"Методическая работа" (5 класс)

Имя задачи: «Определение площади фигур»

Автор: Прищепа Кира Ильинична, учитель математики

МБОУ «Малоянисольская школа» Володарского района Донецкой области

Предмет: Математика

Класс 5

Тема: «Площади сложной фигуры»

Профиль: Общеобразовательный

Уровень: Общий

Текст задачи

Понятие о площади фигуры имеет любой человек: мы говорим о площади комнаты, площади земельного участка, о площади поверхности, которую надо покрасить, и так далее. При этом мы понимаем, что если земельные участки одинаковы, то площади их равны; что у большего участка площадь больше; что площадь квартиры слагается из площади комнат и площади других её помещений.

Это обыденное представление о площади используется при её определении в геометрии, где говорят о площади фигуры. Но геометрические фигуры устроены по-разному, и поэтому когда говорят о площади, выделяют особый класс фигур. Например, рассматривают площади многоугольников и других ограниченных выпуклых фигур, или площадь круга, или площадь поверхности тел вращения и так далее. В начальном курсе математики рассматриваются только площади многоугольников и ограниченных выпуклых плоских фигур. Такая фигура может быть составлена из других. Например, фигура F, составлена из фигур F1, F2, F3. Говоря, что фигура составлена (состоит) из фигур F1, F2,…,Fn, имеют в виду, что она является их объединением и любые две данные фигуры не имеют общих внутренних точек. Площадью фигуры называется неотрицательная величина, определённая для каждой фигуры так, что:

1) равные фигуры имеют равные площади;

2) если фигура составлена из конечного числа фигур, то её площадь равна сумме их площадей. Если сравнить данное определение с определением длины отрезка, то увидим, что площадь характеризуется теми же свойствами, что и длина, но заданы они на разных множествах: длина - на множестве отрезков, а площадь - на множестве плоских фигур. Площадь фигуры F обозначать S (F). Чтобы измерить площадь фигуры, нужно иметь единицу площади. Как правило, за единицу площади принимают площадь квадрата со стороной, равной единичному отрезку e, то есть отрезку, выбранному в качестве единицы длины. Площадь квадрата со стороной e обозначают e. Например, если длина стороны единичного квадрата m, то его площадь m.

Измерение площади состоит в сравнении площади данной фигуры с площадью единичного квадрата e. Результатом этого сравнения является такое число x, что S (F) = xe.Число x называют численным значением площади при выбранной единице площади.

Постановка проблемы. 

Чтобы сделать ремонт дома, ваши родители сначала производят расчёт расходных материалов. А для чего они это делают?  Что для этого надо знать?

А если родители решили в комнате постелить ковролин, а комната имеет не стандартные размеры?

Проблема: как найти площадь пола комнаты для покупки  ковролина?   (вид комнаты                                        

	3 м

              4м
                                      7 м

Предложите разные способы нахождения площади фигуры

Возможные информационные источники.

Источники:

1.     Большая математическая энциклопедия / Серия: Для школьников и абитуриентов. – Издательство «ЭКСМО», 2006 г.

2.     Малая Советская Энциклопедия / Гл. ред. Б.А. Введенский. –

3.     Государственное научное издательство «Большая Советская энциклопедия», 1959 г. – том 5, третье издание.

4.     Урок в современной школе 5-11 классы изд. Учитель 2011г

5.     В помощь преподавателю. Уроки учительского мастерства 5-11 классы.изд. Учитель., 2009г

6.     Учебник: - Виленкин Н.Я и др. Математика 5 класс. – М.: Мнемозина, 2009

Web-сайты:

7.     http://dist-spk.ru/mod/book/view.php?id=1096&chapterid=2

8.     https://lektsii.com/2-19788.html

9.     https://vuzlit.com/8023/ploschad_figury_izmerenie

Культурный образец

История развития понятия площади и ее измерения

Зарождение геометрических знаний, связанных с измерением площадей, теряется в глубине тысячелетий.

Еще 4 - 5 тыс. лет назад вавилоняне вычисляли площади земельных участков, имеющих форму прямоугольника и трапеции, в квадратных единицах. Единицей измерения площади издревле использовали квадрат, так как именно квадрат обладает замечательными свойствами: равные стороны, равные и прямые углы; квадрат имеет ось и центр симметрии и совершенство формы. Квадраты легко строить, и ими можно покрыть без просветов фигуры любой формы.

Около 4 000 лет назад египтяне определяли площадь прямоугольника, параллелограмма, треугольника и трапеции теми же приемами, как и мы. То есть, чтобы определить площадь прямоугольника, умножали длину на ширину; чтобы найти площадь треугольника, основание треугольника делили пополам и умножали на высоту. А для нахождения площади трапеции сумму параллельных сторон делили пополам и умножали на высоту. Площадь многоугольника находили разбиением его на прямоугольники, треугольники и трапеции.

Египтяне использовали и иные, которые позволяли быстрее измерять площадь земельного участка путем только обхода его по границам, но результат измерения получался с некоторой погрешностью

В математических трудах Евклида, Герона, Брахмагупты и других известно, что по вопросам измерения площадей греки и индусы пошли далеко вперед по сравнению с египтянами и вавилонянами. В своих «Началах» Евклид не применял слово «площадь», так как он под словом «фигура» понимает часть плоскости, ограниченную той или иной замкнутой линией, и под понятием фигуры подразумевал и ее площадь. Евклид результат измерения площади не выражает числом, сравнивает площади различных фигур между собой. Евклид также занимается вопросами превращения одних фигур в равновеликие им фигуры, оперируя при этом не числами, а самими площадями.

Первые сведения об измерении площадей и расстояний на Руси относятся к XI веку. В Государственном Эрмитаже хранится камень с надписью: «В лето 6576 Глеб князь мерил морем по льду от Тмутороканя до Корчева 14 тысяч сажен». В этой записи говорится об измерении в 1068 году расстояния между городами Тамань и Керчь через Керченский пролив по льду.

Древние математики Египта и Индии необоснованно переносили на общий случай правила вычисления площадей, верные в некоторых частных случаях. На Руси XI - XVI веках тоже пошли путем обобщения правил. Во второй половине XVI в. возросшие потребности в измерении земли, развитие артиллерийского дела и строительство городов привели к необходимости создания рукописей геометрического содержания. В 1551 г. царь Иван IV послал людей «описать и смерить государство». К сожалению, рукописи Древней Руси до нас не дошли. Автор «Истории Российской с древнейших времен» В.Н. Татищев (1686 - 1750) писал: «Я читал наказ, данный в 1556 г. писцам о том, как следует измерять землю». К наказу прилагались «землемерные начертания», то есть чертежи. Наказ бесследно исчез. Пропали также «Математические рукописи XVII века», хранившиеся в семье писателя и историка Н.М. Карамзина (1766 - 1826).

Первой из сохранившихся рукописей, в которых излагаются правила измерения площадей, была «Книга сошного письма», самый древний экземпляр, который относится к 1629 году, хотя имеются указания, что оригинал был составлен при Иване Грозном в 1556 году. В этой книге имеется глава «О земном верстании, как земля верстать». В ней, к сожалению, содержится много ошибочного материала в способах измерения площадей. Возможно, они появились в результате искажений во время переписывания от руки. Приходится признать, что уровень знаний был невысоким, хотя не хочется считать россиян шестнадцатого и семнадцатого столетий менее грамотными, чем древние египтяне. Тем более ярким подтверждением тому служат исключительные по красоте архитектурные памятники того времени, такие, как собор Василия Блаженного, построенный в 1553-1560 г.г. при Иване Грозном русскими «мастерами каменных дел Постником, Яковлевым и Бармой.

Были и веские причины, задержавшие распространение математических знаний на Руси. В ХV в. были царские оглашения «О запрещении книг, вывезенных с Запада», в одном из которых даже говорилось, что «богомерзостен перед богом всякий, кто любит геометрию».

Лишь при Петре I в 1701 году открыли в Москве «Математические и навигатские, то есть Мореходно-хитростных наук школу». В программу обучения включили преподавание арифметики, алгебры, геометрии и тригонометрии. Эти науки преподавал выписанный из-за границы профессор-математик Форварсон и математик-самоучка Леонтий Магницкий. С того времени основы геометрии как науки проникли к нам в Россию. Именно а начале ХVIII века под редакцией Форварсона были

Методический комментарий

Есть такая притча. Шёл мудрец, а навстречу ему 3 человека, которые везли под горящим солнцем тележки с камнями для строительства. Мудрец остановился и задал каждому по вопросу.

У первого спросил: «Что ты делал целый день?» И тот с ухмылкой ответил, что целый день возил проклятые камни. У второго мудрец спросил: «А что ты делал целый день?» На что тот ответил: «А я добросовестно выполнял свою работу.» А третий улыбнулся, его лицо засветилось радостью и удовольствием: «А я сегодня принимал участие в строительстве храма!»

Давайте и мы попробуем оценить каждый свою работу

Кто работал так, как первый человек?

Кто работал добросовестно, как второй?

А кто принимал участие в строительстве храма!