Методическая разработка "Дифференцированный подход к изучению темы «Арифметическая и геометрическая прогрессии»

Дифференцированный подход к изучению темы «Арифметическая и геометрическая прогрессии»

            Одним из направлений модернизации современного образования является переход к новым образовательным стандартам, предъявляющим существенно новые требования к подготовке учащихся в общеобразовательных учреждениях. В основе Стандарта лежит системно-деятельностный подход, который обеспечивает:

• формирование готовности к саморазвитию и непрерывному образованию;
• проектирование и конструирование социальной среды развития обучающихся в системе образования;
• активную учебно-познавательную деятельность обучающихся;
• построение образовательного процесса с учетом индивидуальных возрастных, психологических и физиологических особенностей обучающихся.

            В связи с этим как никогда актуальным становится использование в процессе обучения современных образовательных технологий, позволяющих создать такие условия для развития и воспитания личности, в которых каждый ученик мог бы выбирать для себя наиболее значимые предметы и наиболее приемлемый уровень усвоения знаний по каждому предмету. Ниже приводятся методические рекомендации по изучению прогрессий в условиях реализации новых ФГОС ООО, причем акцент делается на выделение различных уровней усвоения данной темы.

Цели обучения теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии»

            Основная цель изучения темы – дать учащимся представление об арифметической и геометрической прогрессиях как числовых последовательностях особого вида.

       Цели обучения любой теме в самом развернутом виде представляются в так называемой таблице целей изучения темы, которая разрабатывается применительно к каждой конкретной теме для учителя и учащихся и позволяет сделать процесс обучения открытым. На уровне учебного предмета  цели конкретизируется для того, чтобы предполагаемые результаты обучения были понятны ученику и обозримы.

       В данной таблице цели излагаются на трех уровнях и ученик сам вправе выбрать свой уровень изучения теме. Соответствующий уровень показывает, к чему ученик должен стремиться при изучении темы, чтобы получить определенную оценку.

       В таблице рассматривается 5  групп целей. Рассмотрим их более подробно.

       Цели группы Ц1 отвечают за приобретение учебной информации и формирование логических познавательных УУД (универсальных учебных действий), к которым относятся:

1.      Анализ

2.      Синтез

3.      Сравнение, классификация, сериация объектов

4.      Подведение под понятие

5.      Выведение следствий

6.      Установление причинно-следственных связей

7.      Построение логической цепи рассуждения

8.      Выдвижение гипотез, их обоснование

9.      Доказательство

и общеучебных познавательных УУД:

1.      самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели;

2.      поиск необходимой  информации

3.      знаково-символические действия

4.      моделирование (выделение существенных характеристик объекта; построение модели; преобразование её с целью выявления общих законов в данной предметной области),

5.      структурирование информации и знаний;

6.      построение речевых высказываний в устной и письменной формах;

7.      выбор способов решения задач;

8.      рефлексия способов и условий действия.

             К познавательным УУД (постановка и решение проблем) можно отнести:

1.      Формулирование проблемы

2.      Самостоятельное создание способов решения проблем творческого и поискового характера

       В группу целей Ц2 входят цели, ориентированные на контроль усвоения теории учащимися.            Группу целей Ц3 составляют цели, связанные с применением знаний и умений. Эти цели можно найти в требованиях к знаниям учащихся по данной теме.

       Группу целей Ц4 составляют коммуникативные УУД, к которым относятся:

•         Планирование учебного сотрудничества

•         Лидерство и согласование действий с партнером

•         Постановка вопросов

•         Построение речевых высказываний в различных формах

•         Создание текстов

       Обычно речь идет о них, когда ученики работают в группах или фронтально.

            Последнюю группу Ц5 составляют цели по формированию регулятивных УУД:

1. целеполагание,
2. планирование,
3. прогнозирование,
4. контроль,
5. коррекция,
6. оценка.

            Еще одним видом УУД, которые формируются в процессе обучения являются личностные УУД. В таблице целей они напрямую не отражены, однако следует помнить, что в направлении личностного развития также происходят изменения: смыслообразование, нравственно-этическое оценивание, самопознание и самоопределение. Это достигается за счет следующих методов и средств:

1.      Линия истории математики

2.      Предоставление ученику возможности выбора: уровня освоения учебной информации, средств, форм, обучения и  т.п

3.      Обеспечение возможности учиться на собственном уровне усвоения.

            Итак, заранее составленная таблица целей может быть вывешена вместе с картой изучения темы на стенде для открытого использования учащимися. Она позволяет сформировать у учащихся адекватную самооценку, умение выбирать уровень усвоения знаний и понимание ожидаемых результатов изучения темы. Ниже приводится таблица целей, разработанная для темы «Арифметическая и геометрическая прогрессии» в 9 классе. В зависимости от способностей  класса количество уровней может быть изменено.

Таблица целей обучения теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии»

Формулировки обобщённых целей	Формулировки учебных задач, с помощью которых достигается обобщённая цель					Средства помощи
	цель считается достигнутой, если ученик:
	На первом уровне	На втором уровне	На третьем уровне
Ц 1: приобретение УИ, формирование логических ПУД	1) сравнивает различные последовательности по заданным признакам, 2) составляет схему определения понятия с использованием учебника и набора упражнений, 3) сравнивает решение однотипных заданий, 4) знает формулировки теорем и основные формулы	1) выполняет требования 1 уровня 2) составляет схему определения понятия с использованием набора объектов 3) выполняет действие подведения под понятие, 4) выводит на основе доказательных рассуждений формулы общего члена АП и ГП	1) выполняет требования 1, 2 уровня 2) проводит классификацию последовательностей, 3)выделяет наиболее рациональный способ выполнения задания из числа возможных, 4) умеет доказывать рассмотренные в учебнике теоремы и свойства			а) схема определения понятия; б) классификация последовательностей в) таблица формул в) классификация прикладных задач
Ц 2: кон-троль усвоения теории; формирование	первом	втором			третьем	1) рекомендации для решения текстовых задач 2) таблицы с формулами 3) подсказки
	Знает 1) определение АП и ГП, характеристические свойства прогрессий 2) формулы п-го члена АП и ГП 3) формулы суммы п первых членов АП и ГП 4) формулу суммы бесконечно убывающей  ГП Приводит примеры различных видов последовательностей, в т.ч. прогрессий	Знает 1) теорию 1 уровня 2) рекуррентные формулы п-го члена АП и ГП 3) способы нахождения разности АП и знаменателя ГП 4)особенности определения количества суммируемых элементов прогрессии,  взятых из середины последовательности.			Знает 1) классификацию последовательностей 2) различные способы выполнения заданий 3) рекомендации для решения прикладных задач 3) формулы простых и сложных процентов и области их применения Понимает прикладной потенциал темы
Ц 3: применение знаний и умений	первом	втором		третьем
	Умеет 1)  применять индексные обозначения, строить речевые высказывания с использованием изученной терминологии, 2) определять вид прогрессии, устанавливать закономерность и продолжать прогрессию, если даны несколько ее первых членов 3) находить  разность АП и знаменатель ГП по двум подряд идущим членам 4) находить п-й член прогрессии, используя формулу 5) находить п-й член АП и ГП прогрессии, используя характеристические свойства 6) находить сумму п первых членов АП и ГП по формуле 7) находить сумму БУГП в простейших случаях	Умеет 1) выполнять задания 1 уровня, но с более сложными вычислениями 2) проверять принадлежность числа заданной прогрессии 3)вычислять члены последовательности по рекуррентной формуле 3)находить первый положительный или первый отрицательный член АП 4) решать задачи на прогрессии, составляя системы уравнений 5)находить сумму п членов АП и ГП (начиная не с первого) 6) представлять бесконечную периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной 7) в очевидных случаях выбирать более рациональный способ выполнения заданий 8) решать простейшие текстовые задачи		Умеет 1) выполнять задания 1-2 уровня 2) устанавливать закономерность и подбирать формулу п-го члена к данной последовательности 2) выбирать более рациональный способ  выполнения заданий 3) решать текстовые задачи разных видов (в т.ч. на простые и сложные проценты) 4) составлять задачи на прогрессии
Ц 4: формирование КУД	Ц 4: а) работает в группе, оказываете взаимопомощь, рецензирует ответы товарищей; б) организует взаимоконтроль, взаимопроверку и др. на всех этапах учебно-познавательной деятельности (УПД) по выполненным заданиям предыдущих уровней с обоснованием; в) оказывает помощь, работающим на предыдущих уровнях; г) осуществляет поиск информации для подготовки письменного сообщения и устного выступления в соответствии с изучаемой темой, используя правила коммуникативного взаимодействия					приёмы контроля, оценки; таблица коммуникативной компетентности
Ц 5: формирование общих ПУД и РУД	Ц 5: а) выбирает уровни достижения целей и формулируете цели своей учебной деятельности; б) выбираете задачи и решает их; в) осуществляет  самопроверку с использованием образцов, приёмов; г) составляет контрольную работу для своего уровня усвоения; д) оценивает свою итоговую деятельность по данным объективным критериям; по собственным критериям, сравнивая их с объективными критериями; е) делает выводы о дальнейших действиях, планирует коррекцию учебно-познавательной деятельности					приёмы саморегуляции УПД

УИ - учебная информация; ПУД – познавательные; КУД – коммуникативные; РУД – регулятивные учебные действия

АП - арифметическая прогрессия, ГП – геометрическая прогрессия, БУГП – бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Карта изучения темы и её использование

            Карта изучения темы предназначена для учащихся. В начале изучения темы она помещается на стенде на видное место. Представленные в ней задания для диагностики знаний учащихся и разделенные по уровням домашние задания  являются для учащихся своеобразным ориентиром для их дальнейшей деятельности по изучению новой темы, поскольку у учащихся появляется возможность выбрать свой уровень усвоения материала, который может меняться на протяжении изучения всей темы. Карта изучения темы задает индивидуальную образовательную траекторию, выбранную каждым учеником.

            Более того, карта изучения темы позволяет организовать и внеклассную работу по математике отдельных учащихся посредством подготовки различных докладов, рефератов и исследовательских работ.

            Карта изучения темы состоит из 8 блоков

1. Логическая структура и цели изучения темы. В данном блоке указываются номера всех уроков, к каждому уроку расписываются конкретные цели, которые достигаются на этом уроке, пункты из учебника, подлежащие изучению на этом уроке. Отдельно прописываются уроки контроля и коррекции знаний.
2. Блок актуализации знаний. В данном блоке указываются знания, которые необходимо повторить перед изучением материала данной темы.
3. Предметные результаты. К ним относятся те математические знания и умения, которые должные приобрести учащиеся в процессе изучения конкретной темы.
4. Образцы заданий итоговой контрольной работы. В данном блоке предлагается разноуровневая контрольная работа по теме, которая является своеобразным ориентиром для учащихся и позволяет подготовиться к предстоящей в конце изучения темы контрольной работе. Она содержит задания, аналогичные тем, которые будут предложены ученикам на контрольной работе
5. Средства обучения теме. Этот блок включает перечень всех средств, способствующих достижению поставленных целей (схемы, таблицы, предписания, классификации, приемы саморегуляции и т.д.)
6. Задания для внеаудиторной самостоятельной  работы учащихся. Этот блок содержит все задачи из учебника для домашних заданий. Задачи также разделены по уровням, ученик может выбрать, на каком именно уровне он буде решать задачи дома.
7. Темы для индивидуальных заданий. Это темы докладов, рефератов, исследовательских работ и проектов по изучаемой теме. Тема выбирается учеником по желанию, вид работы и представление результатов определяются самим учеником. Эти темы вывешиваются для всеобщего обозрения и любой ученик (а не только наиболее сильные) может выбрать тему на свое усмотрение  или придумать свою. Это позволяет учесть интересы и создать условия для самовыражения  каждого ученика
8. Метапредметные результаты включают перечень всех учебных действий, умений, необходимых для освоения темы.

            Ниже приводится карта изучения темы «Арифметическая и геометрическая прогрессии». В ней предполагается написание двух контрольных работ, после которых осуществляется рефлексия и коррекция знаний. Контрольные работы вместе с заданиями содержат количество баллов, которые даются за правильное выполнение каждого конкретного задания.

Карта изучения темы «Арифметическая и геометрическая прогрессии»

I. Логическая структура и цели изучения темы (таблица целей)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Ц 1, 5

Ц 1-4

Ц 1,5

Ц 1-3

Ц 2-5

Ц 1,5

Ц 2-3

Ц 2 3, 5

Ц 4,5 Ц 1

Ц 1,3,5

Ц 1-3

Ц 2-4

Ц 1, 3

Ц 2, 3, 5

Ц 2, 3, 5

п.15

п.15

п.16

п.16

Практи-кум по решению задач

п.17

п. 17

Контроль-ная работа

Коррек-ция знаний + п.18

п.18

п.19

п.19

п.20

Контрольная раблта

Урок коррек-ции

II. Блок актуализации знаний учащихся

Знать: правила действий с рациональными и иррациональными числами, свойства степеней и корней, понятие процента Уметь: вычислять значения выражений по заданным формулам, сокращать дроби

III. Предметные результаты (Ц 2, 3 таблицы целей): уметь применять индексные обозначения, распознавать АП и ГП при разных способах задания, вычислять члены последовательностей, заданных  формулой п-го члена или рекуррентной формулой, находить сумму п первых членов АП и ГП и сумму БУГП, уметь решать текстовые задачи

YI. Образцы заданий итоговой контрольной работы (Ц 5)

Y. Средства обучения теме

Арифметическая прогрессия

1 уровень

Баллы

2 уровень

Баллы

3 уровень

Баллы

АП 1.       Продолжите арифметическую прогрессию 5,2; 5,5… 2.       Найдите 37-й член АП, первый член которой 75, а разность равна -2. 3.       Пятый член АП равен 16,8; седьмой член 18. Найдите шестой член и разность этой прогрессии. 4.       Найдите сумму первых 26-ти членов АП: 7; 11;…

0,5 1 0,5 1

АП 1.       Найдите 29-й член АП, заданной первыми двумя членами: -86;-83… 2.       Найдите разность и первый член арифметической прогрессии, если ее 5-й член равен 86, а 17-й член равен 104. 3.       Найдите первый отрицательный член АП, если шестой член равен 64, а разность (-0,4). 4.       Найдите сумму всех натуральных четных двузначных чисел.

1 1 1 1

АП 1.       Между числами 5 и 1 вставьте семь таких чисел, чтобы они вместе с данными числами образовали АП. 2.       Докажите, что последовательность сумм внутренних углов треугольника, выпуклого четырехугольника выпуклого пятиугольника и т.д. является арифметической прогрессией. Чему равна ее разность? 3.       Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 7 и не превосходящих 130 4.       Найдите 50-й член АП, если S20=1000, а S40=10000.

1 2 1 1

1.       таблица формул 2.       классификация прикладных задач 3.       рекомендации для решения текстовых задач 4.       таблицы с формулами 5.       карточки с заданиями 6.       приёмы саморегуляции

Геометрическая прогрессия

1 уровень

Баллы

2 уровень

Баллы

3 уровень

Баллы

ГП 1.       Найдите 9-й член ГП, первый член которой 3, а знаменатель равен 2. 2.       Пятый член АП равен 4; седьмой член 16. Найдите шестой член и знаменатель этой прогрессии. 3.       Найдите сумму первых 6-ти членов ГП, первый член которой (-9) а знаменатель (-2). 4.       Найти сумму БУГП:        5; 0,5…

0,5 1 0,5 1

ГП 1.       Найдите 8-й член  ГП, первый член которой равен 625, а знаменатель (-0,2). 2.       Найдите сумму БУГП: -45; 15… 3.       Представьте в виде обыкновенной дроби данную бесконечную десятичную периодическую дробь: 0,(27) 4.       Найдите сумму первых шести членов ГП, пятый член которой равен  (-486), а знаменатель (-3)

1 1 1 1

ГП 1.       Между числами 6 и 486 вставьте такие три числа, чтобы они вместе с данными числами образовали ГП. 2.       Третий член ГП равен 18, а шестой член 486. Найдите сумму первых 8 членов этой прогрессии. 3.       Второй член БУГП равен 18, а ее сумма 81. найдите 3-й член.

1 2 2

YI. Задания для внеаудиторной самостоятельной работы (Ц 2, 3, 5) (учебник под ред. Теляковского)

1 уровень (обязательный уровень стандарта): №№ 346, 348, 371, 392,410,426 (а, б)

2 уровень: №№ 350, 354, 358, 360, 362, 383, 384,373,379, 390, 396,400, 404, 414,416,421.426 (в)

3 уровень: №№ 356, 364,377,381, 382,401, 403.422,424,426 (г)

4 уровень: №№ (со звёздочкой) 437, 442, 454,456,458,472,473, 477,481,482,478

YII. Темы индивидуальных заданий (Ц 5)

1) Числа Фибоначчи 2) Простые и сложные проценты в экономике 3) Легенда о создателе шахмат и похожие занимательные задачи на прогрессии 4) Задачи по теме «Прогрессии» для моих друзей 5)Самостоятельно выбранная тема.

YIII. Метапредметные результаты: перечень учебных действий (умений) для освоения темы (Ц 1 - 5)

Познавательные УУД

Регулятивные УУД

Коммуникативные УУД

Личностные УУД

Сравнение, обобщение, конкретизация, анализ; составление схемы определения понятия, подведение под понятие; постановка и решение  проблемы при составлении задачи, проведение классификации

Выбор и принятие целей, составление плана, самоконтроль, самооценка, соотнесение своих знаний с той учебной информацией, которую нужно усвоить; приёмы саморегуляции

Взаимоконтроль, взаимопроверка, распределение обязанностей в группе, умение слушать, выступать, рецензировать, писать текст выступлений

Рефлексия собственной деятельности

Средства обучения теме

            К основным средствам обучения теме можно отнести таблицы формул (4, стр.41), классификацию последовательностей, классификацию текстовых задач.

Классификация последовательностей

Классификация текстовых задач по теме

            Под прикладными задачами по математике понимают задачи, возникаемые вне математики, но решаемые ее методами. Для алгебры прикладными также будут считаться задачи из области геометрии и наоборот.

            К средствам обучения теме также можно отнести материалы, созданные с помощью инфомационно-коммуникационных технологий, в частности различные электронные презентации, компьютерные тесты.

            Поскольку большинство задач по теме являются задачами алгоритмического и полуалгоритмического типа, можно составить ряд предписаний для решения основных типовых задач. Например, можно предложить следующее предписание для решения задачи типа: найдите разность и первый член арифметической прогрессии, если ее 5-й член равен 86, а 17-й член равен 104:

1. Запишите формулу п-го члена АП.
2. Конкретизируйте эту формулу для случая, когда известен номер члена, но неизвестны первый член и разность АП.
3. Подставьте в полученные формулы известные значения.
4. Объедините оба уравнения в систему.
5. Решите систему известным вам способом.

            При изучении основных формул можно либо предложить готовые, либо дать самим  учащимся составить блок-схемы решения типовых задач.

Примеры реализации целей обучения теме

            Понятия арифметической и геометрической прогрессии рекомендуется вводить вместе, сразу после знакомства с понятием числовой последовательности. На данный момент ученики также умеют выделять простейшие закономерности. Можно придерживаться следующего плана деятельности при освоении понятия.

            Сначала учащимся предлагается набор объектов, которые нужно исследовать, для этого можно предложить следующее задание:

            Даны последовательности. Разделите их на 2 группы так, чтобы в первую группу вошли последовательности с закономерностью, а в другую – без закономерности.

 1, 3, 5, 7…

1)      2, 4, 8, 16…

2)      -1, 1, 2,4, 5, 8..

3)      1/2, -3, 0, -1/8,..

4)      12, 5, -2, -9..

5)      1, ½,1/3,1/4,1/5…

6)      81,-27, 9, -3, 1…

7)      2,4,6,8,10…

8)      -5,0,5,10,15…

9)      1,2,4,7,11…

10)  2,-2,2,-2..

            Получаем деление на группы:

            После этого предлагаем обратить внимание на последовательности с закономерностью. Какими словами можно выразить эти закономерности?

В результате выделяем еще 3 группы: изменяется «НА» одно и то же число, изменяется «В» одно и то же число раз и прочие закономерности.  

            Учащимся предлагается найти в учебнике похожие последовательности и узнать термины для их определения.

            Исходя из выделенных закономерностей, учащиеся пробуют составить схемы определений понятий АП и ГП, а также набор объектов для подведения под понятие.  Одни последовательности, попавшие в этот набор, должны учитывать все существенные признаки изучаемых понятий, другие – не все существенные признаки.

            После выполнения действий подведения  под понятие учащиеся формулируют определения «открытых» понятий и сверяют их с определениями в учебнике.

            В результате такой работы мы получаем классификационную схему, которую впоследствии можно будет расширить.

            Данное задание способствует формированию таких логических познавательных УУД как анализ, сравнение, обобщение, прием раскрытия термина понятия, прием подведения под понятие. Из общеучебных познавательных УУД формируется, прежде всего, прием составления классификационной схемы взаимосвязи понятий, прием составления схемы определения понятия, прием составления набора объектов для подведения под понятие. Также формируются коммуникативные УУД: планирование учебного сотрудничества, согласование действий с членами группы, постановка вопросов, построение речевых высказываний в различных формах.   

            В качестве примеров фрагментов уроков, в ходе которых изучаются теоремы и свойства, рассмотрим  введение формулы суммы п первых членов и введение характеристического свойства арифметической прогрессии.

            При введении формулы суммы п первых членов арифметической прогрессии рекомендуется рассказать учащимся исторический факт об известном случае из жизни известнейшего немецкого математика Гаусса, который в достаточно юном возрасте смог без туда найти сумму натуральных чисел от 1 до 100 включительно. Далее можно организовать поисковую деятельность учащихся по решению этой проблемы.

            Основные вопросы, которые можно задать учащимся:

1.      Как выглядит арифметическая последовательность, о которой идет речь в задаче?

2.      Укажите несколько ее первых и последних членов.

3.      Какую закономерность подметил Гаусс?

4.      Как можно использовать эту закономерность для быстрого вычисления суммы?

            Работа может осуществляться фронтально или группами.        На основе полученных результатов можно организовать деятельность по поиску доказательства теоремы в общем виде. Конечно, это возможно либо в достаточно сильном классе, либо в индивидуальном порядке предложить отдельным учащимся. При выполнении этого задания формируются общеучебные УУД (прием составления схемы поиска доказательства теоремы), логические УУД (анализ, сравнение, обобщение, прием выведения следствий из условия теоремы, прием записи доказательства теоремы), Общеучебные УУД (прием рецензирования, прием рефлексии достижения целей), коммуникативные УУД (умение организовать работу в группе).

            При введении характеристического свойства АП перед учениками ставится задача: найти связь между названием арифметической прогрессии и свойствами ее членов. Для начала предлагается выбрать любую прогрессию и рассмотреть несколько ее членов. Если закономерность не подмечена, то предлагается взять 3 любых подряд идущих члена и найти закономерность в них. Если закономерность найдена для одной «тройки» чисел, предлагаем проверить для других трех подряд стоящих чисел из этой же прогрессии. Затем пробуем взять какую-нибудь еще прогрессию, и наконец, записать свойство в общем виде.  Пробуем доказать свойство, используя определение АП. После всей проделанной работы попробуем ответить на вопрос: почему данное свойство называется характеристическим свойством арифметической прогрессии?

            При выполнении этого задания формируются общеучебные УУД (прием составления схемы поиска решения задачи), логические УУД (анализ, обобщение, прием записи доказательства свойства). В случае фронтальной работы над задачей также формируются коммуникативные УУД (общение, развитие речи).

            В сильных классах при наличии времени можно организовать работу по выводу формул простых и сложных процентов.

            Определенные виды УУД формируются и при решении задач по теме, причем задач достаточно много, как чисто математических так и прикладных

Приведем примеры задач .

1.      Футбольное поле на стадионе окружено трибунами, которые разбиты на сектора. В угловом секторе стадиона в первом ряду 7 мест, а в каждом следующем на 2 больше, чем в предыдущем. С какой прогрессией связана эта закономерность? Сколько мест в 26-м ряду?

2.      Напишите первые 9 чисел натурального ряда. Зачеркните любые 3 из них. Среди оставшихся чисел найдите те, которые могли бы составить одну из прогрессий. Какую именно прогрессию вы нашли? Возможны ли другие варианты? Попытайтесь объяснить этот факт