Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Технология / Другие методич. материалы / Методическая разработка "Арифметические действия в позиционных системах счисления"

Методическая разработка "Арифметические действия в позиционных системах счисления"

Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy


СВИДЕТЕЛЬСТВО СРАЗУ ПОСЛЕ ПРОСМОТРА ВЕБИНАРА

Вебинар «Подростковая лень: причины, способы борьбы»

Просмотр и заказ свидетельств доступен только до 22 января! На свидетельстве будет указано 2 академических часа и данные о наличии образовательной лицензии у организатора, что поможет Вам качественно пополнить собственное портфолио для аттестации.

Получить свидетельство за вебинар - https://infourok.ru/webinar/65.html

  • Технология

Поделитесь материалом с коллегами:


Мhello_html_20ff7c37.gifинистерство образования Тверской области

ГБПОУ «Ржевский колледж»


































Преподаватель: Петрова А. Н.
























  1. Краткие теоретические сведения и основные правила

  • Позиционной системой счисления (п.с.с.) называют такую систему счисления, в которой значимость (вес) каждой цифры в числе зависит от ее положения в данном числе.

  • Основание системы счисления — это количество букв и других символов, необходимых для записи числа в данной системе счисления. Например:

Система счисления

Основание

Алфавит

Двоичная (2-ичная)

2

{0, 1}

Троичная

3

{0, 1,2}

Четверичная

4

{0, 1,2,3}

И т. д.



Восьмеричная

(8-ричная)

8

{0, 1,2,3,4,5,6,7}

Десятичная

10

{0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9}

Шестнадцатеричная

(16-ричная)

16

hello_html_6c89292b.gifhello_html_m3d36398d.gifhello_html_m4c2379f0.gifhello_html_m402c15f8.gifhello_html_6967201f.gifhello_html_446c691.gif{0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}

1010,1110,1210,1310,1410,1510


В компьютерной технике основными п.с.с. являются: двоичная, восьмеричная, десятичная, двоично-десятичная и шестнадцатеричная п.с.с.

Компьютерная грамотность предполагает знание арифметических основ ЭВМ, к которым относятся основы п.с.с., умение оперировать с числами в разных системах счисления и умение производить арифметические действия (сложение, вычитание, умножение, деление) над числами в разных системах счисления.


  • Правило перевода целого десятичного числа в q-ичное:

Ч

3510 à X16

тобы целое десятичное число перевести в q-ичное надо целое десятичное число делить нацело на основание q до тех пор, пока не получится число меньшее q. Например,

1210 X2:

hello_html_m1e4a5e0c.gif

1210 =11002

1210 à X8

3510 =2316


12

hello_html_m589af15a.gif

1210 =148

hello_html_3c4f6423.gif

hello_html_m67971f2d.gif






  • Правило перевода q-ичного числа в десятичное:

Чтобы q-ичное число перевести в десятичное надо q-ичное число записать в виде многочлена по основанию q и соответствующим степеням:

hello_html_m151589ff.gif



hello_html_4a66b2ec.gif





hello_html_41fd9e98.gif




  • Для q-ичной дроби справедливо:

степени

.3 2 1 0 , -1 -2 -3 ….

,

Например:

111,112X10 =1*22+1*21 +1*20+1*2-1+1*2-2 =

=4+2+1+0,5+0,25 =7,7510







  • Правило перевода целого десятичного числа в двоичное методом разностей.

П

11101001000002

рименяется, как правило, для больших значений целого десятичного числа, например: 745610 X2=

20 =

1

21=

2

22=

4

23=

8

24=

16

25=

32

26=

64

27=

128

28=

256

29=

512

210=

1024

211=

2048

212=

4096

213=

8192

214=

16384

215=

32768

И т.д.


=212 + 211 +210 + 28 + 25 =

745610

4096

3360

2048

1312

1024

288

256

32

32

0


hello_html_m24b3e8fb.gifhello_html_6d1bf108.gifhello_html_6d1bf108.gifhello_html_6d1bf108.gifhello_html_6d1bf108.gifhello_html_6d1bf108.gif


hello_html_m24b3e8fb.gif


hello_html_m24b3e8fb.gif


hello_html_m24b3e8fb.gif

Отсутствующие степени заменяются нулевыми значениями !!!



hello_html_m24b3e8fb.gif







  • Правило продвижения цифр в алфавитах позиционных систем счисления (п.с.с.) — «ПРАВИЛО ОБЩЕГО СЧЕТА»

Продвижением цифры в алфавите любой п.с.с. называется замена ее следующей цифрой в алфавите в сторону возрастания. Например, продвижение 0 в десятичной с.с. означает замену его на 1. При этом следует знать, что при продвижении старшей цифры в алфавите любой п.с.с., эта старшая цифра заменяется 0 и продвигается слева стоящая от нее цифра. Например:

В 10-тичной с.с. — 9,10, ……19,20 …

В 2-ичной с.с. — 0,1,10,11,100,101,110,…..

В 3-ичнойс.с. — 0,1,2,10,11,12,20,…..

В 8-ричной с.с. — 0,1,2,….,7,10,11,….,17,20,21,….

В 16-ричной с.с. —0,1,……E,F,10,…..,1F,20,…

  • Правило n двоичных разрядов

В n двоичных разрядах можно записать 2n двоичных последовательностей




  • Правило перевода 2-ичного числа в 8-ричное

Алфавит 8-ричной системы {0,1,2,3,4,5,6,7} обуславливает необходимость трех двоичных разрядов для записи цифр от 0 до 7:

10-тичная

8-ричная

Три двоичных разряда называются двоичной триадой

2-ичная

0

0

000

1

1

001

2

2

010

3

3

011

4

4

100

5

5

101

6

6

110

7

7

111


Для перевода 2-ичного числа в 8-ричное надо:

а) сгруппировать по двоичным триадам (справа налево) целую часть 2-ичного числа (в недостающие разряды дописать незначащие 0);

б) сгруппировать по двоичным триадам (слева направо) дробную часть 2-ичного числа (в недостающие разряды дописать значащие 0);

в) под каждой триадой подписать цифры из алфавита 8-ричной системы.

Например: 1101101,11012 X8 ==155,648


Группируем:












hello_html_71178dd8.gifhello_html_71178dd8.gifhello_html_71178dd8.gifhello_html_71178dd8.gifhello_html_71178dd8.gifhello_html_6443c46b.gifhello_html_m6102df7e.gifhello_html_m30d19447.gifhello_html_43f6e712.gifhello_html_m434292f2.gif

hello_html_6cef839.gifhello_html_m4ca40b1.gif

1100

101

101





  • Правило перевода 2-ичного числа

Алфавит 16-ричной системы {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,А,B,C,D,F} обуславливает необходимость четырех двоичных разрядов для записи цифр от 0 до 15:

10-тичная

16-ричная

Четыре двоичных разряда называются двоичной тетрадой

2-ичная

0

0

0000

1

1

0001

2

2

0010

3

3

0011

4

4

0100

5

5

0101

6

6

0110

7

7

0111

8

8

1000

9

9

1001

10

A

1010

11

B

1011

12

C

1100

13

D

1101

14

E

1110

15

F

1111

Для перевода 2-ичного числа в 8-ричное надо:

а) сгруппировать по двоичным тетрадам (справа налево) целую часть 2-ичного числа (в недостающие разряды дописать незначащие 0);

б) сгруппировать по двоичным тетрадам (слева направо) дробную часть 2-ичного числа (в недостающие разряды дописать значащие 0);

в) под каждой тетрадой подписать цифры или символы из алфавита 16-ричной системы.

Например: 1101101,110112 X16 =

Группируем:




1101,1101












hello_html_6b14f984.gifhello_html_m5c4476cd.gif

hello_html_m2a5572fb.gifhello_html_m2a5572fb.gif

  1. hello_html_m1585df65.gifhello_html_39b2e85a.gif

=6D,D816





  • Правило вычитания q-ичных чисел.

Рhello_html_m784cf65.gifеализуется аналогично правилам 10-тичной системы, например:



hello_html_4d0be3ca.gif


  • Правило сложения q-ичных чисел.


  • Правило сложения q-ичных чисел.

Реализуется аналогично правилам 10-тичной системы, например:

hello_html_2a6321ee.gif


hello_html_18aca7e0.gif








hello_html_m7280826e.gif










  • Правило деления q-ичных чисел.

Реализуется аналогично правилам 10-тичной системы, например:

1

110012 : 1012

2110 :1110 =1110

hello_html_34402f1d.gifhello_html_34c23ec3.gif

hello_html_17235be5.gifhello_html_m64510a07.gif







  • Правило умножения q-ичных чисел.

Реализуется аналогично правилам 10-тичной системы, например:


hello_html_m6f1c8428.gif

*


hello_html_286afe14.gif


+














2F16

3A16

1D6

8D

AA616


1)F*A=15010X16 =9616

6 9



2)2*10+9=2910X16 =1D


D 1



3)0+1

Аналогично:

3*2F=8D


hello_html_m1de1689e.gif






hello_html_m117a229d.gif





Выравниваем разряды:

И поразрядно складываем 1D5

+

8D0

AA616







II ПРИМЕР РЕАЛИЗАЦИИ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ В СМЕШАННЫХ П.С.С.

Вариант 1

  1. Вычислить в 8-ричной с.с., Проверить в 16-ричной и 10-тичной с.с. 434228 + 634610 - 337416

hello_html_6d8577a8.gif634610 = 143128 = 18CA16 I8) 434228

hello_html_m6761d14b.gif1317210 = 315648 = 337416 143128

1819410 = 434228 = 471216 577348 = 5FDC16= 2454010

II8)

1)4-4=0 2) 8+3-6=5

I16) 471216

577348 + 18CA16

hello_html_m24b3e8fb.gifhello_html_787b36ff.gifhello_html_51a18b33.gif315648 5FDC16 =577348 =2454010

261508 =2C6816 =1136810

hello_html_m24b3e8fb.gif II16) 5FDC16

337 416

hello_html_787b36ff.gif2C6816 = 261508 = 1136810

Ihello_html_6d8577a8.gifhello_html_m24b3e8fb.gif10) 1819410 II10) 2454010

hello_html_52db6196.gifhello_html_51a18b33.gif634610 1317210

2454010 = 577348 =5FDC16 1136810 = 261508 = 2C6816

  1. Записать числа в 16-ричной, 8-ричной и 10-тичной с.с.

hello_html_6dca0402.gif

аhello_html_m74a60767.gifhello_html_23c775a9.gifhello_html_c7779.gifhello_html_32e933df.gifhello_html_m5e740c2b.gifhello_html_2234ff31.gifhello_html_mb14846d.gifhello_html_m40a89fbd.gifhello_html_m6d906f16.gifhello_html_mb14846d.gif)111000,101112 111 000, 101 1102 0011 1000, 1011 10002=



=70,568 =38,B816 = 56,7210


бhello_html_755befaa.gifhello_html_2234ff31.gifhello_html_30faecae.gifhello_html_m5e740c2b.gifhello_html_mb14846d.gifhello_html_m779c7420.gifhello_html_79d85085.gifhello_html_m41c791f1.gif) 101000,110012 101 000,110 0102 0010 1000, 1100 10002 =




=50,628 =28,C816= 40,7810


вhello_html_70e2f9a8.gifhello_html_2234ff31.gifhello_html_30faecae.gifhello_html_m29f7e35f.gifhello_html_m6a1a54f9.gifhello_html_m779c7420.gifhello_html_m779c7420.gifhello_html_m2ba9d9eb.gif) 101011,001012 101 011 ,001 0102 0010 1011,0010 10002 =53,128 =2B,2816 = =43,1610



  1. Вычислить: FBDB16 * 5FC16 Записать результат в двоичной с.с.

Выполнить проверку в 8-ричной и 10-тичной с.с.

I

1) C*B = 12*11=132 8416 =48 2)C*D=12*13 +8=164 =A4 4A

3) C*B+10=142=8E16E8 4)C*F= 12*15+8=BC


1)F*B=15*11=165=A5165A 2)F*D+10=205=CDDC

3)F*B+12=17716=B11B 4)F*F+11=236=EC16


1)5*B=55=371673 2)5*D+3=68=441644

3) 5*B+4=59=3B16B3 4)5*F+3=78=4E16

00BCE4416

0EC1D5016

F7EB9416

4EB470016

5E3329416=5706312248

=9877570010

hello_html_6d8577a8.gif16) FBDB16

hello_html_1b87a748.gif* 5FC16

hello_html_6d8577a8.gifhello_html_6d8577a8.gif00BCE44

hello_html_6d8577a8.gif0EC1D50

4EB4700

5E3329416hello_html_1b87a748.gif



=1011110001100110010100101002 =9877570010

6447510 * 153210 = 9877570010








I8) FBDB16 = 1757338 = 6447510 5FC16 = 27748 =153210

1)4*3=12=14841 2) 4*3+1=13 =15851 3)4*7+1=29358->53

4)4*5+3=23= 278->72 5)4*7+2=30=368->63 6)4*1+3=78


1)7*3=21=258 ->52 2) 7*3+2=23=278 ->72 3)7*7+2=51= 638->36

4)7*5+6=41= 518->15 5)7*7+5=54= 668->66 6)7*1+6=13=158


1)7*3=21=258 ->52 2) 7*3+2=23=278 ->72 3)7*7+2=51= 638->36

4)7*5+6=41= 518->15 5)7*7+5=54= 668->66 6)7*1+6=13=158


1)2*3=68 2)2*3=68 3) 2*7=14=168 ->61

4)2*5+1=11=138->31 5) 2*7+1=15=178 ->71 6)2*1+1=3


0007675548

0156137508

0166035248

1561375008

1747432248

3736660008

5706312248


hello_html_6d8577a8.gif1757338

* 27748

hello_html_1b87a748.gifhello_html_6d8577a8.gifhello_html_6d8577a8.gif000767554

hello_html_6d8577a8.gifhello_html_6d8577a8.gif015613750

hello_html_6d8577a8.gif156137500

373666000

hello_html_1b87a748.gif

5706312248



= 1011110001100110010100101002 = 9877570010


  1. Вычислить: 100112 * 1102 Записать результат в десятичной с.с

Выполнить проверку в 8-ричной с.с.

100112 = 238 1102 =68

238

* 68

1628


=11100102 =26+25+24+21=64+32+16+2=11410



100112

1) 6*3 =1810 = 228 -> 22

2) 6*2+2 = 1410 =618

3) 0+1=1

* 1102

hello_html_6d8577a8.gif010011

100110

11100102 = 11410



  1. Перевести в 16-ричную, 8-ричную и 2-ичную с.с.:


а) 0,1510 =0,0012 = 0,18 =0,216

hello_html_m672670c3.gif

б) 0,1710 = 0,001012 =0,128 =2816

0,1710

*2

0 34

*2

0 68

*2

1 36

*2

0 72

*2

1 44




0,1510

*2

hello_html_5744681.gif0 30

B) 0,3410 = 0,010102 =0,248 =0,516

0,34

*2

0 68

*2

1 36

*2

0 72

*2

1 44

*2

0 88



*2

0 60

hello_html_772131a4.gif*2

1 20

*2

0 40

*2

0 80








Литература:

    1. Левин А. Самоучитель работы на компьютере. – М.: Нолидж, 2000;

    2. Шауцукова, Информатика 10-11 класс;

    3. Макаренко А.Е., Готовимся к экзамену по информатике.— М.: Айрис-пресс, 2002


Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Автор
Дата добавления 28.01.2016
Раздел Технология
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров204
Номер материала ДВ-386691
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх