Инфоурок Алгебра Другие методич. материалыМетодическая разработка "Дифференциальные уравнения с разделенными переменными"

Методическая разработка "Дифференциальные уравнения с разделенными переменными"

Скачать материал

Методическая разработка

Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными и применение этих понятий при решении задач прикладного характера

Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно представить в виде

 

,

 т.е.правая часть уравнения есть произведение двух функций, одна из которых зависит только от х, другая – только от у.

Такое уравнение можно записать и в виде

 

,

т.е. переменные разделены в буквальном понимании, т.е. каждая из переменных содержится только в той части уравнения, где находится ее дифференциал.

В обеих частях уравнения стоят дифференциалы некоторых функций. Справа этот дифференциал выражен явно через независимую переменную х, а слева через промежуточную переменную у, которая является функцией х. Именно эта зависимость у от х и является искомой.

Интегрируя это уравнение, получается

 

,

т.е. связь  между  у и х, освобожденная от их дифференциалов.

Если заданы начальные условия  , то, используя их для определения С, получается частное решение.

 

Пример: Решить уравнение ,  при начальных условиях .

Решение.

Уравнение  запишем в виде , или, что все равно .   Интегрируем обе части  , получается , или , что является общим решением. При интегрировании постоянную написали в виде ln|C| исключительно для удобства потенцирования.

Для решения задачи Коши, определяем/вычисляем значение С, используя начальные условия: , следовательно, С=2. 

Итак, частное решение уравнения ,  при начальных условиях   есть функция  .

Для комфортности ощущений проведите самостоятельно графическое решение и убедитесь в отсутствии противоречий.

Прикладные задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.

 


Задача 1. Найти кривую, обладающую тем свойством, что отрезок любой ее касательной, заключенной между осями координат, делится пополам в точке касания

 

 

 

Решение.

 

Пусть - уравнение искомой кривой, М(х,у) – произвольная точка, лежащая на этой кривой.

Угловой коэффициент касательной в этой точке равен у . По условию задачи АМ=МВ, т.е. ОР=РА=х, а, значит, в любой точке М, принадлежащей кривой , следовательно, .

Получилось соотношение, связывающее неизвестную функцию у, независимую переменную х, производную от у по х, т.е. получилось дифференциальное уравнение относительно у.  Этому уравнению удовлетворяет функция   где С – любое число.

Итак, указанным в задаче свойством обладает бесконечное множество/ «семейство»  кривых, отличающихся между собой значением постоянной С. Это семейство равносторонних гипербол, асимптотами которых являются оси координат.

Для того, чтобы из этого семейства выделить одну кривую, достаточно задать конкретную точку (х00), через которую будет проходить кривая, и определить соответствующее значение С из  .

 

Задача 2.(радиоактивный распад). Экспериментальным путем установлено, что скорость радиоактивного распада пропорциональна  количеству нераспавшегося вещества. Считая, что начальное количество вещества равно М0, найти зависимость между количеством нераспавшегося вещества М и временем t.

 

Решение.

 

Скорость радиоактивного распада равна производной от количества вещества М по времени t, т.е. .  Но по условию

,

где k – коэффициент пропорциональности. Знак минус берется потому, что с возрастанием t количество вещества М уменьшается.  Обращаем внимание на тот факт, что величина М0 не входит в полученное дифференциальное уравнение: она войдет как начальное условие .

Уравнению  удовлетворяет функция . Подставляя начальные условия , получается С=М0.

Следовательно, частное решение, удовлетворяющее условиям задачи

.

Постоянную k можно установить экспериментально (такой метод очень часто применяется в подобных случаях),  установив количество нераспавшегося вещества в какой-то момент времени.

 

Задача 3. (охлаждение тела). Согласно закону, установленному Ньютоном, скорость охлаждения тела пропорциональна разности между температурой тела и температурой окружающей среды. Требуется получить закон (аналитический вид) охлаждения тела.

 

Решение.

 

Пусть тело нагрето до температуры Т0. Температуру окружающей среды будем считать постоянной и равной Тсс0).

Найдем зависимость между изменяющейся температурой  Т тела и временем t.

Пусть в момент времени t температура тела равна Т. Скорость изменения температуры, т.е. , по закону Ньютона пропорциональна разности  Т-Тс. Следовательно,

.

Знак минус выбран потому, что с возрастанием  t температура Т тела уменьшается. Коэффициент пропорциональности k зависит как от физических свойств тела, так и от его геометрической формы (понятно, что скорость охлаждения раскатанного листа стали больше, чем стального слитка).

Разделяя переменные, получим

.

Отсюда

,

или, что все равно

.

Подставляя начальное условие , получается С=Т0с.

 

Тогда  закон охлаждения тела имеет вид

 

.

Коэффициент пропорциональности k должен быть либо задан, либо установлен экспериментальным путем измерения температуры Т в некоторый момент времени t.  Заметим, что теоретически температура тела сравняется с температурой окружающей среды лишь при .

 

Найти общее и частное решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными:

1)  , если ;

2)  , если y

3)  , если у=0;

4)  , если у;

5)  , если y

6)  , если y=0;

7)  , если ;

8) , если y

9)  , если y=6;

10)  , если ;

11)  , если y

12)  , если у=3

13)

14)    если у

15)                       

16)         

  17)

18)

19)

20)

21)

22)   если у(3)=-2

23)

24) , если у;

25)   , если у;

26)     если у=2

27)  ;

28) , если   

29)   ;

30)   если  ;

31)   если  ;

32)  , если  ;

33)  , если  ;

34)  , если  ;

35) , если  ;

36), если  ;

37) , если    ;

38)   , если  ;

39) , если    ;

40)  , если  ;

41) , если ;

42)   ;

43) , .

 

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Методическая разработка "Дифференциальные уравнения с разделенными переменными""

Рабочие листы к Вашему уроку:

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Краткое описание документа:

Методическая разработка

Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными и применение этих понятий при решении задач прикладного характера

Данный материал включает в себя теорию, примеры прикладных задач и 44 уравнения, которые можно использовать для решения на занятиях и для индивидуального ршения

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 458 717 материалов в базе

Скачать материал

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 11.12.2017 479
    • DOCX 118.6 кбайт
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Пакичева Татьяна Геннадьевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    Пакичева Татьяна Геннадьевна
    Пакичева Татьяна Геннадьевна
    • На сайте: 8 лет и 10 месяцев
    • Подписчики: 0
    • Всего просмотров: 10209
    • Всего материалов: 10

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой

Курс профессиональной переподготовки

Интернет-маркетолог

Интернет-маркетолог

1000 ч.

Подать заявку О курсе

Курс повышения квалификации

Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО

36 ч. — 180 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 296 человек из 63 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Педагогическая деятельность по проектированию и реализации образовательного процесса в общеобразовательных организациях (предмет "Математика")

Учитель математики

300 ч. — 1200 ч.

от 7900 руб. от 3950 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 32 человека из 20 регионов

Курс повышения квалификации

Ментальная арифметика. Сложение и вычитание

36 ч. — 144 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 1289 человек из 85 регионов