Методическая разработка "Дифференциальные уравнения с разделенными переменными"

Методическая разработка

Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными и применение этих понятий при решении задач прикладного характера

Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно представить в виде

,

 т.е.правая часть уравнения есть произведение двух функций, одна из которых зависит только от х, другая – только от у.

Такое уравнение можно записать и в виде

,

т.е. переменные разделены в буквальном понимании, т.е. каждая из переменных содержится только в той части уравнения, где находится ее дифференциал.

В обеих частях уравнения стоят дифференциалы некоторых функций. Справа этот дифференциал выражен явно через независимую переменную х, а слева через промежуточную переменную у, которая является функцией х. Именно эта зависимость у от х и является искомой.

Интегрируя это уравнение, получается

,

т.е. связь  между  у и х, освобожденная от их дифференциалов.

Если заданы начальные условия  , то, используя их для определения С, получается частное решение.

Пример: Решить уравнение ,  при начальных условиях .

Решение.

Уравнение  запишем в виде , или, что все равно .   Интегрируем обе части  , получается , или , что является общим решением. При интегрировании постоянную написали в виде ln|C| исключительно для удобства потенцирования.

Для решения задачи Коши, определяем/вычисляем значение С, используя начальные условия: , следовательно, С=2. 

Итак, частное решение уравнения ,  при начальных условиях   есть функция  .

Для комфортности ощущений проведите самостоятельно графическое решение и убедитесь в отсутствии противоречий.

Прикладные задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.

Задача 1. Найти кривую, обладающую тем свойством, что отрезок любой ее касательной, заключенной между осями координат, делится пополам в точке касания

Решение.

Пусть - уравнение искомой кривой, М(х,у) – произвольная точка, лежащая на этой кривой.

Угловой коэффициент касательной в этой точке равен у^’ . По условию задачи АМ=МВ, т.е. ОР=РА=х, а, значит, в любой точке М, принадлежащей кривой , следовательно, .

Получилось соотношение, связывающее неизвестную функцию у, независимую переменную х, производную от у по х, т.е. получилось дифференциальное уравнение относительно у.  Этому уравнению удовлетворяет функция   где С – любое число.

Итак, указанным в задаче свойством обладает бесконечное множество/ «семейство»  кривых, отличающихся между собой значением постоянной С. Это семейство равносторонних гипербол, асимптотами которых являются оси координат.

Для того, чтобы из этого семейства выделить одну кривую, достаточно задать конкретную точку (х₀,у₀), через которую будет проходить кривая, и определить соответствующее значение С из  .

Задача 2.(радиоактивный распад). Экспериментальным путем установлено, что скорость радиоактивного распада пропорциональна  количеству нераспавшегося вещества. Считая, что начальное количество вещества равно М₀, найти зависимость между количеством нераспавшегося вещества М и временем t.

Решение.

Скорость радиоактивного распада равна производной от количества вещества М по времени t, т.е. .  Но по условию

,

где k – коэффициент пропорциональности. Знак минус берется потому, что с возрастанием t количество вещества М уменьшается.  Обращаем внимание на тот факт, что величина М₀ не входит в полученное дифференциальное уравнение: она войдет как начальное условие .

Уравнению  удовлетворяет функция . Подставляя начальные условия , получается С=М₀.

Следовательно, частное решение, удовлетворяющее условиям задачи

.

Постоянную k можно установить экспериментально (такой метод очень часто применяется в подобных случаях),  установив количество нераспавшегося вещества в какой-то момент времени.

Задача 3. (охлаждение тела). Согласно закону, установленному Ньютоном, скорость охлаждения тела пропорциональна разности между температурой тела и температурой окружающей среды. Требуется получить закон (аналитический вид) охлаждения тела.

Решение.

Пусть тело нагрето до температуры Т₀. Температуру окружающей среды будем считать постоянной и равной Т_с (Т_с<Т₀).

Найдем зависимость между изменяющейся температурой  Т тела и временем t.

Пусть в момент времени t температура тела равна Т. Скорость изменения температуры, т.е. , по закону Ньютона пропорциональна разности  Т-Т_с. Следовательно,

.

Знак минус выбран потому, что с возрастанием  t температура Т тела уменьшается. Коэффициент пропорциональности k зависит как от физических свойств тела, так и от его геометрической формы (понятно, что скорость охлаждения раскатанного листа стали больше, чем стального слитка).

Разделяя переменные, получим

.

Отсюда

,

или, что все равно

.

Подставляя начальное условие , получается С=Т₀-Т_с.

Тогда  закон охлаждения тела имеет вид

.

Коэффициент пропорциональности k должен быть либо задан, либо установлен экспериментальным путем измерения температуры Т в некоторый момент времени t.  Заметим, что теоретически температура тела сравняется с температурой окружающей среды лишь при .

Найти общее и частное решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными:

1)  , если ;

2)  , если y

3)  , если у=0;

4)  , если у;

5)  , если y

6)  , если y=0;

7)  , если ;

8) , если y

9)  , если y=6;

10)  , если ;

11)  , если y

12)  , если у=3

13)

14)    если у

15)                       

16)         

  17)

18)

19)

20)

21)

22)   если у(3)=-2

23)

24) , если у;

25)   , если у;

26)     если у=2

27)  ;

28) , если   

29)   ;

30)   если  ;

31)   если  ;

32)  , если  ;

33)  , если  ;

34)  , если  ;

35) , если  ;

36), если  ;

37) , если    ;

38)   , если  ;

39) , если    ;

40)  , если  ;

41) , если ;

42)   ;

43) , .

Краткое описание документа:

Методическая разработка

Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными и применение этих понятий при решении задач прикладного характера

Данный материал включает в себя теорию, примеры прикладных задач и 44 уравнения, которые можно использовать для решения на занятиях и для индивидуального ршения