………………………………... 11

10. СВОЙСТВА И ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА ……………………… 12

11. ПРЯМОУГОЛЬНИК. РОМБ. КВАДРАТ ……………………………………… 13

12. ТРАПЕЦИЯ …………………………………………………………………….. 14

13. ОКРУЖНОСТЬ. ВПИСАННЫЙ УГОЛ ………………………………………. 15

14. СВОЙСТВА ОКРУЖНОСТИ И ЕЕ ЭЛЕМЕНТОВ ………………………….. 16

15. СВОЙСТВА КАСАТЕЛЬНЫХ И СЕКУЩИХ ………………………………… 17

16. ВПИСАННАЯ И ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ ……………………………. 18

17. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ ……………………………………….. 19

18. ПРЯМОУГОЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ. ВЕКТОРЫ. ……………….. 20





Справочник по геометрии 7-9

ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ

Пhello_html_58fa7680.gifрямые а и b пересечены секущей с

hello_html_fceb2ce.gif1 и hello_html_fceb2ce.gif2;hello_html_6b8b0562.gif3 иhello_html_6b8b0562.gif4 – накрест лежащие углы

hello_html_781fd914.gifи hello_html_fceb2ce.gif8; hello_html_fceb2ce.gif3 и hello_html_fceb2ce.gif5 - соответственные углы

hello_html_fceb2ce.gif2 и hello_html_fceb2ce.gif7; hello_html_fceb2ce.gif4 и hello_html_fceb2ce.gif6 - соответственные углы

hello_html_fceb2ce.gif1 иhello_html_6b8b0562.gif 3;hello_html_6b8b0562.gif2 и hello_html_fceb2ce.gif4 - односторонние углы

Признаки параллельности прямых


hello_html_fceb2ce.gif1=hello_html_fceb2ce.gif2hello_html_m151591e5.gifаb

Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.


hello_html_fceb2ce.gif1 =hello_html_fceb2ce.gif8 hello_html_3b0a0f56.gifа║b

Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.


hello_html_fceb2ce.gif1 +hello_html_fceb2ce.gif3=hello_html_1828bca8.gifа║b

Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180º, то прямые параллельны.


а║b, а║сhello_html_1434403c.gifс║b а hello_html_2b1fab1b.gifс║b


Свойства углов при параллельных прямых


а║b hello_html_m552bd5ea.gif1 =hello_html_fceb2ce.gif2

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.


а║b hello_html_m552bd5ea.gif1 = hello_html_fceb2ce.gif8

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.


а║b hello_html_m552bd5ea.gif1 +hello_html_fceb2ce.gif 3=hello_html_35f02a39.gif

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна hello_html_35f02a39.gif.

НЕКОТОРЫЕ АКСИОМЫ ПЛАНИМЕТРИИ

Через любые две различные точки проходит прямая, и притом только одна.

hello_html_m8ccacfc.gif



А hello_html_50096cdc.gif а В hello_html_50096cdc.gif а

hello_html_7c57d72d.gifЧерез точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.





а║b А hello_html_50096cdc.gif а

УГЛЫ

Острый угол

меньше прямого угла

hello_html_77af40f8.gif





hello_html_fceb2ce.gifCDA<hello_html_m7d2133e8.gif

Тупой угол

больше прямого угла


hello_html_21c13546.gif




hello_html_m4fd6d344.gifab < hello_html_35f02a39.gif


Прямой угол


hello_html_m2e0249ca.gif





hello_html_fceb2ce.gifhk = hello_html_4a095ef2.gif

Развернутый угол


hello_html_71b6da3d.gif





hello_html_fceb2ce.gifAOM =hello_html_m1f47ac17.gif

Смежные углы

hello_html_681e577f.gif


hello_html_5326f004.gif


hello_html_40769d7.gif

Сумма смежных углов равhello_html_m2608c29c.gif.



Вертикальные углы

hello_html_m3fb83c19.gif


hello_html_2fdaee9d.gif


hello_html_m6abafb42.gif

Вертикальные углы равны.



БИССЕКТРИСА УГЛА

hello_html_d16f75.gif



с – биссектриса hello_html_fceb2ce.gifab

hello_html_fceb2ce.gifaс = hello_html_fceb2ce.gifсb

Луч с делит уголhello_html_6b8b0562.gifab пополам


hello_html_119cd70f.gif

Свойство биссектрисы


АМ = ВМ

hello_html_2176fb19.gifКаждая точка биссектрисы

неразвернутого угла равноудалена от сторон угла.






ВИДЫ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Остроугольный

(все углы острые)

hello_html_5c6c2401.gif





все стороны разной длины

hello_html_25197a76.gif





две стороны равны

hello_html_m65020675.gif




все стороны равны



Прямоугольный

(один из углов – прямой)


hello_html_5313217c.gif



hello_html_5c4de871.gif



А= hello_html_fceb2ce.gifВ=hello_html_5577366f.gif=60hello_html_130bbe14.gif


Р = 3а, где

а - сторона,

Р- периметр


Тупоугольный

(один из углов – тупой)

hello_html_25fb37ef.gif

hello_html_30e73399.gif




СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА

Сумма углов треугольника равна 180 ̊.

А+ hello_html_fceb2ce.gifВ+hello_html_m7ab99e43.gif=180 ̊

Свойство внешнего угла: АСК = А + hello_html_fceb2ce.gifВ

Неравенство треугольника

а < bb < а+с с < а+b

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

а > b - с, где b

Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника

b > сhello_html_m2a3ffe48.gif В >hello_html_fceb2ce.gifС и hello_html_fceb2ce.gifВ >hello_html_fceb2ce.gifС hello_html_8e542da.gif b > с

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.

Против большего угла лежит большая сторона.

Теорема синусов

hello_html_m7dab7bbd.gif

где hello_html_4d58b72e.gifадиус описанной окружности.

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Теорема косинусов

с² = а² + b² ― 2аbhello_html_m56894257.gif

а² = с² + b² ― 2 bсhello_html_mdc6f3b0.gif

b² = с² + а²― 2 асhello_html_m54c7e2ec.gif


Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА

hello_html_m3c6cf6b4.gif







Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту к этой стороне:

S =hello_html_64d54bc4.gifah

Другие формулы:

S =hello_html_m77683679.gif ab hello_html_3d15a451.gif= hello_html_m34aae45b.gif aс hello_html_m19c24d04.gif = hello_html_39a0ada2.gif сbhello_html_406684af.gif


S =hello_html_248bb182.gif ,

где hello_html_m2a973aba.gif - полупериметр


S = hello_html_edebb4f.gifr ,

где r- радиус вписанной в треугольник окружности

S = hello_html_332073ff.gif ,

где R – радиус описанной окружности

СВОЙСТВА РАВНОБЕДРЕНННОГО ТРЕУГОЛЬНИКА

hello_html_513f815b.gifВ равнобедренном треугольнике углы при основании равны






hello_html_fceb2ce.gifА = hello_html_fceb2ce.gifСhello_html_1022a759.gif

АС – основание

АВ и ВС – боковые стороны



Биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой

hello_html_5df0c02e.gif




ВК –биссектриса ВК – медиана ВК –высота



ВК – биссектриса

ВК – медиана

ВК - высота



РАВНЫЕ И ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ

= hello_html_m5e29dd52.gif, значит,

АВ = hello_html_1398864e.gif СВ = hello_html_715d010a.gif СА = С1А1

hello_html_fceb2ce.gifА = hello_html_fceb2ce.gif А1 hello_html_fceb2ce.gif В = hello_html_m6901d2e9.gif hello_html_fceb2ce.gif С =hello_html_fceb2ce.gif С1.

hello_html_3084df8b.gifhello_html_m2c8937b8.gif



hello_html_9d88fc3.gifhello_html_9d88fc3.gifhello_html_9d88fc3.gifhello_html_71d5791b.gifhello_html_72ed1931.gifhello_html_m6584ad45.gifhello_html_m37063fee.gifhello_html_6ad5ff6f.gif


hello_html_m464dc314.gifhello_html_5bb10508.gifподобен hello_html_m5e29dd52.gif, значит, hello_html_fceb2ce.gif А = hello_html_fceb2ce.gif А1 hello_html_fceb2ce.gif В = hello_html_m6901d2e9.gif hello_html_fceb2ce.gif С =hello_html_fceb2ce.gif С1

hello_html_m558b3964.gif= hello_html_36b5eb6.gif = hello_html_3ed52e01.gif

hello_html_m2294d241.gif



hello_html_3084df8b.gifПо двум сторонам и углу между ними

hello_html_m31af26cb.gif






АВ = hello_html_1398864e.gif СВ = hello_html_715d010a.gif hello_html_fceb2ce.gif В = hello_html_m6901d2e9.gif

hello_html_5bb10508.gif= hello_html_m5e29dd52.gif

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

По двум углам

hello_html_m3de826f8.gif

hello_html_m4792a2d5.gif





hello_html_fceb2ce.gifА = hello_html_3fdadde0.gif В =hello_html_m5cc4b84.gif

hello_html_3d73ab22.gif

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

hello_html_m2de6b940.gifhello_html_m66a2c152.gifПо стороне и двум прилежащим углам








АС=hello_html_2f7d243.gif hello_html_fceb2ce.gif А =hello_html_3fdadde0.gif С =hello_html_m60e12043.gif

hello_html_m3aa6784e.gif= hello_html_m5e29dd52.gif

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

hello_html_m4cbd2a7b.gifhello_html_15e3d357.gifПо двум сходственным сторонам и углу между ними






hello_html_m558b3964.gif= hello_html_m50289b51.gifА = hello_html_me655ec4.gif

hello_html_m4675b87c.gif

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

По трем сторонам

hello_html_f538f79.gifhello_html_32d15bb0.gif






АВ = hello_html_1398864e.gif СВ = hello_html_3adf93cf.gif АС=hello_html_2f7d243.gif

hello_html_5bb10508.gif=hello_html_42de9967.gif


Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

hello_html_m40ff8587.gifhello_html_3488d8d9.gifПо трем сходственным сторонам






hello_html_m558b3964.gif= hello_html_36b5eb6.gif = hello_html_3ed52e01.gif

hello_html_m674b96e9.gif


Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ЛИНИИ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ

hello_html_58fa7680.gifhello_html_2bf01f35.gif









АМ – медиана hello_html_29dc157c.gif АВС

точка М – середина ВС


hello_html_6f4ed6c8.gif

Свойство медиан

СО:ОР = АО:ОМ = ВО:ОК = 2:1

Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1.


АМ = mhello_html_273493af.gif

формула для вычисления медианы


hello_html_22a4bd4d.gif










АН – высота hello_html_5bb10508.gif

АН - перпендикуляр, опущенный из

точки А на прямую ВС


Свойство высот

Высоты треугольника пересекаются в одной точке треугольника.

hello_html_665c3160.gif









.


АЕ – биссектриса hello_html_5bb10508.gif

hello_html_m341c3c28.gif2 (hello_html_fceb2ce.gifСАЕ = hello_html_fceb2ce.gifВАЕ)


Свойства биссектрисы треугольника


Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке (центре вписанной окружности).


Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

hello_html_m534043ff.gif= hello_html_11afbd77.gif


hello_html_m63f8a055.gif






hello_html_2176fb19.gif


Прямая а – серединный перпендикуляр

О hello_html_50096cdc.gif а ОС = ОВ а hello_html_7a3210da.gif ВС


Свойство серединных перпендикуляров


Серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке (центре описанной окружности)

hello_html_m5ea19d78.gif









MN – средняя линия hello_html_5bb10508.gif

точка М - середина АВ, N – середина ВС


Свойство средней линии треугольника


MN hello_html_m533205e0.gif АС; MN =hello_html_m77683679.gif АС

Средняя линия параллельна одной из сторон и равна её половине.

ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

hello_html_1bd01dc4.gif








Теорема Пифагора


c²=а² + b²

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.


Пропорциональные отрезки

h² =hello_html_m2679bff4.gif

а² = hello_html_7aae4a96.gif

b² = hello_html_66b0a54c.gif

h hello_html_4f00d03f.gif

hello_html_3487f717.gif








hello_html_fceb2ce.gifС = 900hello_html_968a3c2.gif hello_html_fceb2ce.gifА = α

с = АВ – гипотенуза

а = ВС – катет, противолежащий к α

b = АС – катет, прилежащий к углу α

СИНУС

Отношение противолежащего катета к гипотенузе



hello_html_2bdbb489.gif

КОСИНУС

Отношение прилежащего катета к гипотенузе


hello_html_7cdf08ca.gif

ТАНГЕНС

Отношение противолежащего катета к прилежащему


hello_html_563ecf78.gif=hello_html_m48a5aa5b.gif

КОТАНГЕНС

Отношение прилежащего катета к противолежащему


hello_html_m18d74a75.gif


Свойства прямоугольного треугольника



hello_html_fceb2ce.gifА+ hello_html_fceb2ce.gif В = 90 ̊


Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90 ̊


hello_html_fceb2ce.gifА =hello_html_m5c5b7bb.gif а = hello_html_m77683679.gif с


Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла вhello_html_m11e262d8.gif равен половине гипотенузы


а =hello_html_m77683679.gif с hello_html_m400849be.gif А =hello_html_4692f999.gif


Если катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета,

равен 3hello_html_5a9b516c.gif


m = hello_html_5b2be360.gif c = R


Медиана, проведенная к гипотенузе, равна её половине и является радиусом описанной окружности




Признаки равенства прямоугольных треугольников



По гипотенузе и катету

hello_html_794d2602.gif






а = hello_html_15c31e16.gif с = hello_html_m7c312d4e.gif


По катету и прилежащему острому углу

Группа 869





hello_html_fceb2ce.gifА =hello_html_fceb2ce.gifА1 b =b1




По катету и противолежащему острому углу

Группа 876





hello_html_fceb2ce.gifА =hello_html_fceb2ce.gifА1 а = а1


hello_html_m2103c171.gif

По гипотенузе и острому углу

Группа 878






hello_html_fceb2ce.gifА =hello_html_fceb2ce.gifА1 c = c1




СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ

hello_html_42704cef.gif


hello_html_m65512ac5.gif


hello_html_6d103ee1.gif


hello_html_46759b29.gif+hello_html_420931e8.gif =1 – основное тригонометрическое тождество


hello_html_m64253860.gif

формулы

приведения

hello_html_608dad9c.gif(90 ̊α) = hello_html_38f500a.gif

cos(90 ̊ α) = hello_html_6b9e9501.gif

hello_html_608dad9c.gif(180 ̊ α) = hello_html_6b9e9501.gif

cos(180 ̊α) = hello_html_38f500a.gif






ЗНАЧЕНИЯ СИНУСА, КОСИНУСА И ТАНГЕНСА НЕКОТОРЫХ УГЛОВ


hello_html_m48a8c616.gif

hello_html_6e59ffb1.gif

hello_html_38f500a.gif

hello_html_6e59ffb1.gif


hello_html_m48a8c616.gif

hello_html_56512c33.gif



hello_html_m29718619.gif

hello_html_m4b722079.gif



1


hello_html_261b8132.gif



ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ

АВСD - четырехугольник

hello_html_3dd716ad.gifhello_html_m7d9b9ac2.gifА +hello_html_580ffd1a.gifВ +hello_html_580ffd1a.gifС +hello_html_580ffd1a.gifD = 360°


S =hello_html_2094ef46.gif

АС, ВD - диагонали



ПАРАЛЛЕЛОГРАММ


ABCD- параллелограмм


ABhello_html_m3df62003.gif CD

BC hello_html_mdaaa4aa.gifAD

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого стороны попарно параллельны.



СВОЙСТВА И ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА

hello_html_2a2610da.gif







AB=CD; BC=AD

hello_html_fceb2ce.gifA=hello_html_6b8b0562.gifC; hello_html_fceb2ce.gifB=hello_html_fceb2ce.gifD

В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны

  1. AChello_html_m20fa09ef.gifBD = O, AO = OC, BO = OD

Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам.

  1. hello_html_fceb2ce.gifА + hello_html_fceb2ce.gifВ = 1800

В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 1800

  1. hello_html_5e7fc5b4.gif² +hello_html_6b48b706.gif² = a² + b² + c² + d²

где hello_html_5e7fc5b4.gif= AC; hello_html_4aa3ad16.gif= BD – диагонали;

a = AD; b = AB; c = BC;

d = CD – стороны


  1. P = 2(a + b) – периметр параллелограмма,

где a = AD; b = AB

  1. (ABhello_html_m533205e0.gifCD; AB = CD)hello_html_f16c83b.gif(ABCD-параллелограмм)

Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм.


  1. (AB = CD; BC = AD)hello_html_f16c83b.gif(ABCD-параллелограмм)

Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм


  1. (AO = OC; BO = OD,

где O = AChello_html_m20fa09ef.gifBD)hello_html_f16c83b.gif(ABCD-параллелограмм)

Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм



ПЛОЩАДЬ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА

S = ah,

где a = AD – основание

h = BH – высота



S = abhello_html_m62151a66.gif,

где а = AD, b = AB,

hello_html_fceb2ce.gifa =hello_html_6b8b0562.gifBAD


S = hello_html_m1c4a7612.gif



S= 4hello_html_35fe74.gif



ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА

ABCD – прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые

hello_html_4d626d90.gifhello_html_fceb2ce.gifA =hello_html_6b8b0562.gifB =hello_html_6b8b0562.gifC=hello_html_6b8b0562.gifD = 90°



hello_html_5e7fc5b4.gif=hello_html_4aa3ad16.gif

Диагонали прямоугольника равны.



S = hello_html_m5be8b45b.gif


S = hello_html_m20286abe.gifплощадь



P = 2(a + b) - периметр

d1² = a²+b²

где d1, d2 диагонали,

а, b – стороны прямоугольника

ABCD – ромб – это параллелограмм,

у которого все стороны равны

hello_html_43579e08.gifAB = BC = CD = AD


hello_html_fceb2ce.gif1=hello_html_fceb2ce.gif2, hello_html_fceb2ce.gif3=hello_html_fceb2ce.gif4,

hello_html_3a4f090f.gif


Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам


S =hello_html_ccdab85.gif

S = hello_html_m63386ee9.gif - площадь


Р = 4а – периметр


hello_html_5e7fc5b4.gif² +hello_html_6b48b706.gif² = 4a²


где d1, d2 - диагонали,

а – сторона ромба,

hello_html_m6be9db50.gifугол ромба


ABCD – квадрат - это прямоугольник,

у которого все стороны равны

hello_html_1abebcb8.gifAB = BC = CD = AD


hello_html_5e7fc5b4.gif=hello_html_6b48b706.gif

hello_html_3a4f090f.gif


Диагонали квадрата равны,

взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.

hello_html_m3f50d329.gifA=hello_html_44691407.gifB=hello_html_44691407.gifC=hello_html_44691407.gifD =90°


S = a²hello_html_968a3c2.gif площадь

S = hello_html_m5087e7a5.gif

S= hello_html_4e2ea6a4.gif,

где r – радиус вписанной окружности


Р = 4а - периметр


hello_html_5e7fc5b4.gif= а hello_html_50949c0c.gif


где d1, d2 - диагонали, а – сторона квадрата

ТРАПЕЦИЯ

ABCD - трапеция

AD = a, BC = b hello_html_968a3c2.gif– основания

AB, CD – боковые стороны

BH = h - высота

ADhello_html_m533205e0.gifBC;


S= hello_html_527b98c0.gif


MN – средняя линия трапеции,

где М – середина АВ

N – середина СD

MN hello_html_mdaaa4aa.gifBC; MN hello_html_m533205e0.gif AD; MN=hello_html_m7fa7cf8c.gif

Средняя линия трапеции параллельна

основаниям и равна их полусумме.


Group 1450


Трапеция прямоугольная,

если один из углов прямой

Group 1441


Трапеция равнобедренная,

если ее боковые стороны равны

hello_html_m5f7c12b5.gif


В равнобедренной трапеции:

  1. диагонали равны;

  2. углы при основании равны;

  3. середины сторон являются вершинами ромба.

hello_html_m2e38c326.gif


Биссектрисы углов, прилежащих к боковой стороне, перпендикулярны

ОКРУЖНОСТЬ

Окр. (О; r)

т. О – центр окружности

OK = OB = OA = r – радиус

AB = d – диаметр

b – касательная

AC – хорда

MN - секущая

hello_html_m70d80e00.gif- дуга окружности


d = 2r

hello_html_2178c46a.gif- длина окружности

hello_html_70f08f7e.gif

Lhello_html_56530d1e.gif - длина дуги

hello_html_m13fa7d78.gif


hello_html_m102cd413.gif- дуга окружности

hello_html_fceb2ce.gifАОВ - центральный угол

hello_html_fceb2ce.gifАОВ = hello_html_m102cd413.gif

Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается.

hello_html_fceb2ce.gifАСВ – вписанный угол

hello_html_fceb2ce.gifАСВ = hello_html_29df0258.gif

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую опирается.

hello_html_fceb2ce.gifАСВ = hello_html_7c13ea8d.gif, если hello_html_m102cd413.gif меньше полуокружности

hello_html_8baee05.gif


Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

hello_html_1a0eab5e.gif



Вписанный угол, опирающийся на полуокружность – прямой.

hello_html_m74eee754.gif

ПЛОЩАДЬ

Площадь круга

hello_html_m3dee5a3a.gif

hello_html_m56081424.gifПлощадь сектора

S =hello_html_5fd65be6.gif


S = hello_html_m55cc612c.gif



СВОЙСТВА ОКРУЖНОСТИ И ЕЁ ЭЛЕМЕНТОВ

Свойство хорд


AB; CD – хорды


AB hello_html_225d9faf.gifCD = M

AM · MB = CM · MD


Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.


hello_html_2ce0b3b9.gif


Свойство касательной

ОМ – радиус

а – касательная

М – точка касания


ОМ hello_html_7a3210da.gif а

Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

hello_html_m7329f461.gif





АТ – касательная

АВ; АХ – секущие

АТ² = АХ · АY

АТ² = АВ · АС

hello_html_m6d4d81bc.gif


AM, AN – касательные

M, N – точки касания

AM = AN

hello_html_fceb2ce.gif1 = hello_html_fceb2ce.gif2; hello_html_fceb2ce.gif3 = hello_html_fceb2ce.gif4

Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

hello_html_82b8488.gif























ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ

В любой треугольник можно вписать окружность.

Её центр – точка пересечения биссектрис треугольника.


r = hello_html_m5a1dcb.gif - радиус вписанной окружности

a, b, cстороны треугольника

S – площадь треугольника


hello_html_m55dc8a50.gif




В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность, только если:

a + c = b + d,

где a, b,c, d- стороны четырехугольника

ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ


Около любого треугольника можно описать окружность.

Её центр – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

R = hello_html_m37f3e2e9.gif - радиус описанной окружности

a, b, cстороны треугольника

S – площадь треугольника

hello_html_m7b0de7a9.gif


Около выпуклого четырехугольника можно описать окружность, только если:

hello_html_fceb2ce.gifA+ hello_html_fceb2ce.gifС = hello_html_fceb2ce.gifВ + hello_html_fceb2ce.gifD = 180°





ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ

Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.

hello_html_629a5aa6.gifhello_html_m57458f9d.gifhello_html_m1bb7298e.gif







hello_html_77b50c32.gifвычисление угла многоугольника

аnhello_html_691347ee.gif сторона многоугольника

S = hello_html_47854bc7.gif- площадь

hello_html_m45031401.gif

n – число сторон

R – радиус описанной окружности

r – радиус вписанной окружности

Р – периметр


треугольник

hello_html_m2a6a1b95.gif

hello_html_6676d8f1.gifквадрат

hello_html_5b43206b.gifшестиугольник

hello_html_md1e0569.gif

60°

90°

120°

а

hello_html_27c24cec.gif


hello_html_4a5188db.gif

hello_html_m63713bb3.gif

R

R = hello_html_b213740.gif


R = hello_html_7ceacad.gif

hello_html_m1d518341.gif

r

r = hello_html_m289b0e13.gif R

r = hello_html_m3b8a183e.gif

r = hello_html_m36d1eacf.gif




ПРЯМОУГОЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ

Расстояние между точками

А(х1; у1) и В(х2; у2)

hello_html_4bc151e6.gif


Координаты (х; у) середины отрезка АВ с концами А(х1; у1) и В(х2; у2)


hello_html_m1f676924.gif

Общее уравнение прямой, перпендикулярной вектору hello_html_m3ab18840.gif{a; b}


hello_html_m5ce9d160.gif

Уравнение окружности с радиусом R и с центром в точке (х0; у0)


hello_html_m75424404.gif

Если А(х1; у1) и В(х2; у2), то координаты вектора hello_html_ed638b6.gif

hello_html_m35dc6025.gif21; у21}


Сложение векторов

hello_html_11a9a1eb.gif{а1; а2} + hello_html_m3b583044.gif{b1; b2} = hello_html_m5b77ab7f.gif{a1 + b1; a2 + b2}

hello_html_11a9a1eb.gif{а1; а2} hello_html_2b6744d.gif hello_html_m3b583044.gif{b1; b2} = hello_html_m5b77ab7f.gif{a1 hello_html_2b6744d.gif b1; a2 hello_html_2b6744d.gif b2}

Умножение вектора hello_html_m6d42a16f.gif на

число hello_html_m20ede2f9.gif

hello_html_m6a14e4b7.gif

Скалярное произведение векторов:

hello_html_11a9a1eb.gifи hello_html_m3b583044.gif


hello_html_11a9a1eb.gifhello_html_m3b583044.gif= hello_html_m5efbb335.gif hello_html_m3b583044.gifhello_html_1dadf6bd.gif

где hello_html_m1a8d1b75.gif- угол между векторами hello_html_11a9a1eb.gif и hello_html_m3b583044.gif

Скалярное произведение векторов


hello_html_11a9a1eb.gif{а1; а2} и hello_html_m3b583044.gif{b1; b2}

hello_html_11a9a1eb.gifhello_html_m3b583044.gif= a1b1 + a2b2

Косинус угла между векторами: hello_html_11a9a1eb.gif{а1; а2} и hello_html_m3b583044.gif{b1; b2}

hello_html_m5038de3a.gif

Необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторов

hello_html_11a9a1eb.gif{a1; а2} hello_html_7a3210da.gif hello_html_m3b583044.gif{b1; b2}

hello_html_11a9a1eb.gifhello_html_m3b583044.gif= 0 или a1b1 + a2b2 = 0





Литература:

  1. Математика: Справ. Материалы: Кн. для учащихся, - М.: Просвещение, 2001- 416 с.

  2. Геометрия. 7 – 9 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений/ (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.). – 20-е изд.- М.: Просвещение, 2010.- 384 с.



22




57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)


Автор
Дата добавления 29.04.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров51
Номер материала ДБ-059444
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх